课时跟踪检测(五十四) 曲线与方程

课时跟踪检测（五十四） 曲线与方程

1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线

B ．两条双曲线

C ．两个点

D ．以上答案都不对

解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝－1，y ＝－1.

2．(2018·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－

y 2

3

＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝－8x

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝－4x

解析：选B 双曲线

x 2－

y 2

3

＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过点F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .

3．(2018·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是( )

A ．圆

B ．两条平行直线

C ．抛物线

D ．双曲线

解析：选B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ，错误!·a ＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|O Q |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1＞0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．

4．(2018·云南质量检测)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2＋y 2＝2

B ．x 2＋y 2＝4

C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)

D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)

解析：选D MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝1

2|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆

心，2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D.

5．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )

A.4x 221－4y 2

25＝1 B.4x 221＋4y 2

25＝1 C.4x 225－4y 2

21

＝1 D.4x 225＋4y 2

21

＝1

解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝5

2，

c ＝1，则b 2

＝a 2

－c 2

＝21

4，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221

＝1.

6．(2018·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和

y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→

，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )

A.3

2

x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.3

2

x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－3

2y 2＝1(x ＞0，y ＞0)

D ．3x 2＋3

2

y 2＝1(x ＞0，y ＞0)

解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→

，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→

＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，

即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为3

2x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y

＞0)．

7．(2019·杭州七校质量检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1Q F 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

解析：选B 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线Q F 2于点S ，∵Q P 是∠F 1Q F 2的平分线，且Q P ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|Q S |－|Q F 2|)＝1

2

(|Q F 1|－|Q F 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．

8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C ：x 2169－y 2

25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，

N 为异于F 1，F 2的两点，且MN 的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于F 1和F 2的对称点分别为A ，B ，则|NA |－|NB |的值为( )

A ．26

B ．－26

C ．52

D ．－52

解析：选D 设MN 的中点为P ，由几何关系结合三角形中位线可得|NA |＝2|PF 1|，|NB |