1.3.2函数奇偶性的知识点及例题解析
第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
1.3.2函数的奇偶性
（4）如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。
【典例分析】
【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) (2) f (x)＝x2＋1； (3) (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝5 ； (6) f (x)＝0.
3.判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关
系式。
【课堂作业】
课本第36页第1题及大册子第24页
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
（1） 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部图 象，求f (－4).
（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部图象， 试比较f (1)与 f (3) 的大小.
（1）
（2）
【活学活用2】
(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试 作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比 较f(1)与f(3)的大小
y
0
x
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则这个函数叫奇函数 .（ 2）偶函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则这个函数叫做偶函数 .（3）奇偶性：若是函数 f ( x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x)拥有奇偶性 .（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ 1）奇函数若在 x 0 时有定义，则 f (0)0 ．（ 2）若f ( x)0 且 f ( x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数．2．奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法○1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若 f(－ x) = f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－ x) = －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．例题精讲2【例 1】若函数 f ( x)ax bx 是偶函数，求b的值.∴f(－x)＝ f(x)．∴ ax2＋bx= ax2-bx.∴2bx=0. ∴ b＝ 0.【例 3】已知函数 f (x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象. x题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断以下函数的奇偶性. （ 1）f ( x)| x |( x21) ；（ 2）f ( x)x 1 ；x（ 3） f ( x) | x 1| | x 1| ； （ 4） f (x) x 22 x ；（ 5） f ( x) 1 x 2x 2 1（ 6） f ( x)x 2 x , x0 xx 2 , x解：（ 1） f ( x) | x | ( x 2 1) 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f ( x) | x |[( x)2 1] | x | ( x 2 1) f ( x)∴ f ( x)f (x) ，即 f ( x) 是偶函数． （2） f ( x)x1的定义域为 { x | x 0}x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（3） f ( x)| x 1| | x 1| 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f(－ x)＝|－ x ＋1|－ |－x －1|＝|x － 1|－ |x ＋1|＝－ (|x ＋1|－|x －1|)＝－ f(x)，∴ f(x)＝ |x ＋ 1|－|x －1|是奇函数．（4） f ( x)x 22 x 的定义域为 {2} ，由于定义域关于原点不对称， 故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（5） f ( x)1 x 2x 2 1 的定义域为 {1 ，－ 1} ，由 f (1) 0 且 f ( 1) 0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，－ x<0，f(－x)＝x 2－x ＝－ (x －x 2)；当 x<0 时，－ x>0，f(－x)＝－ x － x 2＝－ (x 2＋x)．即 f ( x)( x 2 x) , x 0 ( x x 2 ) , x 0即 f ( x)f ( x)∴ f ( x) 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3)＝ 2，求 f(－ 3)和 f(0)的值 .解：∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f (－3)＝－ f(3)＝－ 2，f(0)＝0.【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－1)＝4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f ( x)f (x) ， g( x) g( x)所以 － f(1)＋ g(1)＝2 ①f(1)＋ g(1)＝4 ②由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数剖析式【例 6】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求 f(x)的剖析式 .解：当 x 0 时，有 x所以 f ( x) ( x)3 ( x)2 x 3 x 2又由于 f (x) 在 R 上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x 3 x 2所以当 x 0 时， f ( x)x 3 x 2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x) g( x) e x ，求 g ( x) .解：由于 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ，g ( x)g(x)由于 f ( x) g( x) e x①所以 f ( x) g ( x) e x所以 f ( x)g (x)e x②由①②式消去 f (x) ，得 g( x)e x e x.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1. 函数 f (x)x 11 x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数2. 已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x) x21，则 f ( 1) （）x3. f(x)为偶函数，且当 x ≥0 时， f(x) ≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f(x) ≤ 2B ．f(x) ≥ 2C ．f(x) ≤－2D.f(x) ∈R4. 已知函数 y=f （x ）是偶函数， y=f （x －2）在［ 0，2］上是单调减函数，则（）（0）＜ f （－ 1）＜ f （ 2） （－ 1）＜ f （ 0）＜ f （ 2）（－ 1）＜ f （2）＜ f （0） （2）＜ f （－ 1）＜ f （0）5. 已知函数 f （ x ） =ax 2＋ bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋ bx 2＋ cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，又 f （－ 3）=0，则不等式 xf （x ）＜0 的解集为（）A.（－ 3，0）∪（0，3）B.（－ ∞，－ 3）∪（3，+∞）C.（－ 3，0）∪（3，+∞）D.（－ ∞，－ 3）∪（ 0， 3）7. 若 f(x) 在[ －5,5] 上是奇函数，且f(3)<f(1) ，则以下各式中必然成立的是()A ．f( － 1)<f( － 3)B ． f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ． f( －3)<f(5)8. 设 f(x) 在[ －2，－ 1] 上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x) 在[1,2] 上( )A ．为减函数，最大值为 3B ．为减函数，最小值为－ 3C ．为增函数，最大值为－ 3D ．为增函数，最小值为 39. 以下四个函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋ ∞)上为增函数的是 ()A ．y ＝x^3B ．y ＝－ x^2 ＋ 1C ．y ＝|x| ＋1D ．y ＝2－|x|10. 若函数 f(x) ＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则 a ＝( )A ．1B ．－ 1C ．0D ．不存在11. 偶函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝ 0 的所有根之和为 ．12. 如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较 f (1) 与 f (3)的大小 .y13. 已知函数 f ( x) xp2m( p 0) 是奇函数，求 m 的值 .x14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝ x 2＋x －2，求 f(x) ，g(x)的表达式．–3–1x215. 定义在 ( －1,1) 上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1 －a)＋ f(1－ a )<0 ，求实O 数 a 的取值范围．1216. 函数 f(x)＝ 1＋ x 2 是定义在 (－ 1,1)上的奇函数，且 f 2 ＝5，求函数 f(x)的剖析式ax ＋b17. 判断函数 f (x)(1 x)1x的奇偶性.1 x。
