课时跟踪检测(五十四) 曲线与方程
课时跟踪检测(五十三) 曲线与方程(普通高中)
课时跟踪检测（五十三） 曲线与方程(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．2．(2018·湖南雅礼中学月考)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交线段BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1解析：选D 圆F 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F (1,0)，半径r ＝2 3.由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|PA |＝23＞2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2，所以动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．4．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：选B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 由RA ―→＝AP ―→知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R 是直线l 上的点， ∴－y ＝2(2－x )－4. 即y ＝2x .5．(2018·安徽六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．7．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝18．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为____________．解析：设Q (x ，y )．因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝⎛⎭⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2， 所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x . 所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2＝4x . 答案：y 2＝4x9．(2018·河北衡水一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹方程为_________________．解析：因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋2y 25＝1.答案：⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋2y 25＝110．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)B 级——中档题目练通抓牢1．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：选C 依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．2．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：选D 因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.3．(2018·广州模拟)动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.4．(2018·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －25．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝⎛⎭⎫x >a 4.答案：16x 2a 2－16y 23a2＝1⎝⎛⎭⎫x ＞a 46.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0， 得k 2＜15，∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎝ ⎛y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.C 级——重难题目自主选做1．(2018·合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解：(1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212， 代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1y 2＝－16x. ②由①②可得⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，则⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，得x 28－y 2＝1.考虑到x 0∈[2,22]，则x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．2．(2018·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋3 2.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．解：(1)如图，以O 为坐标原点，以BC ―→的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得B ⎝⎛⎭⎫－322，0，C ⎝⎛⎭⎫322，0.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32， 得|AB |＋|AC |＝6.因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)．设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT ―→＝13OA ―→，所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .又x 209＋2y 209＝1，所以(3x )29＋2(3y )29＝1，即x 2＋2y 2＝1， 所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)．(2)证明：设M (m,0)(m ≠1)，N ⎝⎛⎭⎫1m ，0，Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为k QM ＝y 1x 1－m ，所以直线QM 的方程为y ＝y 1x 1－m (x －m )，与x 2＋2y 2＝1联立并整理可得， (m 2＋1－2mx 1)x 2－2m (1－x 21)x ＋(2mx 1－x 21－m 2x 21)＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 21－m 2x 21m 2＋1－2mx 1，同理，x 1x 3＝2⎝⎛⎭⎫1m x 1－x 21－⎝⎛⎭⎫1m 2x 21⎝⎛⎭⎫1m 2＋1－2⎝⎛⎭⎫1m x 1＝2mx 1－m 2x 21－x 211＋m 2－2mx 1＝x 1x 2，所以x 2＝x 3或x 1＝0，当x 2＝x 3时，PR ⊥x 轴； 当x 1＝0时，由x 1＋x 2＝2m (1－x 21)m 2＋1－2mx 1，得x 2＝2mm 2＋1， 同理，x 3＝2⎝⎛⎭⎫1m ⎝⎛⎭⎫1m 2＋1＝2mm 2＋1＝x 2， ∴PR ⊥x 轴．因此|MP |＝|MR |，故△MPR 是等腰三角形．。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版选修2-1：课时
课时跟踪检测（四） 曲线与方程 求曲线的方程层级一 学业水平达标1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：选B 将点M (2,1)的坐标代入方程知M ∈l ，M ∈C ． 2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于x －y ＝0对称解析：选C 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称．3．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0，则x ≤0，因此选B ．4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |·|MP |＋MN ·NP＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y )，则MN ＝(4,0)，MP ＝(x ＋2，y )，NP＝(x －2，y )，∴|MN |＝4，|MP |＝(x ＋2)2＋y 2，MN ·NP ＝4(x －2)． 根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )．整理得y 2＝－8x ．∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x ．5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5． 设C 的坐标为(x ，y )， 则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2)7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN＝12，则点P 的轨迹方程为________________．解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN＝(2－x ，－y )．于是PM ·PN＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程． 答案：x 2＋y 2＝168．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1． 又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝0＋x02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2．答案：y ＝4x 29．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN＝4，求动点P 的轨迹方程． 解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN＝(x ，－2y )， 故OP ·MN＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM＋ON ，求动点Q 的轨迹．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ ＝OM＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2．又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．层级二 应试能力达标1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：选A 设动点P (x ，y )， 则由|PA |＝3|PO |，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2．化简，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0．故选A ． 2．下列四组方程表示同一条曲线的是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg xC ．y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2)D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2解析：选D 根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A 、B 、C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致；而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D 正确．故选D ．3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )解析：选A 将y ＝－4－x 2平方得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A ．4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A ．π3 B ．5π3 C ．π3或5π3 D ．π3或π6解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12．又0≤α<2π，所以α＝π3或5π3．故选C ．5．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，其图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2．答案：26．给出下列结论： ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 其中正确结论的序号是________．解析：对于①，方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y －4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．又点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0． 于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0．8．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)，当m ≠－2且m ≠－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2，y ＝m －1m ＋1x ＋2消去m ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－2时，直线PA 和QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝－3x －4和x ＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．综上，可知所求交点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．。
