直角三角形的边角关系教案讲义
九年级数学下册:第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案

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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
(一)教学核心
1.经历回顾与思考,建立本章的知识框架图;
2.利用计算器,发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系;
3.进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用;
4.体会数形之间的联系,逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题;
(二)课时安排
1课时
(三)教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题,帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念,直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用,体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程,更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来,而又服务于现实生活中,从现实生活中抽象出数学问题,然后数形结合,用三角函数解决问题。
(四)教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答,逐步呈现本章知识点,然后要求学生自己对本章的内容进行小结,随后进行交流,形成知识框架图。
2.可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题,或利用三角函数解决问题的体会。
3.可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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直角三角形的边角关系讲义

直角三角形的边角关系(讲义)一、知识点睛1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =________,cos A =________,tan A =________.2. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,锐角A 越大,正弦sin A ______,余弦cos A ______,正切tan A ______. 3. 特殊角的三角函数值:60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α 4. 计算三角函数值,关键在于_______或______直角三角形.二、精讲精练1. 下列说法正确的是( )A .在△ABC 中,若∠A 的对边是3,一条邻边是5,则tan A 35=B .将一个三角形的各边扩大3倍,则其中一个角的正弦值也扩大3倍C .在锐角三角形ABC 中,已知∠A =60°,那么cos A 12=D .一定存在一个锐角A ,使得sin A =1.23 2. △ABC 中,∠C =90°,AB =8,cos A 34=,则AC 的长是_______. 3. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据下列条件填空: (1)a =2,b =1,则sin A =__________; (2)a =4,tan A =1.5,则b =_________; (3)3a,则sin A =__________.4. 在锐角三角形ABC|tan 0B =,则∠C =_______. 5. △ABC 中,∠A ,∠B 均为锐角,且有|tan B+(2sin A -20=,则△ABC 是( )A .直角(不等腰)三角形B .等腰直角三角形C .等腰(不等边)三角形D .等边三角形6. 已知∠A为锐角,且cos 2A >,则∠A 的值( ) A .小于45° B .小于30°C .大于45°D .大于30°ACB7. 当45°<∠A <90°时,下列不等式中正确的是( )A .tan cos sin A A A >>B .cos tan sin A A A >>C .sin tan cos A A A >>D .tan sin cos A A A >>8. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,︒=∠30C ,2BC =+1tan 2B =,那么AD 的长是( )A .12B .1 C.12+ D.1+C D BA第8题图 第9题图9. 如图,在△ABC 中,cosB =sinC 35=,AC =5,则△ABC 的面积是( )A .212B .12C .14D .2110. 计算:22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒AB C11. 如图,已知P 是正方形ABCD 内一点,△PBC 为正三角形,则tan ∠PAB 的值是( ) A.B.2CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图,D 是△ABC 中AC 边上一点,CD =2AD ,AE ⊥BC 于点E ,若BD =8,sin ∠CBD 34=,则AE 的长为___________.13. 如图,A ,B ,C 三点在正方形网格 线的交点处,将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′,若A ,C ,B′ 三点共线,则tan ∠B ′CB =________.14. 如图,在△ABC 中,∠A =90°,D 是AB 边上一点,∠ACD =37°,∠BCD =26°30′,AC=60,求AD ,CD 及AB 的长.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8)DCBA15. 如图,在△ABC 中,∠B =37°,∠C =67.5°,AB =10,求BC 的长.(结果精确到0.1,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan67.5°≈2.41,tan22.5°≈0.41)BCA67.5°37°图EDCB AC'B'BCA16. 如图,在△ABC 中,∠CAB =120°,AB =4,AC =2,AD ⊥BC 于点D ,求AD的长.DCBA三、回顾与思考 知识点睛1.斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠,的邻边的对边A A ∠∠.2.越大,越小,越大. 3.4精讲精练1.C2.63.(1)552; (2)38; (3)21. 4.75° 5.D 6.A7.D8.B9.A10.2;35+11.A12.913.214.AD =45;CD =75;AB =120. 15.10.516.7212直角三角形的边角关系(随堂测试)1. 在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,且21|sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则这个三角形是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等边三角形2. 