必刷题5-2020秋苏科版八年级数学上册习题课件
必刷提高练(原卷版)22
20222023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高第5章《平面直角坐标系》章节复习巩固考试时间：100分钟试卷满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沙县期中）过点A（﹣2，6）和B（﹣2，8）作直线，则直线AB（）A．与x轴平行B．与y轴平行C．与y轴相交D．与x轴，y轴均相交2．（2分）（2022秋•太原期中）在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（）A．﹣5 B．3 C．﹣4 D．43．（2分）（2022秋•敦煌市期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（）A．（﹣1，2）B．（﹣3，﹣3）C．（1，4）D．（1，﹣3）4．（2分）（2022秋•西安期中）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，﹣1）C．（2，﹣1）D．（2，1）5．（2分）（2022秋•天桥区期中）已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，3）或（﹣3，3）D．（3，5）或（3，﹣3）6．（2分）（2022春•思明区校级期中）把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）7．（2分）（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．（2分）（2021秋•萧山区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y 轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（）A．22 B．18 C．14 D．109．（2分）（2022•大方县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至A'B'，那么a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2分）（2021秋•青田县期末）在如图所示的方格纸中有四条线段a，b，c，d，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成一个三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（）A．10种B．11种C．12种D．13种评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•潮安区期中）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为．12．（2分）（2022春•新会区期末）已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（2，﹣2）、C（﹣5，1），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（2，4），则顶点B的对应点B1的坐标是．13．（2分）（2021秋•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是．14．（2分）（2022•渭滨区一模）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1），则点B对应点的坐标为．15．（2分）（2021秋•龙口市期末）如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是．16．（2分）（2021秋•柯桥区期末）定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，3），B（6，﹣2），C（0，﹣4），若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是．17．（2分）（2021秋•鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为．18．（2分）（2021秋•汉阳区校级月考）如图，B（0，3），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连接OC，则当OC取最小值时，A点的坐标是．19．（2分）（2021春•黄州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为．20．（2分）（2020秋•双流区校级期中）已知如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、D（﹣5，9），设F为线段BD 上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是时，点M在整个运动过程中用时最少．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•邗江区校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．22．（6分）（2022秋•淮北月考）在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．23．（6分）（2022春•惠东县期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．（1）分别写出点A，A′的坐标：A（，），A′（，）．（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求m和n的值．24．（6分）（2021秋•舞钢市期末）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0）、（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a、b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到点O为止）．（1）求出a、b的值并直接写出点A、B、C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC、PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO、∠BCP、∠AOP之间满足的数量关系．25．（6分）（2022秋•龙岩期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB 则可量出∠OAB＝30°．若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB 的“等长点”．（1）在点，点，点中，线段AB的“等长点”是点；（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，求m和n的值．26．（10分）（2022春•莒南县期末）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．27．（10分）（2021秋•大埔县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）写出点B′的坐标．28．（10分）（2021秋•开福区校级期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作Q[A，B]，即．（1）若A（2，1）和B（﹣2，3），则Q[A，B]＝；（2）若点M（1，2），N（a，a﹣3），其中a为任意实数，求Q[M，N]的最小值；（3）若m为常数，且m＞0，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，﹣m），C点的坐标为（x，0），求Q[A，C]+Q[B，C]的最小值以及Q[A，C]﹣Q[B，C]的最大值．（用含m的代数式表示）。
必刷基础练【6.4 用一次函数解决问题】(解析版)
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础第6章《一次函数》6.4 用一次函数解决问题知识点01：数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.知识点02：正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.知识要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.知识点03：选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.考点01:根据实际问题列一次函数关系式1．（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（ ）A．y＝7.6x（0≤x≤20）B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）C．y＝7.6x+10（0≤x≤20）D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，则0≤x≤20．故选：B．2．（2021春•南通期中）如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（ ）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10解：由题意可得：y＝2（5﹣x）＝10﹣2x．故选：D．3．（2019秋•铁西区期末）已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）A．y＝4x B．y＝4x﹣3C．y＝﹣4x D．y＝3﹣4x解：用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是：y＝3﹣4x．故选：D．4．（2022春•海口期末）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为 y＝0.3x+6 ．解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长0.3xcm，∴弹簧总长y＝0.3x+6．故答案为：y＝0.3x+6．5．（2021秋•重庆期中）某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金 （0.5n+0.6） 元．解：当租了n天（n≥2），则应收钱数：0.8×2+（n﹣2）×0.5，＝1.6+0.5n﹣1，＝0.5n+0.6（元）．答：共收租金（0.5n+0.6）元．故答案为：（0.5n+0.6）．6．（2021•威宁县模拟）某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表记录了销售数量x（个）与售价y（元）的对应关系 y＝8.2x ．数量x（个）12345售价y（元）8+0.216+0.424+0.632+0.840+1.0解：依题意有：y＝x×8+x×0.2＝8.2x．故y与x之间的关系式是：y＝8.2x．故答案为：y＝8.2x．7．（2021春•威远县校级期中）周长为10cm的等腰三角形，腰长y（cm）与底边长x（cm）的函数关系为 y＝5﹣x ，自变量范围为 0＜x＜5 ．解：∵2y+x＝10，∴y＝5﹣x，即x＜5，∵两边之和大于第三边，∴2y＞x，x＞0，即2（5﹣x）＞x，∴x＜5，∴自变量范围为0＜x＜5．故答案为：y＝5﹣x、0＜x＜5．8．（2021•饶平县校级模拟）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 y＝3x+10 （不需要写出自变量取值范围）解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，故答案为：y＝3x+109．（2017春•浦东新区期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 y＝2.4x+6.8 ．解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．故答案为：y＝2.4x+6.8．10．（2018秋•林甸县期末）已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．解：∵2x+y＝20，∴y＝20﹣2x，即x＜10，∵两边之和大于第三边，∴x＞5，综上可得5＜x＜10．11．（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当工作5小时时油箱的余油量解：（1）由题意可知：Q＝40﹣4t（0≤t≤10）；（2）把t＝5时代入Q＝40﹣4t得：油箱的余油量Q＝20升．考点02:一次函数的应用12．（2022春•曹妃甸区期末）如图表示的是嘉淇父母外出散步时，离家的距离与时间的函数关系．（a图代表嘉淇的母亲，b图代表嘉淇的父亲）①嘉淇的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭；②母亲随即按原来的速度返回；③父亲在报亭看报10分钟；④然后父亲用15分钟左右的时间返回家．以上描述，符合函数图象的是（ ）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④解：由图象可知，嘉淇的父母出去散步．从家走了20分钟到一个离家900本的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后用15分钟返回家，故选：D．13．（2021秋•大东区期末）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过A（﹣20，0），B（20，20）两点，则弹簧不挂物体时的长度是（ ）A．9cm B．10cm C．10.5cm D．11cm解：设y与x的关系式为y＝kx+b，∵图象经过（﹣20，0），（20，20），∴，解得：，∴y＝x+10，当x＝0时，y＝10，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．故选：B．14．（2022春•广州期末）某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（ ）A．出租车起步价是10元B．在3千米内只收起步价C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2x+4解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价，设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2x+4，超过3千米部分（x＞3）每千米收2元，故A、B、D正确，C错误，故选：C．15．（2022秋•杏花岭区期中）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，85）；④n＝7.4，其中正确的有 ①②④ （填序号）．解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，∴乙的速度为120km/h．故①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40＝160km，则m＝160，故②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），故③错误；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）＝0.4小时，则n＝6+1+0.4＝7.4，故④正确．故答案为：①②④．16．（2021秋•钱塘区期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为x小时，两车之间距离为y千米，图中的折线表示y与x之间的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离为 900 千米；（2）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发 0.75 小时．解：（1）由图象可知：甲、乙两地之间的距离是900千米，故答案为：900；（2）由图象可知当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇，慢车行驶900千米，用12小时，∴慢车的速度：900÷12＝75（千米/小时），∵行驶4小时，慢车和快车相遇，∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（千米/小时），∴快车的速度：225﹣75＝150（千米/小时），快车到达乙地用时900÷150＝6（小时），∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是×225＝112.5（千米），而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5千米，∴两列快车出发的间隔时间：112.5÷150＝0.75（小时），∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时，故答案为：0.75．