直角三角形的边角关系教案讲义
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
word
第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
- 1 - / 1。
直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3． 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α 4． 计算三角函数值，关键在于_______或______直角三角形．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35=B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空： （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABC|tan 0B =，则∠C =_______． 5. △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B+(2sin A -20=，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形6. 已知∠A为锐角，且cos 2A >，则∠A 的值（ ） A ．小于45° B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30°ACB7. 当45°<∠A <90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>8. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C ，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1 C．12+ D．1+C D BA第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，cosB =sinC 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．2110. 计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒AB C11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠PAB 的值是（ ） A．B．2CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD 34=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格 线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′ 三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26°30′，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）DCBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）BCA67.5°37°图EDCB AC'B'BCA16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD的长．DCBA三、回顾与思考 知识点睛1．斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠，的邻边的对边A A ∠∠．2．越大，越小，越大． 3．4精讲精练1．C2．63．（1）552； （2）38； （3）21． 4．75° 5．D 6．A7．D8．B9．A10．2；35+11．A12．913．214．AD =45；CD =75；AB =120． 15．10.516．7212直角三角形的边角关系（随堂测试）1. 在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且21|sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =1，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是_____________，cos A 的值是_____________．（结果保留根号）D CB AFEDCBA第2题图 第3题图3. 小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，展开后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ） ABC ．2.5 D【参考答案】1．D23．B直角三角形的边角关系（作业）1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论中正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21|sin |cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知β为锐角，且tan 3β<≤β的取值范围是（ ） A ．3060β︒︒≤≤ B ．3060β︒<︒≤ C ．3060β︒<︒≤ D ．30β<︒6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3cos 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若AB =6，BC =2，则cos A =______．9. 在△ABC 中，∠A =120°，若AB =4，AC =2，则sin B =______．10.如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接C D．如果A D=1，那么tan∠BCD=______．EDCBA第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，若∠C=90°，3sin5B=，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．12B．C．10D．513.计算：（1）26tan30602tan45︒︒+︒；（2）cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒；（3）)206011tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭；（4tan60︒．B CADCB A14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若12sin13C=，BC=12，求AD的长．15.如图，在△ABC中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC=52，求AB的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2 yx =点B在反比例函数kyx=的图象上，且OA⊥OB，tan A=（）A．-3 B．-6 C．D．-17.若(-3，1y)，(1，2y)，(2，3y)三点均在反比例函数||2kyx--=则下列结论中正确的是（）A．123y y y>>B．132y y y>>C．312y y y>>D．231y y y>>CBA45°26.6°D CBA【参考答案】1．C 2．A 3．D 4．D 5．C6．B7．28．3229101 11．5512．B13．（1）25； （2）1； （3）7； （4）-1．14．（1）证明略； （2）8． 15．616．B17．B测量类应用题（讲义）一、知识点睛1.正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的___________与____________的比．2.测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于_____________和_____________．①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对比来确定符合题意的结果．二、精讲精练1.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）DFAB CE22°45°2.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数≈1.414，3≈1.732）BCDE60°45°3.如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿A D C B→→→到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B 地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km1.41，sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80）4.