高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习 含答案
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第1章 1.3.2 奇偶性 Word版含解析
1.3.2奇偶性1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点)2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 偶函数阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1-3-4所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．图1-3-4【解】由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．教材整理2 奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )【解析】(1)×.如f(x)＝x2，满足f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数；②g(x )＝1－x2|x ＋2|－2既不是奇函数也不是偶函数； ③F (x )＝f (x )f (－x )(x ∈R )是偶函数；④h (x )＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________． 【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．【自主解答】 对于①，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数，①正确；对于②，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，∴g (x )＝1－x2|x ＋2|－2＝1－x2x ＋2－2＝1－x2x ，满足g (－x )＝－g (x )，故y ＝g (x )是奇函数，②错误；对于③，∵F (x )＝f (x )f (－x )，∴F (－x )＝f (－x )f (x )＝F (x )(x ∈R )，∴F (x )＝f (x )f (－x )是偶函数，③正确；对于④，由⎩⎨⎧x2－1≥0，1－x2≥0，解得x ＝±1，故函数h (x )的定义域为{－1,1}，且h (x )＝0，所以h (x )既是奇函数，又是偶函数，④正确．【答案】 ①③④定义法判断函数奇偶性的步骤[再练一题]1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)【导学号：97030060】 (1)f (x )＝x 3；(2)f (x )＝|x |＋1；(3)f (x )＝1x2；(4)f(x)＝x＋1x；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]．【解析】对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝错误!＝错误!＝f(x)，则为偶函数；对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，则为奇函数；对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．故为偶函数的是(2)(3)．【答案】(2)(3)(1)A.12 B.23C.34D．1(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.【精彩点拨】(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．【自主解答】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴11＋a＝错误!，∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝12，故选A.(2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.【答案】(1)A (2)－261．由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．[再练一题]2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由于f (x )是偶函数，由题意可知 ⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0， ∴a ＝13，b ＝0. 【答案】 13 0函数f (x ) 【精彩点拨】 设x ＜0，则－x ＞0，结合f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，可求f (x )．【自主解答】 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－x ＋1.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－f (x )＝－x ＋1，∴f (x )＝－－x －1. ∵f (x)是奇函数，∴f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x>0，0，x ＝0，－－x －1，x<0.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．[再练一题]3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2)C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2)【解析】∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，∴当x＜0时，即－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D.【答案】 D[探究共研型]探究1 )上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？【提示】如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．探究2 你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？【提示】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．探究3若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？【提示】f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)C ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f (1－a )＋f (1－2a )＜0，则a 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．(2)由于y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f (x )是奇函数．再利用单调性即可得出．【自主解答】 (1)∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0， ∴若x 2－x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＞0，即x 2＞x 1，则f (x 2)＞f (x 1)，若x 2－x 1＜0，则f (x 2)－f (x 1)＜0，即x 2＜x 1，则f (x 2)＜f (x 1)，则函数在(－∞，0]上为单调递增函数．又∵f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，则f (n ＋1)＜f (n )＜f (n －1)，即f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)，故选B .(2)∵y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．∵f (1－a )＋f (1－2a )＜0，∴f (1－a )＜－f (1－2a )＝f (2a －1)，又y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a ＞2a －1＞－1，解得0<a <23. ∴a 的取值范围是0<a <23. 【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，231．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．[再练一题]4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) 【导学号：97030062】A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)【解析】由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.【答案】 A1．下列函数是偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3C．f(x)＝x D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]【解析】对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B.【答案】B2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．【答案】A3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( ) 【导学号：97030063】A．增函数且最小值是－1B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1D．减函数且最小值是－1【解析】 ∵奇函数f (x )在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f (x )在[2,6]上是减函数且最大值是－1.【答案】 C4．如图1-3-5，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (3)＝0，则不等式f (x )＜0的解集为________．图1-3-5【解析】 画出函数f (x )在R 上的简图，如图所示．数形结合可得不等式f (x )＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)． 【答案】 (－3,0)∪(0,3)5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2－x . (1)求f (x )的表达式； (2)画出f (x )的图象．【解】 (1)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，则f (0)＝0；当x <0时，即－x >0，函数f (x )是奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )2－(－x )]＝－(2x 2＋x )＝－2x 2－x .综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧2x2－x ，x>0，0，x ＝0，－2x2－x ，x<0.(2)函数f (x )的图象如图所示．。