17．（2021秋•市中区校级期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1，y2（km），y1，y2与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的是 ②④ ．解：甲船的速度为20÷0.5＝40（km/h），①不成立；乙船的速度为100÷4＝25（km/h），从A港到C港全程为20+100＝120（km），②成立；甲船到达C港的时间为120÷40＝3（小时），4﹣3＝1小时，③不成立；设两船相遇的时间为t小时，则有40t﹣25t＝20，解得：t＝，25×＝，即P点坐标为（，），④成立；甲、乙两船第一次相距10km的时间为（20﹣10）÷（40﹣25）＝（小时），甲、乙两船第二次相距10km的时间为（20+10）÷（40﹣25）＝2（小时），甲、乙两船第三次相距10km的时间为（100﹣10）÷25＝（小时），即两船在整个运动过程中有3个时刻相距10km，⑤不成立．故答案为：②④．18．（2022秋•亭湖区期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．（1）A，B两城相距 300 千米；（2）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；（3）求乙车出发后几小时追上甲车．解：（1）由图可知，A、B两城相距300千米；故答案为：300；（2）当1≤t≤4时，设乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式为y＝mt+n，由题意得：，解得：，即乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式为y＝100t﹣100（1≤t≤4）；（3）设甲对应的函数解析式为：y＝kt，则300＝5k，解得：k＝60，即甲对应的函数解析式为：y＝60t（0≤t≤5），由题意可得，100t﹣100＝60t，解得t＝2.5，即甲出发2.5小时，乙追上甲，∴乙车出发后1.5小时追上甲．19．（2022秋•新城区期中）甲、乙两汽车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，0.5h后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中出现了故障，排除故障用了一个小时，排除故障后，为了行驶安全，速度减少了5km/h，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）求甲汽车的速度以及点M的坐标．（2）求乙车排除故障后再次出发时，距A地的路程y与x之间的函数关系式．（3）当x＝5时，甲、乙两汽车相距 15 km．解：（1）甲的速度为＝60（km/h），乙出发时，甲行驶的路程（离A地距离）为60×0.5＝30（km），∴点M的坐标为（0，30）；（2）设乙开始的速度为v千米/小时，则3v+（6﹣4）（v﹣5）＝390，解得v＝80（千米/小时），∴3v＝240，∴P（4，240），设乙车排除故障后再次出发时，距A地的路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（4，240），（6，390）代入得：，解得，∴乙车排除故障后再次出发时，距A地的路程y与x之间的函数关系式为y＝75x﹣60（4≤x≤6）；（3）当x＝5时，甲车距A地（5+0.5）×60＝330（km），乙车距A地75×5﹣60＝315（km），∴甲、乙两汽车相距330﹣315＝15（km），故答案为：15．20．（2022秋•石阡县期中）在同一时间、同一地点测得树高（m）和影长（m）的数据如下表：树高（m）23469……影长（m） 1.6 2.4 3.2 4.87.2……（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点；（2）树高和影长成 正 比例关系（填“正”或“反”）；（3）当树高11.5m时，影长是多少米？解：（1）如图所示：（2）由树高和影长的比值一定，可得树高和影长成正比例关系．故答案为：正；（3）设当树高11.5m时，影长是x米，则，解得x＝9.2，答：当树高11.5m时，影长是9.2米．21．（2022秋•杏花岭区校级期中）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是 70 米，甲机器人前2分钟的速度为 95 米/分；（2）已知线段FG∥x轴，前3分钟甲机器人的速度不变．①在3～4分钟的这段时间，甲机器人的速度为 60 米/分．②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值．解：（1）由图象可得，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分），故答案为：70，95；（2）①∵线段FG∥x轴，∴则此段时间，甲机器人的速度和乙机器人的速度一样，∴则此段时间，甲机器人的速度是60米/分，故答案为：60；②由题意可得，当x＝3时，甲、乙两人的距离为：（90﹣60）×（3﹣2）＝35（m），∴点E的坐标为（3，35），设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，∵点E（2，0），点F（3，35）在该函数图象上，∴，解得，即线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；设当两机器人出发x分钟时，它们相距28米，相遇之前：（60x+70）﹣95x＝28，解得x＝；相遇之后在甲到达点F之前：95x﹣（60x+70）＝28，解得x＝；设从点G开始到他们到达终点这段对应的函数解析式为y＝mx+n，∵点G（4，35），点（7，0）在该函数图象上，∴，解得，即从点G开始到他们到达终点这段对应的函数解析式为y＝﹣x+，令y＝30，得28＝﹣x+，解得x＝；由上可得，当两机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们相距28米，∴当x的值为或或时，它们相距28米．22．（2022秋•历下区期中）为落实“双减”政策，老师布置了一项“编题”作业给小亮、小莹和小明的学习小组：“请结合图象创设情境，加入适当的条件，设计一道数学问题，并作出合理的解释”．以下是老师参与下的学习小组活动片段：【观察图象】如图，是老师在平面直角坐标系中画出的图象，请同学们结合图象创设背景；【创设背景】小莹说：“可以创设这样的背景：一辆货车从甲地行驶到乙地去拉货，到达乙地后旋即返回，这里横坐标表示行驶的时间，单位是小时，纵坐标表示货车与甲地的距离，单位是千米．小亮说：“显然去时的速度快于返回的速度，可设去乙地的速度为60km/h，返回甲地的速度为30km/h．小明说：“还应该给出条件，甲乙两地间的距离为120千米．”老师说：“非常好，这样就可以试着提出问题了．”【提出问题】小莹说：“可以求货车从甲地去乙地的时间是多少！”小亮说：“可以问A，B两点的坐标是多少！”小明说：“可以问货车何时距离甲地30km！”老师说：“大家的想法真好，就按大家的设计吧，下面可以概括出题了！”请结合以上对话，回答问题．在学习小组设计的问题中：（1）货车从甲地去乙地时间为 2 h；（2）请求出图中A，B两点的坐标；（3）当货车距离甲地30km时，行驶的时间是多少？解：（1）货车从甲地去乙地时间为：120÷60＝2（h），故答案为：2；（2）由（1）可知，点A的坐标为（2，100）；货车返回所需时间为：120÷30＝4（h），2+4＝6（h），故点B的坐标为（6，0）；（3）（h）或6﹣＝5（h），答：当货车距离甲地30km时，行驶的时间是或5h．23．（2022秋•杏花岭区校级期中）节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w （L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题：（1）求w与t之间的函数关系式；（2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升．解：（1）由图象可知w与t之间是一函数关系，∴设w与t之间的函数关系式为w＝kt+b，将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，得：，解得：，∴w与t之间的函数关系式为w＝0.4t+0.3；（2）由关系式可知，每小时滴水量为0.4L，∴当t＝24时，w＝0.4×24+0.3＝9.9（L），即在这种滴水状态下一天的盛水量是9.9升．24．（2022秋•怀宁县期中）为加强独秀山公园的建设，需用甲、乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米70元．（1）求y与x间的函数表达式；（2）若公园建设总面积共900m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w 与x间的函数表达式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积不少于400m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？x，解：（1）当0≤x≤300时，根据图象设y＝k1＝80，把（300，24000）代入得k1∴y＝80x；x+b，当x≥300时，根据图象设y＝k2把（300，24000）和（500，30000）代入得，解得，∴y＝30x+15000，综上所述：y与x间的函数表达式；（2）使用甲石材xm2，则使用乙石材（900﹣x）m2，当0≤x≤300时，w＝80x+70（900﹣x）＝10x+63000；当x≥300时，w＝30x+15000+70（900﹣x）＝﹣40x+78000，∴w与x间的函数表达式为w＝；（3）根据题意得：，解得：400≤x≤600，∵﹣40＜0，w随着x的增大而减小，∴当x＝600时，w＝﹣40×600+78000＝54000，答：甲石材面积为600m2，乙石材面积为300m2总费用最少，最少为54000元。
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B
C
E
F
1.3 探索三角形全等的条件(1)
讨论交流：
1．当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？ 2．当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全 等吗？ 3．当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全 等吗？
1.3 探索三角形全等的条件(1)
探索活动：
（一）如图，每人用一张长方形纸片剪一个直角三 角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重 合？
C
E
F
对应角 对应边 表示两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在对应的位置上．
对应顶点
如：△BCA≌ △EFD．
1.2 全等三角形
A
D
F C E B ∵△ABC ≌ △DEF （已知）， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
（全等三角形的对应边相等），
∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C ＝∠F （全等三角形的对应角相等）．
C
E
F
1.3 探索三角形全等的条件(1)
新知应用：
例1 如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC ≌ △ADC．
D
证明：在△ABC和△ADC中， AB＝ AD（已知） ， ∠BAC＝∠DAC （已知）， A AC＝AC（公共边）， ∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）．
作法：
图形：
aa
b b
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，
△ABC就是所求作的三角形．
1.3 探索三角形全等的条件(1)
提炼归纳：
基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “边角边”或“SAS”） ．
苏科版八年级数学上册考点必刷练精编讲义必刷知识点【第4章《实数》章节复习巩固】(原卷版+解析)
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）第4章《实数》 章节复习巩固知识点01：平方根和立方根知识点02：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数知识要点：（1）所有的实数分成三类： ．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都 ，并且无理数不能写成 （4）实数和数轴上点是 的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都 ，反之任何一个实数都能在 找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为 。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是 ，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是 ，即≥0； （3）任何非负数的是非负数，即 (). 非负数具有以下性质：（1）非负数有 零；（2）有限个非负数之和仍是 ； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的 是它本身；一个 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在 范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 ； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：知识点03：近似数及精确度2a 0≥0a ≥1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.知识要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称，也叫做这个近似数的精确度.知识要点：①精确度是指 .②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示，0.10.05例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）第4章《实数》 章节复习巩固知识点01：平方根和立方根有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数知识要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
苏科版八年级数学上册全套PPT课件
（全等三角形的对应边相等），
∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C ＝∠F （全等三角形的对应角相等）．
22
操作思考 要求： 1．任意剪两个全等的三角形． 2．利用这两个全等三角形组合新的图形． 3．小组内讨论交流． 4．各组代表展示．
23
思考：怎样改变△ABC的位置，使它与△DEF重合？
A
AD
BE
B CF
A
B
C
36
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC
A
B
C
B’
C’
37
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC
A
B
C
B’
C’
38
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
A
B
C
33
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC
A
B
C
34
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC
A
B
C
35
动手操作： 已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，
江苏地区 苏科版八年级上数学5.3《一次函数图象》课件
1、什么叫一次函数、正比例函数？ 2、如何确定一次函数的解析式？ 3、如何画函数函数的图象？
5.3 一次函数的图象(1)
情景引入
观察下面的图片,你能得到哪些信息?