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°的方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？PA B东北5.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，参考数据：.24≈2.45）（1）求新传送带AC的长度；（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．6.如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数≈1.4≈1.7≈2.4）D23°60°CB38°A7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min后到达C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长．（精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41）东观测点港口CABD三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．坡比，铅直高度，水平宽度．2．解直角三角形，结果判断．①线段，角度，直角三角形．精讲精练1．（1）教学楼AB的高度为12m；（2）A，E之间的距离为27m．2．这块宣传牌CD的高度为2.7米．3．比原来少走4.9km．4．没有触礁的危险．5．（1）新传送带AC的长度为5.7米；（2）需要挪走，理由略．6．（1）75°；（2）这棵大树折断前的高度为10米．7．13.4km．测量类应用题（随堂测试）1.如图，某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD=40米，B在C北偏东35°的方向上，甲、乙的游泳速度均为2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【参考答案】1．乙先到达B处，理由略．测量类应用题（作业）1.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向上的D求轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）解：由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴______________，∴BC=AB=__________．在__________中，∠CBD=60°，BC=40，______________________，∴CD=BC·sin∠CBD=_______________．因此，当轮船到达D处时，与灯塔C的距离为__________．2. 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处，A 与B 相距150m ，且B 在A 的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处，则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定？3. 三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区，它的主峰海拔约为600米．如图，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中3tan 5α=，5tan 8β=，求发射架BC 的高度．4. 如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（结果精确到0.1≈1.73）45°DCBA30°5.小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米，当吊臂顶端由A′点降落至A点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B′处恰好放到地面上的B处，紧绷着的吊缆AB=A′面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=201sin2A'=．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）6.如图，直线122y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形C D A B，点A在x轴上．若双曲线kyx=（0k<，0x>）经过点B，与直线C D交于点E，EM⊥x轴于点M，则S四边形BEMC=__________．7. 如图所示，R t △A B O 的顶点A 是双曲线1ky x =与直线 2(1)y x k =--+在第二象限内的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO 32=．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是 __________________；（3）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标以及△AOC 的面积．【参考答案】1．解：由题意得∠CAD =30°，∠CBD =60°， ∴∠ACB =30°， ∴BC =AB =20×2=40．在Rt △CBD 中，∠CBD =60°，BC =40，sin CDCBD BC ∠=， ∴CD =BC ·sin ∠CBD=40=． 因此，当轮船到达D 处时，与灯塔C的距离为． 2．不违反有关规定．3．发射架BC 的高度为25米． 4．山AB 的高度为236.5米． 5．（1）6米；（2）(12310-)米．6．277．（1）13y x=-，22y x =-+；（2）10x -<<或3x >；（3）A (-1，3)，C (3，-1)，△AOC 的面积为4．。
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。
正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。
教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。
除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示（难点 D C B A例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD的长为多少？例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
《直角三角形的边角关系》复习教案
直角三角形的边角关系复习一、知识点总结：1、三角函数定义：sinA= cosA= tanA=2、特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= 45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，60°：sin 60°= ， cos 60°= ，tan 60°= ， 3、三角函数公式： ① sin(90°－A)=cosA ； cos(90°－A)=sinA; ② =+A A 22cossin ；4、在直角三角形中，除直角外，一共有5个因素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素（两边或者一边一锐角），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形5. 坡度与坡角的定义： 6、tanA 的值越大，梯子 ；sinA 的值越大，梯子 ；cosA 的值越大，梯子二、巩固练习1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是_ __。
2、已知∠A+∠B=90°,且cosA =1/5，则cosB 的值为____。
3、已知α为锐角，tan （90°－α）α的度数为__ _。
4、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是 _ _。
5、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于______6、如右图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)7、菱形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，则 tanA/2= _____8、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高是_________米（用含α的三角函数表示）．9、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。
《直角三角形的边角关系》单元备课
转化思想 方程模型
在解题时从实际问题中抽象出平面图形.将实际问题的数量关系转化为直角三角形的元素 关系.即实际问题转化为数学问题.这是一个难点。
内容
1 地位作用 2 知识和方法 3 重难点及突破方法 4 教学建议
1.注重问题情境的创设
