用放缩法证明不等式word版本
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
放缩法证明不等式
不等式的证明本文主要介绍用放缩法证明不等式的技巧。
一、项的添加与删除。
【例1】已知4,≥∈n N n ，求证：2)2)(1(2++>n n n 。
证明：)12)1(1()...1(2121++-++≥+++++=-n n n n C C C C nn n n n n n22324322++>++=n n n n =2)2)(1(++n n 。
[练习1]若N n x ∈>,0且1>n ，求证：nx x n+>+1)1(。
二、利用分数的性质进行放缩。
【例2】若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =c ad db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立【例3】求证：2131211111232222<++++<+-nn证：∵n n n n n111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n ∵111)1(112+-=+>n n n n n ∴1123)111()3121(113121112222+-=+-++-+>++++n n n n 。
【例4】[1992年“三南”高考试题]求证：n n21...31211<++++。
【例5】求证：121212...654321+<-∙∙∙∙n nn 。
【例6】[1998年全国]求证：)(13)2311(...)711)(411)(11(*3N n n n ∈+>-+∙∙+++点评：利用分数的性质进行放缩有以下几种技巧： （Ⅰ）,)1(112-<k k k,)1(112+>k k k 121-+<k k k ；121++>k k k；（Ⅱ）若a 、b 、m R +∈，且a b >，有：①真分数的性质；（越加越大。
放缩法证明数列不等式
似，只不过放缩后的 bn 是可求积的模型，能求积的常见的数列
模型是 bn
cn1 cn
（分式型），累乘后约简为
n i 1
bi
cn1 c1
.
n
（三）形如 a f (n) i
i 1
例6
求证：1 3 5 2n 1 1 (n N)
246
2n 2n 1
1 3 5 2n 1 1
对 1 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 5 7 2 ，
n2
34
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
三种不同“境界”，得到
n k 1
1 k2
的三个“上界”.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
求证：(11)(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1 (n N*)
47
3n 2
课堂小结
本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等 式，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去 积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要， 厚积薄发，“量变引起质变”
例如：我们可以这样总结本节课学到的放缩模型：
23
100
分析 不能直接求和式 S ，须将通项 1 放缩为裂项相消模型后求和. n
思路 为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个
整数之间.
例4 (2012广东理19第(3)问) 求证： 1 1 1
不等式证明放缩法.doc
不等式的证明（放缩法）1．设x 0, y 0 ， A x y , B xx y ，则 A, B 的大小关系是（）1 x y 1 1 yA. A BB. A BC. A BD. A B2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ，1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（）A.MNQB. MQNC. QNMD. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（）A. (1, )B. (1, 4C. [1,4D. (0,1] ) ]1 1 1 3134．设A L ，则 A 与1的大小关系是.210 210 1 210 2 211 15．设S 1 1 1L1，则 S 的整数部分为.2 3 1006．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 .27．设n N1 1 1 1. ，求证：L(2n 1)2 49 258．设n N1 1 1L11 . ，求证：n 1 n 2 2n29．设n N1 1L11. ，求证：42 (2 n)22210．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1)S n(n 1)22 2对所有的正整数n 都成立.简答：1． B 提示：Ax yxyxyB1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． D 提示：由 ab c ，得1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 11 1a b c b a b cc3． B提示：由条件得 a 2ab b 2 a b ，所以 (a b)2a 2 ab b 2a b ，故a b1 . 又 ( a b)2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而3( a b)2 4( a b) ，所以 ab4 ，故 1 a b 4 .334． A<15． 18提示：因为 n 2 时，n n 1 2 n n n 1 ，所以21 2 ，即 2( n 1n ) 1n 1)nn 1 n n n2( n1n故18 12( 1012)11 1L1 1 2( 100 1)1923 100所以所求整数部分为 18.6．解：由已知可知， 0a c,0b c, a ba 2b 2c 2c, ab2，所以23 3 2222 3332 ab 22c 2 )c 3 ab aga bgb c(ab )c ，a b(a b)(ab )c(c2 2所以原不等式得证 .7．提示：由1 4k2 1 1 4k1 (11) ，累加即得 .(2 k 1)2 4k 1 4k 24 k k 18．提示：1n1 1L1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1.2 2n 2n 2n 2n n 1 n22n n n n n9．提示：1 1 1 1) 11，累加即得 .(2 n)2n 2 n(n n 1 n10．提示：k2 k(k 1) k (k 1)2不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
用放缩法证明数列中的不等式 (1)
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
模型
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型： ； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩 为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1时，不等式显然也成立.