如图,在△ABC 中,AB =AC =1,∠A =36°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,则AD 的长是_____________,cos A 的值是_____________.(结果保留根号)D CB AFEDCBA第2题图 第3题图3. 小明在学习“锐角三角函数”时发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点E 处,展开后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处,这样就可以求出67.5°角的正切值是( ) ABC .2.5 D【参考答案】1.D23.B直角三角形的边角关系(作业)1. 在Rt △ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2倍,那么锐角A 的正弦值( ) A .扩大2倍B .缩小2倍C .没有变化D .不确定2. 在Rt △ABC 中,若∠C =90°,AC =1,BC =2,则下列结论中正确的是( )A.sin B =B .2cos 5B =C .tan 2B =D .1cos 5B =3. 在△ABC 中,∠A ,∠B 均为锐角,且21|sin |cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则这个三角形是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形4. 若∠A 为锐角,且cos A 的值大于12,则∠A ( )A .大于30°B .小于30°C .大于60°D .小于60°5. 已知β为锐角,且tan 3β<≤β的取值范围是( ) A .3060β︒︒≤≤ B .3060β︒<︒≤ C .3060β︒<︒≤ D .30β<︒6. 如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC ,垂足为E ,设∠ADE =α,若3cos 5α=,AB =4,则AD 的长为( )A .3B .163C .203D .165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,若3cos 5A =,BE =2,则tan ∠DBE =_________.8. 在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若AB =6,BC =2,则cos A =______.9. 在△ABC 中,∠A =120°,若AB =4,AC =2,则sin B =______.10.如图,在△ABC中,AB=A C,∠A=45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连接C D.如果A D=1,那么tan∠BCD=______.EDCBA第10题图第11题图11.如图,在△ABC中,若∠C=90°,3sin5B=,AD平分∠CAB,则sin∠CAD=______.12.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为()A.12B.C.10D.513.计算:(1)26tan30602tan45︒︒+︒;(2)cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒;(3))206011tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭;(4tan60︒.B CADCB A14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.(1)求证:AC=BD;(2)若12sin13C=,BC=12,求AD的长.15.如图,在△ABC中,∠A=26.6°,∠B=45°,AC=52,求AB的长.(参考数据:tan26.6°≈0.50)16.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数2 yx =点B在反比例函数kyx=的图象上,且OA⊥OB,tan A=()A.-3 B.-6 C.D.-17.若(-3,1y),(1,2y),(2,3y)三点均在反比例函数||2kyx--=则下列结论中正确的是()A.123y y y>>B.132y y y>>C.312y y y>>D.231y y y>>CBA45°26.6°D CBA【参考答案】1.C 2.A 3.D 4.D 5.C6.B7.28.3229101 11.5512.B13.(1)25; (2)1; (3)7; (4)-1.14.(1)证明略; (2)8. 15.616.B17.B测量类应用题(讲义)一、知识点睛1.正切常用来描述山坡的坡度.坡度也叫_________,指的是坡面的___________与____________的比.2.测量类应用题常见类型有:测量物体的高度、船是否会触礁,侧重于_____________和_____________.①解直角三角形,需要在________和________集中处,寻找或构造_________,利用三角函数,表达线段长、建等式;②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围,计算结果与标准对比来确定符合题意的结果.二、精讲精练1.如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B,F,C 在一条直线上).(1)求教学楼AB的高度;(2)学校要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E之间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈25)DFAB CE22°45°2.如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=1AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数≈1.414,3≈1.732)BCDE60°45°3.如图所示,A,B两地之间有条河,原来从A地到B地需要经过桥DC,沿A D C B→→→到达.现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B 地.已知BC=11km,∠A=45°,∠B=37°,桥DC和AB平行,则现在从A地到B地比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km1.41,sin37︒≈0.60,cos37︒≈0.80)4.如图,海上有一灯塔P,在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°的方向上,如果海轮不改变方向继续前进,有没有触礁的危险?PA B东北5.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.(说明:两问的计算结果均精确到0.1米,参考数据:.24≈2.45)(1)求新传送带AC的长度;(2)若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.6.如图所示,山坡上有一棵与地面垂直的大树AB,一场大风过后,大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上,树的顶部D恰好接触到坡面AE上.