在引人锐角三角函数时，创设符合学生实际的情境，激发学生的学习兴趣，使学生 感受到数学与现实世界的联系：梯子倾斜程度的情境问题，引出锐角三角函数的概 念。对于这个问题，学生比较熟悉，而且属于开放性问题，直观上又容易判断。在 学习特殊角的三角函数值时，用学生熟悉的三角尺引人情境，使学生较快进人30“ ，45”. 60角的三角函数值问题的探索。
2.4解直角三角形第二课时
经过更深入地理解教材，我认为可以向学生提出一个重要的存在性问题:满足 什么条件的三角形可解?教师引导学生思考归納，先解决了这个问题，才能更 进一步探究第二个问题:满足了适当条件的三角形如何解?即如何把解三角形的 问题化归为解直角三角形的问题。
2.4解直角三角形第二课时 在一般三角形构造直角三角形时，需结合题意将特殊角分别放在所构造的直角三角形 中，同时借助于BC边上的高构造如图所示的叠合式的或背靠式直角三角形，叠合式和 背靠式两种模型实际上是相通的，将叠合式沿着AD翻折过去就是背靠式。
2.1锐角三角函数
在引出锐角三角函数的概念时，可以从数的角度再给于说明，这样可以使学 生从已学知识进行联想，加深对概念的理解，从而提升学生的思维水平。
2.4解直角三角形
本节主要学习解直角三角形，探究六个元素中已知三个元素来确定其 他三个元素的方法，发展推理能力和运算能力；
重难点：1.掌握已知三个元素来确定其他三个元素的方法 2. 应用解直角三角形的知识解决实际问题
初中数学直角三角形边角关系讲义初稿
直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部份 一、大体概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，caA A =∠=斜边的对边sin 。
余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A的余弦，记为A cos ，cbA A =∠=斜边的邻边cos 。
正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。
余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。
二、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。
3、依照正弦、余弦、正切、余切的概念，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。
五、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 别离是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么caA =sin ， c b A =cos ， b a A =tan ， abA =cot 能够变形为A c a sin •=，A c b cos •=，A b a tan •=或A a c sin =，Abc cos =等等，在解题中能够依照条件正确选用。
六、注意：①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的概念都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用概念。
②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 别离表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能明白得为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。
③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里适应省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。
直角三角形 的边角关系(一) 优秀教案
《直角三角形的边角关系复习课》（一）教学设计一. 教学任务与目标1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理解锐角三角函数本质.2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法,为综合数学应用问题的解决提供基础.3、能利用解直角三角形解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力.二.教学重点:利用锐角三角函数解三角形及有关的实际问题.教学难点:把一般三角形问题转化成直角三角形问题.把实际问题转化成解三角形问题.三. 教学设计第一环节：前置学习任务一：知识点整理与回顾如图Rt△ABC中，∠C=90°。
1、直角三角形三边的关系: .2、直角三角形两锐角的关系: .3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数的定义：4、互余两角之间的三角函数关系: sin(900-A)= cos(900-A)=5、同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=AAcossin=6、特殊角300,450,600角的三角函数值.7、锐角三角函数的变化规律：锐角的正弦值或正切值随角度的增大而，锐角的余弦值或余切值随角度的增大而。
8、会识别仰角、俯角、方向角，掌握坡度（坡比）和坡角的定义:==BA cossin==BA sincos==BA cottan54sin =B 00)60(tan2-21-⎪⎭⎫ ⎝⎛图一中的角叫： 图二中的角叫： 。
图三中A 在B 的 方向上， C 在B 的 方向上。
图四中迎水坡坡面是AD,则坡角为 ，坡面AD 的坡度（也叫 ）i= =任务二：基础热身练习1、（类型一：考察定义）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8 ， ，则BC= cosB= .2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆）计算 + +3、（类型三：由特殊函数值求角度）若 ，则∠a = .4、（类型四：锐角三角函数的增减性）若锐角a 满足cosa<22，tana<3，则a 的取值范围是5、（类型四：转化求等角的函数值或利用cosa=sin(900-a ）)如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
直角三角形边角关系(教案)[1]
![直角三角形边角关系(教案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b4a596cb8bd63186bcebbc6a.png)
从梯子的倾斜程度谈起（一）教学目标：知识目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA、cotA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切、余切进行简单的计算.能力目标：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 情感目标：积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.教学重点：理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。
教学难点：能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.教学过程：一．创设情境引入课题[问题]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题二．活动探究引出定义梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的? 从而引出正切、余切的定义教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。
定义在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边定义在在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边判断对错:图1，tanA=BC/AC （）cotA=AC/BC （）图2，tanA=0.7m ( ) cotA=0.7 ( )图 1 图2注意：1.tanA,cotA是一个完整的符号，它表示∠A的正切和余切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA，cotA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”, cotA不表示“cot”乘以“A”4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.5．tanA和cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
直角三角形的边角关系复习教案
西安龙文教育一对一授课案教师：乔柯楠学生：日期：星期：时段：正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角a,，即sin A =c）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角b,cosA，即cos A =c）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做a，tanA，即tan A =b坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度，即坡度等于坡角的正切。