例3 (2009珠海二模理20第(2)问) 1 1 1 求S 1 的整数部分. 2 3 100 1 分析 不能直接求和式 S ，须将通项 放缩为裂项相消模型后求和. n
1_不等式证明(放缩法)(1)
yz >x+2+y+2+
z+x2=32(x+y+z)．
例 3、求证： 2
n 1 2
n
1 n
（n
N
）．
【证明一】 2 n 1 2 n
2
n1 n
2 1 ．（有理化）
n n n
【证明二】 2 n 1 2 n 1 2 n(n 1) 1 2n
n
2 n(n 1) 2n 1 4n(n 1) 1 4n 4n2
1 1 1 ． k k2 k 1
【变式训练】求证：1
1 1 2
1
1 23
1
2
1 3
n
2
．
【证明】由
1
1 23 k
1 1 2 2 2
1 2k 1
,
（ k 是大于 2 的自然数）
得1
1 1
2
1
1 2
3
1
2
1 3
n
1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1
1
1 2n
1 1
2
2
1 2n1
2．
3、已知 a, b R 且 a b , a3 b3 a 2 b2 , 求 a b 取值范围．
题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开
其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
放缩法
在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的 时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等 式加强为一个易证的不等式.
即欲证 A>B，我们可以适当的找一个中间 C 作 为媒介，证明 A>C 且 C>B 从而得到 A>B．我们把 这种把 B 放大到 C（或把 A 缩小到 C）的方法称为 放缩法.
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
用放缩法证明不等式(经整理)
用放缩法证明不等式
不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。
不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。
本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。
⒈利用三角形的三边关系
［例1］已知a，b，c是△ABC的三边，求证：
⒉利用函数的单调性
［例2］求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。
⒊利用基本不等式
［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－
⒋利用绝对值不等式
［例4］设=，当时，总有，求证：。
⒌利用不等式和等比数列求和
［例5］求证：。
⒍利用错位相减法求和
［例6］已知a1, a2, a3, ……, a n, ……构成一等差数列，其前n项和为S n＝n2, 设b n＝, 记{b n}的前n项和为T n, (1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 证明：T n<1。
⒎利用裂项法求和
［例7］已知函数在上有定义，且满足
②当时，.
①对任意的
，
证明不等式.