请将观察的结果填入下表:
点燃时间/ min
0 5 10 15 20
香的长度/ cm
16 12 8 4 0
设香长为ycm,点燃时间为xmin,你能写出y与x的关系式吗?
12
(5,12)
y=16－0.8x
这些点有 什么特征?
10
8
(10,8)
这些点都在一条直线上.
6
4
(15,4)
2
(20,0)
0
5
10
15
20 x
合作探究 如何在直角坐标系中画一次函数y=2x+1的图象？
1.列表
x
… －2 －1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
2.描点 (-2,-3);(-1,-1);(0,1); (1,3); (2,5).
3.连线
试一试
仿照刚才方法画一次函数y=－x+2的图象; ⑴列表; ⑵描点; ⑶连线.
论得出
画 一 次函数图象的一般步骤: ⑴列表; ⑵描点; ⑶连线. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线; 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也称为直线y=kx+b(k≠0).
(3,-2)
练习巩固
1、书本 P.153 练习 1、2
1、作一次函数图象的步骤是 ⑴列表; ⑵描点; ⑶连线．. 2、知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 一条直线；
因此在作图时,只要确定两点就可以了； 一般找直线与坐标轴（ｘ、y轴）的２个交点。
江苏地区 苏科版八年级上数学5.2《一次函数》课件(2)
甲、乙两地相距520km，一辆汽车以8 s(km)与行驶时间t(h)之间有怎样的函数关系式？ 并求t的取值范围。
小组讨论
1、已知正比例函数 y=kx(k≠0),且当x=1时,y=2, 你能求出k的值吗?
2、已知一次函数 y=kx +b(k≠0,k、b为常数),且 当x=1时,y=2, 此时你能求出k、b的值吗?
巩固练习
1、 已知一次函数 y=kx +b，当x=-3时,y=0；当x=2 时,y=5，求出k、b的值。
2、如下表，y是x的一次函数
x 6 4 2 0 -2
y -3 -2 -1 ①求此函数的表达式
01
②把表格补全
巩固练习
3、某饮料厂生产一种饮料，经测算，用一吨净化水生 产饮料利润y（元）是一吨水价格x（元）的一次函数， 根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式;当水价 为每吨10元时，一吨水生产的饮料利润是多少？
5.2 一次函数(2)
情景引入
夏天的晚上，我们都会点上一盘蚊香驱蚊，如 果一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm。 (1)你能写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h) 之间的函数关系式吗？
(2)、该盘蚊香可使用多长时间？
如果让你写出自变量范围,你会吗？
交流总结
思考：如何列函数关系式？
交流总结
确定一次函数关系式的一般步骤:
（1）设函数表达式y=kx+b; （2）根据已知条件列出关于k,b的方程(组); （3）解方程（组）; （4）把求出的k,b值代回到表达式中即可。
待定系数法：
在求一个算式时，若已知所求结果具有某种形式， 则可引入一些待确定的系数来表示结果，建立起给定 的算式和结果之间的恒等式，再根据条件对恒等式变 形，确定待定的系数。这种方法称为“待定系数法”。
必刷基础练(原卷版)10
20222023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础第3章《勾股定理》3.1 勾股定理知识点01：勾股定理直角三角形．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．知识要点（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．知识点02：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．a b，c222a c b=-222b c a=-()222c a b ab=+-方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．知识点03：勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求；2.用于解决；3．与勾股定理有关的4．勾股定理在中的应用．考点01:直角三角形的性质1．（2022秋•袁州区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°2．（2022春•南岸区期末）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝．4．（2022秋•桐乡市期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A，若这两块三角板的斜边长为13.6cm，则OA＝．5．（2022秋•拱墅区期中）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝8，则CD的长为．6．（2022秋•招远市期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．7．（2022秋•曲周县月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，求∠α、∠1、∠2之间的数量关系．8．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC 于点E，交CD于点F．（1）求证：∠CEF＝∠CFE；（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．考点02:勾股定理9．（2022秋•杏花岭区校级期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（）A．12 B．13 C．5 D．1710．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是（）A．5 B．4 C．3 D．211．（2022秋•惠山区期中）如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为（）A．5 B．2.5 C．2.4 D．312．（2022秋•沙县期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝cm．13．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB ＝5，BC＝6，则DE的长为．14．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．15．（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．16．（2022秋•武汉期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC ＝60°，FD＝10，求DC的长．17．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．考点03:勾股定理的证明18．（2022春•阳谷县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．19．（2021秋•介休市校级月考）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是在下列哪部著作中记载的？（）A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《九章算术》D．《周髀算经》20．（2021春•孝义市期中）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（）A．秦九韶B．祖冲之C．赵爽D．杨辉21．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（）A．1 B．2 C．12 D．1322．（2022秋•大田县期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝4，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中正确的是．23．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．24．（2022秋•长沙期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是（填写数字序号即可）．25．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．26．（2022秋•徐州期中）操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．27．（2022春•东莞市期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．28．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b （a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．。
新苏科版八年级上册数学《5.2平面直角坐标系》精品课件
平面直角坐标系
复习
1、什么是数轴？ 2、数轴上的点与 ？一一对应
实数
3、写出数轴上A、B、C各点所对
应的数. C A
B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6
想一想
1、想一想，在教室里，怎样确 定一个同学的位置？ 2、上电影院看电影，电影票上至 少要有几个数据才能确定你的位 置？ 3、怎样表示平面内的点的位置？
-2
-3
-4 D（0，-4）
-5
一、判断：
1、对于坐标平面内的任一点，都有唯 一的一对有
序实数与它对应.（√ ）
2、在直角坐标系内，原点的坐标是0.（ × ）
3、若点A（a ，-b ）在第二象限，则点B（-a,b）
在第四象限. （√ ）
4、若点P的坐标为（a，b），且a·b=0，则点P一定
在坐标原点. （ × ）
1、能够正确画出直角坐标系。 2、能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐 标。坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的。 3、掌握象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征：
第一象限：（＋，＋）第二象限：（－，＋）
第三象限：（－，－）第四象限：（＋，－）
x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0） y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y）
（-，-）
-2 -3
（+，-）
G(-5,-4) -4
E(5,-4)
D (-7,-5)
-5
H(3,-5)
探究4 坐标轴上点有何特征？ 在y轴上的点，
横坐标等于0.
y
5 C（0，5）
在x轴上的点，
4
3
纵坐标等于0.
