北邮考研概率论与数理统计6.1随机样本(1)
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p i 1 (1 p ) xi
n
n
i 1
xi
n
其中 x1 , x2 , , xn 在集合 {0,1} 中取值.
例已知总体X服从参数为 的泊松分布，求样本的联合
第28页
分布律．
解 总体 X 的分布律为
P{X x}
x
x!
e
， x 0, 1, 2, ，
所以样本 X 1 , X 2 ,, X n 的联合分布律为
合格。在70年代后期，美国消费者购买日产SONY彩电的
热情高于购买美产SONY彩电，原因何在？
第22页
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指
2 出，日产SONY彩电彩色浓度服从正态分布 N . (m, (5 / 3) )
，而美产SONY彩电的彩色浓度服从(m-5，m+5)上的均 匀分布。
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
第25页
例
设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本
X P
0 1p
1 p
不同的p反映总体的差异。第一个工厂的产品质量优于第二个。
第12页 例2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？ 原因在于总体的差异上！
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指出 N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓度服从正态分布， 美产SONY彩电的彩色浓度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
第30页
例 设有一批产品共N个，需要进行抽样检 验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回 抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格 品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，则 P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为 P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
第14页
6.1.2 样本
样本的定义
为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽
取n个个体，记其指标值为 x1 , x2 ,, xn，则
x1 , x2 ,, xn 称为总体的一个样本，n 称为样本容
量，或简称样本量，样本中的个体称为样品。
样本具有两重性
第15页
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示； • 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般 用 X1, … Xn 表示，应能从上下文中加以区别。
x i 0, 其他.
第26页
例
设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1,
( X 1 , X 2 ,, X n )是来自总体的样本 , 求样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律.
解 总体 X 的分布律为
P{ X i } p (1 p)
i
这两个不同的分布代表了两个不同的总体，均值
相同(都为m)，但方差不同。若彩色浓度与m的距离在 5/3以内为I级品，在5/3到10/3之间为II级品，在10/3
到5之间为III级品，其他为IV级品。
第23页
于是，日产SONY彩电的I级品为美产SONY的两倍 出头(见下表)，这就是美国消费者愿意购买日产 SONY 的主要原因。 I 等级 美产 日产 33.3 68.3 33.3 27.1 33.3 4.3 0 0.3 II III IV
第1页
第2页
从历史典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、 地震、水灾等记载，说明人们很早就开始了统计工作 . 但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理， 而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之 外的推断. 到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率 论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.
第13页
然而，在实际操作中，不是对所研究的对象全体(称为 总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察 获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.
由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究 对象的全部信息. 因而由此获得的结论必然包含不肯定性. 所以应记住毕竟是由“局部”推断“整体”，因而仍可能 犯错误，结论往往又是在某个“可靠性水平”之下得出的. 这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一在统计学中贯 穿始终，是我们应该记住的基本思想.
例4我们考察某厂生产的某种电子元件的寿命，选了100 只进行寿命试验，数据如下。 表2 100只元件的寿命数据 寿命范围 ( 0 24] (24 48] (48 72] (72 96] (96 120] (120 144] (144 168] (168 192] 元件数 4 8 6 5 3 4 5 4 寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184] 元件数 6 3 3 5 5 3 5 1 寿命范围 (384 408] (408 432] (432 456] (456 480] (480 504] (504 528] (528 552] >552
F ( x 1 , ..., x n )
F ( x ).
i i 1
思考：
若总体的密度函数为f(x)，则其样本x1, …, xn的（联合） 密度函数是什么？ n
f(x 1 , x 2 , , x n )
f(x i ). i
1
第20页
附录
1、例2的详细解释。 2、思考题：若总体的密度函数为p(x)， 则其样本的（联合）密度函数是什么？
第17页
元件数 4 4 1 2 2 3 1 13
表2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
第18页
样本的要求：简单随机样本
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。我们在相同条件下对总体进行重 复、独立的观察，通常有如下两个要求： 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本 -- xi 与总体X有相同的分布。
1i
( i 0, 1)
因为 X 1 , X 2 ,, X n相互独立,
且与 X 有相同的分布,
所以 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布律为
第27页
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X 1 x1 }P{ X 2 x2 } P{ X n xn }
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn }
i 1 n
xi
xi !
e
xi
i 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
x!
i i 1
n
e n
其中 x 0, 1, 2, ．
28
第29页
3、总体分为有限总体与无限总体
实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体 数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种 合理的抽象。 对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难 在于排除有意或无意的人为干扰。 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别 是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到 满足。
第10页
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命， 那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x) 表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
寿命总体是指数分布总体
某批 灯泡的寿命
例1 考察某厂的产品质量，以0记合格品， 第11页 以1记不合格品，则 总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数} 若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该 总体可由一个二点分布表示：
第4页
在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总 体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察 获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断. 数理统计所要研究的问题： (1)怎样设计试验，决定观察的数目；
(2)怎样利用试验观察的结果作出一个“好”的推断等.