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(五十九) 曲线与方程
课时跟踪检测（五十九） 曲线与方程一、题点全面练1.平面直角坐标系中,已知两点A (3,1),B (－1,3),若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点),其中λ1,λ2∈R ,且λ1＋λ2＝1,则点C 的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析：选A 设C (x ,y ),因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→, 所以(x ,y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3),即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1,所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1,即x ＋2y ＝5,所以点C 的轨迹是直线,故选A. 2.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,A (1,0),B (1,1),C (0,1),映射f 将xOy 平面上的点P (x ,y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ,x 2－y 2),则当点P 沿着折线A -B -C 运动时,在映射f 的作用下,动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时,x ＝1,设P ′(x ′,y ′),则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1),故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1).当P 沿BC 运动时,y ＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1),所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2,－1≤y ′≤0),由此可知P ′的轨迹如D 所示,故选D.3.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA |＝1,则P 点的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.(x －1)2＋y 2＝4C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图,设P (x ,y ),圆心为M (1,0).连接MA ,PM ,则MA ⊥PA ,且|MA |＝1, 又因为|PA |＝1,所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2, 即|PM |2＝2,所以(x －1)2＋y 2＝2.4.设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点.若BP ―→＝2PA ―→,且O Q ―→·AB ―→＝1,则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) C.3x 2－32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)D.3x 2＋32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)解析：选A 设A (a,0),B (0,b ),a ＞0,b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→,得(x ,y －b )＝2(a －x ,－y ),即a ＝32x＞0,b ＝3y ＞0.点Q (－x ,y ),故由O Q ―→·AB ―→＝1,得(－x ,y )·(－a ,b )＝1,即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ,b ＝3y 代入ax ＋by ＝1,得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0).5.如图所示,已知F1,F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左,右焦点,P是椭圆Γ上任意一点,过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线,垂足为Q ,则点Q 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：选B 延长F 2Q ,与F 1P 的延长线交于点M ,连接O Q .因为P Q是∠F 1PF 2的外角的角平分线,且P Q ⊥F 2M ,所以在△PF 2M 中,|PF 2|＝|PM |,且Q 为线段F 2M 的中点.又O 为线段F 1F 2的中点,由三角形的中位线定理,得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|).根据椭圆的定义,得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,所以|O Q |＝a ,所以点Q 的轨迹为以原点为圆心,半径为a 的圆,故选B.6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,0),B (2,2),若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→),其中t ∈R ,则点C 的轨迹方程是____________________.解析：设C (x ,y ),则OC ―→＝(x ,y ),OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27.设F 1,F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点,A 为椭圆上任意一点,过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线,垂足为D ,则点D 的轨迹方程是________________.解析：由题意,延长F1D ,F 2A 并交于点B ,易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ,则|F 1D |＝|BD |,|F 1A |＝|AB |,又O 为F 1F 2的中点,连接OD ,则OD ∥F 2B ,从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2,设点D 的坐标为(x ,y ),则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48.(2019·福州质检)已知A (－2,0),B (2,0),斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ,N 满足|MA |－|MB |＝23,|NA |－|NB |＝23,且线段MN 的中点为(6,1),则k 的值为________.解析：因为|MA |－|MB |＝23,|NA |－|NB |＝23,由双曲线的定义知,点M ,N 在以A ,B 为焦点的双曲线的右支上,且c ＝2,a ＝3,所以b ＝1,所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝12,y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ,代入双曲线的方程,消去y ,得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0,所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12,① y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2,② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图,动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ,B ,C ,D 四点.点A 1,A 2分别为C 2的左、右顶点,求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1,知A 1(－3,0),A 2(3,0).设点A 的坐标为(x 0,y 0), 由曲线的对称性,得B (x 0,－y 0), 设点M 的坐标为(x ,y ), 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0,y 0)在椭圆C 2上,故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3,y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3,y ＜0).10.(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6,0),A 2(6,0),再取两个动点N 1(0,m ),N 2(0,n ),且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ,Q 两点,过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ,F 为轨迹C 的右焦点,若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1),求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知,直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6),① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6),② 设M (x ,y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点, ①×②得y 2＝－mn 6(x 2－6), 又mn ＝2,整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则N (x 1,－y 1), 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ,得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0,(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3,y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→,得(x 1－3,y 1)＝λ(x 2－3,y 2),故x 1－3＝λ(x 2－3),y 1＝λy 2, 由(1)得F (2,0),要证NF ―→＝λF Q ―→, 即证(2－x 1,y 1)＝λ(x 2－2,y 2), 只需证2－x 1＝λ(x 2－2),只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2, 即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0,又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9,x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6,所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0,即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0,而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立,即NF ―→＝λF Q ―→成立.