高中数学：第一章 1.3.2 函数奇偶性 (42)
1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念b b2.奇函数、偶函数的性质c c知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2 B．2 C．0 D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－1，－x<0，0，－x＝0，－x＋1，－x>0，即f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x＋1)，x>0，0，x＝0，－(x－1)，x<0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f (1)<f (3)．方法二 由图象可知f (－1)<f (－3)． 又函数y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)，故f (1)<f (3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小； 方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三 利用函数奇偶性求参数例3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x . 显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1， 整理得a ＝－1.(2)(特值法) 由f (x )为奇函数， 得f (－1)＝－f (1)，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3 C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故④是错误的．答案：A5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则k 等于________．解析：由于函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，因此k －1＝0，k ＝1.答案：17．给出下列四个函数的论断： ①y ＝－|x |是奇函数；②y ＝x 2(x ∈(－1,1])是偶函数；解得b＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x2x－1；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝x3－x2x－1的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x≥2，－2x，－2<x<2，4，x≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x，(x>0)0，(x＝0)－x2－2x，(x<0)(2)图象如图：[能力提升](20分钟，40分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x)＝4－x2(x－2)2－2＝4－x2|x－2|－2，由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，得－2≤x<0或0<x≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，f(－x)＝－4－x2－x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．故选A.答案：A12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．解析：∵f(x)为偶函数，。
1.3.2函数奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性学习目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养自己观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养自己从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 重点和难点分析：重点：函数的奇偶性及其几何意义难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 问题导学：预习教材P 33----P 36, 并找出疑惑之处。
1. 明确偶函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否偶函数2. 明确奇函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否奇函数预习自测：判断下列函数的奇偶性1.2()f x x =2. ()||1f x x =-3. 21)(x x f =4. 2432)(x x x f +=5. x x x f 2)(3-=6. xx x f 1)(2+=7. 1)(2+=x x f学习过程：学习探究思考：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？1.观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为 ————的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为———— 的折线；函数21()f x x=是定义域为 ————的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于————对称．2.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳问题：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -是否也在函数图象上?即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标是否一定相等？归纳定义：函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有 ————，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．典型例题：例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x =（2）5()f x x =（3）1()f x x x =+（4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．课堂训练：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =（五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。
高一函数的奇偶性知识要点、例题讲解(数学)
函数的奇偶性（一）一、课题引入幂函数(1) f (x )=x 3(x ∈R )，(2) f (x )=x 2(x ∈R )的图像特点、单调区间，并列下表 函数 f (x )=x 3f (x )=x 2定义域 (－∞，+∞)关于原点对称(－∞，+∞)关于原点对称函数值 f (－x )=－f (x )f (－x )= f (x )对称性 图像关于原点对称 图像关于y 轴对称 单调性在原点两侧单调性相同在原点两侧单调性相反图 像前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”． 二、知识讲解1．奇函数和偶函数的概念设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 关于原点对称．(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．定义还可以表达为：(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )+f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )－f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做偶函数．第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性．这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f (x )+f (－x )=0的解集为D ；另一方面，若方程f (x )+f (－x )=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f (x )在D 上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论．2．奇函数和偶函数的图像特征(1) 奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数． (2) 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称函数，必是偶函数．3．判断函数的奇偶性 对于函数f (x )先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f (－x )=±f (x ) (或f (x )±f (x )=0，或()()1±=-x f x f 等)是否成立，最后作出正确结论．4．判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内，(1) 两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． (2) 两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． (3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (4) 函数f (x )与()x f 1同奇或同偶． 