、锐角三角函数关系：sin 59︒的大小关系是（ ）sin 59<︒ B ．tan 46sin 59cos 29︒<︒<︒ cos 29<︒ D ．sin 59cos 29tan 46︒<︒<︒如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两为（ ）B ．αcos 5 C ． αsin 5 D ． αsin 5的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）43cm C ．5cm D ．2cmB60°P Q 2cm5题的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．到航线l 的距离；）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．1.73，sin 760.97°≈，cos 760.24°≈，tan 76 4.01°≈）O MBD 36°北东CD60°教师签字：综合评价本节课解决学生问题：本节课发现学生存在的问题及解决方案：本节课综合评价（对学生的评语）：。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
九年级初三数学直角三角形的边角关系教案
直角三角形的边角关系【知识点一：正切】定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边A A A ∠∠=t a n ；①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大．【重点题型】【例一】如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为 ．【变式练习一】如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是 ．【变式练习二】如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为 ．【例二】如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于 ．【例三】如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD =3：2，则tan B = ．【例四】菱形的两条对角线分别是16和12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.【知识点二：坡度】坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i ，即i =lh，坡度通常写成1：m 的形式坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i =lhαtan = 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度． 2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是_______． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______．4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 _______米．5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_______米．【知识点三：正余弦】正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即斜边的对边A A ∠=sin余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即斜边的邻边A A ∠=cos【例一】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A 的值是 ．【变式练习一】在Rt △ABC 中，若∠C =90°，BC =6，AC =8，则sin A 的值为 ． 【变式练习二】把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值 ． 【例二】如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ．【变式练习一】如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于 ．【例三】在△ABC 中，∠C =90°，BC =4，AB =5，则cos B 的值是 ．【变式练习一】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．【变式练习二】三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cos a 的值是 ．【知识点四：基本概念综合演练】【例四】如图P 是α∠的边OA 上一点，P 的坐标为(3，4)， 则=αsin ．BD CAO11yx【变式练习一】在直角坐标系中，点M （sin50°，－cos70°）所在的象限是 ． 【变式练习二】如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B ，两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．【例五】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，E 为AC 中点．（1）画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2）试说明△ABC 是直角三角形；（3）在△ACD 中，tan ∠CAD = ，四边形ABCD 的面积是．【变式练习一】如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =AD =3，BC =7．求cos ∠C ．【综合演练】1、在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的是（ ） A ．12sin 5A =B ．5cos 13A =C ．5tan 12A =D ．12cos 13B = 2、如果把ABC Rt ∆的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值（ ） A 、不变 B 、扩大n 倍 C 、缩小n 倍D 、不确定3、如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC =5，则tan ∠AFE 的值为 ．4、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）【知识点五：30°，45°，60°角的三角函数值练习】 熟记几个特殊角的三角函数值【基础过关】1. 计算:0012sin 45cos602-=____________.2. 已知tan 3α=，则锐角α的度数为_____；若1cos 302α-=，则锐角α的度数为_____. 3. 已知∠B 是锐角，若1sin22B =，则tan B 的值为_______. 4. 式子1－2sin30°·cos30°的值为_________. 5．cos 260°－sin 260°的值为________．6．cos30°cos301sin30︒⋅+︒=________．7．在△ABC 中，AB =1，AC =2，BC =1，则sin A =______，∠A =______． 8．2(sin601)︒-=__________．9．已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为 ． 10.（1＋sin30°－cos45°）（1＋sin30°＋cos45°）= _______________．11、若A ∠是锐角，2cos 2A =，则A ∠= ． 12、化简：sin 30tan 60sin 60︒-︒=︒．13. 在△ABC 中，∠C =90°，sin A =32，则cos B 的值为( ) A .1 B .32 C .22 D .1214. 若tan a =3，且α为锐角，则cos α等于( )A .12B .22C .32D .3315. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，且tan A =33，则sin B 的值为( )A .32B .22C .12D .3316．在△ABC 中，若｜sin A －1｜＋23(cos )02B -=，则∠C 的度数是（ ） A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°17．α为锐角，且关于x 的方程222sin 10x x α-+=有两个相等的实根，则α=（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．30°或60°18. 