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0,即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.2.动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0),B (－a,0)的一点,F 1,F 2为椭圆的两个焦点,动圆M 与线段F 1P ,F 1F 2的延长线及线段PF 2相切,则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A.抛物线B.椭圆C.双曲线的右支D.一条直线解析：选D 如图,设切点分别为E ,D ,G ,由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |,|F 2D |＝|F 2G |,|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ,即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ,也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ,故点G 与点A 重合,所以点M 的横坐标是x ＝a ,即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点),故选D.3.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4,若抛物线过点A (－1,0),B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________________.解析：设抛物线焦点为F ,过A ,B ,O 作准线的垂线AA 1,BB 1,OO 1,则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4,由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |,所以|FA |＋|FB |＝4,故F 点的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图,P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点,P 点在x 轴上的射影是D ,点M 满足DM ―→＝12DP ―→. (1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ,B ,求以OA ,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.解：(1)设M (x ,y ),则D (x,0), 由DM ―→＝12DP ―→,知P (x,2y ),∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴x 2＋4y 2＝4,故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1,且轨迹C 是以(－3,0),(3,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.(2)设E (x ,y ),由题意知l 的斜率存在, 设l ：y ＝k (x －3),代入x 24＋y 2＝1,得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0,Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0,得k 2＜15,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2,∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形,∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2, 又OE ―→＝(x ,y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得,x 2＋4y 2－6x ＝0, ∵k 2＜15,∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. (二)交汇专练——融会巧迁移5.[与立体几何交汇]如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°,则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°,然后用平面α去截,使直线AB 与平面α的夹角为60°,则截口为P 的轨迹图形,由圆锥曲线的定义可知,P 的轨迹为椭圆.故选C.6.[与新定义问题交汇]若曲线C 上存在点M ,使M 到平面内两点A (－5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D.x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8, ∴M 的轨迹是以A (－5,0),B (5,0)为焦点的双曲线,方程为x 216－y 29＝1.A 项,直线x ＋y ＝5过点(5,0),故直线与M 的轨迹有交点,满足题意；B 项,x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0),半径为3,与M 的轨迹没有交点,不满足题意；C 项,x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0),故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点,满足题意；D 项,把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1,可得y －y 29＝1,即y 2－9y ＋9＝0,∴Δ＞0,满足题意.7.[与正弦定理交汇]已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且顶点A ,B 的坐标分别为(－4,0),(4,0),C 为动点,且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ,则C 点的轨迹方程为________________.解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10,则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |,∴满足椭圆定义.令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1,则a ′＝5,c ′＝4,b ′＝3,则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5).答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)。
课时跟踪检测(五十六)曲线与方程
课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝23．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆4．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)6．(2012·杭州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋47．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________．8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．9．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．11．(2012·苏州模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RP,·RQ,的最小值．12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．答 案课时跟踪检测(五十六)A 级1．选A 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA ＝(3,1)，OB ＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝ 2.即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为 (x －1)2＋y 2＝2.3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y 2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .7．解析：依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 9．解析：∵(a ＋3b )⊥(a －3b )， ∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0，∴x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝110．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)． 11．解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， ∴RP ·RQ ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16. 12．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)， 故b 2＝2.根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0. 由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．B 级1．选A 设A (a,0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ＝(x ，y －b )，PA ,＝(a －x ，－y )，OQ ＝(－x ，y )，AB ＝(－a ，b )．由BP＝2PA ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ·AB ＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．选A 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．3．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6. (2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 29.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。
【原创】高考理科数学复习课时跟踪检测(五十) 曲线与方程
课时跟踪检测（五十） 曲线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________．解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝12．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，则动点C 的轨迹方程为________．解析：由题意得AB ―→＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6，则点P 的轨迹是________．解析：|(x ＋4)2＋y 2－(x －4)2＋y 2|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．答案：双曲线4．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1，所以PM ＝MA 2＋PA 2＝2， 即PM 2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝25．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6，则动点P 的轨迹方程是________．解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，即y 2＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2＝x . 答案：y 2＝x6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城一模)设点Q (2,0)，圆C ：x 2＋y 2＝1，若动点M 到圆C 的切线长与M Q 长的比等于2，则动点M 的轨迹方程是________．解析：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 满足MN ＝2M Q ，∵圆的半径ON ＝1，∴MN 2＝MO 2－ON 2＝MO 2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝2(x －2)2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－16x ＋17＝0.