微积分3-2-2复合函数的求导法则资料

d f f ( ln cos(ex ) ) (lncos(ex ))
dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
微积分
例9. 设 解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 x2 1
即 arsh x ln ( x x2 1) , 则 1
(arsh x) x2 1
同理有 (ar c h x) [ln(x x2 1)]
微积分
第二节 求导法则
一、四则运算求导法则 二、复合函数求导法则 三、反函数的求导法则 四、初等函数的求导问题
第三章
微积分
二、复合函数求导法则
定理3.
在点 x 可导,
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
y
例如,
dy dy d u dvபைடு நூலகம்
u
dx d u dv dx
v
f (u) (v) (x)
x
微积分
复合函数求导的关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例6 求函数 y ln sin x 的导数. 解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
sh x ex ex 2
的反函数
1 x2 1
(ar
t
h
x)
(
1 2
ln
1 1
x x
)
1
1 x2
微积分
例10 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解:
y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
x
1 2
1
2x
3(
1 x
2)
x
1
x 2 1 3( x 2)
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x 0)
y f (u)
u
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u)g(x)
微积分
d y f (u)g(x) dy du
dx
du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
(ch x) sh x ; (th x) 1 ;
ch2 x
sh x ex ex 2
th x sh x ch x
(ax ) ax ln a .
a x ex ln a
微积分
例8. 设
求
解:
1 cos(e
x
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若
存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
a
y' loga (x)'
1 (x)' x ln a
1 x ln a
1
loga | x |' x ln a (x 0)
练习
微积分
1.求函数 y (x2 1)10 的导数 .
2.求函数 y f (x2 1) 的导数 ,其中f (u)可导.
作业：第2(2)
微积分
3. 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x)可导, 求 y. 解:
必要时，先 进行化简， 再求导
微积分
例11 求 y ecscx2 , y log a | x | 的导数． 解：y' ecscx2 (cscx2 )' ecscx2 (cscx2 cot x2) (x2)'
2xecscx2 csc x2 cot x2
x0 x0
y'
log a
x'
1 x ln
dx du dx u
sin x
微积分
例7. 求下列导数: 解: (1) (x ) (e ln x )
x 1
( ln x)
x
(2) (xx ) (ex ln x )
(xln x) xx ( ln x 1)
(3) (sh x) ex ex ex ex ch x
2
2
说明: 类似可得