已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干倾斜角∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m.(1)求∠CAE的度数;(2)求这棵大树折断前的高度.(结果精确到个位,参考数≈1.4≈1.7≈2.4)D23°60°CB38°A7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行,15min后到达C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长.(精确到0.1km,参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50≈1.41)东观测点港口CABD三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1.坡比,铅直高度,水平宽度.2.解直角三角形,结果判断.①线段,角度,直角三角形.精讲精练1.(1)教学楼AB的高度为12m;(2)A,E之间的距离为27m.2.这块宣传牌CD的高度为2.7米.3.比原来少走4.9km.4.没有触礁的危险.5.(1)新传送带AC的长度为5.7米;(2)需要挪走,理由略.6.(1)75°;(2)这棵大树折断前的高度为10米.7.13.4km.测量类应用题(随堂测试)1.如图,某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l.救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B处有人发出求救信号,他立即沿AB方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙,乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去,若CD=40米,B在C北偏东35°的方向上,甲、乙的游泳速度均为2米/秒,则谁先到达B处?请说明理由.(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)【参考答案】1.乙先到达B处,理由略.测量类应用题(作业)1.如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上,轮船继续航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上.当轮船到达灯塔C的正东方向上的D求轮船与灯塔C的距离.(结果保留根号)解:由题意得∠CAD=30°,∠CBD=60°,∴______________,∴BC=AB=__________.在__________中,∠CBD=60°,BC=40,______________________,∴CD=BC·sin∠CBD=_______________.因此,当轮船到达D处时,与灯塔C的距离为__________.2. 某市正在进行商业街改造,商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A处,现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处,A 与B 相距150m ,且B 在A 的正东方向.为不破坏古民居的风貌,按照有关规定,在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街.若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处,则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定?3. 三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地,也是国家AAA 级游览景区,它的主峰海拔约为600米.如图,主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ,在山脚P 处测得峰顶的仰角为α,发射架顶端的仰角为β,其中3tan 5α=,5tan 8β=,求发射架BC 的高度.4. 如图,为了测量某山AB 的高度,小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°,然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点,在D 点测得山顶A 的仰角为30°,求山AB 的高度.(结果精确到0.1≈1.73)45°DCBA30°5.小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米,当吊臂顶端由A′点降落至A点(吊臂长度不变)时,所吊装的重物(大小忽略不计)从B′处恰好放到地面上的B处,紧绷着的吊缆AB=A′面O′B于点B,A′B′垂直地面O′B于点C,吊臂长度OA′=OA=201sin2A'=.(1)求此重物在水平方向移动的距离BC;(2)求此重物在竖直方向移动的距离B′C.(结果保留根号)6.如图,直线122y x=-+与x轴交于点C,与y轴交于点D,以CD为边作矩形C D A B,点A在x轴上.若双曲线kyx=(0k<,0x>)经过点B,与直线C D交于点E,EM⊥x轴于点M,则S四边形BEMC=__________.7. 如图所示,R t △A B O 的顶点A 是双曲线1ky x =与直线 2(1)y x k =--+在第二象限内的交点,AB ⊥x 轴于点B ,且S △ABO 32=.(1)求这两个函数的解析式;(2)根据函数图象可知,当12y y >时,x 的取值范围是 __________________;(3)求直线与双曲线的两个交点A ,C 的坐标以及△AOC 的面积.【参考答案】1.解:由题意得∠CAD =30°,∠CBD =60°, ∴∠ACB =30°, ∴BC =AB =20×2=40.在Rt △CBD 中,∠CBD =60°,BC =40,sin CDCBD BC ∠=, ∴CD =BC ·sin ∠CBD=40=. 因此,当轮船到达D 处时,与灯塔C的距离为. 2.不违反有关规定.3.发射架BC 的高度为25米. 4.山AB 的高度为236.5米. 5.(1)6米;(2)(12310-)米.6.277.(1)13y x=-,22y x =-+;(2)10x -<<或3x >;(3)A (-1,3),C (3,-1),△AOC 的面积为4.。
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见:本章内容从梯子的倾斜程度说起,引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下,正切是生活当中用得最多的三角函数概念,如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。
正弦和余弦的概念,是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着,又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题,需要借助计算器。
教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法,并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题,也是本章重要的内容之一。
