专题二微专题2数列求和及简单应用-2021届高三数学二轮专题复习课件

2.aan＋n 1＝q 和 a2n＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比 数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零．
微专题2 数列求和及简单应用
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对点训练
记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列．
对点训练
大题考法 2 等差数列、等比数列基本量的运算 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S4＝
24，S7＝63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋(－1)n·an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解 ： (1) 因 为 {an} 为 等 差 数 列 ， 所 以 S4＝4a1＋4×2 3d＝24， S7＝7a1＋7×2 6d＝63，
2．分组求和的策略： (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组．
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
(2020·石家庄二中质检)Sn 为数列{an}的前 n 项和满 足：4Sn－2an＝2n(n∈N*)．
(1)设 bn＝an＋an＋1，证明{bn}是等比数列； (2)求 Sn. (1)证明：因为 4Sn－2an＝2n，① 故 4Sn＋1－2an＋1＝2n＋1(n∈N*)，② ②－①可得 4an＋1－2an＋1＋2an＝2n＋1－2n. 整理可得 an＋1＋an＝2n－1，即 bn＝2n－1，(n∈N*)． 因为bbn＋n 1＝22n－n 1＝2，(n∈N*)，故{bn}是等比数列．
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对点训练
解得ad1＝＝23. ， 因此{an}的通项公式 an＝2n＋1. (2)因为 bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2× 4n＋(－1)n·(2n＋1)， 所以 Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－ 1)n(2n＋1)]＝8（4n3－1）＋Gn. 当 n 为偶数时，Gn＝2×n2＝n，所以 Tn＝8（4n3－1）＋n；
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对点训练
因此 an＝1（，λ＋n＝1）1，·2n－2，n≥2. 若数列{an}是等比数列，则 a2＝1＋λ＝2a1＝2. 所以 λ＝1，经验证得 λ＝1 时，数列{an}是等比数列．
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对点训练
1．判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于 任意 n≥1，n∈N*，验证 an＋1－an或aan＋n 1为与正整数 n 无关的一常数；(2)中项公式法．
在，求出 λ；若不存在，请说明理由．
(1)证明：因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，S2n＝a2n＋1－λSn＋1， 所以 S2n＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1， 则 Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.
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对点训练
因为 an>0，知 Sn＋1>0， 所以 Sn＋1－2Sn－λ＝0， 故 Sn＋1＝2Sn＋λ. (2)解：由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ， 当 n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋λ， 两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)， 所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比 q＝2. 又 S2＝2S1＋λ，即 a2＋a1＝2a1＋λ，所以 a2＝a1＋λ＝1 ＋λ>0，得 λ>－1.
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对点训练
当 n 为奇数时，Gn＝2×n－2 1－(2n＋1)＝－n－2， 所以 Tn＝8（4n3－1）－n－2， 所以 Tn＝88（（44nn33－－11））－＋nn－，2n，为n偶为数奇，数.
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对点训练
1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 的 奇偶进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
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对点训练
(2)解：当 n＝1 时，4S1－2a1＝21 ，解得 a1＝1，又 an＋1＋ an＝2n－1，
故当 n 为偶数时有 Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝ 20＋22＋…＋2n－2＝2011－－44n2＝2n－3 1.
当 n 为奇数时有 Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋ an)＝1＋21＋23＋…＋2n－2＝1＋211－1－4n4－2 1＝2n＋3 1.
故 Sn＝22nn＋ －33 11，，nn为为偶奇数数，.
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对点训练
大题考法 3 裂项相消法求数列的和 (2020·泰安市 6 月模拟)在①Sn＝n2＋n，②a3＋ a5＝16，S3＋S5＝42，③aan＋n 1＝n＋n 1，S7＝56 这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}为等比数 列，________，b1＝a1，b2＝a12a2. 求数列S1n＋bn的前 n 项和 Tn.
对点训练
则 Sn＋1＝23[(－2)n＋1－1]，Sn＋2＝23[(－2)n＋2－1]， 所以 Sn＋1＋Sn＋2＝23[(－2)n＋1－1]＋23[(－2)n＋2－1]＝23 [2(－2)n－2]＝43[(－2)n－1]＝2Sn， 所以 Sn＋1，Sn，Sn＋2 成等差数列．
微专题2 数列求和及简单应用
解：(1)设{an}的公比为 q，由题设可得
aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）2，＝－6，解得qa＝1＝－－22，.
故{an}的通项公式为 an＝(－2)n.
(2)由(1)得
Sn
＝
a1（11－－qqn）＝
－2[1－（－2）n] 1－（－2）
＝
2 3
[(－2)n－1]，
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专题二 数 列
微专题2 数列求和及简单应用
对点训练
大题考法 1 等差数列、等比数列证明与判定 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an>0，
S2n＝a2n＋1－λSn＋1，其中 λ 为常数． (1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ； (2)是否存在实数 λ，使得数列{an}为等比数列，若存