1.3.2函数奇偶性的知识点及例题解析

函数的奇偶性知识点及例题解析

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-,那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数.

理解：

(1）奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的.这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类:

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数。

3、奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数.

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f （x)是奇函数，且x 在0处有定义,则f(0）＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f （x)在区间[a ，b](0≤a 〈b ）上单调递增(减），则f （x ）在区间[－b,－a ］上也是单调递增(减)；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同.偶函数f （x)在区间[a ，b ］（0≤a 〈b ）上单调递增(减)，则f （x ）在区间［－b ，－a ］上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和. ⑤若函数g （x ），f(x)，f ［g(x ）]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x ），y=f(u)都是奇函数时，y=f ［g(x ）]是奇函数；u=g （x ），y=f （u ）都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g （x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外".

5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()

1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()

1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f(x)是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

③、扣定义，下结论。 ⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论:

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数.

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性:

分析:判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称,再看f (－x )与f （x ）的关系.

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)。 2()21;f x x x =-+ (2） . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫=

∈≥⎨⎬-⎩⎭ 解:()f x 函数的定义域是()-∞+∞，,

∵ 2()21f x x x =-+，∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，

∴ 2()21f x x x =-+为偶函数.

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：

由函数2()21f x x x =-+的图象可知, 2()21f x x x =-+为偶函数。

说明:解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、

填空题可用图象法判断函数的奇偶性.

（2） . 解：由 303

x x +≥-，得x ∈（－∞，－3］∪（3,+∞）. ∵定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数.

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

（1). 2

4();33

x f x x -=+- （2）。 021()1x f x x -=-. 解： （1）.由240330

x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩,解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且 ∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则22

44();33x x f x x x

--==+-. ∴22

4()4()();x x f x f x x x

----===--。 ∴2

4()33

x f x x -=+-为奇函数。 说明：对于给出函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断.

(2)。 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩

，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±， 又∵022111()011

x f x x x --===--，∴()0f x -=, ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，

所以022111()011

x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数. 【例3】 判断下列函数的奇偶性：

(1)。 (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩

解析 （1） .函数的定义域为R ,

当0x >时,0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=-

当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-

当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-

综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性,必分段来判断,只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。 2、抽象函数判断其奇偶性:

【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有

1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

解:函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，

令121x x ==，得(1)0f =,

令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-=

取121,x x x =-=,得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-=

故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用:

（1） 。 求字母的值:

【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <,求,,a b c 的值.

解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=,而(2)3f <得4132a b +<，∴4131

a a +<+， 解得12a -<<.又a Z ∈，∴0a =或1a =。

若0a =，则12

b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z 。 ∴1,1,0a b

c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想（建立方程或

不等式，组成混合组),使问题得解。有时也可用特殊值，如 f

（－1）=－f （1），得c =0。

(2) . 解不等式：

【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x －1，求

f （x －1）＜0的解集。