以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x )=x 3；(2) f (x )=2x 4+3x 2；(3) ()313-+=xx x f ；(4) f (x )=x +1后，结合函数运算引出．直观引入后，可让学生在课后加以证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的．5．函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： (1) 奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性． (2) 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性． 三、例题分析1．判断函数的奇偶性易犯的错误 (1) 因忽视定义域的特征致错 例1．①()()11--=x x x x f ；②f (x )=x 2+(x +1)0错解：①()()x x x x x f =--=11，∴ f (x )是奇函数 ②∵ f (－x )=(－x )2+(－x +1)0=x 2+(x +1)0=f (x ) ∴ f (x )是偶函数．分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域(－∞，1)∪(1，+∞)关于原点不对称，f (x )是非奇非偶函数．②定义域(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴ f (x )非奇非偶函数． (2) 因缺乏变形意识或方法致错． 例2．判断()21151+-=x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x－1≠0，∴ x ≠0．f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．∵ ()2151521151+-=+-=-xx x x f ， ∴ f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴ f (x )是非奇非偶函数．分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．正解：()()1521521151-+=+-=xx x x f ，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称． ()()()()()x f x f xx x x x x -=-+-=-+=-+=--152155125115215 ∴ f (x )是奇函数．(3) 因忽视f (x )=0致错． 例3．判断函数()2244x x x f -+-=的奇偶性．错解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x 得x =±2，∴ f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称．()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-22224444，∴ f (x )为偶函数正解：f (x )的定义域为{－2，2}，此时，f (x )≡0，∴ f (x )既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f (x )=0 (x ≠0)是f (x )既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f (x )=0 (x ≠0)函数的定义域．注意：分段函数奇偶性的判定应注意两点：(1) 分段函数是一个函数，而不是几个函数； (2) 确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论． 2．函数的奇偶性的应用例4．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )=x |x －2|，求f (x )<0时，f (x )的表达式． 答：当x <0时，f (x )=x |x +2|．例5．已知f (x )=x 5+ax 3+bx －8，且f (－2)=10，则f (2)=_________ 解：令g (x )=f (x )+8=x 5+ax 3+bx ，则g (x )是奇函数∴ g (－2)+g (2)=0，即f (－2)+8+f (2)+8=0，∴ f (2)=－f (－2)－16=－26．例6．已知 f (x )、g (x )的定义域均为R ，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且()()112+-=+x x x g x f ，求f (x )的解析式． 答：()124++=x x xx f ．例7．已知函数y =f (x )是奇函数，在(0，+∞)上是减函数，且f (x )<0，判断()()x f x F 1=在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．答：F (x )在(－∞，0)是增函数．例8．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )+f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．答：a ∈(0，1)．点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题．例9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，x >0时，f (x )=－x 2+2x －3．(1) 求f (x )的解析式； (2) 画出y =f (x )的图像； (3) 求出f (x )的单调区间．解：(1) ()()()⎪⎩⎪⎨⎧∞-∈++=∞+∈-+-=0320003222，，，，，x x x x x x x x f(2) 画图略．(3) 单调减区间为(]1-∞-，，[)∞+，1；单调增区间为[)01，-，(]10，． 点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函数综合题．此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力． 四、习 题1．已知f (x )是奇函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？ 2．已知f (x )是偶函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？3．函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-∞+∈=0101，，，，x x x f 是奇函数吗？答 案1．f (0)=0 2．f (0)不定3．否五、引伸和提高定义域关于原点对称的任意一个函数f (x )都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和．即f (x )=21(F (x )+G (x ))其中F (x )= f (x )+f (－x )，G (x )=f (x )－f (－x ) (1) 利用这一结论可以很简捷地解决一些问题； (2) 在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入．(3) 可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识． 六、思 考 题1．设，f (x )=kx +x6－4，(k ∈R )当x =2+3时，f (x )=0，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231f 的值． 答：32024231-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-f ．2．已知函数y =f (x )满足f (x +y )+f (x －y )=2f (x ) f (y ) (x ∈R ，y ∈R )，且f (0)≠0，那么f (x )是__________函数(填奇、偶)．答：偶函数函数的奇偶性（二）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
人教A版必修一1.3.2函数的奇偶性
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合， 则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个 图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线 双曲线 直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数 定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x， 若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若 有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在 上的奇函数，且x>0时， 求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象 已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据； （2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
专题1.3.2 函数的奇偶性重难点题型(举一反三)(解析版)
