整式及因式分解
整式及其运算
知识点3 整式及其因式分解一、分类：单项式和多项式统称为整式。
整式可分为单项式和多项式1.单项式：定义：数与字母的积组成的式子，单独一个数或字母也叫单项式。
系数：单项式中的数字因数。
次数：所有字母的指数和。
注意：单独一个字母a 的系数为1，次数为1。
单独一个数字比如3的系数为3次数为02.多项式：定义：几个单项式的和。
项数：含几个单项式是几项式。
次数：次数最高项的次数。
二、计算1.加减：(1)去括号：括号前是+时，去掉括号和括号前的+，括号内各项不变号 括号前是-时，去掉括号和括号前的-，括号内各项要变号(2)合并同类项。
①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
②合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。
2. 乘除：(1)公式：a m .a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a n b n(2) 计算：单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母按照同底数幂的乘法相乘 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把结果相加多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项再把结果相加 平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2 注意：3.除法：a n ÷a m =a m-n （a ≠0） a 0=1(a ≠0), p paa 1=-(a ≠0) 单项式除以单项式：系数相除，相同的字母按照同底数幂的除法相除 多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式再把结果相加第三讲整式（A 卷）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 2．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ． a 2+a 3=a 5C ． （a 3）2=a 5D ．a 3÷a 2=13.下列运算正确的是（ ）A.()236aa = B. 22a a a ⋅= C. 2a a a += D. 632a a a ÷=4. 下列运算正确的是A. (－a 3)2= a 5B. (－a 3)2=－a 6C. (－3a 2)2=6a 4 D . (－3a 2)2= 9a 422222222)()(42)(2)(b a b a ab ab b a b a ab b a b a --+=+-=+-+=+5.下列式子正确的是（ ）A ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－b 2C ．(a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－ab ＋b 2 6. 计算()23ab 的结果是（ ）A ．6abB ．26a b C ．29ab D ．229a b 7．下列计算中，不正确的是（ ） A ．﹣2x+3x=x B ． 6xy 2÷2xy=3yC ．（﹣2x 2y ）3=﹣6x 6y 3D ． 2xy 2•（﹣x ）=﹣2x 2y 28. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ． M =mnB ． M =n (m +1)C ．M =mn +1D ．M =m (n +1)二、填空1.如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()127531-+⋅⋅⋅++++n = . （用n 表示，n 是正整数）2. 一件商品的进价为a 元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 元.3. 如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．4.单项式35-x y 的系数是 ．5. 为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m 个篮球和n 个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元. 6.若m +n =2，mn =1，则m 2+n 2 = ．7.的结果等于 a 2 ．8 .用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共用小三角形的个数是 .三、计算1. 计算：5a ＋2b ＋(3a —2b )； (3)(3)(4)a a a a +-+-2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n3.请你化简 22236911211x x x x x x x +++÷+--++，再取恰当x 的值代入求值。
考点02 整式与因式分解【无答案】
考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：【易错警示】1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减【易错警示】1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）幂的运算A ．8B ．2a +2bC ．2a +2b +4D ．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x 2﹣[4x 2﹣（x 2+5）]＝ ．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x 的多项式3ax +7x 3﹣bx 2+x 不含二次项和一次项，则a +b 等于（ ）A ．﹣B ．C ．3D ．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x 2﹣3x ﹣4x 2+5x ﹣6；（2）3（2x 2﹣xy ）﹣（x 2+xy ﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a +3b 的值为﹣4，那么代数式2（a +b ）+4（2a +b ）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 6＝a 9B ．a 6•a 2＝a 12()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a a a a a n m n m a a a a n b a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn n m n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+C．（a3）2＝a5D．a4•a2+（a3）2＝2a62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A．B．C．D．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m＝2，a2n＝3，求a m+2n＝．4．（2022秋•永春县期中）若a m＝2，a n＝3，a p＝5，则a m+n﹣p＝．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为a n．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除➢两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x 的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解整式是指由常数、变量和运算符（加法、减法、乘法）组成的代数表达式。