第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理,并有更 好的代表性？这是抽样方法和试验设计问题：最简单易行的是 进行随机抽样. 第二个问题是怎样从取得的样本去推断总体？这种推 断具有多大的可靠性？ 这是统计推断(核心)问题.
点估计 参数估计
统计估计 统计推断 统计检验 非参数估计 参数假设检验 非参数假设检验 统计方法具有“部分推断整体”的特征 .
第5页
区间估计
第6页
引例 某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品， 该批产品总有一个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随机抽取 一件，用 x 表示产品的不合格数，不难看出 x 服从一个二点分布 b(1 , p)，但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
研究对象的全体观察值称为总体，总体中每个成员称为个体
第9页
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
总体
…
研究某批灯泡的质量
总体
有限总体 无限总体
由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出 现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一个随机变 量X ，随机变量X的分布是该数量指标在总体中的分布.今后不 做区分，统称为总体。
3、对有限总体，采用放回抽样所得到的 样本为简单随机样本，但使用不方便， 是否可以用不放回抽样代替？
第21页
1、例2
彩电的彩色浓度是彩电质量好坏的一个重要指
标。20世纪70年代在美国销售的SONY牌彩电有两个产地： 美国和日本，两地的工厂是按同一设计方案和相同的生 产线生产同一型号SONY彩电，连使用说明书和检验合格 的标准也是一样的。 其中关于彩色浓度X的标准是：目标值为m，公差为5， 即当X在[m-5，m+5]内该彩电的彩色浓度合格，否则不
独立性: 样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
第19页
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是独立同分 布( iid ) 的随机变量，其共同分布即为总体分布。
设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样 n 本联合分布函数为
2.若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
第24页
由于是简单随机抽样. 根据定义得: 若 X1 , X 2 ,, X n 为 F 的一个样本,
则样本( X1, X 2 ,, X n )的联合分布函数为
F * ( x1 , x2 , , xn ) F ( xi ).
e x , x 0, 解 总体 X 的概率密度为 f ( x ) x 0, 0, 因为 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 且与 X 有相同的分布 ,
( X 1 , X 2 ,, X n ) 的概率密度.
所以 ( X 1 , X 2 ,, X n )的概率密度为 n xi n ne i 1 , f n ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ) i 1 0,
第16页
例3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：
641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640
这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。 这样的样本称为完全样本。
数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。
第7页
第6章 样本及抽样分布
§6.1 总体与样本 §6.2 样本数据的整理与显示
§6.3 统计量及三大抽样分布
第8页
§6.1
总体与个体
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
一个问题总有明确的研究对象和数量指标，对其做试验或观察.
n
n
i 1
xi
n
其中 x1 , x2 , , xn 在集合 {0,1} 中取值.
例已知总体X服从参数为 的泊松分布，求样本的联合
第28页
分布律．
解 总体 X 的分布律为
P{X x}
x
x!
e
， x 0, 1, 2, ，
所以样本 X 1 , X 2 ,, X n 的联合分布律为
合格。在70年代后期，美国消费者购买日产SONY彩电的
热情高于购买美产SONY彩电，原因何在？
第22页
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指
2 出，日产SONY彩电彩色浓度服从正态分布 N . (m, (5 / 3) )
，而美产SONY彩电的彩色浓度服从(m-5，m+5)上的均 匀分布。
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
第25页
例
设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本
X P
0 1p
1 p
不同的p反映总体的差异。第一个工厂的产品质量优于第二个。
第12页 例2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？ 原因在于总体的差异上！
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指出 N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓度服从正态分布， 美产SONY彩电的彩色浓度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
第30页
例 设有一批产品共N个，需要进行抽样检 验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回 抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格 品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，则 P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为 P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
第14页
6.1.2 样本
样本的定义
为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽
取n个个体，记其指标值为 x1 , x2 ,, xn，则
x1 , x2 ,, xn 称为总体的一个样本，n 称为样本容
量，或简称样本量，样本中的个体称为样品。
样本具有两重性
第15页
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示； • 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般 用 X1, … Xn 表示，应能从上下文中加以区别。
x i 0, 其他.
第26页
例
设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1,
( X 1 , X 2 ,, X n )是来自总体的样本 , 求样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律.
解 总体 X 的分布律为
P{ X i } p (1 p)
i
这两个不同的分布代表了两个不同的总体，均值
相同(都为m)，但方差不同。若彩色浓度与m的距离在 5/3以内为I级品，在5/3到10/3之间为II级品，在10/3
到5之间为III级品，其他为IV级品。
第23页
于是，日产SONY彩电的I级品为美产SONY的两倍 出头(见下表)，这就是美国消费者愿意购买日产 SONY 的主要原因。 I 等级 美产 日产 33.3 68.3 33.3 27.1 33.3 4.3 0 0.3 II III IV
第1页
第2页
从历史典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、 地震、水灾等记载，说明人们很早就开始了统计工作 . 但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理， 而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之 外的推断. 到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率 论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.
第13页
然而，在实际操作中，不是对所研究的对象全体(称为 总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察 获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.