在△ABC 中，若213sin tan 023A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则∠C 的度数为( ) A .30° B .60° C .90° D .120° 19. 计算5sin30°+2cos 245°－tan 260°的值是( ) A .2 B .12 C .－12D .1 20．在ABC ∆中，::1:2:1A B C ∠∠∠=，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:1 B ．1:2:1 C ．1:3:2 D ．1:2:3 21．计算221sin 60tan 45()3-︒︒--结果是（ ） A ．94 B ．114 C ． 94- D ．114- 22．等腰三角形的顶角是120︒，底边上的高为30，则三角形的周长是（ ） A ．120303+ B ．120603+ C ．150203+ D ．15033+ 23、计算题：22(tan 45)cos 302cos301︒-︒-︒+ sin 353tan 3012sin 60cos55︒︒--+︒︒21cos45cot 60sin 60cos3022︒-︒+︒︒ 33sin 602cos 458-+；sin 30(1tan 60)tan 45sin 60--- 01)41.12(45tan 32)31(-++---【知识点六：直角三角形边角关系的应用】 【题型一：解直角三角形】 【基础练习】1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sin A =35，则斜边上的高等于（ ） A ．6425B ．4825C ．165D ．1252．如图，在Rt △ABO 中，斜边AB =1．若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则（ ）A ．点B 到AO 的距离为sin54° B ．点B 到AO 的距离为tan36°C ．点A 到OC 的距离为sin36°sin54°D ．点A 到OC 的距离为cos36°sin54° 3．如图，△ABC 中，cos B =22，sin C =35，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．212B ．12C ．14D ．214．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点0，∠AOB =60°，AB =5，则AD 的长是（ ） A ．53B ．52C ．5D ．105．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE =2，则tan ∠DBE 的值（ ）A ．12B ．2C ．52D ．55【提高练习】1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，cos ∠DCA =45， BC =10，则AB 的值是（ ） A ．3B ．6C ．8D ．92．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ） A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm3．如图，已知OA =6，∠AOB =30°，则经过点A 的反比例函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型二：解直角三角形的实际应用】 【基础练习】1．在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为 24米，则旗杆的高度约为（ ） A ．24米B ．20米C ．16米D ．12米2．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（）A．5sin40°B．5cos40°C．D．3．如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A．米B．米C．6•cos52°米D．米4．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为（）A．30米B．60米C．303D．603米5．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（）A．22m B．23m C．32m D．33m6．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）【提高练习】如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒人乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是cm．【题型三：解直角三角形的应用－－－－触礁问题】【基础练习】1．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．103海里/小时B．30海里/小时C．203海里/小时D．303海里/小时2、如图1－l－8，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园? 请通过计算进行说明．3、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上).(1)用含α、β和m的式子表示h；(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h的值.（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）【提高练习】1、如图1－1－29，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量AB之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少?（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）2、某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图l－1－30所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米）3、如图1－l－31，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁．一艘轮船自西向东方向行，在A 处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100千米后，在点B处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向?（参考数据：sin37°≈0．6018，cos37°≈0．7986，tan37°≈0.7536，co t37°≈l．3270， 3 ≈1．7321）4、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼．甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1） 甲船从C 处追赶乙船用了多长时间?（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?5、欲拆除一电线杆AB ，已知电线杆AB 距水平距离14m 的D 处有有大坝，背水坡CD 的坡度1:2=i ，坝高C F 为2m ，在坝顶C 处测地杆顶的仰角为 30，D 、E 之间是宽度位2m 的人行道．试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭? 请说明你的理由（在地面上以B 为圆心，以AB 为半径的图形区域为危险区域，414.12,732.13≈≈）．。
直角三角形的边角关系(教材分析)
AC=10,AB等于多少?sinB呢?
13
B
C
A
二、注重情境创设，强调合作学习
课例：《从梯子的倾斜程度谈起》
A
E
5m
5m
B 2.5m C
F
D
2m
比较梯子的倾斜程度
A
E′
E
4m
3.5m
F′
B
C
1.5m
F 1.3m D
想一想
如图，小明想通过测量B1C1 及A1C1，算出它们的比，来说 明梯子的倾斜程度；而小亮则 认为，通过测量B2C2及AC2， 算出它们的比，也能说明梯子 的倾斜程度．你同意小亮的 看法吗？
2000
A
B
40°
D
C
例2：两座建筑物AB及CD,其地面距离AC为 50.4米，从AB的顶点测得CD的顶部D的仰角 β=25°，测得其底部C的俯角α=50°，求两座 建筑物AB及CD的高．（精确到0.1米）
D
B
E
在直角三角形中应用三角
函数，熟悉边角关系的表
示
A
C
第2课时
例3：如图,小明想测量塔CD的高度．他在A处 仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前 进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有 多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1米）
A
B1 B2 C2 C1
测量
问题1: 在太阳光下,你如何测得学校操场 上旗杆的高度?
B
B′
A
A′
C′ C
问题2: 如果就你一个人,又遇上阴天,那怎 么办呢?