整式的乘法是代数学中的基本运算之一，而因式分解则是将整式分解为多个因子的过程。
本文将探讨整式的乘法与因式分解，并说明其在数学中的重要性。
一、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘的运算。
在进行整式的乘法时，需要根据乘法法则进行运算。
乘法法则包括分配律、结合律和乘法交换律。
1. 分配律：对于整式a、b、c来说，分配律可以表示为：a * (b + c) = a * b + a * c(a + b) * c = a * c + b * c例如，对于整式2x * (3x + 4)，根据分配律，可以展开为2x * 3x + 2x * 4，即6x^2 + 8x。
2. 结合律：对于整式a、b、c来说，结合律可以表示为：(a * b) * c = a * (b * c)例如，对于整式(2x * 3y) * 4z，根据结合律，可以变为2x * (3y * 4z)，即24xyz。
3. 乘法交换律：对于整式a、b来说，乘法交换律可以表示为：a *b = b * a例如，对于整式2x * 3y，根据乘法交换律，可以变为3y * 2x，即6xy。
通过运用这些乘法法则，我们可以将整式相乘，得到最简形式的结果。
二、因式分解因式分解是将一个整式分解为多个因子的过程。
通过因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，便于进一步的运算和研究。
1. 提取公因式：在进行因式分解时，首先要考虑的是是否存在公因式。
如果整式中存在公因式，可以将其提取出来。
例如，对于整式6x^2 + 9x，可以提取公因式3x，得到3x(2x + 3)。
2. 分解二次三项式：对于二次三项式，可以通过配方法进行因式分解。
例如，对于整式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行分解为(x + 2)(x + 3)。
3. 分解差平方：差平方是指两个数的平方之差。
对于差平方，可以通过公式进行因式分解。
第14章整式的乘除和因式分解-(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；
《因式分解》整式的乘除与因式分解
《因式分解》整式的乘除与因式分解汇报人：日期:CATALOGUE目录•整式的乘除•因式分解的方法•因式分解的应用•因式分解的实践练习•因式分解的注意事项和易错点•因式分解的复习与巩固01整式的乘除单项式乘单项式系数乘法：将两个单项式的系数相乘作为积的系数。
相同字母的幂相乘：把一个单项式的字母因数与另一个单项式的相同字母的幂相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于只在第二个单项式里含有的字母，则连同它的指数也作为积的一个因式：同样地处理其他的单项式。
系数相除将除式的系数与被除式的系数相除作为商的系数。
相同字母的幂相除把被除式的相同字母的幂与除式的相同字母的幂相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
单项式除以单项式•按整式乘法法则进行计算：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘多项式•顺序：先乘方，再乘除，然后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行。
整式的混合运算02因式分解的方法总结词提公因式法是因式分解中最基本的方法之一，其核心是将多项式中的公因式提取出来，形成新的多项式。
详细描述提公因式法适用于有公因式的多项式。
通过将多项式中的公因式提取出来，放在多项式的最前面，然后除以公因式得到新的多项式。
这个方法可以简化多项式的计算和化简过程。
提公因式法公式法是因式分解中比较常用的方法之一，其核心是利用已知的公式或定理来进行因式分解。
总结词公式法适用于一些特定的多项式。
这些多项式往往有对应的公式或定理可以利用来进行因式分解。
通过将多项式代入公式或定理中，可以得到新的多项式，从而简化计算和化简过程。
详细描述公式法十字相乘法总结词十字相乘法是一种特殊的因式分解方法，其核心是将二次项和常数项分别用交叉相乘的方式进行因式分解。
详细描述十字相乘法适用于一些特定的二次多项式。
整式及因式分解-概述说明以及解释
整式及因式分解-概述说明以及解释1.引言概述部分内容可以包括整式及因式分解的基本概念和意义，以及本文将要介绍的内容和目的。
【1.1 概述】整式及因式分解是代数学中重要的概念和方法。
整式是由常数和变量以及它们的乘积与幂次相加相减而成的代数表达式，它在代数运算中扮演着重要的角色。
因式分解则是将一个整式分解为若干个较简单的整式乘积的过程，它不仅有助于我们理解整式的结构，还能帮助我们解决复杂的问题。
整式与因式分解在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，整式是多项式的基本组成单位，而多项式又是方程求解和函数分析的基础。
因此，掌握整式及其性质对于深入学习代数学是至关重要的。
因式分解是一种重要的代数操作，它能够将一个复杂的整式转化为简单的因子形式。
这种分解不仅有助于我们对整式的理解，还能够简化计算和求解过程。
此外，因式分解还在数论、概率论、微积分等领域有着广泛的应用，例如在因式分解多项式方程、求解方程组、计算极限值等问题中。
本文将分为引言、正文、因式分解和结论四个部分来介绍整式及因式分解。
在引言部分，我们将对整式及因式分解的概念和意义进行阐述。
接着，在正文部分，我们将详细介绍整式的定义和性质，以及整式的运算规则、化简和展开方法。
然后，我们将专门介绍因式分解的概念、方法和步骤，并探讨因式分解在实际问题中的应用。
最后，在结论部分，我们将总结整式与因式分解的重要性和应用，并展望它们未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够全面了解整式及因式分解的基本概念和运算规则，掌握整式的化简和展开方法，以及掌握因式分解的方法和应用。
同时，读者也将意识到整式及因式分解在数学中的重要性，并能够将它们应用于解决实际问题中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述整个文章的组成部分，以及每个部分的主题和目标。
具体内容可以参考以下示例：文章结构：本文将分为四个主要部分：引言、正文、因式分解和结论。
下面对每个部分的主题和目标进行介绍。
1. 引言：1.1 概述：在本节中，我们将简要介绍整式及因式分解的概念和重要性。
整式运算和因式分解的联系
整式运算和因式分解的联系
整式运算和因式分解是代数学中的重要内容，它们之间有着密切的联系。
整式运算是指对代数式进行加减乘除等运算，而因式分解则是将一个代数式分解成若干个不可再分解的乘积的形式。
虽然整式运算和因式分解是两个不同的概念，但它们之间存在着内在的联系，下面我们就来探讨一下它们之间的联系。
首先，整式运算是因式分解的基础。
在进行整式运算时，我们经常需要对代数式进行因式分解，以简化计算过程。
例如，当我们进行多项式的乘法运算时，可以先将每个多项式进行因式分解，然后再进行乘法运算，这样可以大大简化计算的复杂度。
因此，整式运算和因式分解是密不可分的。
其次，因式分解可以帮助我们更好地理解整式运算的性质。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式化简为几个简单的因子相乘，从而更清晰地看出代数式的结构和性质。