⒏利用二项式定理展开
［例8］已知数列满足(n∈N*),是的前n项的和，并且．（1）求数列的前项的和；
（2）证明：≤．
（3）求证：。
几种常见的放缩法证明不等式的方法文件.doc
For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。
例1. {b n} 满足： 2b1 1, b n 1 b n (n 2) b n 3（1）用数学归纳法证明：b nn（2）Tn1 1 1 1...3 b 3 b 3 b 3 b1 2 3 n，求证：Tn12解：(1) 略(2) b 1 3 b (b n) 2(b 3)n n n n又b n nb b ，1 3 2( 3)n nn N *迭乘得：n 1 n 1b 3 2 (b 3) 2n 1b n 1 1n3 21, n N *1 1 1 1 1 1 1T ...n 2 3 4 n 1 n 12 2 2 2 2 2 2点评：把握“b 3”这一特征对“n2b 1 b (n2)b 3”进行变形，然后去掉n n n一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的, 为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{a } ，n ann( 1)11n，其前n项和为sns 求证： 2n2 2s 解： 2n1 1 1 1 11 ...2 3 4 2n 1 2n令b n12n(2n 1) ，{b n} 的前n项和为T n当n2时，11(11)bn2n(2n2)4n1ns T 2n n 111111111111()()...() 212304344564n1n712104n2点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
b例3.已知函数()(0)f x ax c ax的图象在(1,f(1))处的切线方程为y x1（1）用a表示出b,c（2）若f(x)ln x在[1,)上恒成立，求a的取值范围（3）证明：111n 1...ln(n1)23n2(n1)解：（1）（2）略1（3）由（II）知：当,()ln(1)a时有f x x x2111令)ln(1).a,有f(x)(x x x22x11且当)ln.x1时,(x x2xk111k1k111令)], x,有ln[][(1)(1k k2k k12k k 1111即),1,2,3,,.ln(k1)ln k(k n2k k1将上述n个不等式依次相加得ln(n 1)12(12131n)12(n1),整理得112131nln(n1)n2(n1).点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
(完整word版)高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结,推荐文档
1.均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++-Λ.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.例5 求证例6 例7 例8 }{n a 满足：1a 再如： 例9 设nnn n 3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a 例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++n a a a ii Λ.4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(832(++<n n n.例13 设数列}{na 满足).,2,1(1,211Λ=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15（I 例16 例17 设 例18 设例19 例20 （1例21 （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ. 9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，；21+<k 则411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(122f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 例3 简析 不等式左边123nnn n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。
下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。
3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。
4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
20181207放缩法证明不等式
（2）若 f (x) 在定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（3）设 g(x) f (x) x2 1 ，当a 1 时，
求证：① g(x) 0在其定义域内恒成立；
求证：②
ln 22 ln 32 22 32
ln n2 n2
2n2 n 1
2n 1
。
例4. 证明： x2ex－lnx＞1 .
O
1
x
x 1
x 1
x
≤lnx≤ x ≤ 1
y x
y
2
y＝x－1
y＝lnx
y x1 x
O
1
x
x1 ≤
x 1 x≤lnx≤ x－1
x
2
(0＜x≤1)
6．（本小题满分 14 分）设函数 f (x) ln x x2 ax 。 （1）若 f (x) 在x 1 处取得极值，求a 的值；
O
1
x
方法三：
方法四：
又由
f '(x0)＝0
得：( x02
2 x0 ) ex0
1 x0
0
e x0
1 x02 ( x0
2)
x02 e x0
1 x0 2
f (x)≥ f (x0)＝
x02ex0 ln x0 ＝
1 x0 2 ln x0
构造函数 h(x)＝
1 ln x x2
,
x
放缩法证明不等式
放缩的方法
1。运用基本不等式和常见结论进行放缩 2。运用切线方程进行放缩 3。运用题目给出的不等式进行放缩。 4。运用参数范围进行放缩
切线放缩原理及常见的切线放缩
放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式放缩法是不等式证明中一种常用的方法，但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
常用的放缩技巧还有：ab （1）若（2）（3）若则（4）（5）（6）或（7）等.例1 （海南理11）若求证：证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以练习1.求证： 2. 求证：例2 （贵州省理21）若求证：证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。
练习3.已知求证：练习4.已知,求证：分析由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。
例3 证明分析左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。
注：放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。
常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。
证明总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。
但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。
练习5.求证：分析左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。
由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。
练习6.已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：练习7.求证：练习8. 求证：练习9. 求证练习10.已知,a b R∈，求证：|||||| 1||1||1|| a b a ba b a b+≤+++++1.证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以2.证明：（因为）［又因为（放大）］，所以所以3.证明：因为4.证明设且。
对任意，有将上述各式叠加：6.不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。
7.因为又所以原不等式成立。
【优质文档】026不等式证明方法-放缩法
例 2、（ 1）化简： 1 1
1
2 2 3 34
1
(n
；（2）求证： 1)n
1
1 12
1 22
1 32
④利用基本不等式，如： lg3 lg5 (
)2
⑤利用函数的单调性 ,
lg4 ；
⑥利用函数的有界性：如： sin x ≤ 1 x R ；
⑦绝对值不等式： a b ≤ a b ≤ a b ；
⑧利用常用结论：如： 1
由题目分析、多次尝试得出 , 要注意放缩的适度 . 常用的方法有：①添加或舍去一些项，如： a2 1 a ， n(n 1) n，
②将分子或分母放大（或缩小）如：
1
1
1
n(n 1) n2 n( n 1)
③应用“糖水不等式” ：“若 0 a b， m 0 ，则 a a m b b b m,a
b m” am
11
1
(2)求证： 2 n 1 n 2
1 1(n N)
2n
教学过程 :
一、引入 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进
行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩 之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想 正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
n2
三、教学小结
4、若正数 a,b,c 满足 a+b>c 求证 : a
b
c
1a1b 1c
课后练习：
c
a
b
2.