2
江苏2020年中考数学必刷试卷05(含解析)
必刷卷05-中考数学必刷试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1.|−6|的相反数是( )A. −6B. 6C. −16D. 16【答案】A【解析】解：∵|−6|=6，6的相反数是−6， ∴|−6|的相反数是−6． 故选：A ．2.计算x 2⋅x 3÷x 的结果是( )A. x 7B. x 6C. x 5D. x 4 【答案】D【解析】解：x 2⋅x 3÷x =x 2+3÷x =x 5÷x =x 4． 故选：D ．3.一组数据5，7，8，9，11的方差为x 12，另一组数据6，7，8，9，10的方差为x 22，那么( )A. x 12=x 22B. x 12<x 22C. x 12>x 22D. 无法确定 【答案】C【解析】解：∵一组数据5，7，8，9，11的方差为x 12，∴x −1=15(5+7+8+9+11)=6，∴x 12=15[(5−6)2+(7−6)2+(8−6)2+(9−6)2+(11−6)2] =8； ∵一组数据6，7，8，9，10的方差为x 22，∴x −1=15(6+7+8+9+10)=6，∴x 12=15[(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2+(9−6)2+(10−6)2] =6；∴x 12>x 22．故选：C ． 4.函数x =xx (x <0)，当x <0时，该函数图象在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】解：∵函数x =xx (x <0)， ∴图象位于二、四象限，∴当x <0时图象位于第二象限， 故选：B ．5.设边长为a 的正方形面积为2，下列关于a 的四种说法：①x 是有理数；②x 是方程2x 2−4=0的解；③x 是2的算术平方根；④1<x <2.其中，所有正确说法的序号是( )A. ②③ B. ③④C. ②③④D. ①②③④ 【答案】C【解析】解：∵边长为a 的正方形面积为2， ∴x =√2，∴x 是无理数，故①错误； ∵2x 2−4=0，则x 2=2，故x =±√2，即a 是方程2x 2−4=0的解，正确； a 是2的算术平方根，正确；1<x<2，正确．故选：C．6.如图，菱形ABCD的边长为6，∠x=120°，点E在BC上，xx=2，F是线段AD上一点，将四边形BEFA沿直线EF折叠，B的对应点为x′，当xx′的长度最小时，DF的长为()A. 2√7B. 2√5C. 2√6D. 4√2【答案】A【解析】解：如图，过点D作xx⊥xx于点H，∵菱形ABCD的边长为6，∠x=120°，∴xx=6，∠x=60°，且xx⊥xx∴xx=3，xx=3√3∵xx=2∴xx=1在xx△xxx中，xx=√xx2+xx2=2√7∵xx//xx∴∠xxx=∠xxx，∵将四边形BEFA沿直线EF折叠，B的对应点为x′，∴∠xxx=∠xxx∴∠xxx=∠xxx∴xx=xx=2√7故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7.16的平方根是______；8的立方根是______．【答案】±4 2【解析】解：16的平方根是±√16=±4，8的立方根是√83=2．故答案为：±4；28.某时刻在南京中华门监测点监测到xx2.5的含量为55微克/米 3，即0.000055克/米 3，将0.000055用科学记数法表示为______．【答案】5.5×10−5【解析】解：0.000055=5.5×10−5．故答案为：5.5×10−5．9.若式子1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】x≠0【解析】解：若式子1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x≠0．故答案为：x≠0．10.分解因式(x−1)2−4的结果是______．【答案】(x−3)(x+1)【解析】解：(x−1)2−4=(x−1+2)(x−1−2)=(x+1)(x−3)．故答案为：(x+1)(x−3)．11.方程11−x =xx−1的解是______．【答案】x=−1【解析】解：去分母得：x=−1，经检验x =−1是分式方程的解， 故答案为：x =−112.设x 1、x 2是一元二次方程x 2−xx +x −7=0的两个根，且x 1+x 2=1，则x 1、x 2分别是______． 【答案】−2，3【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−xx +x −7=0的两个根， ∴x 1+x 2=x ． ∵x 1+x 2=1， ∴x =1，∴x 1x 2=x −7=−6②． 联立①②成方程组，得：{x 1+x 2=1x 1x 2=−6，解得：{x 1=−2x 2=3或{x 1=3x 2=−2．故答案为：−2，3．13.计算(√3−√6)(1+√2)的结果是______． 【答案】−√3【解析】解：原式=√3(1−√2)(1+√2) =√3×(1−2) =−√3．故答案为−√3．14.如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A 点与x′点重合，C 点与x′点重合．∠xxx′为______°.【答案】108【解析】解：∵平面上有两个全等的正十边形，其中A 点与x′点重合，C 点与x′点重合，∴xx′=xx =xx =x′x ，∠x =∠x′=∠x′xx′=180°×(10−2)10=144°，∴四边形xxxx′是菱形，∴xx //x′x ，∴∠x′xx =180°−∠x′=36°，∴∠xxx′=∠x′xx′−∠x′xx =144°−36°=108°． 故答案为：108．15.如图，⊙x 是△xxx 的外接圆，其中AB 是⊙x 的直径，将△xxx 沿AB 翻折后得到△xxx ，点E 在AD 延长线上，BE 与⊙x 相切于点B ，分别延长线段AE 、CB 相交于点F ，若xx =3，xx =10，则线段EF 的长为______． 【答案】54【解析】解：∵xx 为⊙x 的直径，∴∠x =90°，∵将△xxx 沿AB 翻折后得到△xxx ，∴△xxx ≌△xxx ， ∴∠xxx =∠x =90°，xx =xx ，xx =xx =3， ∵xx 与⊙x 相切于点B ，∴∠xxx =90°，∠xxx =∠xxx ，∴△xxx ∽△xxx ，∴xx xx =xxxx ， ∴xx ×xx =xx 2=9，∴xx (xx −xx )=9，∴xx (10−xx )=9，解得：xx =9或xx =1(舍去)， ∴xx =9，xx =1，∴xx =√xx 2+xx 2=√10，xx =√xx 2+xx 2=3√10，∵四边形ACBD 内接于⊙x ，∴∠xxx =∠xxx ， 即∠xxx +∠xxx =∠xxx +∠xxx ，又∵∠xxx +∠xxx =∠xxx +∠xxx =90°，∴∠xxx =∠xxx ，∴∠xxx =∠xxx ，又∠xxx =∠xxx ， ∴∠xxx =∠xxx ，∴△xxx ∽△xxx ， ∴xxxx =xxxx =√10310=13，∴xx =3xx ， 在xx △xxx 中，∵xx 2=xx 2+xx 2，∴(10+xx )2=92+(3+3xx )2，整理得：4xx 2−xx −5=0， 解得：xx =54，或xx =−1(舍)，∴xx =54； 故答案为：54．16.二次函数x =−x 2+2xx +x (x ,n 是常数)的图象与x 轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k 个单位后(x >0)，图象与x 轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k 的值是______． 【答案】2【解析】解：∵x =−x 2+2xx +x =−(x −x )2+x 2+x ， ∴抛物线的顶点坐标为(x ,x 2+x )， 抛物线与x 轴的两交点的连线段的长度=√x 2−4xx|x |=√4x 2−4×(−1)×x|−1|=2√x 2+x ，当抛物线与x 轴两个交点及顶点构成等边三角形时，x 2+x =√32⋅2√x 2+x ，所以x 2+x =3，此时抛物线的顶点的纵坐标为3；当抛物线与x 轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，x 2+x =12⋅2√x 2+x ，所以x 2+x =1，此时抛物线的顶点的纵坐标为1； ∴x =3−1=2． 故答案为2．三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17.化简：x −1x ÷(x −2x −1x)． 【答案】解：原式=x −1x ÷x 2−2x +1x=x −1x ⋅x(x −1)2=1x −118.解不等式组{3−x >0,①x ≤x −23+2．②并写出它的最大整数解． 【答案】解：由①得：x <3 由②得：x ≤2 ∴不等式组的解集是x ≤2， ∴它的最大整数解是2．19.某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：类别 成绩(分) 频数 频率I 40 360.3II 37−39 abIII 34−36 24 0.2 IV31−3360.05 合计c1(2)若将该表绘制成扇形统计图，那么III 类所对应的圆心角是______°；(3)若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；(4)估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数． 【答案】(1)54 0.45 ; (2) 72 ;(3)∵64120=320600，56120=280600，∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理； (4)0.3×600=180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．20.第一个盒子中有2个白球，1个黄球，第二个盒子中有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同，分别从每个盒中随机取出一个球．(1)求取出的两个球中一个是白球，一个是黄球的概率；(2)若第一个盒子中有20个白球，10个黄球，第二个盒子中有10个白球，10个黄球，其他条件不变，则取出的两个球都是黄球的概率为______．【答案】(1)记第一个盒子中的球分别为白 1、白 2、黄 1，第二个盒子中的球分别为白 3、黄 2， 由列举可得：(白 1，白 3)、(白 2，白 3)、(黄 1，白 3)、(白 1，黄 2)、(白 2，黄 2)、(黄 1，黄 2)， 共6种等可能结果，即x =6；记“一个是白球，一个是黄球”为事件A ，共3种，即x =3， ∴x (x )=12； (2)16(2)∵总的结果数为30×20=600，而两个球都是黄色的有10×10=100种结果， ∴取出的两个球都是黄球的概率为100600=16．故答案为：16．21.某品牌空调原价4000元，因销售旺季，提价一定的百分率进行销售，一段时间后，因销售淡季又降价相同的百分率进行销售，若淡季空调售价为3960元，求相同的百分率． 【答案】解：设相同的百分率是x ，依题意，得：4000(1+x )(1−x )=3960， 解得：x 1=0.1=10%，x 2=−0.1(舍去)． 答：相同的百分率是10%．22.如图，在xx △xxx 中，∠xxx =90°，分别以AC 、BC 为底边，向△xxx 外部作等腰△xxx 和△xxx ，点M 为AB 中点，连接MD 、ME 分别与AC 、BC 交于点F 和点G ．求证：四边形MFCG 是矩形．【答案】证明：连接CM ，∵xx △xxx 中，∠xxx =90°，M 为AB 中点， ∴xx =xx =xx =12xx ．∴点M 在线段AC 的垂直平分线上． ∵在等腰△xxx 中，AC 为底边， ∴xx =xx ．∴点D 在线段AC 的垂直平分线上．∴xx 垂直平分AC ．∴∠xxx =90°． 同理：∠xxx =90°． ∴四边形MFCG 是矩形．23.如图，为了测量山坡上旗杆CD 的高度，小明在点A 处利用测角仪测得旗杆顶端D 的仰角为37°，然后他沿着正对旗杆CD 的方向前进17m 到达B 点处，此时测得旗杆顶部D 和底端C 的仰角分别为58°和30°，求旗杆CD 的高度(结果精确到0.1x )．(参考数据：xxx58°≈0.85，xxx58°≈0.53，xxx58°≈1.6，xxx37°≈0.6，xxx37°≈0.8，xxx37°≈0.75，√3≈1.73) 【答案】解：延长DC 与AB 延长线交于点M ，设xx =x ，在xx △xxx 中，∠x =37°， ∴xxx37°=xxx ，∴xx =43x ，在xx △xxx 中，∠xxx =58°， ∴xxx58°=xxx ，∴xx =58x ，∴xx −xx =17，即43x −58x =17，解得，x =24，∴xx =15；在xx △xxx 中，∠xxx =30°，xxx30°=xx15， ∴xx =5√3，∴xx ≈15.4x ， 答：旗杆CD 的高度15.4x ．