答案：3x 2＋3y 2－16x ＋17＝02．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→，则点C 的轨迹方程为________________．解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC ―→＝2CB ―→，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋y 24＝13．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M 的轨迹为双曲线．答案：双曲线4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．解析：因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则AM ＝M Q ，所以MC ＋MA ＝MC ＋M Q ＝C Q ＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：4x 225＋4y 221＝15．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6.(2019·扬州一模)如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段Q N 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：因为点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线P Q 的对称点Q ′在直线F 1P 的延长线上， 故F 1Q ′＝PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又O Q 是△F 2F 1Q ′的中位线，所以O Q ＝12F 1Q ′＝2，设M (x ，y )，则Q (2x ，y )， 所以有4x 2＋y 2＝4.故点M 的轨迹方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0， 所以4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简变形，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x8．(2019·通州一模)已知⊙C ：(x ＋1)2＋y 2＝36及点A (1,0)，点P 为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C (－1,0)，半径等于6，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵AP 的垂直平分线交CP 于M ，∴MA ＝MP ，又MP ＋MC ＝6，∴MC ＋MA ＝6＞AC ＝2，∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝6,2c ＝2，∴a ＝3，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴点M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝19．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22PB ―→，求点P 的轨迹方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→，又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 则H 是MN 的中点． 所以O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝(x －4)2＋y 2，所以(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， 所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0. 则Δ＝－32kb ＋64＞0. 且x 1＋x 2＝8－2kbk 2， ① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0，所以k ＝－b ，此时Δ＞0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC ―→＝tOM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－(－3)5－1(x －1)，即y ＝x －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0,设C 的轨迹方程与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16， 因为OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0, 所以OA ⊥OB .(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0, 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m ＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n得y 2＝2x －8.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业55曲线与方程+Word版含解析.docx
课时作业55曲线与方程［授课提示：对应学生用书第258页］一、选择题1.方程(x2+y2—4)yjx+y+1 =0的曲线形状是( )［x2+^2—4=0, 解析：由题意可得x+y+l= 0或,1兀十1刁0,它表示直线x+尹+1 = 0和圆x2-\~y2—4 = 0在直线x~\~y-\-1=0右上方的部分.答案：C2.设点/为圆(x-l)2+^2=l ±的动点，刃是圆的切线，且冋|=1,则P 点的轨迹方程为()A・y2 = 2x B. (x~l)2+y2=4C・y2=—2x D. (x—1 )2 +y2— 2解析：如图，设P(x, y),圆心为M(l,0)・连接MA,则胚4丄刊，且|胚4| =1.又・・・|冲|= _____・・・ | W =yf\MAf+\R4^=边，即|PA/|2=2, A(X-1)2+/=2.答案：D3.(2018-珠海模拟)己知点/(1,0),直线人y=2x~4,点7?是直线/上的一—►—►点，若RA=AP,则点P的轨迹方程为( )A. y= _2xB. y=2xC ・y=2x—8D ・y=2x+4―►—►解析：设P(x, y), R(X\, /),由RA=AP知，点A是线段RP的中点，"x+xi2 =1，[X!=2-X,・・・], 即Z±2L_n31 = —)人I 2 _山・・•点门)在直线y=2x~4上，••吵i=2x]—4, /. 一尹=2(2—x)一4,即y=2x.答案:B4.已知点弔，0),直线/：x=—点B是/上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析：由已知^\MF\ = \MB\,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F 为焦点，直线Z为准线的抛物线.答案:D5・(2018-河北衡水六调，8)已知/(—1,0), B 是圆F：x2-2x+y2~\\=0(F 为圆心)上一动点，线段M的垂育平分线交貯于P,则动点P的轨迹方程为() 2 2 2 2A — 1 R U 1A.]?十][一1 匕6 35_,2 2 2 2C旨-牙=1 D. f+f = 1解析：由题意^\PA\=\PB\. :.\PA\+\PI^=\PB\+\PF]=r=2yl3>\AF]=29 :. 点P 的轨迹是以A. F为焦点的椭圆，且a=百,c=l, ・・・b=吊，・•・动点P的 2 7轨迹方程为〒+牙=1，故选D.答案：D―►6・已知/(一1,0), 5(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N,若Ml/—► —►=MN・NB,当久V0时，动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线—►—► —►解析：设M(JC, y),则N(x,0),所以MN2=y2,1,0)・(1 —x,0)2=久(1 —工)，所以y2—A(1 —x2),即变形为X24~1.又因为久<0,所以动点M的轨迹为双曲线.答案：C二、填空题(ci｝苗,0)(Q>0),且7・在厶/BC屮，力为动点，B, C为定点，㊁，满足条件sinC—sin5=|sirk4,则动点A的轨迹方程是 ___________解析：由正弦定理得噗1—劈二养1!肆，即\AB\~\AC\=^BC\,故动点/是以B, C为焦点，号为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为爭一豊_=l(x>0且尹工0)・答案：今4—豊■=l （x>0且尹工0）8. （2018-河南开封模拟）如图，已知圆E ： （%+^3）2+/=16，点、F （书,0）, P 是圆E 上任意一点.线段PF 的垂宜平分线和半径PE 相交于0.则动点Q 的轨 迹厂的方程为 ___________________ .解析：连接0F,因为0在线段PF 的垂直平分线上，所^\QP\ = \QF\,得|0E| + \QF\ = \QE\ + \QP\ = \PE\=4.又|釦=2^3<4,得0的轨迹是以E, F 为焦点，长轴长为4的椭圆为亍+r 2答案：j+r=i9. （2018-中原名校联考，16）已知双曲线牙一長=1的左、右顶点分别为力2，点P （xi ，刃）,0（兀1，—yi ）是双曲线上不同于Ml 、力2的两个不同的动点，则 直线AiP 与A 2Q 交点的轨迹方程为 _____ ・解析：由题设知kd>V2, AK —迄,0）,缶（迈，0）,则有直线A X P 的方程为尸点尹+Q'①・・.兀工0,且\x\<^2,因为点P （%i ，yi ）在双曲线y —/=1 ±,所以号—卅=1・2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为牙+#=1（详0,且详皿）・ 答案：牙+尸=1（兀工0,且 三、解答题10. 在平面直角坐标系兀0尹中，点B 与点/（—1,1）关于原点O 对称，P 是动 点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于一*・求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点昇（一1,1）关于原点O 对称. 所以点B 的坐标为（1, 一1）・设点P 的坐标为（x,力，由题设知直线/卩与的斜率存在且均不为零，则尹一ly+1 _1 x+1 x— 1 3’联立①②，解得化简得/+3J?=4(X H±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y=4(x^±l)・11.如下图所示，从双曲线%2—y2=l ±一点0引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段0N的中点P的轨迹方程.解析：设动点P的坐标为(兀，尹)，点0的坐标为(X[, 口), 则N(2x—x\2y—yi)代入x+y=2,得2x—xi+2y—y\ =2@又P0垂直于直线x+y=2,故=即x—y+y\ —X] =0.②3 1由①②解方程组得X!拐x+匆一1 ,代入双曲线方程即可得尸点的轨迹方程是2x2-2y2—2x~l-2y— 1 =0.[能力挑战]12.(2017-新课标全国卷III)在直角坐标系xOy屮，曲线y=x2+mx—2与x 轴交于力，B两点，点C的坐标为(0,1).当加变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C丄BC的情况？说明理由；(2)证明过力，B, C三点的圆在尹轴上截得的弦长为定值. 解析：⑴不能出现/C丄BC的情况.理由如下：设^(%1 0), 5(X2 0)»则兀1，兀2 满足x2 + wx —2 = 0, 所以X|X2=—2・又点C的坐标为(0,1),—1 — 1 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为丁•二一=—刁X\ X2Z所以不能出现MC丄3C的情况.由(1)可得xi+^2 —~m,所以的中垂线方程为x=-岁.，可得BC的中垂线方程为y-|=X2又X22+mxi—2 = 0, 可得］1/=_2-/=*x+|y_l所以过力，B, C三点的圆的圆心坐标为故圆在歹轴上截得的弦长为2 yp~^=3, 即过B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。
高中数学复习-双曲线的定义、方程及性质
）
解析：设｜ PF 2｜＝ m ，｜ PF 1｜＝3 m ，则｜ F 1 F 2｜＝
2 + 92 − 2 × 3 × × cos60° ＝ 7 m ，所以 C 的离心率 e
｜1 2 ｜
2
7
7
＝ ＝ ＝
＝
＝ .
2
2
2
｜1 |−|2 ｜
目录
高中总复习·数学
BE ｜＝1，｜ CD ｜＝｜ CF ｜，所以｜
CA ｜－｜ CB ｜＝5－1＝4.根据双曲线定
义，所求轨迹是以 A ， B 为焦点，实轴长为4
的双曲线的右支（右顶点除外），即 c ＝3，
a ＝2，又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b 2＝5，所以顶
2
2
点 C 的轨迹方程为 － ＝1（ x ＞2）.