这有助于我们在整式运算中把握规律，更加灵活地运用代数知识解决问题。
另外，整式运算和因式分解在解决实际问题时常常相辅相成。
在实际问题中，我们经常需要建立代数模型来描述问题，并通过整式运算和因式分解来求解。
例如，在物理学中，通过对运动方程进行整式运算和因式分解，可以得到关于速度、加速度等物理量之间的关系，进而更好地理解物体的运动规律。
总之，整式运算和因式分解是代数学中不可或缺的重要内容，它们之间有着紧密的联系。
整式运算是因式分解的基础，因式分解可以帮助我们更好地理解整式运算的性质，并且在解决实际问题时常常需要应用它们。
因此，对于学习代数学的同学来说，深入理解整式运算和因式分解的联系，将有助于提高代数学的应用能力和解决问题的能力。
整式的运算与因式分解
整式的运算与因式分解1. 概述整式是数学中的一种常见形式，由数字、字母和运算符号组成。
本文将介绍整式的运算和因式分解两个主题。
2. 整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们逐个介绍每种运算。
2.1 加法整式的加法就是把相同变量的项进行合并，例如：2x² + 3x + 5 + 4x² - 2x - 3合并同类项结果为：(2x² + 4x²) + (3x - 2x) + (5 - 3)6x² + x + 22.2 减法整式的减法与加法类似，合并同类项后进行相减，例如：(3x² + 2x - 7) - (x² - 4x + 2)合并同类项结果为：(3x² - x²) + (2x + 4x) + (-7 - 2)2x² + 6x - 92.3 乘法整式的乘法是将每个项相乘，并合并同类项，例如：(2x + 3)(x - 4)展开并合并同类项结果为：2x² - 8x + 3x - 122x² - 5x - 122.4 除法整式的除法是指定一个整式为除数，将被除数做整除运算得到商和余数。
例如：(2x³ - 5x² + 3) ÷ (x - 2)使用长除法进行计算，得到商为2x² - x + 1，余数为5。
3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式写成多个因式相乘的形式。
下面我们介绍几种常见的因式分解方法。
3.1 公因式提取法对于给定的整式，如果每一项都有相同的因子，那么可以先提取出公因式，例如：6x² + 9x这里的公因式是3x，提取后得到：3x(2x + 3)3.2 完全平方公式对于一个二次整式（二项式的平方），可以使用完全平方公式进行因式分解，例如：x² + 4x + 4这里的完全平方是(x + 2)²，因此可以写成：(x + 2)²3.3 平方差公式平方差公式可以将一个差的平方整式进行因式分解，例如：x² - 4这里可以使用差的平方公式：(x + 2)(x - 2)4. 示例与应用现在我们通过一些示例来展示整式的运算和因式分解的应用。
数学中的整式运算与因式分解
数学中的整式运算与因式分解数学是一门抽象而又深奥的学科，其中数学中的整式运算与因式分解是数学中的重要概念和技巧。
整式运算是指对多项式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，而因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
本文将探讨整式运算与因式分解的基本概念、方法和应用。
一、整式运算整式是由常数和变量按照加法和乘法运算组成的代数式。
整式运算是对整式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
其中，加法和减法是直接对整式的系数进行运算，乘法是对整式的各项进行相乘，并将同类项合并，而除法是对整式进行因式分解后的运算。
我们以一个简单的例子来说明整式运算的基本方法。
假设有两个整式：$3x^2+ 2x + 1$和$2x^2 - 3x + 4$。
首先进行加法运算，将两个整式的同类项相加，得到$5x^2 - x + 5$。
然后进行减法运算，将第一个整式减去第二个整式的每一项，得到$x^2 + 5x - 3$。
接下来进行乘法运算，将两个整式的每一项相乘，并将同类项合并，得到$6x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 9x + 4$。
最后进行除法运算，将第一个整式除以第二个整式，得到商式和余式。
整式运算在代数中有着广泛的应用，尤其在方程的求解和函数的分析中起着重要的作用。
通过整式运算，我们可以对复杂的代数式进行简化和转化，从而更好地理解和解决数学问题。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
因式分解的目的是将一个复杂的多项式化简为简单的乘积形式，从而更好地理解和运用。
因式分解的方法有很多种，常见的有公因式提取法、配方法、分组分解法等。
我们以一个例子来说明因式分解的基本方法。
假设有一个多项式$2x^2 + 5x + 3$，我们可以使用配方法进行因式分解。
首先将多项式的第一项和最后一项相乘，得到$2x^2 \cdot 3 = 6x^2$。
然后找到一个数，使得它的平方等于$6x^2$，即$6x^2 =(2x)^2$，所以我们可以将多项式分解为$(2x + 1)(x + 3)$。
第2讲 整式及因式分解(精练)(解析版)
第2讲整式及因式分解(精练)(解析版)A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1.(2022•山东枣庄•中考真题)下列运算正确的是()A. 3屋一次=3 B. a3-ra2=a C. ( - 3ab2) 2= - 6a2h4 D. (a+h) 2=a2+ab+b2【答案】B【详解】A、3/-。
2=2〃2,故A错误，不符合题意；B、a3-ra2=ch故B正确，符合题意；C、( - 3ab2) 2 = 9612b4,故c错误，不符合题意；D、(6f+Z?) 2 = a2+2ah+h29故D不正确，不符合题意；故选：B.2.(2022•江苏泰州,中考真题)下列计算正确的是()A. 3ab + 2ab = 5ab B. 5y2 -2y2 = 3C. 7a + a = 7。
2D. /rTn — Imn2 = —mn2【答案】A【详解】解：A、3ab+lab - 5ab,故选项正确，符合题意；B、5/-2/=3/,故选项错误，不符合题意；C、Ja + a = Sa,故选项错误，不符合题意；D、和22不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A.3.(2022•广西河池・中考真题)多项式/一以+ 4因式分解的结果是()A. x (% - 4) +4 B. (x+2) (x- 2) C. (x+2) 2D. (%- 2) 2【答案】D【详解】解：d-4x+4 = (%-2)2.故选：D.4.(2022・湖南永州•中考真题)下列因式分解正确的是()A. 6+冲= i(x+y) + lB. 3Q +3Z?=3(Q+Z7)C. Q?+4Q +4=S+4『D. a2 -^b = a(a+b)【答案】B【详解】解：A、ax+ay=a(x+y),故选项计算错误;B、3a+3b=3(a+b)9选项计算正确;C> (a+b)2=a2^2ab+b2,故原选项错误；D、由A项解答可得a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故原选项正确；故选D.2.(2022,江苏・顾山中学九年级阶段练习)直角三角形两直角边是方程％2一8%+ 14 = 0的两根，则它的斜边为()A. 8B. 7C. 6D. 2、/7【答案】C【详解】解：设直角三角形的斜边为J两直角边分别为〃与b,・・・直角三角形两直角边是方程8x + 14 = 0的两根，:,a + b = S,勿? = 14,根据勾股定理可得：=/+/=(〃 +与2—2^ = 64-28 = 36,• • c = 6 ♦故选：C.3.