抛物线平移、对称变换

专题一：抛物线平移、对称变换

学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系

2. 利用对称性求点的坐标

知识框架：

【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。

【2】求抛物线2

a≠）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方y ax bx c

=++（0

成顶点式()2

=-+（0

y a x h k

a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。

【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。

【4】求抛物线2

a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样可先将其y ax bx c

=++（0

配方成顶点式()2

=-+（0

y a x h k

a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可。

【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。

【6】求抛物线2

a≠）沿某条坐标轴翻折后的解析式，首先仍应将其y ax bx c

=++（0

配方成顶点式()2

=-+（0

y a x h k

a≠），然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。

真 题 汇 编：

第一部分（选择题）

（2013-2014海淀）二次函数2

2+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( )

A ．2

21y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．

2

21y x =- 【方法总结】

（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线2

2y x =向左平移1个单位长度，再向上平移

3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）．

A ．22(1)3y x =--

B ．22(1)3y x =++

C ．22(1)3y x =-+

D ．22(1)3y x =+-

【方法总结】

（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x

B ． 224=-+y x

C ．224=-y x

D ． 22=-y x

【方法总结】

（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）

A.y ＝－2x 2－3

B.

y ＝2x 2-3 C. y ＝2x 2＋3 D. y ＝－2x 2+3

【方法总结】

（2015-2016北京三帆中学）二次函数2

3+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为

A ．2

31y x =-- B ．2

3y x =

C ．2

31y x =+

D ．2

31y x =-

【方法总结】

丰台区2017-2018如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

2

1x y =抛物线x x y 22

12

-=

( )

A ．2 B. 4 C. 8 D. 16

【方法总结】

第二部分（填空题）

海淀区2017-20182

2y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，

求平移后的抛物线的表达式．

【方法总结】

（2013-2014海淀）已知点P （-1，m ）在二次函数2

1y x =-的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .

【方法总结】

（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像2

2x y -=经过平移得到抛物线图像

5422---=x x y ，平移方法是______

【方法总结】

朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-

9

x 2

通过平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点B （6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-

9

x 2

交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ． 【方法总结】

丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的22

1

x y =的图

象，2C 是函数的221

x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影

部分的面积是______

【方法总结】

第三部分（解答题）

（2013-2014东城）二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于

点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛

物线的解析式．

【方法总结】

（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．

【方法总结】