1.3.2 函数的奇偶性重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 判断一般函数的奇偶性】【练1】下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x2（﹣1＜x＜3）B．f（x）C．f（x）＝x4﹣1 D．f（x）＝x【思路分析】根据偶函数的定义和性质分别进行判断．【答案】解：A．函数f（x）的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当f（x），为奇函数，不满足条件．C．函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝x4﹣1＝f（x），∴f（x）是偶函数，满足条件．D．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，不满足条件．故选：C．【练1.2】下列函数中是奇函数的为（）A．y＝x3﹣x2B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣3x3+x D．y【思路分析】运用函数的奇偶性的定义，即可判断各个选项的奇偶性．【答案】解：对于A，y＝f（x）＝x3﹣x2，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x2≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于B，y＝f（x）＝|x﹣1|，f（﹣x）＝|﹣x﹣1|≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于C，y＝f（x）＝﹣3x3+x，由f（﹣x）＝3x3﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；对于D，y＝f（x）|x|，由f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数．故选：C．【练1.2】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|（2）f（x）（3）f（x）（4）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．【思路分析】由题设条件可以看出，可以用函数奇偶性的定义对这个函数进行验证，以确定其性质．【答案】解：（1）∵函数f（x）＝|1+x|+|x﹣1|的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x+1|+|x﹣1|＝f（x）∴f（x）是偶函数；（2）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数；（3）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（4）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．【练1.3】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x（3）f（x）（4）f（x）（5）f（x）（6）f（x）（7）f（x）（8）f（x）【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，可得结论．【答案】解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（2）f（x）＝x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）的定义域为{1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）f（x）的定义域为{﹣1，1}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数；（5）f（x）的定义域为[﹣2，2]，但f（﹣x）＝﹣f（x）与f（﹣x）＝f（x）均不恒成立，故为非奇非偶函数；（6）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，为奇函数；（7）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（8）f（x）的定义域为{﹣2，2}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数．【考点2 判断分段函数的奇偶性】【练2】判断函数f（x），，，，的奇偶性．【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（﹣x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．【答案】解：函数f（x），，，，的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x），，，，为偶函数【练2.1】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数．【答案】解：∵函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝﹣f（x）（x＞0）．当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x）（x＜0）．故函数f（x）为奇函数．【练2.2】判断函数f（x），＞，＜的奇偶性．【思路分析】根据奇函数和偶函数的定义，思路分析函数是否满足定义，可得结论．【答案】解：f（x），＞，＜的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x），＞，＜为奇函数．【练2.3】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．【答案】解：定义域为R，当x＜﹣1时，∵﹣x＞1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+3＝x+3＝f（x）；当x＞1时，∵﹣x＜﹣1，∴f（﹣x）＝﹣x+3＝f（x）；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝f（x）＝0，∴f（x）为偶函数．【考点3 判断抽象函数的奇偶性】【练3】函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f（x）+g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；②f（x）﹣g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；③f（x）•g（x）在区间[﹣a，a]上是偶函数．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】运用奇偶性的定义，注意变形运算，对选项一一加以判断即可得到．【答案】解：函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），①令F（x）＝f（x）+g（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣F（x），则为奇函数，故①对；②令H（x）＝f（x）﹣g（x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝﹣H（x），则为奇函数，故②对；③令R（x）＝f（x）•g（x），则R（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝（﹣f（x））•（﹣g（x））＝R（x），则为偶函数，故③对．则正确个数为3，故选：D．【练3.1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．【练3.2】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数；【思路分析】利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．【答案】解：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得：f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．【练3.3】已知函数f（x），当a，b∈R时，恒有f（a）＝f（）+f（）．（1）若f（1）＝﹣2，求f（2），f（3）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【思路分析】（1）对于，可令，，则x+y＝a，从而得出f（x+y）＝f（x）+f（y），再根据f（1）＝﹣2即可求出f（2），f（3）的值；（2）根据上面，f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0即可求出f（0）＝0，而令y＝﹣x即可求出f（﹣x）＝﹣f（x），即得出f（x）是奇函数．【答案】解：（1）令，，则x+y＝a；∴f（x+y）＝f（x）+f（y）；∵f（1）＝﹣2；∴f（2）＝2f（1）＝﹣4，f（3）＝f（2）+f（1）＝﹣4﹣2＝﹣6；（2）由（1）知f（x+y）＝f（x）+f（y）；令x＝y＝0，得f（0+0）＝f（0）+f（0）；∴f（0）＝0；令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）；∴f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）是奇函数．【考点4 利用函数的奇偶性求解析式】【练4】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【思路分析】根据偶函数的性质进行转化求解即可．【答案】解：∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x），，＞．【练4.1】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，【练4.2】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x），求函数f（x）在R上的解析式；【思路分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性思路分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；【答案】解：根据题意，f（x）为定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x），又由f（x）为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x），则f（x），＜，，＞；【练4.3】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0…（4分）（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）＞＜【考点5 利用函数的奇偶性求参数】【练5】设函数f（x）为奇函数，则a＝﹣1．【思路分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）＝0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【答案】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（1）+f（﹣1）＝0，即2（1+a）+0＝0，∴a＝﹣1．故应填﹣1．【练5.1】已知函数是奇函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．