(2022・全国•七年级课时练习)若4 = /—2xy, 3 = J孙+ /，则A-23为()A. 3x2-2y2 -5xy^B. x2-2y2 -3xyC. —5xy — 2 y ~D . 3x~ + 2y~【答案】B【详解】解：A = £-2盯，8 = J孙+ y2,A — 2B = x~-2xy _ 2 _xy+y~] = x2 _2xy _ xy _ 2^~ =—2y——3xy ,故选：B.4.(2022 ・全国•八年级课时练习)对于多项式(1) d-y2；(2)-x2-y2； (3) 4x2-y ； (4)—4 + d中，能用平方差公式分解的是()A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4)D. (2) (4)【答案】C【详解】解：・・・平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，(1)—— y2两平方项符号相反，可以利用平方差公式；(2)-%2 - ,两平方项符号相同，不能运用平方差公式；(3)4/—y虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；(4)-4 + X2,两平方项符号相反，可以利用平方差公式.所以(1) (4)能用平方差公式分解.故选：C.5.(2022•辽宁•沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)八年级期中)小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：％-V, a—b, c , /_)/,《J工+了，分别对应下列六个字：抗，胜，必、，利，我，疫.现将y2户阳/_力因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.抗疫胜利B.抗疫必胜C.我必胜利D.我必抗疫【答案】B【详解】解：原式=(/一》2)(女—秘) = C(Q_〃)(X+・・・x-y, a-b,c, /_y2, 0 ,x+y,分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫. 对应抗，x+y对应疫，。
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
整式与因式分解
整式与因式分解—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a 的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m = ．【答案】14【解析】由3x m+5y 2与x 3y n 的和是单项式得3x m+5y 2与x 3y n 是同类项，∴532m n +=⎧⎨=⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩ ， n m =2-2=14 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A 、-3B 、-1C 、D 、3【答案】由题意单项式是同类项， 所以，解得 ，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A.B.a 2·a 3=a 6C.(-3a 2)3=-9a 6D.a 5+a 3=a 8【答案】A ；【解析】选项B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2·a 3=a 5，所以B 错；选项C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a 6，所以C 错；选项D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D 错；选项A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A.2-3 =18；2= ；C.235a a a = 正确 ；D.325a a a +=. 故选C.【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6) A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x 2﹣81（2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）（4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．⋅=-22212x x【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x 2﹣9）=9（x+3）（x ﹣3）；（2）原式=（x 2+y 2+2xy ）（x 2+y 2﹣2xy ）=（x+y ）2（x ﹣y ）2；（3）原式=3（a ﹣b ）（x+2y ）；（4）原式=﹣n （9m 2+n 2﹣6mn ）=﹣n （3m ﹣n ）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2写成b 2+b 2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0a 2+b 2+ b 2+c 2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC 是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．整式与因式分解—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列计算中错误的是( )A.()2532242a b c a bc ab ÷-=B.()()2322243216a b a b a ab -÷-=C.214)21(4222-=÷-⋅y x y y x D.3658410221)()(a a a a a a =÷÷÷÷ 2. 已知537x y 与一个多项式之积是736555289821x y x y x y +-，则这个多项式是( )A. 2243x y -B.2243x y xy -C.2224314x y xy -+D.223437x y xy -+ 3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．（2015•佛山）若（x+2）（x ﹣1）=x 2+mx+n ，则m+n=（ ）A ．1B ．﹣2C ．﹣1D ．25. 如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（ ）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二、填空题7．已知2220x +=，则2x 的值为 ．8．(1)已知10m ＝3，10n ＝2，210m n -__________．(2)已知23m ＝6，9n ＝8，643m n -___________．9．分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=_________________．10．（2015秋•乌海校级期中）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）．