9 + 28 = 1，
经过点 P （3，2 7 ）， Q （－6 2 ，7），所以ቊ
72 + 49 = 1，
解得 ൞
＝ −
1
＝ .
25
1
，
75
2
2
故所求双曲线标准方程为 － ＝1.
25
75
目录
高中总复习·数学
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】
2
2
（1）已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为
PF 2｜＝4 a ，∴｜ PF 1｜＝3 a ，｜ PF 2｜＝ a .在△ PF 1 F 2中，由余弦定
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 −|1 2 ｜2
1
理的推论可得 cos 60°＝
，即 ＝
2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版课时跟踪检测五十四曲线与方程含答案
课时跟踪检测（五十四） 曲线与方程1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2018·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过点F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .3．(2018·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ，错误!·a ＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|O Q |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1＞0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．4．(2018·云南质量检测)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：选D MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝12|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D.5．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5，故M的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 6．(2018·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．7．(2019·杭州七校质量检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1Q F 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线Q F 2于点S ，∵Q P 是∠F 1Q F 2的平分线，且Q P ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|Q S |－|Q F 2|)＝12(|Q F 1|－|Q F 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C ：x 2169－y 225＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 为异于F 1，F 2的两点，且MN 的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于F 1和F 2的对称点分别为A ，B ，则|NA |－|NB |的值为( )A ．26B ．－26C ．52D ．－52解析：选D 设MN 的中点为P ，由几何关系结合三角形中位线可得|NA |＝2|PF 1|，|NB |＝2|PF 2|，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)，又点P 位于双曲线的左支，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)＝2×(－2a )＝－4a ＝－4×13＝－52.故选D.9．(2019·六安一中月考)如图，已知F1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.10．(2019·遵义第四中学月考)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 解析：选A 设动圆的半径为r ，由题意可得MC 1＝r ＋2，MC 2＝r －2，所以MC 1－MC 2＝22＝2a ＜8，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4，则b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)，故选A.11．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －112．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)13．(2019·漳州联考)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________．解析：不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝kx ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0，①易得抛物线x 2＝4y 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线x 2＝4y 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)，得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故点P 的轨迹方程为x ＝－1.答案：x ＝－114．(2019·湖北部分重点中学联考)设A (－2,0)，B (－1,0)，C (1,0)，动圆D 与x 轴相切于A点，如图，过B ，C 两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并写出点P 的轨迹方程；两点，求OM ―→·ON ―→的取(2)设动直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，又l 与点P 的轨迹交于M ，N 值范围．解：(1)证明：设直线PB 和PC 与圆D 分别相切于点E 和点F . 由切线长定理得|PE |＝|PF |， 则|PB |－|EB |＝|CF |－|PC |， 又|CA |＝|CF |＝3，|AB |＝|EB |＝1， 所以|PB |＋|PC |＝|CF |＋|EB |＝3＋1＝4， 所以|PB |＋|PC |为定值4.所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以c ＝1，a ＝2，b 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝±1， 不妨设M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，则OM ―→·ON ―→＝－54. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为直线l 与单位圆相切，所以|m |k 2＋1＝1， 则m 2＝k 2＋1.①由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3.所以OM ―→·ON ―→＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝7m 2－12k 2－124k 2＋3，②把①代入②得OM ―→·ON ―→＝－5(k 2＋1)4k 2＋3＝－54⎝⎛⎭⎫1＋14k 2＋3.因为4k 2＋3≥3，所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡⎭⎫－53，－54. (ⅲ)当l ：y ＝kx ＋m 过点(－2,0)或(2,0)时，k ＝±33，即y ＝±33(x ＋2)或y ＝±33(x －2)，则OM ―→·ON ―→＝－2013，综上，OM ―→·ON ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫－53，－2013∪⎝⎛⎦⎤－2013，－54.15．(2019·丹东期末)已知动点E 到点A (2,0)与点B (－2，0)的斜率之积为－14，点E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (1,0)作直线l 与曲线C 交 于P ，Q 两点，求OP ―→·O Q ―→的最大值．解：(1)设E (x ，y )，则x ≠±2.因为动点E 到点A (2,0)与点B (－2,0)的斜率之积为－14，所以y x ＋2·y x －2＝－14，整理得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当l 垂直于x 轴时，l 的方程为x ＝1， 代入x 24＋y 2＝1得P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32. 所以OP ―→·O Q ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝14.当l 不垂直于x 轴时，依题意可设y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.因为Δ＝16(1＋3k 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.所以OP ―→·O Q ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2 ＝(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2－8k 41＋4k2＋k 2＝k 2－41＋4k 2＝14－174＋16k 2＜14. 综上，OP ―→·O Q ―→≤14，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP ―→·O Q ―→的最大值是14.16．(2019·合肥调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD ―→＝53MD ―→. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、 右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线Q F ，PA 的斜率分别为k Q F ，k PA ，求k Q Fk PA的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD ―→＝53MD ―→，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点，∴x 225＋⎝⎛⎭⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)． (2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)， 设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径， ∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB ，k Q F k PA ＝k Q F －1k PB＝－k Q F k PB ＝－k Q F k Q B ＝－y 0x 0＋4·y 0x 0－5 ＝－y 2(x 0＋4)(x 0－5)＝－9⎝⎛⎭⎫1－x 2025(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 20－25)(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 0＋5)x 0＋4＝925⎝⎛⎭⎫1＋1x 0＋4.∵点P 不同于A ，B 两点且直线Q F 的斜率存在， ∴－5＜x 0＜5且x 0≠－4，又y ＝1x ＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴925⎝⎛⎭⎫1＋1x 0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞，故k Q F k PA的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞.。
人教A数学选修课时跟踪检测：第2章 圆锥曲线与方程阶段性测试题二 含解析