24.已知二次函数x =x 2+2(x −1)x −2x (x 为常数)． (1)求证无论m 为何值，该函数图象与x 轴总有两个公共点；(2)若点x (x 1,−1)、x (x 2,−1)在该函数图象上，将图象沿直线AB 翻折，顶点恰好落在x 轴上，求m 的值．【答案】解：(1)证明：当x =0时， x 2+2(x −1)x −2x =0，x =1，x =2(x −1)，x =−2x ，∴x 2−4xx =4x 2+4， ∵x 2≥0，∴4x 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根， ∴无论m 为何值，该函数图象与x 轴总有两个公共点．(2)∵x =x 2+2(x −1)x −2x ，∴x =(x +x −1)2−x 2−1．∴顶点坐标为(1−x ,−x 2−1)． ∵沿AB 折叠，顶点恰好落在x 轴上，∴x 2=1．∴x =±1．25.已知A ，C ，B 三地依次在一条直线上，甲骑摩托车直接从C 地前往B 地；乙开车以80xx /x 的速度从A 地前往B 地，在C 地办理事务耽误1h 后，继续前往B 地．已知两人同时出发且速度不变，又恰好同时到达B 地．设出发xh 后甲、乙两人离C 地的距离分别为x 1xx 、x 2xx ，图①中线段OD 表示x 1与x 的函数图象，线段EF 表示x 2与x 函数的部分图象． (1)甲的速度为______xx /x ，点E 坐标为______； (2)求线段EF 所表示的x 2与x 之间的函数表达式；(3)设两人相距S 千米，在图②所给的直角坐标系中画出S 关于x 的函数图象．【答案】(1)40 (0,40)(2)点F 的横坐标是：40÷80=0.5， ∴点F 的坐标为(0.5,0)，设线段EF 所表示的x 2与x 之间的函数表达式是x 2=xx +x (x ≠0)， ∵x 2=x 1x +x 过点(0,40)、(0.5,0)， ∴{x =400.5x +x =0，解得{x =40x =−80，∴x 2=−80x +40，即线段EF 所表示的x 2与x 之间的函数表达式是x 2=−80x +40； (3)当0≤x ≤0.5时，S 与x 的函数关系式为：x =40−(80−40)x =−40x +40，当0.5<x ≤1.5时，x =40x ，当1.5<x ≤3时，x =40x +80×0.5−80(x −1)=−40x +120，S 关于x 的函数图象如右上图所示．26.如图，在⊙x 中，AB 是的直径，PA 与⊙x 相切于点A ，点C 在⊙x 上，且xx =xx ． (1)求证：PC 是⊙x 的切线；(2)过点C 作xx ⊥xx 于点E ，交⊙x 于点D ，若xx =xx =2√3， ①求图中阴影部分面积；②连接AC ，若△xxx 的内切圆圆心为I ，则线段IE 的长为______．【答案】(1)证明：连接OC 、OP ，如图1所示： ∵点C 在⊙x 上，∴xx 为半径．∵xx 与⊙x 相切于点A ，∴xx ⊥xx ．∴∠xxx =90°．在△xxx 和△xxx 中，{xx =xxxx =xxxx =xx∴△xxx≌△xxx(xxx)，∴∠xxx=∠xxx=90°，∴xx⊥xx．∴xx是⊙x的切线．(2)解：①作xx⊥xx于点M，连接OD、AC；如图2所示：∵xx⊥xx，∴xx=xx=√3，∠xxx=90°．∴四边形CMAE是矩形．∴xx=√3，∴xx=xx．∴xx=xx．∵xx=xx，∴△xxx是等边三角形．∴∠xxx=60°．∴∠xxx=30°．∴∠xxx=60°．∴∠xxx=120°．在xx△xxx中，xxx60°=√3xx，∴xx=2．∵xx=xx，∴∠xxx=∠xxx=30°，∴xx=12xx=1，∴x阴影=120x×22360−12×2√3×1=43x−√3．②√7如图3所示：∵△xxx是等边三角形，∴xx=xx=√3，∴xx=√3xx=3，∵△xxx的内切圆圆心为I，则xx=23xx=2，在xx△xxx中，由勾股定理得：xx=√xx2+xx2=√7；故答案为：√7．27.【初步认识】(1)如图①，将△xxx绕点O顺时针旋转90°得到△xxx，连接AM、BM，求证△xxx∽△xxx．【知识应用】(2)如图②，在△xxx中，∠xxx=90°，xx=√2，xx=3√2，将△xxx绕着点A旋转得到△xxx，连接DB、EC，直线DB、EC相交于点F，线段AF的最大值为______．【拓展延伸】(3)如图③，在等边△xxx中，点E在△xxx内部，且满足xx2=xx2+xx2，用直尺和圆规作出所有的点x(保留作图的痕迹，不写作法)．【答案】(1)证明：如图①中，∵△xxx绕点O顺时针旋转90°得到△xxx，∴xx=xx，xx=xx，∠xxx=∠xxx=90°，∵xxxx =xxxx，∴△xxx∽△xxx．(2)如图②中，取BC的中点O，连接OF，OA，AF，设BD交AE于K．由(1)可知△xxx∽△xxx，∴∠xxx=∠xxx，∵∠xxx=∠xxx，∴∠xxx=∠xxx=90°，∴∠xxx= 90°，在xx△xxx中，∵xx=√2，xx=3√2，∴xx=√(√2)2+(3√2)2=2√5，∵xx=xx，∠xxx=∠xxx=90°，∴xx=xx=√5，∵xx≤xx+xx，∴xx≤2√5，∴xx的最大值为2√5．故答案为：2√5．(3)如图3中，如图点E即为所求，点E在xx⏜上(不包括端点)．理由要点：①构造∠xxx=150°．②将△xxx绕点C顺时针旋转60°得到△xxx，可证△xxx是等边三角形，∠xxx=90°，由xx2=xx2+xx2，即可推出xx2= xx2+xx2．。
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等边三角形重难点易错点解析题一：题面：如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，CA边上，且△DEF是等边三角形，求证：△ADF≌△CFE．题二：题面：已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=10，那么BC= .金题精讲题一：题面：如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．题二：题面：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE. 求证：AE∥BC．题三：题面：如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，DG为AC的垂直平分线，交AC于G，交BC于D，若BC=15cm，则DF长为 .题四：题面：如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP 的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为( )A．2 B．23 C．3 D．3思维拓展题面：等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A．7 B．6 C．5 D．4课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：见详解详解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∴∠ADF+∠AFD=120°．∵△DEF是等边三角形，∴∠DFE=60°，DF=EF．∴∠AFD+∠CFE=120°．∴∠ADF=∠CFE．在△ADF和△CFE中∠A＝∠C，∠ADF＝∠CFE，DF＝EF，∴△ADF≌△CFE．题二：答案：5详解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∴BC：AB=1：2，∵AB=10，∴BC=5．金题精讲题一：答案：见详解详解：∵△ABC是等边三角形，∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°．∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，∴AF=BD=CE即AB+BF=BC+CD=CA+AE．∴AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE．∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形．题二：答案：见详解详解：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°.∴∠BCA∠DCA=∠ECD∠DCA，即∠BCD=∠ACE.∵在△ACE和△BCD中，AC=BC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△ACE≌△BCD(SAS).∴∠EAC=∠DBC=60°=∠ACB.∴AE∥BC.题三：答案：5cm．详解：连接AF、AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，∵EF、DG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF=30°，∠C=∠CAD=30°，∵∠AFD与∠ADF分别是△ABF与△ACD的外角，∴∠AFD=∠B+∠BAF=30°+30°=60°，∠ADF=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF=FD=AD，∵BF=AF，AD=CD，BC=15cm，∴AF=FD=AD=BF=CD，∴3DF=BC=15，∴DF=5cm．题四：答案：C.详解：∵△ABC是等边三角形，点P在∠ABC的平分线上，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×3=32.∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=23.在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴PE=12BP=3.故选C.思维拓展答案： C.详解：如图，△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC.在Rt△ABD中，B D=12×6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5.故选C.等边三角形重难点易错点解析题一：题面：如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．求证：△CBE为等边三角形．题二：题面：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，学习等边三角形时，我们知道，如果∠A=30°，那么AB=2BC，由此我们猜想，如果AB=2BC，那么∠A=30°，请你利用轴对称变换，证明这个结论．金题精讲题一：题面：已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE=AD，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．题二：题面：如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF=EF，求证：AE=AD．题三：题面：如图，△ABC中，AB=8，AC=11，BC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点E、D，则△ABE 的周长等于 .题四：题面：如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B、C外)的任意一点，∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E．(1)求证：∠1=∠2；(2)求证：AD=DE．思维拓展题面：已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则△ABC底角的度数为( )A．45° B．75° C．45°或75° D．60°课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：见详解详解：∵CA=CB，CE=CA，∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，∴∠DAC=∠CEA=15°，∴∠ACE=150°，∴∠BCE=60°，∴△CBE为等边三角形题二：答案：∠A=30°.详解：如图，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，则△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∴AB=AD，BD=2BC，∠BAC=∠DAC，∵AB=2BC，∴AB=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=12∠BAD=12×60°=30°．