【思路分析】先求函数的定义域{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}，由题意可得g（x）＝|x+2|﹣2为奇函数，由奇函数的定义可得g（﹣x）＝﹣g（x）代入整理可得|x﹣2|+|x+2|＝4，结合函数的定义域可求a的范围【答案】解：由题意可得，函数的定义域为{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}∵函数是奇函数，且y是偶函数令g（x）＝|x+2|﹣2，则g（x）为奇函数∴g（﹣x）＝﹣g（x）即|﹣x+2|﹣2＝﹣|x+2|+2∴|x﹣2|+|x+2|＝4∴﹣2≤x≤2∴﹣2≤a≤2且a≠0故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]【练5.2】若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．0【思路分析】根据函数为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），建立方程即可求解a．【答案】解：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，故选：C．【练5.3】已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【思路分析】根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2＝0，这样即可求出a的值．【答案】解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2＝0；∴a＝6．故选：D．【考点6 函数奇偶性与单调性综合】【练6】函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【思路分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x＝3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案．【答案】解：∵函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）＝f（6﹣π），f（5）＝f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．【练6.1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【思路分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【答案】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．【练6.2】若函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣2} D．{x|0＜x＜4}【思路分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性、二次函数的性质，求得f（2﹣x）＞0的解集．【答案】解：函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，∴b﹣2a＝0，b＝2a，f（x）＝ax2﹣4a．再根据f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．令ax2﹣4a＝0，求得x＝±2，则由f（2﹣x）＞0，可得2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，求得x＜0，或x＞4，故f（2﹣x）＞0的解集为{x|x＞4或x＜0}，故选：A．【练6.3】已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（0，4）．【思路分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为f（|x﹣2|）＞0，进行求解即可．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，∴f（2）＝f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0，等价为f（|x﹣2|）＞f（2），则|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，即x的取值范围是（0，4），故答案为：（0，4）【考点7 函数性质的综合应用】【练7】已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．【思路分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．【答案】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝1，x2＝﹣1，代入上式得f（﹣1）＝f（﹣1）+f（1），解得f（1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝﹣1，得，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（tx1）＝f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）＝﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，∴令x1＝2，x2，则f（2）＝f（2）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（2）＝﹣（﹣1）＝1．f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2f（）＝2×1＝2．则不等式f（x2﹣1）＜2等价为不等式f（x2﹣1）＜f（），∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，∴x2﹣1＜或x2﹣1＞，即x2＜或x2＞，即＜x＜或x＞或x＜，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞或x＜}．【练7.1】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．【思路分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），可得f（x）＝f（x﹣y）+f（y），可得2＝f（2）+f（2）＝f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．【答案】解：（1）令x＝y＝0，则f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），∴f（0）＝0．（2）函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数y＝f（x）在定义域R上单调递增．（3）∵f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）．∴f（x）＝f（x﹣y）+f（y），∴2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（2）+f（4﹣2）＝f（4），∵f（x）+f（x+2）＜2，∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）＝f（4﹣x）．∵函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，从而x＜1．∴x的取值范围为{x|x＜1}．【练7.2】已知关于x的函数f（x）＝x2﹣2ax+5．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意t∈[1，a]，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m＝3，求实数a的值．【思路分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，思路分析f（x）在[1，a]上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解可得a的值，即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，因为函数f（x）＝x2﹣2ax+5是偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，变形可得a＝0．（2）根据题意，当a＞1时，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上单调递减，所以n＝f（a）＝a2﹣2a•a+5＝5﹣a2，m＝f（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，又n+m＝3，所以5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解得a＝2，a＝﹣4（舍），所以a＝2．【练7.3】设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）求证：y＝f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式．【思路分析】（1）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）分别对x1＝x2＝1赋值，即可证f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（﹣x）与f（x）的关系即可答案问题，操作时可以令y＝﹣x 进行思路分析；（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：，结合单调性思路分析即可获得问题的答案．【答案】解：（1）令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）∴f（1）＝0令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）＝0（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，令x1＝x，x2＝﹣1∴f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）∴f（x）＝f（﹣x）所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．（3）不等式．即∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数且f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴，解得：＜或＜或0＜x＜．。
第十八课时1.3.2函数的奇偶性II
7 x
f (3) f (3) 5.
-5
课本 P.39 A ６
例1、已知函数 f(x) 是奇函数,当 x≥0时,f(x)=x(1+x); 当 x < 0 时, f(x) 等于 ( B ).