由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究 对象的全部信息. 因而由此获得的结论必然包含不肯定性. 所以应记住毕竟是由“局部”推断“整体”，因而仍可能 犯错误，结论往往又是在某个“可靠性水平”之下得出的. 这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一在统计学中贯 穿始终，是我们应该记住的基本思想.
例4我们考察某厂生产的某种电子元件的寿命，选了100 只进行寿命试验，数据如下。 表2 100只元件的寿命数据 寿命范围 ( 0 24] (24 48] (48 72] (72 96] (96 120] (120 144] (144 168] (168 192] 元件数 4 8 6 5 3 4 5 4 寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184] 元件数 6 3 3 5 5 3 5 1 寿命范围 (384 408] (408 432] (432 456] (456 480] (480 504] (504 528] (528 552] >552
F ( x 1 , ..., x n )
F ( x ).
i i 1
思考：
若总体的密度函数为f(x)，则其样本x1, …, xn的（联合） 密度函数是什么？ n
f(x 1 , x 2 , , x n )
f(x i ). i
1
第20页
附录
1、例2的详细解释。 2、思考题：若总体的密度函数为p(x)， 则其样本的（联合）密度函数是什么？
第17页
元件数 4 4 1 2 2 3 1 13
表2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
第18页
样本的要求：简单随机样本
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。我们在相同条件下对总体进行重 复、独立的观察，通常有如下两个要求： 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本 -- xi 与总体X有相同的分布。
1i
( i 0, 1)
因为 X 1 , X 2 ,, X n相互独立,
且与 X 有相同的分布,
所以 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布律为
第27页
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X 1 x1 }P{ X 2 x2 } P{ X n xn }
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn }
i 1 n
xi
xi !
e
xi
i 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
x!
i i 1
n
e n
其中 x 0, 1, 2, ．
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第29页
3、总体分为有限总体与无限总体
实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体 数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种 合理的抽象。 对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难 在于排除有意或无意的人为干扰。 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别 是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到 满足。
第10页
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命， 那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x) 表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
寿命总体是指数分布总体
某批 灯泡的寿命
例1 考察某厂的产品质量，以0记合格品， 第11页 以1记不合格品，则 总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数} 若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该 总体可由一个二点分布表示：
第4页
在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总 体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察 获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断. 数理统计所要研究的问题： (1)怎样设计试验，决定观察的数目；
(2)怎样利用试验观察的结果作出一个“好”的推断等.
第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理,并有更 好的代表性？这是抽样方法和试验设计问题：最简单易行的是 进行随机抽样. 第二个问题是怎样从取得的样本去推断总体？这种推 断具有多大的可靠性？ 这是统计推断(核心)问题.
点估计 参数估计
统计估计 统计推断 统计检验 非参数估计 参数假设检验 非参数假设检验 统计方法具有“部分推断整体”的特征 .
第5页
区间估计
第6页
引例 某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品， 该批产品总有一个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随机抽取 一件，用 x 表示产品的不合格数，不难看出 x 服从一个二点分布 b(1 , p)，但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
研究对象的全体观察值称为总体，总体中每个成员称为个体
第9页
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
总体
…
研究某批灯泡的质量
总体
有限总体 无限总体
由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出 现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一个随机变 量X ，随机变量X的分布是该数量指标在总体中的分布.今后不 做区分，统称为总体。
3、对有限总体，采用放回抽样所得到的 样本为简单随机样本，但使用不方便， 是否可以用不放回抽样代替？
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1、例2
彩电的彩色浓度是彩电质量好坏的一个重要指
标。20世纪70年代在美国销售的SONY牌彩电有两个产地： 美国和日本，两地的工厂是按同一设计方案和相同的生 产线生产同一型号SONY彩电，连使用说明书和检验合格 的标准也是一样的。 其中关于彩色浓度X的标准是：目标值为m，公差为5， 即当X在[m-5，m+5]内该彩电的彩色浓度合格，否则不
独立性: 样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
第19页
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是独立同分 布( iid ) 的随机变量，其共同分布即为总体分布。
设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样 n 本联合分布函数为
2.若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
第24页
由于是简单随机抽样. 根据定义得: 若 X1 , X 2 ,, X n 为 F 的一个样本,
则样本( X1, X 2 ,, X n )的联合分布函数为
F * ( x1 , x2 , , xn ) F ( xi ).
e x , x 0, 解 总体 X 的概率密度为 f ( x ) x 0, 0, 因为 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 且与 X 有相同的分布 ,
( X 1 , X 2 ,, X n ) 的概率密度.
所以 ( X 1 , X 2 ,, X n )的概率密度为 n xi n ne i 1 , f n ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ) i 1 0,
第16页
例3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：
641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640
这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。 这样的样本称为完全样本。
数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。
第7页
第6章 样本及抽样分布
§6.1 总体与样本 §6.2 样本数据的整理与显示
§6.3 统计量及三大抽样分布
第8页
§6.1
总体与个体
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
一个问题总有明确的研究对象和数量指标，对其做试验或观察.