金题精讲题一：答案：见详解详解：∵△CDE是等边三角形，∴EC=CD，∠1=60°．∵BE、AD都是斜边，∴∠BCE=∠ACD=90°在Rt△BCE和Rt△ACD中，EC＝DC，BE＝AD∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)．∴BC=AC．∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠3=∠1=60°．∴△ABC是等边三角形．题二：答案：见详解详解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥DC(内错角相等，两直线平行). ∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形.∴EB=EF，∠EBF=60°.∵DC=EF，∴EB=DC.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC.∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴AE=AD.题三：答案：19．详解：∵BC边上的垂直平分线是DE，∴BE=CE，∵AB=8，AC=11，∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=8+11=19．故答案为：19．题四：答案：见详解详解：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B∴∠1=∠2．(2)如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．∴∠AMD=∠DCE，∵BA BM=BC BD，即MA=CD．在△AMD和△DCE中∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD=DE．思维拓展答案：C.详解：根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=12BC，∠ADB=90°.∵AD=12BC，∴AD=BD. ∴∠B=45°.即此时△ABC底角的度数为45°.如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵AD=12BC，∴AD=12AC，∴∠C=30°.∴∠CAB=∠B=(1800－∠A)÷2=75°.即此时△ABC底角的度数为75°.综上所述，△ABC底角的度数为45°或75°.故选C.等腰三角形1重难点易错点解析题一：题面：下列命题说法中：(1)等腰三角形一定是锐角三角形(2)等腰三角形有一个外角等于120°，这一个三角形一定是等边三角形(3)等腰三角形中有一个外角为140°，那么它的底角为70°(4)等腰三角形是轴对称图形，它有3条对称轴错误的有( )个金题精讲题一：题面：如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：(1)BC=AD；(2)△OAB是等腰三角形．题二：题面：等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是( )A．20°B．50° C．60° D．80°题三：题面：如图，在△ABC中，∠ABC和∠A CB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )A．6 B．7 C．8 D．9题四：题面：如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB 于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．思维拓展题面：如图，∠MAN是一钢架，且∠MAN=18°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管BC，CD，DE，…添加的钢管长度都与AB相等，则最多能添这样的钢管 .课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：3.详解：(1)错误，三个内角分别为20°，20°，140°的等腰三角形是钝角三角形；(2)正确；(3)错误，等腰三角形中有一个外角为140°，那么它的底角为70°或40°；(4)错误，等腰三角形是轴对称图形，它有1条对称轴．错误的有3个．金题精讲题一：答案：见详解详解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，∴△ABC≌△BAD(HL).∴BC=AD.(2)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB.∴△OAB是等腰三角形.题二：答案：B.详解：∵等腰三角形的一个顶角为80°，∴底角故选B. 题三：答案：D.详解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB.∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN.∴BM=ME，EN=CN.∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN.∵BM+CN=9∴MN=9.故选D.题四：答案：见详解详解：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF(角平分线性质)，DB=DC(线段垂直平分线性质)，又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵DB＝DC，DF＝DN，∴Rt△DBF≌Rt△DCN(HL)∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵AD＝AD，DF＝DN，∴Rt△DFA≌Rt△DNA(HL)∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．思维拓展答案：4．详解：∵BC=AB，∴∠BCA=∠A=18°，∴∠DBC=∠BCA+∠A=36°．同理，∠CDB=∠DBC=36°，∴∠DCE=∠CDB+∠A=54°，∠DEC=∠DCE=54°，∴∠FDE=∠DEC+∠A=72°，∠DFE=∠FDE=72°，∴∠FEM=∠DFE+∠A=90°．再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF，共有4条．故答案是：4．等腰三角形2重难点易错点解析题一：题面：下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的有 .金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE=CE题二：题面：如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=900，AB=AC.若∠1=20°，则∠2的度数为( )A. 25°B. 65°C. 70°D. 75°题三：题面：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 20B. 12C. 14D. 13题四：题面：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．思维拓展题面：如图，∠AOB是一建筑钢架，∠AOB=10°，为使钢架更加稳固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH、HI、IJ，添加钢管的长度都与OE相等，则∠BIJ= .课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：①．详解：①两个等腰三角形的顶角相等，根据三角形内角和定理可知底角一定相等，故是正确的；②底边相等的两个等腰三角形，不满足两个三角形全等的条件，故是错误的；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形，不满足两个三角形全等的条件，故是错误的．故答案为：①．金题精讲题一：答案：见详解详解：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，∴△ABC≌△ACD(SSS).(2)由(1)知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE. 在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，∴△ABE≌△ACE(SAS).∴BE=CE(全等三角形的对应边相等). 题二：答案：B.详解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°.∵∠1=20°，∴∠ACB＋∠1=65°.又∵a∥b，∴∠2=∠ACB＋∠1=65°.故选B.题三：答案：C.详解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，C D=BD=12BC=4.∵点E为AC的中点，∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=12AC=5.∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C. 题四：答案：见详解详解：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中PC＝PB，PM＝PN，∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，∴BN=CM．思维拓展答案：60°.详解：∵OE=EF=FG=GH=HI=IJ，∴∠1=∠AOB=10°，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∴∠2=∠O+∠1=20°=∠3，∴∠4=∠O+∠3=30°=∠5，∠6=∠O+∠5=40°=∠7，∠8=∠O+∠7=50°=∠9，∠BIJ=∠O+∠9=60°角平分线的性质与判定1重难点易错点解析题一：题面：如图，PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40°，∠BPC= ．金题精讲题一：题面：如图，OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB=24，AC=36，则△AMN的周长是．题二：题面：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD与EF相交于点O．求证：AD⊥EF．题三：题面：如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=D C=10，求AC的长．思维拓展题面：如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，且BC=BD=AD，则CD BC的值为．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：110°．详解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB=12∠ACB，∠PBC=12∠ABC，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×140°=70°，∴∠BPC=180°（∠PBC+∠PCB）=110°．金题精讲题一：答案：60．详解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC，∵MN∥BC，∴∠OBC=BOM，∴∠ABO=∠BOM，∴BM=OM，同理可得CN=ON，∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∵AB=24，AC=36，∴△AMN的周长=24+36=60．题二：答案：AD⊥EF．详解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EDO=∠FDO，在△DEF中，DE=DF，∠EDO=∠FDO，∴DO⊥EF，∴AD⊥EF．题三：答案：AC长为17．详解：过C作CE⊥AB，延长AD作CF⊥AD，∴∠CEA=90°，∠CFD=90°，∵AC平分∠BAD，∴CF=CE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），又∵BC=DC，∴△CFD≌△CEB（HL），∴DF =EB ，同理可得△ACF ≌△ACE ，∴AF =AE ，∴AD +DF =AB BE ，即9+DF BE ，解得DF =BE =6，由勾股定理得，AC =22222222==15106AF CF AF CD DF ++-+-=17．答：AC 长为17．