1、已知 a、b、c 分别是一个三角形的三边之长，求证： a b b c c a
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利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =L 。
设2n n nT S =，1,2,3,n =L ，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++L L11121221n n n =+-+++10(21)(22)n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥L ，又11217,1,212T S T ===， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711(1)(1)112212n n T T S n +≥-++=-++=即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。
用于解决积式问题。
例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。
若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>L 证明： 32n c n =-，331313133131(1+)()323231332n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以3121114731[(1)(1+)(1+)]311432n n n c c c n ++⋅⋅>⋅⋅⋅=+-L L即12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>L 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。
3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==∈+，证明：1112||()65n n n x x -+-≤⋅。
证明：当1n =时，1211||||6n n x x x x +-=-=，结论成立。
当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=>+111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+1111||11||||11(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++211112122212||()||()||()55565n n n n n n x x x x x x ----≤-≤-≤≤-=L点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。
4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111122,(),1n n n n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式；（II ）求证：12231()()()1()2()()()2n n f x f x f x n nn N f x f x f x *+-<+++<∈L ． 略解：（I ） 2nn b =，12n a +=，()21nn f x =-。
证明：（II ）11()21211, 1()2122(2)2n n n n n n f x f x ++--==<--12231()()()()()()2n n f x f x f x n f x f x f x +∴+++<L ． 111()2111()2122(21)n n n n n f x f x +++-==---1111111, 22(22)22n n n +++=->-+- 12231231()()()111111()=(1)()()()22222222n n n n f x f x f x n n n f x f x f x ++-∴+++>-+++-->L L ∴12231()()()12()()()2n n f x f x f x n nf x f x f x +-<+++<L ． 反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。
5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。
二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。
例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<L ． 略解： 223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a （*n N ∈）， 则(21)(21)nn S n =--．nn n n n n n C C C C ++++=-1102ΛΘ，∴当3≥n 时，01122(1)n n nnn n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ． )12)(12(+-≥∴n n S n ，则)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n ΛΛ101)12151(21<+-=n ． 反思：为什么会想到将11(21)(21)n n S n =--放缩成1(21)(21)n n -+？联想到1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++L ，因为要证明110<，而34111n S S S +++L 是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由31137S =⋅放缩后裂项而成，311111()35235S <=-⋅，111(21)(21)(21)(21)nn S n n n =≤---+111()22121n n =--+，此时刚好得到341111111()252110n S S S n +++≤-<+L ，接下来就要处理1212+≥-n n ，想到用二项式定理。
（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。
例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有0,n n a S >=.(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n nn n n a a a +-≥+。
略解：（I ）（II ）121,2a a ==，n a n =；证明（III ）012233(1),n n n n n x C C x C x C x +=++++L 012233(1),n n n n n x C C x C x C x -=-+-+L133551(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C x C x nx +--=++≥=L ，令12x n=， 则有11(1)(1)122n n n n+--≥，从而(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-，即21221n n nn n n a a a +-≥+。
点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。