阶段性测试题二第二章 圆锥曲线与方程 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·鸡东二中月考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：双曲线的方程可化为x 24－y 28＝1， ∴a ＝2，∴实轴长为4，故选C. 答案：C2．(2019·保定月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，A (2,3)为双曲线C 上一点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析：由题可知，c ＝2， ∴双曲线的焦点为(－2,0)，(2,0)， ∵A (2,3)在双曲线上， ∴2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2.∴a ＝1，∴b ＝3，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，故选D. 答案：D3．(2019·海口月考)椭圆C ：x 24＋y 23＝1与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )A.12 B ．22 C.33D ．32解析：∵椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为(±1,0)，离心率为12， ∴双曲线的离心率为2，c ＝1，∴a ＝12， ∴b ＝c 2－a 2＝1－14＝32， ∴渐近线的斜率为k ＝3212＝3，∴α＝π3，∴渐近线的倾斜角的正弦值为32，故选D. 答案：D4．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A ，B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y ＝22x ，点F 是抛物线的焦点，且△F AB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 22＝1 B ．x 2－y 28＝1C.x 22－y 216＝1 D ．x 28－y 2＝1解析：y 2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2， ∵△F AB 是直角三角形，且由题意得，|AF |＝|BF |， 由题意得|AB |＝8，∴A 的坐标为(－2,4)． ∴4a 2－16b 2＝1，①双曲线的渐近线方程为y＝22x，∴ba＝22，∴b＝22a，②由①②得a2＝2，b2＝16，∴双曲线的标准方程为x22－y216＝1，故选C.答案：C5．(2019·武汉四校期中)如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题可知CD为MF的垂直平分线，连接PF，则|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R，又显然|MO|>|OF|，∴点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆，故选A.答案：A6．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－3 B．3C．2 D．－2解析：由题可知AB与直线y＝x＋b垂直，且AB的中点在y＝x＋b上，∴k AB＝－1.设AB的中点为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 21－y 22＝x 1－x 2，∴k ＝1y 1＋y 2＝12y 0＝－1，∴y 0＝－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 222＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22＝32.又∵AB 的中点在y ＝x ＋b 上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在y ＝x ＋b 上，∴－12＝32＋b ，∴b ＝－2，故选D. 答案：D7．(2019·阜阳一中月考)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－153，153 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y ，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∵直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，设两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1，故选D. 答案：D8．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A ．48B ．24C ．24 3D ．12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 故△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24. 答案：B9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝8，则p 的值为( )A ．4B ．12 C ．1D ．2解析：设直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎨⎧y ＝x －p2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.|AF |·|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2p 2＝8，∴p 2＝4，∴p ＝2或p ＝－2(舍去)．故选D. 答案：D10．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34解析：解法一：不妨设直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)(b >0，c >0)，则直线l 的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝14.又0<e <1，∴e ＝12.解法二：如图，由Rt △OBF 的面积相等，得bc ＝a ×14×2b ，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.答案：B11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 解析：由题意可得，k AB ＝－1－01－3＝12，故直线AB 的方程为y ＝12(x －3)．由⎩⎨⎧y ＝12(x －3)，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，消去y 并整理，得(a 2＋4b 2)x 2－6a 2x ＋9a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝3a 2a 2＋4b 2＝1，∴a 2＝2b 2. 又a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋9，∴b 2＝9，a 2＝18. 故E 的方程为x 218＋y 29＝1. 答案：D12．若抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，则经过点F ，M (3,3)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：连接FM ，作它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，∵经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等， ∴圆心在抛物线上． ∵直线与抛物线交于两点，∴这两点可以作为圆心，这样的圆有2个，故选C. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则双曲线的方程为______________________．解析：设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴x2λ－y2λ4＝1，∴|λ|＋|λ|4＝25，∴|λ|＝20，∴λ＝±20.∴双曲线的方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.答案：x220－y25＝1或y25－x220＝114．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率e＝________.解析：由题意得△PF1F2为直角三角形，|PF2|＝b2 a ，∠F1PF2＝45°，∴|PF2|＝|F1F2|，∴b2a＝2c，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±2.又0＜e＜1，∴e＝2－1.答案：2－115．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，又∵∠BFC ＝90°，∴BF →·CF→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0.又b 2＝a 2－c 2，∴3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＝63.答案：6316．(2019·福州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，连接BF ，若|OA |＝|OF |＝5，|BF |＝8，则双曲线C 的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，连接AF 1，BF 1， ∵A ，B 两点关于原点O 对称，且都在双曲线上， 又∵|OA |＝|OF |＝5，∴|AB |＝|F 1F |＝10， 且四边形AFBF 1为矩形，∴|BF |2＋|BF 1|2＝|FF 1|2，∴|BF 1|＝6， ∴2a ＝|BF |－|BF 1|＝8－6＝2，∴a ＝1， 又c ＝5，∴e ＝ca ＝5. 答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线的方程．解：椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝16，c a ＝4a ＝145－45＝2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线的方程为y 24－x 212＝1.18．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点． (1)求弦AB 的长度；(2)若点P 在抛物线C 上，且△ABP 的面积为12，求点P 的坐标． 解：(1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＝1，x 2＝4，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22×|1－4|＝3 5.(2)设P (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0， P 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－y 0－4|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－45，又∵S △ABP ＝12×|AB |·d ＝12， ∴12×35d ＝12，∴d ＝855，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－45＝855，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝8，∴y 202－y 0－4＝8或y 202－y 0－4＝－8， ∴⎩⎨⎧ x 0＝4，y 0＝－4或⎩⎨⎧x 0＝9，y 0＝6 ∴点P 的坐标为(4，－4)或(9,6)．19．(12分)(2019·蕉岭月考)已知椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点分别为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，求证：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意得，c ＝1，又知椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴可设椭圆方程为11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)＋32，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0， 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k ， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ， 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.20．(12分)(2019·永泰二中期末)已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l ：y ＝12x ＋b与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当直线l 过抛物线C 的焦点F 时，求|AB |；(2)是否存在直线l 使得直线OA ⊥OB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，把F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0代入l 得，l ：y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得x 2－9x ＋14＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝9，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9＋1＝10.(2)假设存在使OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝12x ＋b ，消去x ，得y 2－4y ＋4b ＝0，由Δ＝16－16b >0，得b <1，又y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4b ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝4b 2＋4b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝－1，∴l ：y ＝12x －1，即x －2y －2＝0.21．(12分)已知动点M 到定点F (－1,0)和定直线x ＝－4的距离之比为12，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P (－4,0)，过点F 作斜率不为0的直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，设直线P A ，PB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)设M (x ，y )，则依题意有(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|＝12， 整理得x 24＋y 23＝1，即为曲线C 的方程．(2)设直线l ：x ＝ty －1(t ≠0)，则A (ty 1－1，y 1)，B (ty 2－1，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，得，(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0.∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， ∴k 1＋k 2＝y 1ty 1＋3＋y 2ty 2＋3＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝2t ×(－9)＋3×6t －9t 2＋3t ×6t ＋9(3t 2＋4)＝0，即k 1＋k 2＝0.22．(12分)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1<t <3)，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0|·|y 0|.由x 209＋y 20＝1得，y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94. 又显然－3<x 0<0，∴当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由题意得A 1(－3,0)，A 2(3,0)，∴直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③，得x 29－y 2＝1.又显然x<－3，y<0，因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x<－3，y<0)．。