A. x(1 x)
B. x(1 x)
C. x(1 x)
(2)
非 奇 非 偶 函 数
o
(3)
非 奇 非 x 偶 函 数
y
ox奇 函 数Fra bibliotek(4)
小结
3
[1]．二次函数f(x)＝ax² ＋bx＋3a+b为 偶 函 数 , 且 定 义 域 为 [a-1,2a], 则 a=_1 __,b=____ 0 3
【2】对于奇函数f(x),若x能取到零,则 f(0)=__.
复习回顾：1.奇偶
函数的定义 2.奇偶函数的判定 3.奇偶函数的性质
1、判断下列函数的奇偶性
（1） ( x) f
x 2 x (3) f ( x) 0
3
（2）f
( x) x
|x| (4) f ( x) 2 x 1
2、判断下列函数的奇偶性
y y
偶 函 数
o (1) y x o x
D. x(1 x)
函数单调性和奇偶性与抽象不等式
例2、已知奇函数f(x)是定
义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实 数x的取值范围．
性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点 一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内 奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. 偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.
函数奇偶性的知识点及例题解析
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
函数的奇偶性讲义
二、奇函数与偶函数
（一）奇函数的定义:对于任意函数f(x）在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A,都有ｆ(－ｘ)＝－f（x)，则f（x)为奇函数。
（二）偶函数的定义:对于任意函数ｆ(ｘ)在其对称区间(关于原点对称）内,对于x∈A，都有ｆ（-ｘ）=f(ｘ),则f(x)为偶函数。
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，则我们就说函数f(x)具有奇偶性。
(三）判断函数奇偶性的步骤:
（1)求函数f（x)的定义域;
(2)若函数的定义域不关于原点对称,则该函数不具备奇偶性，此时函数既不是奇函数,也不偶函数;若函数f(x)的定义域关于原点对称,再进行下一步;
（３)求f(-x);
（4)根据f(－x)与ｆ(x）之间的关系，判断函数ｆ(ｘ)的奇偶性；①若f(-x）＝－ｆ(x）,函数是奇函数；②若f(－ｘ）＝ｆ(x),函数f(x)是偶函数；③若f（-x）≠±f（x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数;④若f(－x)＝-f(x),且f(-x）=ｆ(x),则f（x)既是奇函数,也是偶函数。【即f（ｘ)=0,即定义域关于原点对称的常数函数ｆ(x）＝ ;当 ≠0时,常数函数是偶函数；当 ＝0时,常数函数既是奇函数，也是偶函数。】
【解析】:f(2）=－2６
变式练习5:已知函数f（x)＝ ，则f( )＋f( )＝___＿_＿____。
【解析】:令ｆ（x)＝ ,g(ｘ)是奇函数，故f（－ｘ)= ，f(-x)= ,故f(ｘ)＋f(-x)＝６
例6:已知f（x)是定义在(－1,1)上的奇函数且是减函数,满足f(１- )＋f(1-2 )>0,求 的取值范围。
【解析】：ｆ(x)＝
变式练习：已知f(ｘ)是定义在R上的奇函数,,当x>0时，ｆ(x)=x2-2x－３,求f(x)的解析式。
1.3.2 奇偶性
观察下图：
f(x)=x2
f(x)=|x|
• F（x）是[a-1,2a]上的偶函数，则 a=
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那 么f(x)就叫做奇函数．
奇（偶）函数的定义域特征
• （1）F（x）是[a-1,2a]上的奇函数，则a= • • （2）如果一个函数f(x)的定义域 是（-1,1], 那么这个函数还有奇偶性吗？
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)
∴f(x)奇函数
∴f(x)偶函数
练习1
(1) f (x ) x ,x [1,2] (2) f (x ) x x
2 3 2
(3) f(x ) x 2x 1 (4) f (x ) 0. x [1,1] (5) f(x ) 0. x (1,1]奇函数说明：根据偶性,函数可划分为四类:
偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
练习2
x 2 x ,x 0 f(x ) 2 ,则f(x)的奇偶性 x x ,x 0
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4 1 (3) f ( x ) x x
( 2) f ( x) x 5 1 ( 4) f ( x ) 2 x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)
§1.3.2 函数的奇偶性
§1.3.2 奇偶性审核：高一数学组 编号013 时间：2018.10理解函数的奇偶性及其几何意义；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. P 33~ P 36，找出疑惑之处）点(x 0，y 0)关于原点的对称点为(－x 0，－y 0)，关于y 轴的对称点为(－x 0，y 0). 复习1：指出下列函数的单调区间及单调性. （1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f(x)＝x 、f(x)＝x 2、f(x)＝x 3、f(x)＝x 4，分别比较f(x)与f(－x).二、新课导学※ 学习探究：探究任务：奇函数、偶函数的概念 思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称. 试试：已知函数21()f xx =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题：例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x = （3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x . 小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f(x)＝x ＋1x； （3）f(x)＝21xx+； （4）f(x)＝x 2, x ∈[-2,3]. 例1、判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x. （5）f(x) = x 2，x ∈[–1，3]； （6）f(x) = 0. 活动：利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x), 奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x -1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x =f(x)，所以函数f(x)= 21x 是偶函数.（5）非奇非偶函数， （6）既奇又偶函数。
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函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-,那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数.理解：(1）奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的.这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类:奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数。