除“船有触礁的危险吗?”“测量物体的高度”两节外,很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系,是现实世界中应用最广泛的关系之一,锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用,如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般说来,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系,如边和角之间的关系,把这种关系用数量的形式表示出来,即进行量化,是分析问题和解决问题过程中常用的方法,是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习,学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系,如比和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习,也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
(二)教学重点1.使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,从中发展学生观察、分析、发现的能力;2.理解锐角三角函数的概念,并能够通过实例进行说明;3.会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题;4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角;5.能够运用三角函数,解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题,培养学生分析问题和解决问题的能力;6.体会数、形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
直角三角形的边角关系讲义

直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容:正切的定义 坡度的定义及表示(难点) 正弦、余弦的定义 三角函数的定义(重点)1、正切的定义在确定,那么A 的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切,记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例2 如图, 已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB ,AD=8,BD=4,求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示(难点 D C B A例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC为6m,坝高为3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i=1:2变成i′=1:2.5,(有关数据在图上已注明).•求加高后的坝底HD的长为多少?例4在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现?请加以证明。
4、三角函数的定义(重点)例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ,CD=6cm 斜立在墙上,其中BE=6cm ,DE=2cm ,你能判断谁的木棒更陡吗?说明理由。
本节作业:1、∠C=90°,点D 在BC 上,BD=6,AD=BC ,cos ∠ADC=53,求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点,且P 点的坐标为(3,4),求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中,D 是AB 的中点,DC ⊥AC ,且tan ∠BCD=31,求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=125,周长为30,求△ABC 的面积。
5、(2008·浙江中考)在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB 的值是多少?第2节 30°,45°,60°角的三角函数值本节内容:30°,45°,60°角的三角函数值(重点)1、30°,45°,60°角的三角函数值(重点)根据正弦、余弦和正切的定义,可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)

本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固,提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力:
1.理解并运用数学知识:通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法,加深对几何知识的理解和应用,提高解决实际问题的能力;
难点解释:学生在理解三角函数的概念时,容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
(2)空间想象能力的培养:在求解方位角时,需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释:学生在解决方位角问题时,往往难以在脑海中形成清晰的空间图像,导致解题困难。
(3)实际问题的解决:将数学知识应用于实际情境,解决现实问题。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分,我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算,演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
一、教学内容
本节课为九年级数学课程,选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括:
1.复习直角三角形的定义及性质;
2.掌握解直角三角形的方法;
3.介绍方位角的概念及应用;
4.通过实际例题,让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角;
2.数学思维能力:在方位角的求解过程中,锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力,提升数学思维水平;
《直角三角形的边角关系》复习教案

直角三角形的边角关系复习一、知识点总结:1、三角函数定义:sinA= cosA= tanA=2、特殊角的三角函数值:30°:sin 30°= , cos 30°= ,tan 30°= 45°:sin 45°= , cos 45°= ,tan 45°= ,60°:sin 60°= , cos 60°= ,tan 60°= , 3、三角函数公式: ① sin(90°-A)=cosA ; cos(90°-A)=sinA; ② =+A A 22cossin ;4、在直角三角形中,除直角外,一共有5个因素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素(两边或者一边一锐角),求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形5. 坡度与坡角的定义: 6、tanA 的值越大,梯子 ;sinA 的值越大,梯子 ;cosA 的值越大,梯子二、巩固练习1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =1,c =4,则sinA 的值是_ __。