思维拓展 答案：152-+ 详解：设==CD CDxBC AD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BC=BD=AD ，BD 平分∠ABC ，∴∠A=∠ABD=∠DBC ，∠C=∠BDC=∠ABC ， ∴∠ABC=2∠A ，∠C=2∠A ，∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°， ∵∠ABC=∠C=∠BDC ，∴△BCD ∽△ABC ． ∴BC ACCDBC =， 又BC=BD=AD ，∴AD2=AC•DC．∵AD2=AC•DC，==CDCDxBC AD ，AC=AD+CD ，∴AD2=(AD+CD)•CD，AD2=(AD+x•AD )•x•AD，x(1+x)=1，，x=152-±（负值舍去）．即x=152-+．角平分线的性质与判定2重难点易错点解析题一：题面：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．金题精讲题一：题面：已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16cm，则△ODE的周长是多少cm？题二：题面：如图，已知AD是△ABC的角∠BAC的角平分线，DF垂直AB于F，DE垂直AC于E，求证：AE=AF，AD平分∠EDF．题三：题面：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．求证：∠B+∠ADC=180°．思维拓展题面：如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD=AC AB．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：点P在∠A的平分线上．详解：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，∴PM=PN，PN=PE，∴PM=PE，∵PM⊥AC，PE⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．金题精讲题一：答案：16cm．详解：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，OD=BD，OE=CE．∵BC=16cm，∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=16cm．题二：答案：AE=AF．AD平分∠EDF．详解：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD=∠AED=90°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵∠EAD+∠AED+∠ADE=180°，∠DAF+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠ADE=∠ADF，即AD平分∠EDF，∴AE=AF．题三：答案：∠B+∠ADC=180°．详解：延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵2AE=AB+AD，又∵AD=AF DF，AB=AE+BE，AF=AE，∴2AE=AE+BE+AE DF，∴BE=DF，∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，∴△CDF≌△CEB，∴∠ABC=∠CDF，∵∠ADC+∠CDF=180°，∴∠B+∠ADC=180°．思维拓展答案：AD=AC AB．详解：在AC上截取AE=AB，连DE，如图，设∠C=x，∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，∴∠BAC=4x，∠B=2x，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=∠4=2x，∵在△ABD 和△AED 中，AB ＝A E ，∠3＝∠4，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ，∴AC =AE +EC =AB +AD ， 即AD =AC AB ．立方根与实数1 题一：有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④题二：下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④所有有理数都可以用数轴上的点表示；⑤数轴上所有点都表示有理数；⑥所有实数都可以用数轴上的点表示；⑦数轴上所有的点都表示实数，其中正确的有 ．题三：若|a b +2|与1a b +-互为相反数，求22a +2b 的立方根．题四：已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是_____．题五：把下列各数分别填在相应的括号内：3323.14,,9,25, 3.131131113,27,12,0,2,1,300%35π------整数{ …}；分数{ …}；无理数{ …}．题六：按要求分别写出一个大于8且小于9的无理数：(1)用一个平方根表示：；(2)用一个立方根表示：；(3)用含π的式子表示：；(4)用构造的方法表示：．题七：下面4种说法：①两个无理数的差一定是无理数；②两个无理数的商一定是无理数；③一个无理数与一个有理数的差仍是无理数；④一个无理数与一个有理数的积仍是无理数．其中，正确的说法个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4立方根与实数 课后练习参考答案题一： B ． 详解：①负数有立方根，故错误；②一个实数的立方根是正数、0、负数，故错误；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，故正确；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0，故错误．故选B ．题二： ②④⑥⑦．详解：∵无限不循环小数小数是无理数，无限循环小数是有理数，∴①错误；∵无理数都是无限小数正确，∴②正确； ∵如4=2，4是有理数，不是无理数，∴③错误；∵所有有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，∴④正确；∵数轴上所有点都表示实数，∴⑤错误；∵所有实数都可以用数轴上的点表示正确，∴⑥正确；∵数轴上所有的点都表示实数正确，∴⑦正确； 即正确的有②④⑥⑦．题三： 2．详解：∵|ab +2|与1a b +-互为相反数， ∴|a b +2|+1a b +-=0，∴a −b +2=0，a +b −1=0，解得a =12-，b =32， ∴22a +2b =22×(12-)+2×32= 11+3= 8， ∵(2)3= 8，∴22a +2b 的立方根是2．题四： 4cm ．详解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，∴铜质的五棱柱的体积V =16×4=64cm 3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ，则a 3=64，解得a =4cm ． 题五： 见详解． 详解：整数{39,27,0,2,300%---…}；分数{23.14, 3.131131113,15--…}； 无理数{3,25,123π-…}．题六： (1)66；(2)3555；(3)5+π；(4)8.248372147284…．详解：根据8=64，9=81写出64与81之间的一个数即可；根据8=3512，9=3729，写出3512与3729之间的一个数即可；根据π的值，写出符合条件的数即可；根据无理数的定义写出一个无规律的数即可．故答案为：(1)66；(2)3555；(3)5+π；(4)8.248372147284…．题七： A ． 详解：①两个无理数的差一定是无理数，错误，如：220-=； ②两个无理数的商一定是无理数，错误，如：313=；③一个无理数与一个有理数的差仍是无理数，正确；④一个无理数与一个有理数的积仍是无理数，错误，例如：2×0=0．则其中正确的有1个．故选A ．立方根与实数2题一：有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l 或0．其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4题二：下列说法中，正确的有( )个(1)无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数； (4)实数可以分为正实数和负实数两类．A ．1B ．2C ．3D ．4题三：若8a +与(b 27)2互为相反数，求33a b -的立方根．题四：一块棱长6m 的正方体钢坯，重新溶铸成一个横截面积18m 2的长方体钢坯，铸成的长方体钢坯有多长？题五：把下列各数分别填在相应的括号内：32514 3.142 3.1,0,1.410,211,,43612π---⨯-，，，，， 整数{ …}；分数{ …}；无理数{ …}．题六：按要求分别写出一个大于4且小于5的无理数：(1)用一个平方根表示：；(2)用一个立方根表示：；(3)用含π的式子表示：；(4)用构造的方法表示：．题七：关于无理数，有下列说法：①2个无理数之和可以是有理数；②2个无理数之积可以是有理数；③开方开不尽的数是无理数；④无理数的平方一定是有理数；⑤无理数一定是无限不循环小数．其中，正确的说法个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4立方根与实数课后练习参考答案题一：D．详解：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，故①错误；②一个实数的立方根不是正数就是负数，还可能包括0，故②错误；③无理数包括正无理数，0，负无理数，不包括0，故③错误；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0，这个数还可能是-1，故④错误．故选D．题二：B．详解：(1)无限不循环小数是无理数，故本小题错误；(2)符合无理数的定义，故本小题正确；(3)符合实数的分类，故本小题正确；(4)实数分正实数、负实数和0，故本小题错误．故选B．-．题三：35a+与(b27)2互为相反数，详解：∵8a++(b27)2 =0，∴8a+≥0，(b27)2≥0，而8a+=0，(b27)2=0，∴8∴a= 8，b=27，∴33a b -= 23= 5． ∴33a b -的立方根为35-．题四： 12m ． 详解：根据题意，得6×6×6÷18=216÷18=12(m)，答：锻成的钢材长12m ．题五： 见详解． 详解：整数{3140,1.410,211,4-⨯-，，…}；分数{25 3.14 3.1361-，，…}； 无理数{22π-，…}． 题六： (1)17；(2)367；(3)1+π；(4)4.1234567895432867…．详解：根据4=16，5=25写出16与25之间的一个数即可；根据8=364，9=3125，写出364与3125之间的一个数即可；根据π的值，写出符合条件的数即可；根据无理数的定义写出一个无规律的数即可．故答案为：(1)17；(2)367；(3)1+π；(4)4.1234567895432867…．题七： D ．详解：①2个无理数之和可以是有理数，如2(32)3+-=，本选项正确，②2个无理数之积可以是有理数，如(32)(32)1+-=，本选项正确， ③开方开不尽的数是无理数，本选项正确，④无理数的平方一定是有理数，如2π：本选项错误，⑤无理数一定是无限不循环小数，本选项正确，故选D ．平方根与算术平方根1 题一：25的平方根是 ．题二：已知()b a c 23240-+-+-=，求a b c -+的值．题三：()27-的平方根是 ． 题四：已知a 、b 、c 满足b a 4=-，ab c 4=+，求a +b +c 的值．题五：已知一个正数的平方根分别是a 和2a +3，求这个正数．题六：已知 1.7201 1.311≈，17.201 4.147≈，求0.0017201-的值是多少？题七：解方程：2(x +2)2+2=4．平方根与算术平方根 课后练习参考答案题一： 5±． 详解：∵25=5，∴5的平方根是5±．故25的平方根是5±．题二： 3． 详解：∵()b a c 23240-+-+-=∴a 2=0，b 3=0，c4=0， ∴a =2，b =3，c =4． ∴a b c -+=234-+=3．题三： 7±． 详解：∵()277-=，∴7的平方根是7±．故()27-的平方根是7±．题四： 8． 详解：∵ab a b c 4=⨯=+， 把b a 4=-代入上式得：a a c (4)4⨯-=+，a a c 44--=，a c 2(2)--=，根据开方的结果都为非负数，可得c =0，a =4，把a =4代入得b =4，所以a +b +c =8．题五： 81．详解：由题意得，a +2a +3=0，解得a = 6，则3a =9，故这个正数为81．题六： 0.04147-．详解：∵ 1.7201 1.311≈，17.201 4.147≈，∴0.00172010.04147-≈-．