高中数学第二章2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程课时跟踪训练含解析新人教A版选修2
求曲线的方程[A 组 学业达标]1．方程y ＝|x |x 2表示的曲线为图中的( )解析：y ＝|x |x 2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B. 又因为当x >0时，y ＝1x >0； 当x <0时，y ＝－1x >0，所以排除D. 答案：C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点． 答案：B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k P A ＋k PB ＝－1，∴y －0x －(－1)＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)． 答案：B4．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C.12D.13解析：因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，所以代入曲线方程可得a ＝13，故选D. 答案：D5．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析：设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )． 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1. 答案：A6．直线2x ＋5y －15＝0与曲线y ＝－10x 的交点坐标为________．解析：由方程组⎩⎨⎧2x ＋5y －15＝0，y ＝－10x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－52，y ＝4，即它们的交点坐标为(10，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，4.答案：(10，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，47．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝0＋x2，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1， 即y ＝4x 2. 答案：y ＝4x 28．已知定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π. 答案：4π9．已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53和点B (1,1)，求a ，b 的值．解析：依题意，得⎩⎨⎧259b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3225，b ＝1825.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程．解析：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN →＝(x ，－2y )，故OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.[B 组 能力提升]11．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：利用数形结合的思想方法，如图所示： 曲线y ＝－1－x 2表示x 2＋y 2＝1的下半圆，曲线y ＋|ax |＝0，即y ＝－|a ||x |， 当x ≥0时，即y ＝－|a |x ，当x <0时即y ＝|a |x ，得两曲线交点2个． 故选B. 答案：B12．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y29＝1解析：设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，由OP →＝13OA →＋23OB →，得(x ，y )＝13(a,0)＋23(0，b )， ∴a ＝3x ，b ＝32y . ∵|AB →|＝3，∴a 2＋b 2＝9，∴(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 2＋y 24＝1.答案：A13．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3， 得cos α＝12，又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π. 答案：π3或5π314．一动点到y 轴距离比到点(2,0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________． 解析：设动点P (x ，y )，则由条件，得(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，两边同时平方，得y 2＝4x ＋4|x |，当x ≥0时，y 2＝8x ；当x <0时，y ＝0，所以动点的轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．答案：y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)15．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解析：法一：设弦的中点为P (x ，y )， 则另一端点为(2x,2y )在圆(x －1)2＋y 2＝1上， 故(2x －1)2＋4y 2＝1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 法二：如图所示，设所作弦的中点为P (x ，y )，连接CP ， 则CP ⊥OP ，|OC |＝1，OC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以动点P 的轨迹是以点M 为圆心，以OC 为直径的圆，故轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.又因为点P 不能与点O 重合，所以0<x ≤1. 故所作弦的中点的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．16．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程． 解析：设Q (x ，y )，点M (x 0，y 0)(y 0≠0)， 则点N (0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0所以⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y2.又因为点M 在圆C 上， 所以x 2＋y 24＝4，即x 24＋y 216＝1(y ≠0)， 所以动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 216＝1(y ≠0)．。
高中数学课时跟踪检测四曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2_1
高中数学课时跟踪检测四曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2_1层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )B．关于y轴对称A．关于x轴对称D．关于x－y＝0对称C．关于原点对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )MN MP MN NPA．y2＝8x B．y2＝－8xD．y2＝－4xC．y2＝4x解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(4,0)，＝(x ＋2，y)，＝(x －2，y)，MN MP NP∴||＝4，||＝，·＝4(x －2)．MN MP MN NP根据已知条件得4 ＝4(2－x)．整理得y2＝－8x ．∴点P 的轨迹方程为y2＝－8x ．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是() A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB|＝＝5．设C 的坐标为(x ，y)，则×5×＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x2＋2y2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0．∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P 满足·＝12，则点P 的轨。
课时跟踪检测(五十六)曲线与方程
课时跟踪检测(五十六) 曲线与方程1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝23．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆4．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y5．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)6．(2012·杭州模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为( )A．y＝－2x B．y＝2xC．y＝2x－8 D．y＝2x＋47．点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是________．8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．9．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ，试求轨迹C 的方程．11．(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交动点C 的轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP ,·RQ ,的最小值．12．(2012·山西模拟)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．1．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ,＝2PA ,，OQ ,·AB ,＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．答案课时跟踪检测(五十六)A级1．选A 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1， ∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2.即|PM |2＝2，即P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.3．选B 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2,2<|F 1F 2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .5．选A 由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．选B ∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎨⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .7．解析：依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 9．