2、已知∠A+∠B=90°,且cosA =1/5,则cosB 的值为____。
3、已知α为锐角,tan (90°-α)α的度数为__ _。
4、在△ABC 中,∠C =90°,BC =5,AB =13,则sin A 的值是 _ _。
5、等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于______6、如右图,沿倾斜角为30︒的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)7、菱形ABCD 的对角线AC=10,BD=6,则 tanA/2= _____8、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α, 如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的高是_________米(用含α的三角函数表示).9、校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米。
《直角三角形的边角关系》单元备课

转化思想 方程模型
在解题时从实际问题中抽象出平面图形.将实际问题的数量关系转化为直角三角形的元素 关系.即实际问题转化为数学问题.这是一个难点。
内容
1 地位作用 2 知识和方法 3 重难点及突破方法 4 教学建议
1.注重问题情境的创设
在引人锐角三角函数时,创设符合学生实际的情境,激发学生的学习兴趣,使学生 感受到数学与现实世界的联系:梯子倾斜程度的情境问题,引出锐角三角函数的概 念。对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断。在 学习特殊角的三角函数值时,用学生熟悉的三角尺引人情境,使学生较快进人30“ ,45”. 60角的三角函数值问题的探索。
2.4解直角三角形第二课时
经过更深入地理解教材,我认为可以向学生提出一个重要的存在性问题:满足 什么条件的三角形可解?教师引导学生思考归納,先解决了这个问题,才能更 进一步探究第二个问题:满足了适当条件的三角形如何解?即如何把解三角形的 问题化归为解直角三角形的问题。
2.4解直角三角形第二课时 在一般三角形构造直角三角形时,需结合题意将特殊角分别放在所构造的直角三角形 中,同时借助于BC边上的高构造如图所示的叠合式的或背靠式直角三角形,叠合式和 背靠式两种模型实际上是相通的,将叠合式沿着AD翻折过去就是背靠式。
2.1锐角三角函数
在引出锐角三角函数的概念时,可以从数的角度再给于说明,这样可以使学 生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,从而提升学生的思维水平。
2.4解直角三角形
本节主要学习解直角三角形,探究六个元素中已知三个元素来确定其 他三个元素的方法,发展推理能力和运算能力;
重难点:1.掌握已知三个元素来确定其他三个元素的方法 2. 应用解直角三角形的知识解决实际问题
初中数学直角三角形边角关系讲义初稿

直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部份 一、大体概念 正弦:在Rt ∆ABC (如图),锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦,记为A sin ,caA A =∠=斜边的对边sin 。
余弦:在Rt ∆ABC (如图),锐角A的余弦,记为A cos ,cbA A =∠=斜边的邻边cos 。
正切:在Rt ∆ABC (如图),锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切,记为A tan ,baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。
余切:在Rt ∆ABC (如图),锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切,记为A cot ,abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。
二、巧记概念:按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字:对斜邻斜对邻邻对。
3、依照正弦、余弦、正切、余切的概念,在Rt ∆ABC 中, 90=∠C ,有sinA=cosB ,sinB=cosA ,tanA=cotB ,tanB=cotA 。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系:sinA 的值越大,梯子越陡; cosA 的值越小,梯子越陡; tanA 的值越大,梯子越陡。
五、在Rt ∆ABC 中,︒=∠90C ,a 、b 、c 别离是A ∠、B ∠、C ∠的对边,那么caA =sin , c b A =cos , b a A =tan , abA =cot 能够变形为A c a sin •=,A c b cos •=,A b a tan •=或A a c sin =,Abc cos =等等,在解题中能够依照条件正确选用。
六、注意:①、在初中,正弦、余弦、正切、余切的概念都是在直角三角形中给出的,不能在任意三角形中套用概念。
②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 别离表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号,是一个整体,不能明白得为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。
③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号,它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切,记号里适应省去角的符号“∠”,但当角用三个大写字母或数字表示时,角的符号“∠”不能省略。
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第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2 课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—. 锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用. 如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切. 因为相比之下,正切是生活当中用的最多的三角函数概念,如刻画物体的倾斜程度,山的坡度等都往往用正切,而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的. 所以本节从现实情境出发,让学生在经历探索直角:三角形边角关系的过程中,理解锐角三角函数的意义,并能够举例说明;能用sinA 、cosA、tanA 表示直角三角形中两边的比,并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA 、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算,难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA 的数学含义. 