①（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ②（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2③a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） ④（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2．11．多项式可分解为()()5x x b --，则a ,b 的值分别为_________.12.分解因式：＝__ ______.三、解答题13．将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++； （3）22616x xy y --； （4）.14.（2015春•故城县期末）（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）当x=﹣5时，代数式x 2﹣2x+2 1；当x=1时，代数式x 2﹣2x+2 1；…（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30的最小值．15. 已知 21x x =+，求下列代数式的值：(1)553x x -+； (2)221x x+.16.若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状. 小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=.即()()220a b b c -+-=321a a a +--∵()()220,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）A ．61，63B ．63，65C ．61，65D ．63，672.乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．23D ．1120 3．（2015•十堰模拟）已知x 2﹣x ﹣1=0，则x 3﹣2x+1的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣1D ．﹣24．93191993+的个位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．85．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A.0c ≥B. 9c ≥C. 0c >D. 9c >6．如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ．2cm 2B ． 2acm 2C ． 4acm 2D ． （a 2﹣1）cm 2二、填空题7． 已知999999=P ，909911=Q ，那么P ，Q 的大小关系是 ． 8．已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ． 9．若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.10. （1）如果1ab =，那()()22_________n n n n a b a b --+=.（2）已知200080,200025==y x ，则=+yx 11 . 11．对于任意的正整数n ，能整除代数式()()()()313133n n n n +---+的最小正整数是_______.12.（2015秋•巴中期中）图1可以用来解释：（2a ）2=4a 2，则图2可以用来解释： ．三、解答题13.（2014秋•静宁县校级期中）若关于x 的多项式﹣5x 3+（2m ﹣1）x 2+（3n ﹣2）x ﹣1不含二次项和一次项，求m ，n 的值．14．将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .15. 若二次三项式()232350kx x k +-≠能被 27x +整除，试求k 的值．16.已知：()26,90,a b ab c a -=+-+=求a b c ++的值.整式与因式分解—巩固练习（基础解析）一、选择题1.【答案】D ；【解析】10485631()()22a a a a a a -÷÷÷÷=. 2.【答案】C ；【解析】这个多项式为()7365555322228982174314x y x y x y x y x y xy +-÷=-+.3.【答案】D ；【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C ；【解析】∵原式=x 2+x ﹣2=x 2+mx+n ，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C ． 5.【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6.【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二、填空题7．【答案】5；【解析】由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．8．【答案】(1)29；(2)827； 【解析】（1）()2291010102m n m n -=÷=；（2）()()332642262733988m n m n -=÷==. 9．【答案】()22661x x -+；【解析】原式()()()()26112131x x x x x =----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222671651x x x x x =-+-++令2671x x u -+=，()22222u u x x u ux x ++=++()()222661u x x x =+=-+. 10．【答案】 ③；【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a 2﹣b 2，图乙中阴影部分的面积=（a+b ）（a ﹣b ）， 而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故可以验证③．故答案为：③．11．【答案】10,2a b =-=-；【解析】()()()2555x x b x b x b --=-++，所以53,2b b +==-，5,10a b a ==-.12.【答案】()()211a a +-；【解析】()()()()221111a a a a a =+-+=+-.三、解答题13.【答案与解析】（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+14.【答案与解析】解：（1）把x=﹣5代入x 2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；把x=1代入x 2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，故答案为：＞，=；（2）∵x 2﹣2x+2=x 2﹣2x+1+1=（x ﹣1）2+1，X 为任何实数时，（x ﹣1）2≥0，∴（x ﹣1）2+1≥1；321a a a +--（3）a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30=（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+5．∵（a ﹣3）2≥0，（b ﹣4）2≥0，∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+5≥5，∴代数式a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30的最小值是5．