方案: 站在离旗杆BE底部10米处的D点,目测
旗杆的顶部,视线AB与水平线的夹角 ∠BAC=34°,并已知目高AD为1米．现在请 你按1:500的比例将△ABC画在纸上,并记为 △A´B´C´,用刻度直尺量出纸上B´C´的长度， 便可以算出旗杆的实际高度？
三角形的边角关系教案
三角形的边角关系教案教案标题：三角形的边角关系教案目标：1. 了解三角形的基本概念和性质。
2. 掌握三角形的边角关系。
3. 能够应用边角关系解决与三角形相关的问题。
教学重点：1. 三角形的内角和为180度。
2. 三角形的外角与其对应内角之和为180度。
3. 理解三角形的等边、等腰和直角三角形的性质。
教学难点：1. 运用边角关系解决三角形相关问题。
2. 理解等边、等腰和直角三角形的性质。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、实物三角形模型、练习题。
2. 学生准备：课本、笔记本、练习册。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些实际生活中的三角形图片，引起学生的兴趣。
2. 引导学生思考：三角形有哪些特点和性质？二、知识讲解（15分钟）1. 通过PPT展示三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、命名等。
2. 介绍三角形的内角和为180度的性质，并通过几个实例进行演示和解释。
3. 讲解三角形的外角与其对应内角之和为180度的性质，并通过几个实例进行演示和解释。
三、实践操作（20分钟）1. 学生分组进行小组活动，每组分发一些实物三角形模型。
2. 要求学生测量三角形的各个内角，并验证内角和为180度的性质。
3. 学生将测量结果记录在笔记本上，并与其他组进行交流和比较。
四、拓展应用（15分钟）1. 引导学生思考：等边三角形、等腰三角形和直角三角形有什么特点和性质？2. 通过PPT展示等边三角形、等腰三角形和直角三角形的定义和性质，并进行讲解和示例演示。
3. 学生根据所学知识，完成一些与等边三角形、等腰三角形和直角三角形相关的练习题。
五、总结归纳（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结归纳，并强调三角形的边角关系。
2. 学生进行知识点的梳理和复习，解答他们在学习过程中遇到的问题。
六、作业布置（5分钟）1. 布置练习册上与三角形边角关系相关的作业。
2. 鼓励学生在家中进行进一步的练习和复习。
直角三角形的边角关系复习教案
直角三角形的边角关系复习一、教学要求1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA 、cosA 、tgA ，表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数数值说出这个角。
2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。
3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力。
二、知识回放1．锐角三角函数的概念如图，在∆ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)∠A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝(2) ∠A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝(3) ∠A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ， 即tgA ＝2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝12)倒数关系：tgA·tg(90°－A)＝13)商的关系：tgA ＝，(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA ，cos(90°－A)＝sinA3．直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系 ：090=∠+∠B A(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝4．一些特殊角的三角函数值5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律。
(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0≤α≤90° 则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，Ctgα随α的增大而减小。
学习讲义_直角三角形的边角关系(教用)
1-1 直角三角形的边角关系學習引導本章的重点在于学习三角形的边角关系，然后用于解决测量问题。
1-1由直角三角形的边角关系引进正弦、余弦与正切。
1-2将正弦、余弦与正切推广到广义角上；并引进弧度与极坐标的概念。
1-3探讨正弦定理与余弦定理。
1-4探讨正弦、余弦与正切的和、差角公式。
1-5总结上述各章节的概念，进一步应用于解决三角测量的问题。
大考資訊本章所学的正弦定理与余弦定理的概念往往是学测与指考命题的焦点。
學習架構三角正弦、余弦与正切的定义－由直角三角形的边长比定义正弦、余弦与正切 正弦、余弦与正切的关系－商数关系、平方关系、余角关系 正弦、余弦与正切的增减－讨论正弦、余弦与正切随锐角θ的增减作如何的变化 直角三角形的边角关系1-1广义角－介绍广义角、象限角以及同界角广义角的正弦、余弦与正切广义角的正弦、余弦与正切的关系－商数关系、平方关系 弧度极坐标－用距离与有向角表示平面上点的极坐标，并讨论它与直角坐标的关系广义角与极坐标1-2推广正弦、余弦与正切的定义 透过锐角 ( 参考角 ) 求广义角的正弦、余弦与正切正弦定理－解决三角形边角关系：给定两角及一边长余弦定理－解决三角形边角关系：给定两边长及其夹角或三边长 面积公式－求三角形面积：给定两边长及其夹角，或三边长 ( 海龙公式 ) 正弦、余弦定理与面积公式 1-3差角、和角公式－讨论正弦、余弦与正切的差、和角公式倍角公式－正弦、余弦与正切的二倍角公式，以及正弦、余弦的三倍角公式 半角公式－正弦、余弦与正切的半角公式和角与差角公式 1-413弧度的定义“度”与“弧度”的互换一般锐角的正弦、余弦与正切之求法－查表、按电算器或利用搜寻 平面与立体测量－利用正弦、余弦定理处理有关的三角测量问题三角测量1-54高中数学(三)学习讲义1 正弦、餘弦與正切的定義在直角△ABC中，∠C＝90°，a是∠A的对边长(即a＝BC)，b是∠A的邻边长(即b＝AC)，c是斜边长(即c＝AB)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2 课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—. 锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用. 如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切. 因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的. 