所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境,引出锐角三角函数的概念,使学生感受到数学与现实世界的联系,鼓励他们有条理地进行表达和思考,特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系.2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1. 经历观察、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力,能有条理地,清晰地阐述自己的观点.2. 体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 提高解决实际问题的能力.3. 体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1. 积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义,并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH 演示教学过程1. 创设问题情境,引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图,提出问题,问题从左到右分层次出现:[ 问题1] 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?[ 问题2] 随着改革开放的深入,上海的城市建设正日新月异地发展,幢幢大楼拔地而起.70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦,但经过多少年的城市发展,“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代,你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗? 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习,相信大家一定能够解决.这节课,我们就先从梯子的倾斜程度谈起.( 板书课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起). Ⅱ. 讲授新课用多媒体演示如下内容:[ 师] 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓” ,人们是如何判断的?“陡” 或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图,并回答问题( 用多媒体演示)(1) 在图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[ 生]梯子AB比梯子EF更陡.[ 师] 你是如何判断的?[ 生]从图中很容易发现∠ ABC>∠EFD,所以梯子AB比梯子EF陡.[ 生] 我觉得是因为AC=ED,所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD,所以梯子AB比梯子EF 陡.[ 师] 我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2) 在下图中,梯子AB和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[ 师] 我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,就比较困难了. 能不能从第(1) 问中得到什么启示呢?[ 生] 在第(1) 问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的,而水平宽度BC和FD不一样长,由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大,梯子应该越陡.[ 师] 这位同学的想法很好,的确如此,在第(2) 问的图中,哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断. 那么请同学们算一下梯子AB和EF 哪一个更陡呢?[ 生]AC 4 8,BC 1.5 3ED 3.5 35 . FD 1.3 13∵8 35,∵3 13,∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒体演示:想一想如图,小明想通过测量B1C1:及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2 及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗?(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) B1C1和B2C2和有什么关系?AC1 AC2(3) 如果改变B2 在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[ 师] 我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度,即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度. 下面请同学们思考上面的三个问题,再来讨论小明和小亮的做法.[ 生]在上图中,我们可以知道Rt△AB1C1,和Rt△AB2C2是相似的. 因为∠ B2C2A=∠B1C1A=90°,∠B2AC2=∠B1AC1,根据相似的条件,得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[ 生]由图还可知:B2C2⊥AC2,B1C1⊥AC1,得 B 2C2//B 1C1,Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2.[ 生] 相似三角形的对应边成比例,得B1C B2C AC1A C2,即B1C B2CA1C1 AC2如果改变B2 在梯子上的位置,总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B 1C 1A ,仍能得到 B 1C 1 B 2C 2 因此,无论 B 2在梯子的什么位置 (除 A 外),AC 1 AC 2B 1C 1 B 2C 2 总成立 .AC 1 AC 2[ 师]也就是说无论 B 2在梯子的什么位置 (A 除外) ,∠ A 的对边与 邻边的比值是不会改变的 .现在如果改变∠ A 的大小,∠ A 的对边与邻边的比值会改变吗 ?[ 生] ∠A 的大小改变,∠ A 的对边与邻边的比值会改变 .[ 师] 你又能得出什么结论呢 ?[ 生] ∠A 的对边与邻边的比只与∠ A 的大小有关系,而与它所在 直角三角形的大小无关 . 也就是说,当直角三角形中的一个锐角确定 以后,它的对边与邻边之比也随之确定 .[ 师]这位同学回答得很棒, 现在我们再返回去看一下小明和小亮 的做法,你作何评价 ?[ 生] 小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度, 因为图中直 角三角形中的锐角 A 是确定的,因此它的对边与邻边的比值也是唯一 确定的,与 B 1、B 2 在梯子上的位置无 关,即与直角三角形的大小无关 .[ 生] 但我觉得小亮的做法更实际,因为要测量 B 1C 1的长度,需攀到梯子的最高端,危险并且复杂,而小亮只需站在地面就可以完成 .