15.【答案与解析】（1）()()()2523343111x x x x x x x x x x =⋅=+⋅=+=+++()2231213153x x x x x =++=+++=+∴55353536x x x x -+=+-+=. （2）已知两边同除以x ，得111,1x x x x=+-=即 ∴22211()21x x x x-=+-= ∴2213x x+=.16.【答案与解析】∵2222222220a b c ab bc ac ++---=∴()()()2222222220a ab b b bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-= ∴000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴a b c ==，该三角形是等边三角形.整式与因式分解—巩固练习（提高解析）1.【答案】B ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯2.【答案】D ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (223344991010)1111121020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 3.【答案】B ；【解析】∵x 2+x ﹣1=0，∴x 2+x=1，∴x 3﹣2x+1=x （x 2﹣x ）+x 2﹣2x+1=x+x 2﹣2x+1=（x 2﹣x ）+1=1+1=2．故选：B ． 4.【答案】C ；【解析】93191993+的个位数字等于931993+的个位数字．∵93246469(9)9819=⋅=⋅;1944343(3)3(81)27=⋅=⋅．∴931993+的个位数字等于9＋7的个位数字．则 93191993+的个位数字是6． 5.【答案】B ；【解析】()()22639x x c x c -+=-+-，由题意得，90c -≥，所以9c ≥.6.【答案】C ；二、填空题7．【答案】P ＝Q ；【解析】∵999990991199P Q ÷=÷()9909999990999911991191191911⨯=⨯⨯⨯==⨯∴ P ＝Q.8．【答案】－5；【解析】原式()()()()23223232m m m m a b a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.9．【答案】200； 【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=.10.【答案】（1）－4；（2）1；【解析】（1）原式()()()22n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b =-++---=⋅-()444n n n a b ab =-=-=-.（2）∵252000,802000,20002580x y ===⨯ ∴()()2525200025802580252000y y x xy y y y y ===⨯=⨯=⨯；252525200025x y x y y +⋅==⨯∴2525xy x y +=；∴xy x y =+，111x y x y xy++==. 11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10()21n -，故能被10整除.12.【答案】（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；【解析】如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b ）的正方形，面积为：（a+b ）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的， 面积为：a 2+2ab+b 2；∴a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．故答案为：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2三、解答题13.【答案与解析】解：∵多项式﹣5x 3+（2m ﹣1）x 2+（3n ﹣2）x ﹣1不含二次项和一次项，∴2m﹣1=0，3n ﹣2=0，解得m=，n=，∴m=，n=．14.【答案与解析】（1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--；（4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.15.【答案与解析】 因为()232352752k kx x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭所以710322k -=，解得12k =.16.【答案与解析】∵6,a b -=∴6a b =+∵()290,ab c a +-+=∴()()2690,b b c a ++-+=∴()()2230,b c a ++-=∴3,b c a =-=∴()363,3a c =-+==∴()3333a b c ++=+-+=.。
代数式、整式的运算、因式分解、分式 常用知识点
第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
初三中考数学复习-整式及因式分解
A．2
B．3
C．4
D．6
9．把多项式 ax3-2ax2+ax 分解因式，结果正确的是
A．ax（x2-2x）
B．ax2（x-2）
C．ax（x+1）（x-1）
D．ax（x-1）2
10．若 a2 kab 9b2 是完全平方式，则常数 k 的值为
A．±6 C．±2
B．12 D．6
11．若有理数 a，b 满足 a2 b2 5 ， (a b)2 9 ，则 4ab 的值为
多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变
化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
典例 6 已知 a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为
A．2
B．﹣2
C．8
D．﹣8
11．一个长方形的周长为 6a 8b ，相邻的两边中一边长为 2a 3b ，则另一边长为
的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数
是否相同．
单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是 0.
典例 2 下列说法中正确的是
A． xy2 的系数是－5 5
B．单项式 x 的系数为 1，次数为 0
D． 35x3 y2 5x2 y 7xy
12．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中 a=2．
考向六 因式分解
因式分解的概念与方法步骤 ①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形 式． ②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法. ③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解 必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如 果没有两数乘积的 2 倍还不能分解． 一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平 方公式.