所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA 、cosA、tanA 表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA 、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA 的数学含义. 所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一）教学目标（一）教学知识点1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系.2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.（二）能力训练要求1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 提高解决实际问题的能力.3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH 演示教学过程1. 创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[ 问题1] 在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[ 问题2] 随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗? 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.( 板书课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起). Ⅱ. 讲授新课用多媒体演示如下内容：[ 师] 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓” ，人们是如何判断的?“陡” 或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题( 用多媒体演示)(1) 在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[ 生]梯子AB比梯子EF更陡.[ 师] 你是如何判断的?[ 生]从图中很容易发现∠ ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[ 生] 我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD，所以梯子AB比梯子EF 陡.[ 师] 我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2) 在下图中，梯子AB和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[ 师] 我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了. 能不能从第(1) 问中得到什么启示呢?[ 生] 在第(1) 问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度BC和FD不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[ 师] 这位同学的想法很好，的确如此，在第(2) 问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断. 那么请同学们算一下梯子AB和EF 哪一个更陡呢？[ 生]AC 4 8,BC 1.5 3ED 3.5 35 . FD 1.3 13∵8 35,∵3 13,∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒体演示：想一想如图，小明想通过测量B1C1：及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2 及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗?(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) B1C1和B2C2和有什么关系?AC1 AC2(3) 如果改变B2 在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[ 师] 我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度. 下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[ 生]在上图中，我们可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的. 因为∠ B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根据相似的条件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[ 生]由图还可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B 2C2//B 1C1，Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2.[ 生] 相似三角形的对应边成比例，得B1C B2C AC1A C2,即B1C B2CA1C1 AC2如果改变B2 在梯子上的位置，总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B 1C 1A ，仍能得到 B 1C 1 B 2C 2 因此，无论 B 2在梯子的什么位置 （除 A 外），AC 1 AC 2B 1C 1 B 2C 2 总成立 .AC 1 AC 2[ 师]也就是说无论 B 2在梯子的什么位置 （A 除外） ，∠ A 的对边与 邻边的比值是不会改变的 .现在如果改变∠ A 的大小，∠ A 的对边与邻边的比值会改变吗 ?[ 生] ∠A 的大小改变，∠ A 的对边与邻边的比值会改变 .[ 师] 你又能得出什么结论呢 ?[ 生] ∠A 的对边与邻边的比只与∠ A 的大小有关系，而与它所在 直角三角形的大小无关 . 也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定 以后，它的对边与邻边之比也随之确定 .[ 师]这位同学回答得很棒， 现在我们再返回去看一下小明和小亮 的做法，你作何评价 ?[ 生] 小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度， 因为图中直 角三角形中的锐角 A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一 确定的，与 B 1、B 2 在梯子上的位置无 关，即与直角三角形的大小无关 .[ 生] 但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量 B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成 .[ 师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起， 值得提倡. 