[ 师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起, 值得提倡. 我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角 A 确定以后,它的对边与邻边之比也随之确定,因此我们有如下定义: ( 多媒体演示 )如图,在 Rt △ABC 中,如果锐角 A 确定,那么∠ A 的对边与邻边 之比便随之确定,这个比叫做∠ A 的正切 (tangent) ,记作 tanA ,即1. t anA 是一个完整的符号, 它表示∠ A 的正切, 记号里习惯省去 角的符号“∠” .2. t anA 没有单位, 它表示一个比值, 即直角三角形中∠ A 的对边 与邻边的比 .3. t anA 不表示“ tan ”乘以“ A ” .4. 初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠ A 是锐角的正切 . 思考:1. ∠B 的正切如何表示 ?它的数学意义是什么 ?2. 前面我们讨论了梯子的倾斜程度,课本图 1— 3,梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗 ?[ 生]1. ∠B 的正切记作 tanB ,表示∠ B 的对边与邻边的比值,即 B的对边.tanA=A 的对边 A 的邻边tanB=B 的邻边2. 我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度,因此,在图1—3中,梯子越陡,tanA 的值越大;反过来,tanA 的值越大,梯子越陡[师]正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑,工程技术等正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度如图,有一山坡在水平方向上每前进100 m,就升高60 m,那么山坡的坡度( 即坡角α的正切——tan α就是60tan=α100这里要注意区分坡度和坡角. 坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度. 坡度越大,坡面就越陡Ⅲ. 例题讲解多媒体演示[例1]如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡分析:比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出tan α、tan β的值,比较大小,越大,扶梯就越陡.解:甲梯中,因为 tan β> tan α,所以乙梯更陡[ 例 2] 在△ ABC 中,∠ C=90°, BC=12cm ,AB=20cm ,求 tanA 和 tanB的值.分析:要求 tanA ,tanB 的值,根据勾股定理先求出直角边 AC 的 长度.解:在△ ABC 中,∠ C =90°,所以 AC= AB 2 BC 2202 122=16(cm),tanA=A 的对边 BC 123A 的邻边 AC 16 4 tanB=B 的对边 AC 16 4B 的邻边BC12 3所以 tanA= 3 ,tanB= 4 . 43Ⅳ,随堂练习1. 如图,△ ABC 是等腰直角三角形, 你能根据图中所给 数据求出 tanC 吗 ?分析:要求 tanC. 需从图中找到∠ C 所在的直角三角形,因为BDtan α=的对边 5 5的邻边 132 52 12乙梯中,tan的对边 6 3 的邻边 8 4⊥AC ,所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比,即D BD C的值.解:∵△ ABC 是等腰直角三角形, BD ⊥AC ,∴ CD = 1AC = 1 ×3=1.5. 22 在 Rt △BDC 中, tanC = BDDC 2. 如图,某人从山B 到山脚的垂直距离为 55m ,求山的坡度 .( 结果精确到 0.001) 分析:由图可知,∠ A 是坡角,∠ A 的正切即 tanA 为山的坡度 . 解:根据题意: 在 Rt △ABC 中, AB=200 m ,BC =55 m ,AC= 2002 552 5 1479 5 38.46 =192.30(m). TanA=BC550.286.AC 192.30所以山的坡度为 0.286. Ⅴ. 课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起, 经历了探索直角三角形中的边角关系,得出了在直角三角形中的锐角确定之后, 它的对边与邻边之比接着,我们研究了梯子的倾斜程度, 工程中的问题坡度与正切的 关系,了解了正切在脚下的点 A 走了 200m 后 到达山顶的点 B ,已知点也随之确定,并以此为基础,在 Rt △”中定义了 tanA =A 的对边A 的邻边1.51.1.5现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念Ⅵ. 课后作业1. 习题 1.1 第1、2 题.2. 观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡Ⅶ. 活动与探究(2003 年江苏盐城)如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5 的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号)[ 过程] 要求DB的长,需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根据题意,在Rt△ABC中,∠ ABC=4°5 ,AB=12 m,则可根据勾股定理求出BC;在Rt△ADC中,坡比为1: 1.5 ,即tanD=1:1.5 ,由BC=AC,可求出CD.[ 结果] 根据题意,在Rt△ABC中,∠ ABC=45°,所以△ ABC为等腰直角三角形.设BC=AC=xm,则x 2+x2=122,x=6 2 ,所以BC=AC=6 2 .在Rt △ADC中,tanD= AC 1 ,CD 1.5即 6 2 1 CD=9 2 .CD 1.5所以 DB =CD-BC =9 2 -6 2 =3 2(m). 板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起 ( 一)1. 当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定.2. 正切的定义:在 Rt △ABC 中,锐角 A 确定,那么∠ A 的对边与邻边的比随之确定, 这个比叫做∠ A 的正切,记作 tanA ,即注: (1)tanA 的值越大 . 梯子越陡 .(2) 坡度通常表示斜坡的倾斜程度, 是坡角的正切 . 坡度越大,坡面越 陡.3. 例题讲解 (略)4. 随堂练习5. 课时小结备课资料[ 例 1](2003 年浙江沼兴 ) 若某人沿坡度 i =3:4 的斜坡前进 10AC :BC = 3:4,tanA =A 的对边 A 的邻边米,则他所在的位置比分析:根据题意米.AB =10 米.设AC=3x,BC=4x,根据勾股定理,得(3x) 2+(4x) 2=10,∴x=2.∴AC=3x=6(米). 因此某人沿斜坡前进10 米后,所在位置比原来的位置升高解:应填“ 6 m”6米. [ 例2](2003 年内蒙古赤峰) 菱形的两条对角线分别是16和12 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则tan θ=.分析:如图,菱形ABCD,BD=16,AC=12,∠ ABO=θ,在Rt △AOB中,AO=1 AC=6,2 BO= 1 BD=8.2 tan θ =OA 63 .OB 8 4 解:应填“ 3”.4。