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开头，应该在简单介绍整式与因式分解、分式等概念的基础上，概括地介绍本章节的内容安排和目的。
以下是对概述部分的内容编写建议：在《整式与因式分解》、《分式》章节中，我们将深入探讨与代数相关的两个重要概念：整式与因式分解、分式。
这些概念不仅在数学上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛的应用。
在第一部分，我们首先回顾了整式的定义和特点。
整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除和乘方）组成的代数表达式。
我们将深入理解整式的基本性质，探讨如何进行整式的简化、展开和因式分解，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
接下来，我们将进入第二部分，即因式分解的概念和方法。
因式分解是将一个多或高次整式拆分成可以约简的乘积形式的过程。
我们将学习并探索常见的因式分解方法，如提公因式法、配方法、分组分解法等，以及它们在实际问题中的应用。
通过因式分解，我们可以更有效地处理复杂的代数表达式，简化计算过程，精确地得出结果。
然后，我们将进一步深入研究分式的定义和性质。
分式是由整式构成的比值，形如a/b，其中a和b分别为整式。
我们将学习如何简化和等价分式，并研究分式的基本运算法则，包括加减乘除、约分等操作。
此外，我们还将探索分式在实际问题中的应用，如分数方程、比例问题等，以培养我们在解决实际问题时的分析思维和解决能力。
最后，我们将在结论部分总结整式与因式分解以及分式的重要性。
整式与因式分解是代数学习的重要基础，对于我们理解高阶代数概念和解决实际问题具有重要意义。
分式，作为整式的扩展，为我们处理更加复杂和抽象的代数问题提供了更灵活的工具和方法。
通过本章的学习，我们将具备扎实的整式与因式分解、分式的理论基础，并能够熟练运用相关概念和方法解决实际问题。
希望读者能够通过阅读本章的内容，深入理解整式与因式分解以及分式的本质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
数学整式及因式分解知识点
数学整式及因式分解知识点整式是数学中一种重要的表达式形式，它是由数字、变量和运算符组成的代数式。
因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式，可以帮助我们简化和研究代数式。
在这篇文章中，我们将逐步介绍数学整式及因式分解的知识点。
一、整式的定义整式是由数字、变量和运算符（如加法、减法、乘法和乘方）组成的代数式。
它可以包含多项式和单项式。
多项式是由多个项组成的整式，而单项式只包含一个项。
例如，下面是一些整式的例子： 1. 2x + 3y - 4 2. 5x^2 - 2xy + 7y^2 3. 3a^3 -2b^2 + 5c - 1在整式中，字母代表变量，可以是任何实数。
二、整式的运算整式可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法和乘方。
我们可以通过对整式中的项进行相应的运算来求得整式的结果。
1.加法和减法：整式的加法和减法可以通过对相同字母的系数进行相应运算来实现。
例如，对于整式2x + 3y - 4和5x - 2y + 7，可以将相同字母的系数相加或相减得到结果。
2.乘法：整式的乘法可以通过分配律来实现。
例如，对于整式(x + 2)(x- 3)，可以将每个项分别与另一个整式的每个项相乘，然后将结果相加得到最终的整式。
3.乘方：整式的乘方是将整式自身乘以自身的一种操作。
例如，对于整式(x + 2)2，可以将整式展开并进行相应的运算，得到结果x2 + 4x + 4。
三、因式分解的定义因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式。
它可以帮助我们简化整式并研究代数式的性质。
通过因式分解，我们可以将复杂的整式转化为简单的乘积。
例如，整式2x^2 + 4x可以通过因式分解为2x(x + 2)，其中2x是公因子，而(x + 2)是因子。
四、因式分解的步骤下面是进行因式分解的一般步骤：1.将整式进行分组：将整式中的项按照一定规则进行分组，通常是将相同字母的项放在一起。
2.提取公因子：在每个组中，提取出公因子，将其移到括号外面。
整式与因式分解
一．整式与因式分解1.整式（1）定义：单项式与多项式统称为整式（2）分类①单项式数与字母的乘积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
其中单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
②多项式几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
（3）运算①加减实质：合并同类项即所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项（所有的常数项都是同类项）。
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
②乘除单项式的乘除：将每个单项式的系数相乘作为系数，将相同字母的指数相加，依次写在系数后。
多项式的乘除：运用乘法分配律去括号，将所得的结果利用单项式的乘除及同类项的加减化简即可。
2.因式分解（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
（2）常见方法①提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式（多项式各项都含有的相同因式），那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的模式。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
②公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
常见公式： 中考真题（2016•常德）若a y x 3-与y x b 是同类项，则a+b 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．【解答】解：∵a y x 3-与y x b 是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C（2016•滨州）把多项式2x +ax+b 分解因式，得（x+1）（x ﹣3）则a ，b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=﹣2，b=﹣3C ．a=﹣2，b=3D ．a=2，b=﹣3【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【解答】解：∵（x+1）（x ﹣3）=x •x ﹣x •3+1•x ﹣1×3=x2﹣3x+x ﹣3=x2﹣2x ﹣3 ∴x2+ax+b=x2﹣2x ﹣3∴a=﹣2，b=﹣3．故选：B ． 22222)(2ab a ))((a b a b b a b a b ±=+±-+=-；二.分式与分式方程1.定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
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整式 的除
法
乘法 公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商
单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字
项式
母，则连同它的指数作为商的一个因
式
多项式除以单 先把这个多项式的每一项分别除以这
项式
个单项式，然后把所得的商相加
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2__
完全平方公式
(a±b)2＝a_2_±__2a_b_＋__b2
y)，(y－x)2＝(x－y)2。 (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式
和完全平方式及其特点。
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归类探究
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
► 探究四 整式运算与因式分解的应用 命题角度：
1．整式的规律性问题；
2．利用整式验证公式或等式；
3．新定义运算；
4．利用因式分解进行计算与化简；
整 式 的
单项式与多 项式相乘
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb ＋mc
乘
法
多项式与多 项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
考点聚焦
归类探究
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利
用积的乘方运算法则计算得到结果．
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
例 3 [2013·娄底] 先化简，再求值：
(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中
x＝－1，y＝
3 3.