3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数.4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f （x)是奇函数，且x 在0处有定义,则f(0）＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f （x)在区间[a ，b](0≤a 〈b ）上单调递增(减），则f （x ）在区间[－b,－a ］上也是单调递增(减)；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同.偶函数f （x)在区间[a ，b ］（0≤a 〈b ）上单调递增(减)，则f （x ）在区间［－b ，－a ］上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和. ⑤若函数g （x ），f(x)，f ［g(x ）]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x ），y=f(u)都是奇函数时，y=f ［g(x ）]是奇函数；u=g （x ），y=f （u ）都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g （x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外".5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f(x)是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;图象关于y 轴对称的函数是偶函数。
，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论:①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数.③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。
二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性:分析:判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称,再看f (－x )与f （x ）的关系.【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)。
2()21;f x x x =-+ (2） . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭ 解:()f x 函数的定义域是()-∞+∞，,∵ 2()21f x x x =-+，∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，∴ 2()21f x x x =-+为偶函数.（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知, 2()21f x x x =-+为偶函数。
说明:解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性.（2） . 解：由 303x x +≥-，得x ∈（－∞，－3］∪（3,+∞）. ∵定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数.【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1). 24();33x f x x -=+- （2）。
021()1x f x x -=-. 解： （1）.由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩,解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且 ∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则2244();33x x f x x x--==+-. ∴224()4()();x x f x f x x x----===--。
∴24()33x f x x -=+-为奇函数。
说明：对于给出函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断.(2)。
由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±， 又∵022111()011x f x x x --===--，∴()0f x -=, ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，所以022111()011x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数. 【例3】 判断下列函数的奇偶性：(1)。
(1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩解析 （1） .函数的定义域为R ,当0x >时,0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=-当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。
说明：分段函数判断奇偶性,必分段来判断,只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。
分段函数判断奇偶性，也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性:【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。
解:函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，令121x x ==，得(1)0f =,令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-=取121,x x x =-=,得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-=故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。
3、函数奇偶性的应用:（1） 。
求字母的值:【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <,求,,a b c 的值.解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。
又(1)2f =得12a b +=,而(2)3f <得4132a b +<，∴4131a a +<+， 解得12a -<<.又a Z ∈，∴0a =或1a =。
若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z 。
∴1,1,0a bc ===。
说明：本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想（建立方程或不等式，组成混合组),使问题得解。
有时也可用特殊值，如 f（－1）=－f （1），得c =0。
(2) . 解不等式：【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x －1，求f （x －1）＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f （x )的图象,利用数形结合的方法。
解：画图可知f (x ）＜0的解集为 ｛x |－1＜x ＜1｝，∴f (x －1）＜0，即－1＜x —1＜1,∴解集为｛x ｜0＜x ＜2｝.（3)函数奇偶性的应用（求值，求解析式,与单调性结合）7.已知f(x ）=x 5+ax 3−b x −8，且f(−2)=10,求f(2）.解:法一:∵f(−2）=(−2)5+(−2）3a −(−2)b −8=−32−8a +2b −8=−40−8a +2b=10∴8a −2b=−50 ∴f(2）=25+23a −2b −8=8a −2b+24=−50+24=−26法二:令g （x ）=f(x )+8易证g(x )为奇函数 ∴g(−2)=−g （2） ∴f(−2）+8=−f(2）−8∴f(2)=−f(−2）−16=−10−16=−26.8. f(x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f(x )=x 2−x ，求当x ≥0时,f （x ）的解析式,并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x ＞0时，x x x x x f x f --=----=--=22)]()[()()(，又f （0)=0 ，如图9. 设定义在[−3，3]上的偶函数f(x )在[0,3]上是单调递增，当f(a −1）＜f （a )时,求a 的取值范围.解：∵f （a −1)＜f （a ) ,偶函数f （x )在［0，3]上是单调递增∴f(|a −1|）＜f （|a |）必有|a −1｜，｜a ｜∈[0，3］。