题七：1，3．详解：等式两边同时减去2，得2(x +2)2=2，等式两边同时除于2，得(x +2)2=1，则x +2=1或x +2= 1，解得x = 1或x = 3．平方根与算术平方根2题一：43的平方根是 ．题二：已知a 、b 、c 满足()b a c 258180-+-+-=，求a 、b 、c 的值． 题三：()49-的平方根是 ．题四：已知实数a 、b 满足：a b b 2=---，求a b 的值． 题五：若一个正数的平方根分别为3a +1和a ，求这个正数．题六：已知54.037.35≈，求54030000的值是多少？题七：解方程：3(x +2)2+6=33．平方根与算术平方根课后练习参考答案 题一： ±8．详解：∵43=64， 而8或的平方等于64，∴43的平方根是±8．题二： 22，5，32． 详解：由题意得，b 50-=，a 80-=，c 180-=， 解得a 822==，b 5=，c 1832==．题三： 9±．详解：∵()4981-=，∴81的平方根是9±．故()49-的平方根是9±． 题四： 1．详解：∵b 中，b ≥0，b -中，b ≥0，即b ≤0，∴b =0，a = 2，∴a b =(2)0=1．题五： 196．详解：3a a =0，解得a = 5，则3a +1=3×(5)+1=-14，故这个正数为(14)2 =196． 题六： 7350． 详解：∵54.037.35≈， ∴5403000054.0310000007.3510007350=⨯≈⨯=．题七： 1，5．详解：等式两边同时减去6，得3(x +2)2=27，等式两边同时除于3，得(x +2)2=9，则x +2=3或x +2= 3，解得x =1或x = 5．平面直角坐系 题一：在平面直角坐标系中，对于点P (2，5)，下列说法错误的是( )A ．P (2，5)表示这个点在平面内的位置B ．点P 的纵坐标是5C ．它与点(5，2)表示同一个点D ．点P 到x 轴的距离是5题二：学完了“平面直角坐标系”后，贝贝同学在笔记本上写了下列一些体会：①如果一个点的横，纵坐标都为零，则这个点是原点；②如果一个点在x轴上，那它一定不属于任何象限；③纵轴上的点的横坐标均相等，且都等于零；④纵坐标相同的点，分布在平行于y轴的某条直线上．其中你认为正确的有______(把正确的序号填在横线上)．题三：在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是( )A．(2，3) B．(2，1) C．(2，3) D．(3，2)题四：在平面直角坐标系中，点，3)所在的象限是( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题五：(1)已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是；(2)若(x y1)2+|3x+2y1|=0，则点P(x，y)在第象限；(3)如果点M(a，b)在第二象限，那么点N(b，a)在第象限．题六：(1)如果P(m+3，2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是；(2)在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在第象限；(3)如果点(a，b)在第二象限，那么a，b)在第象限．题七：将平面直角坐标系内某个图形各点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，所得图形与原图形的关系是( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．两图形重合题八：将点(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，，(3，0)，(4，，(0，0)，在下面的平面直角坐标系A中描出，并将点顺次连接．做如下变化：(对以下问题请将图形代码填入相应的括号内)(1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘以1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案是________；(2)纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案是_______．题九：如图所示，若在某棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点(1，，“象”位于点(3，，则“炮”位于点( )A．(1，3) B．(2，1)C．(2，2) D．(1，2)题十：如图是某学校的平面示意图，在8×8的正方形网格中，如果实验楼所在位置的坐标为，．(1)请画出符合题意的平面直角坐标系；(2)在(1)的平面直角坐标系内表示下列位置：旗杆_____，校门_____，图书馆_____，教学楼______．题十一：(1)已知点P(3a8，a1)，若点P在y轴上，则点P的坐标为______；(2)已知点M(2x3，3x)在第一象限的角平分线上，则M坐标为______．题十二：(1)已知P点坐标为(2a+1，a3)，点P在x轴上，则点P的坐标为______；(2)已知点P(2m5，m1)，当m=______时，点P在二、四象限的角平分线上．题十三：(1)若P(a+2，a1)在y轴上，则点P的坐标是______；(2)点P(2m1，m1)在第三象限，则整数m=______，此时点P到x轴距离为______．题十四：(1)已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是______；(2)已知点A(1，2a+2)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为______．题十五：如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a，a)(a为非负实数)的点有4个．其中正确的有( )A．0 B．1 C．2 D．3题十六：某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第n 棵树种植在点P n (x n ，y n )处，其中x 1=1，y 1=1，当n ≥2时，111215([][])5512[][]55n n n n n n x x n n y y ----⎧=+--⎪⎪⎨--⎪=+-⎪⎩，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为( )A ．(4，2010)B ．(5，2009)C ．(4，402)D ．(5，401)平面直角坐系课后练习参考答案题一：C．详解：根据点P(2，5)，可知：A．P(2，5)表示这个点在平面内的位置，故此选项错误；B．点P的纵坐标是5，故此选项错误；C．它与点(5，2)表示的不是同一个点，故此选项正确；D．点P到x轴的距离是5，故此选项错误．故选：C．题二：①②③．详解：①说法是正确的，这是原点的特点．②x轴上的点不属于任何象限，这是平面直角坐标系的特点，正确．③纵轴上的点的横坐标都为0，而0既不是正数，也不是负数，正确．④纵坐标相同的点，分布在平行于x轴的某条直线或者就是x轴，故④错误．题三：C．详解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，只有选项C符合条件，故选C．题四：B．详解：∵点，3)的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴点在平面直角坐标系的第二象限，故选B．题五：(1)(3，4)；(2)四；(3)四．详解：(1)∵P点位于y轴右侧，x轴上方，∴P点在第一象限，又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为(3，4)；(2)∵(x y1)2+|3x+2y1|=0，∴x−y−1=0，3x+2y−1=0，解得x=0.6，y= 0.4，∴点P(x，y)在第四象限；(3)∵点M(a，b)在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴点N(b，a)的坐标符号是(+，，∴点N(b，a)在第四象限．题六：(1)(0，；(2)一、二；(3)一．详解：(1)∵P(m+3，2m+4)在y轴上，∴m+3=0，解得m= 3，2m+4= 2，∴点P的坐标是(0，；(2)∵mn＞0，∴m和n同号，当m和n都是正数时，m＞0，|n|＞0，则点在第一象限，当m，n都是负数时，m＜0，|n|＞0，则这个点在第二象限，∴点(m，|n|)一定在第一象限或第二象限；(3)点(a，b)在第二象限，则a＜0，b＞0，那么a，b)中，a＞0，b＞0，故a，b)在第一象限．题七：B．详解：由题意得：两个图形中对应两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，则这两点关于y 轴对称，那么所在的图形关于y轴对称，故选B．题八：见详解．详解：根据题意在平面直角坐标系A描出的图案如下图；(1)所得到图案为B；(2)所得到的图案为C．题九：B．详解：以“将”位于点(1，为基准点，则“炮”位于点，，即，1)．故选B．题十：见详解．详解：(1)建立平面直角坐标系如图所示；(2)旗杆：(0，0)，校门：，0)，图书馆：，3)，教学楼：，2)．题十一：(1)(0，53)；(2)(1，1)．详解：(1)∵点P(3a8，a1)在y轴上，∴3a8=0，解得a=83，∴a1=831=53，点P的坐标为(0，53)；(2)∵点M(2x3，3x)在第一象限的角平分线上，∴2x3=3x，∴x=2，∴2x3=2×23=1，∴点M的坐标为(1，1)．题十二：(1)(7，0)；(2)2．详解：(1)点P在x轴上则其纵坐标是0，即a3=0，a=3，则点P的坐标为(7，0)；(2)∵点P在第二、四象限的夹角角平分线上，∴2m5+(m1)=0，解得：m=2．题十三：(1)(0，；(2)0，1．详解：(1)∵P(a+2，a1)在y轴上，∴a+2=0，解得a= 2，∴点P的坐标是 (0，；(2)∵点P(2m1，m1)在第三象限，∴2m1＜0，m1＜0，解得1＜m＜0.5，∴整数m=0，∴点P的坐标为，，∴此时点p到x轴距离为|1|=1．题十四：(1)，；(2)0或2．详解：(1)∵第三象限内点的横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为，横坐标为，因而点P的坐标是，；(2)∵点A(1，2a+2)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，∴|2a+2|=2×1，∴2a+2=2或2a+2= 2，解得a=0或a= 2．题十五：B．详解：如上图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负数实数对(p、q)是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列两个结论：(Ⅰ)若pq≠0，则“距离坐标”为(p、q)的点有且仅有4个；(Ⅱ)若pq=0，且p+q≠0．①p=0，q=1，则“距离坐标”为(0，1)的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是(0，1)的点有1个错误；②得出(5，6)是与l1距离是5的点是与之平行的两条直线与l2的距离是6的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有4个交点．所以此选项正确；③易知若a=0，坐标点在l1与l2的交点上，所以只有1个这样的点，故此选项错误；故正确的有1个；故选B．题十六：C．详解：当n=1时，P1=(1，1)；当2≤n≤5时，P2，P3，P4，P5的坐标分别为(2，1)、(3，1)、(4，1)、(5，1)；当n=6时，P6=(1，2)；当7≤n≤10时，P7，P8，P9，P10的坐标分别为(2，2)、(3，2)、(4，2)、(5，2)；当n=11时，P11=(1，3)；当12≤n≤15时，P12，P13，P14，P15的坐标分别为(2，3)、(3，3)、(4，3)、(5，3)…通过以上数据可以得出：当n=1+5x时，P n的坐标为(1，x+1)，而后面四个点的纵坐标均为x+1，横坐标则分别为2，3，4，5．因为2009=1+5×401+3，所以P2009的横坐标为4，纵坐标为402．故本题选C．全等三角形的多次判定题一：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC上一点，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD⊥AE．题二：如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE、CE，作DF⊥AE、DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG．题三：如图，已知AB=AD，点E、F分别是CD、BC的中点，BF=CE，求证：AE=AF．。