解析：∵(a ＋3b )⊥(a －3b )， ∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0，∴x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝110．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．11．解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，－1，∴RP ·RQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP RQ ≥4×2＋8＝16，即RP ·RQ 的最小值为16. 12．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆的一个顶点是A (2，0)， 故b 2＝2.根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝b a，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．B 级1．选A 设A (a,0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ＝(x ，y －b )，PA ,＝(a －x ，－y )，OQ＝(－x ，y )，AB ＝(－a ，b )．由BP ＝2PA ,得⎩⎨⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎨⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ·AB＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．2．选A 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．3．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 209＋y 2＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．x2 9－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为。
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课时跟踪检测（五十四） 曲线与方程1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2018·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过点F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .3．(2018·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ，错误!·a ＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|O Q |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1＞0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．4．(2018·云南质量检测)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：选D MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝12|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D.5．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.6．(2018·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y＞0)．7．(2019·杭州七校质量检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1Q F 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线Q F 2于点S ，∵Q P 是∠F 1Q F 2的平分线，且Q P ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|Q S |－|Q F 2|)＝12(|Q F 1|－|Q F 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C ：x 2169－y 225＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 为异于F 1，F 2的两点，且MN 的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于F 1和F 2的对称点分别为A ，B ，则|NA |－|NB |的值为( )A ．26B ．－26C ．52D ．－52解析：选D 设MN 的中点为P ，由几何关系结合三角形中位线可得|NA |＝2|PF 1|，|NB |＝2|PF 2|，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)，又点P 位于双曲线的左支，则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)＝2×(－2a )＝－4a ＝－4×13＝－52.故选D.9．(2019·六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.10．(2019·遵义第四中学月考)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 解析：选A 设动圆的半径为r ，由题意可得MC 1＝r ＋2，MC 2＝r －2，所以MC 1－MC 2＝22＝2a ＜8，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4，则b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)，故选A.11．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －112．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)13．(2019·漳州联考)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________．解析：不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝kx ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0，①易得抛物线x 2＝4y 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线x 2＝4y 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)． 联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)，得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故点P的轨迹方程为x ＝－1.答案：x ＝－114．(2019·湖北部分重点中学联考)设A (－2,0)，B (－1,0)，C (1,0)，动圆D 与x 轴相切于A 点，如图，过B ，C 两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并写出点P 的轨迹方程；(2)设动直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，又l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，求OM ―→·ON ―→的取值范围．解：(1)证明：设直线PB 和PC 与圆D 分别相切于点E 和点F . 由切线长定理得|PE |＝|PF |， 则|PB |－|EB |＝|CF |－|PC |， 又|CA |＝|CF |＝3，|AB |＝|EB |＝1， 所以|PB |＋|PC |＝|CF |＋|EB |＝3＋1＝4， 所以|PB |＋|PC |为定值4.所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以c ＝1，a ＝2，b 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝±1，不妨设M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，则OM ―→·ON ―→＝－54. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为直线l 与单位圆相切，所以|m |k 2＋1＝1， 则m 2＝k 2＋1.①由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3.所以OM ―→·ON ―→＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝7m 2－12k 2－124k 2＋3，②把①代入②得OM ―→·ON ―→＝－5(k 2＋1)4k 2＋3＝－54⎝⎛⎭⎫1＋14k 2＋3.因为4k 2＋3≥3，所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡⎭⎫－53，－54. (ⅲ)当l ：y ＝kx ＋m 过点(－2,0)或(2,0)时，k ＝±33，即y ＝±33(x ＋2)或y ＝±33(x －2)，则OM ―→·ON ―→＝－2013，综上，OM ―→·ON ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫－53，－2013∪⎝⎛⎦⎤－2013，－54.15．(2019·丹东期末)已知动点E 到点A (2,0)与点B (－2，0)的斜率之积为－14，点E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (1,0)作直线l 与曲线C 交 于P ，Q 两点，求OP ―→·O Q ―→的最大值．解：(1)设E (x ，y )，则x ≠±2.因为动点E 到点A (2,0)与点B (－2,0)的斜率之积为－14，所以y x ＋2·y x －2＝－14，整理得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当l 垂直于x 轴时，l 的方程为x ＝1，代入x 24＋y 2＝1得P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32. 所以OP ―→·O Q ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝14.当l 不垂直于x 轴时，依题意可设y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x＋4k 2－4＝0.因为Δ＝16(1＋3k 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.所以OP ―→·O Q ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2 ＝(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2－8k 41＋4k2＋k 2 ＝k 2－41＋4k 2＝14－174＋16k 2＜14. 综上，OP ―→·O Q ―→≤14，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP ―→·O Q ―→的最大值是14.16．(2019·合肥调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD ―→＝53MD ―→.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、 右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线Q F ，PA 的斜率分别为k Q F ，k PA ，求k Q Fk PA的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD ―→＝53MD ―→，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y . 又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点，∴x 225＋⎝⎛⎭⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25，故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．(2)依题意知A(－5,0)，B(5,0)，F(－4,0)，设Q(x0，y0)，∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为k PB，则k PA＝－1k PB，k Q F k PA＝k Q F－1k PB＝－k Q F k PB＝－k Q F k Q B＝－y0x0＋4·y0x0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x2－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎫1＋1x0＋4.∵点P不同于A，B两点且直线Q F的斜率存在，∴－5＜x0＜5且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴925⎝⎛⎭⎫1＋1x0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞，故k Q Fk PA的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞.。