解
原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.
5．利用几何图形验证因式分解公式． 例5 [2013·滨州] 观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …… 请 猜 测 ， 第 n 个 算 式 (n 为 正 整 数 ) 应 表 示 为 __[1_0_(_n_－_1_)_＋_5 [1_0_(_n_－_1_)_＋_5_]_＝__10_0_n_(_n_－__1_)＋__2_5_或_5_(_2_n_－__1_)_×_5_(_2_n_－__1_)＝__1_0_0_n_(n_－. 1)＋25
教材母题 北师大版八下P57例4 把下列各式分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解
(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
整式及因式分解
第3讲┃整式及因式分解
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考点1 整式的概念
内容 定义
整式
单项式
数与字母的___乘__积_____的 代数式叫做单项式，单独 的一个数或一个字母也是
单项式
多项式
几个单项式的 ___和_____叫做多项
式
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
内容
单项式
整式
多项式
一个单项式中，所有字 一个多项式中，次数最
内的项应是“1”，而不是0
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
运用公式法
平方差公 式
完全平方 公式
a2－b2＝_(a_＋__b_)_(_a_－__b_)
a2＋2ab＋b2＝_(_a_＋__b_)_2 _ a2－2ab＋b2＝_(a_－__b_)_2__
因式分解的一般步骤
一提(提取公因式)； 二套(套公式法)；
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第3讲┃整式及因式分解
解 析 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次 分解即可． x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2.
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第3讲┃整式及因式分解
(1)分解因式的步骤：一提(提公因式)、二套(套
公式)、三验(检验是否分解彻底)。 (2)注意一些常见的恒等变形：如y－x＝－(x－
当2＝－(－1)2＋3× 332＝－1＋1＝0.
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归类探究
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充 分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式 以及整体和分类等数学思想。
(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结 构特点，分析是否符合乘法公式的条件。
一直分解到不能分解为止
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中考预测
第3讲┃整式及因式分解
归类探究
探究一 同类项 命题角度： 1．同类项的概念； 2．由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数
的字母的值．
例 1 [2013·凉山州] 如果单项式－xa＋1yb 与12y3x2 是 同类项，那么 a，b 的值分别为( C )
定义
一般地，如果多项式的各项都有公因式，
可以把这个公因式提到括号外面，将多
项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋ mc＝__m__(_a_＋__b＋c)
应用注 意
(1)提公因式时，其公因式应满足：① 系数是各项系数的最大公约数；②字母 取各项相同字母的最低次幂；(2)公因 式可以是数字、字母或多项式；(3)提 取公因式时，若有一项全部提出，括号
＝－(x－2y)2.
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第3讲┃整式及因式分解
点 析 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不 是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公 式分解因式．
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<
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分解因式： (1)x3－6x2＋9x； (2)2x2－4x＋2； (3)a3－a； (4)9ax2－6ax＋a。
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第3讲┃整式及因式分解
► 探究二 整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算； 2．乘法公式．
例2 [2013·泸州] 下列各式计算正确的是( D )
A．(a7)2＝a9
B．a7·a2＝a14
C．2a2＋3a3＝5a5 D．(ab)3＝a3b3
解 析 A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用
注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形； (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式； (3)因式分解与整式乘法互为逆运算．
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第3讲┃整式及因式分解
考点5 因式分解的相关概念及基本方法
公因式
提取公 因式法
定义
一个多项式各项都含有的公共的因式， 叫做这个多项式各项的公因式
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第3讲┃整式及因式分解
解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用， 从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程， 从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学 规律，并用代数式进行描述。
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完全平方公式大变身
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► 探究三 因式分解
命题角度： 1．因式分解的概念； 2．提取公因式法因式分解； 3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方 公式．
例4 [2013·恩施州] 把x2y－2y2x＋y3分解因式正确 的是( C )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
解 1．x(x－3)2 2.2(x－1)2 3．a(a＋1)(a－1) 4.a(3x－1)2
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次数 母的指数和叫做这个单 高项的次数，叫做这个
项式的次数
多项式的次数
系数
单项式中的数字因数叫 做单项式的系数
项
多项式中每个单项式叫 做多项式的项
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第3讲┃整式及因式分解
单项式与单 项式相乘
把它们的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式
常用恒等变换
(1)a2＋b2＝_(a_＋__b_)_2_－__2_a_b_＝
_(a_－__b_)_2_＋__2_a_b_
(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
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考点4 因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化为几个整__式__的__积__的形式， 像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解．
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第3讲┃整式及因式分解
解 析 根据数字变化规律得出个位是5的数字与本身乘积 等于十位数乘十位数字加1再乘100再加25，即[10(n－1)＋ 5]×[10(n－1)＋5]＝100n(n－1)＋25或5(2n－1)×5(2n－1)＝ 100n(n－1)＋25.
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