我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角 A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义： ( 多媒体演示 )如图，在 Rt △ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与邻边 之比便随之确定，这个比叫做∠ A 的正切 (tangent) ，记作 tanA ，即1. t anA 是一个完整的符号， 它表示∠ A 的正切， 记号里习惯省去 角的符号“∠” .2. t anA 没有单位， 它表示一个比值， 即直角三角形中∠ A 的对边 与邻边的比 .3. t anA 不表示“ tan ”乘以“ A ” .4. 初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠ A 是锐角的正切 . 思考：1. ∠B 的正切如何表示 ?它的数学意义是什么 ?2. 前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图 1— 3，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗 ?[ 生]1. ∠B 的正切记作 tanB ，表示∠ B 的对边与邻边的比值，即 B的对边.tanA=A 的对边 A 的邻边tanB=B 的邻边2. 我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡［师］正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m，就升高60 m，那么山坡的坡度( 即坡角α的正切——tan α就是60tan=α100这里要注意区分坡度和坡角. 坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度. 坡度越大，坡面就越陡Ⅲ. 例题讲解多媒体演示［例1］如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，因为 tan β> tan α，所以乙梯更陡[ 例 2] 在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=12cm ，AB=20cm ，求 tanA 和 tanB的值.分析：要求 tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边 AC 的 长度.解：在△ ABC 中，∠ C ＝90°，所以 AC= AB 2 BC 2202 122=16(cm),tanA=A 的对边 BC 123A 的邻边 AC 16 4 tanB=B 的对边 AC 16 4B 的邻边BC12 3所以 tanA= 3 ，tanB= 4 . 43Ⅳ，随堂练习1. 如图，△ ABC 是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出 tanC 吗 ?分析：要求 tanC. 需从图中找到∠ C 所在的直角三角形，因为BDtan α=的对边 5 5的邻边 132 52 12乙梯中，tan的对边 6 3 的邻边 8 4⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即D BD C的值.解：∵△ ABC 是等腰直角三角形， BD ⊥AC ，∴ CD ＝ 1AC ＝ 1 ×3＝1.5. 22 在 Rt △BDC 中， tanC ＝ BDDC 2. 如图，某人从山B 到山脚的垂直距离为 55m ，求山的坡度 .（ 结果精确到 0.001） 分析：由图可知，∠ A 是坡角，∠ A 的正切即 tanA 为山的坡度 . 解：根据题意： 在 Rt △ABC 中， AB=200 m ，BC ＝55 m ，AC= 2002 552 5 1479 5 38.46 =192.30(m). TanA=BC550.286.AC 192.30所以山的坡度为 0.286. Ⅴ. 课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起， 经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后， 它的对边与邻边之比接着，我们研究了梯子的倾斜程度， 工程中的问题坡度与正切的 关系，了解了正切在脚下的点 A 走了 200m 后 到达山顶的点 B ，已知点也随之确定，并以此为基础，在 Rt △”中定义了 tanA ＝A 的对边A 的邻边1.51.1.5现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念Ⅵ. 课后作业1. 习题 1.1 第1、2 题.2. 观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡Ⅶ. 活动与探究（2003 年江苏盐城）如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5 的斜坡AD，求DB的长.（结果保留根号）[ 过程] 要求DB的长，需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根据题意，在Rt△ABC中，∠ ABC=4°5 ，AB＝12 m，则可根据勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比为1： 1.5 ，即tanD=1：1.5 ，由BC＝AC，可求出CD.[ 结果] 根据题意，在Rt△ABC中，∠ ABC=45°，所以△ ABC为等腰直角三角形.设BC=AC＝xm，则x 2+x2＝122，x=6 2 ，所以BC＝AC=6 2 .在Rt △ADC中，tanD= AC 1 ,CD 1.5即 6 2 1 CD=9 2 .CD 1.5所以 DB ＝CD-BC ＝9 2 -6 2 =3 2(m). 板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起 （ 一）1. 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2. 正切的定义：在 Rt △ABC 中，锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比随之确定， 这个比叫做∠ A 的正切，记作 tanA ，即注： （1）tanA 的值越大 . 梯子越陡 .（2） 坡度通常表示斜坡的倾斜程度， 是坡角的正切 . 坡度越大，坡面越 陡.3. 例题讲解 （略）4. 随堂练习5. 课时小结备课资料[ 例 1]（2003 年浙江沼兴 ） 若某人沿坡度 i ＝3：4 的斜坡前进 10AC ：BC ＝ 3：4，tanA ＝A 的对边 A 的邻边米，则他所在的位置比分析：根据题意米.AB ＝10 米.设AC＝3x，BC＝4x，根据勾股定理，得(3x) 2+(4x) 2＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米). 因此某人沿斜坡前进10 米后，所在位置比原来的位置升高解：应填“ 6 m”6米. [ 例2](2003 年内蒙古赤峰) 菱形的两条对角线分别是16和12 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝.分析：如图，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ ABO＝θ，在Rt △AOB中，AO=1 AC=6，2 BO= 1 BD=8.2 tan θ =OA 63 .OB 8 4 解：应填“ 3”.4。