整式及因式分解

内的项应是“1”，而不是0
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第3讲┃整式及因式分解
运用公式法
平方差公 式
完全平方 公式
a2－b2＝_(a_＋__b_)_(_a_－__b_)
a2＋2ab＋b2＝_(_a_＋__b_)_2 _ a2－2ab＋b2＝_(a_－__b_)_2__
因式分解的一般步骤
一提(提取公因式)； 二套(套公式法)；
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第3讲┃整式及因式分解
解 析 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次 分解即可． x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2.
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第3讲┃整式及因式分解
(1)分解因式的步骤：一提(提公因式)、二套(套
公式)、三验(检验是否分解彻底)。 (2)注意一些常见的恒等变形：如y－x＝－(x－
5．利用几何图形验证因式分解公式． 例5 [2013·滨州] 观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …… 请 猜 测 ， 第 n 个 算 式 (n 为 正 整 数 ) 应 表 示 为 __[1_0_(_n_－_1_)_＋_5 [1_0_(_n_－_1_)_＋_5_]_＝__10_0_n_(_n_－__1_)＋__2_5_或_5_(_2_n_－__1_)_×_5_(_2_n_－__1_)＝__1_0_0_n_(n_－. 1)＋25
A．a＝2，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝2 解 析 1亿＝108，11.2亿＝1.12×109。
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第3讲┃整式及因式分解
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同； 第二，相同字母的指数相同．两者缺一不可。
(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程 (组)是解此类题的一般方法。
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第3讲┃整式及因式分解
解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用， 从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程， 从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学 规律，并用代数式进行描述。
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第3讲┃整式及因式分解
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完全平方公式大变身
次数 母的指数和叫做这个单 高项的次数，叫做这个
项式的次数
多项式的次数
系数
单项式中的数字因数叫 做单项式的系数
项
多项式中每个单项式叫 做多项式的项
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第3讲┃整式及因式分解
单项式与单 项式相乘
把它们的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式
当 x＝－1，y＝ 33时，
－x2＋3y2＝－(－1)2＋3× 332＝－1＋1＝0.
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第3讲┃整式及因式分解
(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充 分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式 以及整体和分类等数学思想。
(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结 构特点，分析是否符合乘法公式的条件。
＝－(x－2y)2.
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第3讲┃整式及因式分解
点 析 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不 是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公 式分解因式．
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第3讲┃整式及因式分解
<
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分解因式： (1)x3－6x2＋9x； (2)2x2－4x＋2； (3)a3－a； (4)9ax2－6ax＋a。
整式 的除
法
乘法 公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商
单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字
项式
母，则连同它的指数作为商的一个因
式
多项式除以单 先把这个多项式的每一项分别除以这
项式
个单项式，然后把所得的商相加
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2__
完全平方公式
(a±b)2＝a_2_±__2a_b_＋__b2
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考点1 整式的概念
内容 定义
整式
单项式
数与字母的___乘__积_____的 代数式叫做单项式，单独 的一个数或一个字母也是
单项式
多项式
几个单项式的 ___和_____叫做多项
式
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内容
单项式
整式
多项式
一个单项式中，所有字 一个多项式中，次数最
整 式 的
单项式与多 项式相乘
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb ＋mc
乘
法
多项式与多 项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
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第3讲┃整式及因式分解
常用恒等变换
(1)a2＋b2＝_(a_＋__b_)_2_－__2_a_b_＝
_(a_－__b_)_2_＋__2_a_b_
(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
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第3讲┃整式及因式分解
考点4 因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化为几个整__式__的__积__的形式， 像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解．
同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利
用积的乘方运算法则计算得到结果．
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第3讲┃整式及因式分解
例 3 [2013·娄底] 先化简，再求值：
(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中
x＝－1，y＝
3 3.
解
原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.
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第3讲┃ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式及因式分解
解 析 根据数字变化规律得出个位是5的数字与本身乘积 等于十位数乘十位数字加1再乘100再加25，即[10(n－1)＋ 5]×[10(n－1)＋5]＝100n(n－1)＋25或5(2n－1)×5(2n－1)＝ 100n(n－1)＋25.
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第3讲┃整式及因式分解
► 探究三 因式分解
命题角度： 1．因式分解的概念； 2．提取公因式法因式分解； 3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方 公式．
例4 [2013·恩施州] 把x2y－2y2x＋y3分解因式正确 的是( C )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
一直分解到不能分解为止
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第3讲┃整式及因式分解
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探究一 同类项 命题角度： 1．同类项的概念； 2．由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数
的字母的值．
例 1 [2013·凉山州] 如果单项式－xa＋1yb 与12y3x2 是 同类项，那么 a，b 的值分别为( C )
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第3讲┃整式及因式分解
► 探究二 整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算； 2．乘法公式．
例2 [2013·泸州] 下列各式计算正确的是( D )
A．(a7)2＝a9
B．a7·a2＝a14
C．2a2＋3a3＝5a5 D．(ab)3＝a3b3
解 析 A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用
定义
一般地，如果多项式的各项都有公因式，
可以把这个公因式提到括号外面，将多
项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋ mc＝__m__(_a_＋__b＋c)
应用注 意
(1)提公因式时，其公因式应满足：① 系数是各项系数的最大公约数；②字母 取各项相同字母的最低次幂；(2)公因 式可以是数字、字母或多项式；(3)提 取公因式时，若有一项全部提出，括号
y)，(y－x)2＝(x－y)2。 (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式
和完全平方式及其特点。
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第3讲┃整式及因式分解
► 探究四 整式运算与因式分解的应用 命题角度：
1．整式的规律性问题；
2．利用整式验证公式或等式；
3．新定义运算；
4．利用因式分解进行计算与化简；
解 1．x(x－3)2 2.2(x－1)2 3．a(a＋1)(a－1) 4.a(3x－1)2
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注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形； (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式； (3)因式分解与整式乘法互为逆运算．
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第3讲┃整式及因式分解
考点5 因式分解的相关概念及基本方法
公因式
提取公 因式法
定义
一个多项式各项都含有的公共的因式， 叫做这个多项式各项的公因式
教材母题 北师大版八下P57例4 把下列各式分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解
(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]