7 第7讲 抛物线

第7讲 抛物线

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程和几何性质

标准 方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0，0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0

F ⎝⎛⎭

⎫－p

2，0 F ⎝⎛⎭

⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭⎫0，－p

2 离心率 e ＝1

准线 方程 x ＝－p 2

x ＝p 2 y ＝－p

2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左

向上

向下

焦半径 (其中 P (x 0， y 0))

|PF |＝ x 0＋p 2

|PF |＝ －x 0＋p 2

|PF |＝ y 0＋p 2

|PF |＝ －y 0＋p 2

(以右图为依据)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

(1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4

.

(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝

2p

sin 2θ

(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

(教材习题改编)抛物线y ＝－1

4x 2的焦点坐标是( )

A ．(0，－1)

B ．(0，1)

C ．(1，0)

D ．(－1，0)

解析：选A.抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p

2＝1，故焦点为(0，

－1)．

顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x

B ．x 2＝－8y

C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y

D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y

解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y . (教材习题改编)焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．

解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x ＋y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y 2＝－4x .

当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y

设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 解析：如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作P A ⊥y 轴，垂足是A ，延长P A 交直线l 于点B ，则|AB |

＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6. 答案：6

抛物线的定义(高频考点)

抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值．

[典例引领]

角度一 求抛物线的标准方程

(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，且与直线x ＝－p

2

相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为________________．

【解析】 依题意得，圆心到定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p

2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 【答案】 y 2＝2px

角度二 求抛物线上的点与焦点的距离

(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延

长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．

【解析】 法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.

法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6. 【答案】 6

角度三 求距离和的最值

已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |

＋|PF |的最小值为________．

【解析】 如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |