抽屉原理(中)

一、抽屉原理

美国一家杂志上曾刊登这样一副漫画：三只鸽子同时往两个鸽笼里飞。这是一副含义深刻的漫画，它有趣的揭示了抽屉原理：三只鸽子同时飞进两个鸽笼里，则一定有一只鸽笼里至少飞进两只鸽子。抽屉原理俗称鸽笼原理，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet 1805--1859)运用于解决数学问题的，所以抽屉原理又叫狄利克雷原理。

1．抽屉原理

（1）第一抽屉原理

设有m 个元素分属于n 个集合（其两两的交集可以非空），且m kn >（m n k ，，均为正整数），则必有一个集合中至少有1k +个元素。 （2）第二抽屉原理

设有m 个元素分属于n 个两两不相交的集合，且m kn <（m n k ，，均为正整数），则必有一个集合中至多有1k -个元素。 （3）无限的抽屉原理

设有无穷多个元素分属于n 个集合，则必有一个集合中含有无穷多个元素。

2．平均值原理

设12n a a a ∈R ，，

，，且 ()12121

||n n n A a a a G a a a n

=

+++ ， 则12n a a a ，

，，中必有一个不大于A ，亦必有一个不小于A ；12||||||n a a a ，，，中必有一个不大于G ，亦有一个不小于G 。

3．面积重叠原理

n 个平面图形12n A A A ，，

，的面积分别为12n S S S ，，，，将它们以任意方式放入一个面积为S 的平面图形A 内。

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抽屉原理与极端原理

（1）若12n S S S S +++> ，则存在1i j n <≤≤，使图形i A 与j A 有公共内点；

（2）若12n S S S S +++< ， 则A 存在一点，不属于图形12n A A A ，，，中的任意一个。 以上命题用反证法很容易证明，大家可以自行完成。

一般来说，适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如1n +个苹果放入n 个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原理解决的数学问题还应搞清三个问题： （1）什么是“苹果”？ （2）什么是“抽屉”？ （3）苹果、抽屉各多少？ 用抽屉原理解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原理缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确. 用抽屉原理解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.关键是构造适合的抽屉，抽屉之间可以有公共部分，亦可以没有公共部分。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，从小学奥数、中学奥数、IMO 到Putnam 都可以见到它的身影。实际应用中，抽屉原理常常与反证法结合在一起。

二、极端原理

让我们先看一个有趣的放硬币游戏．

两人相继轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？

这是一个古老而值得深思的难题．当有人向一位确有才能的数学家提出这个难题时，引出了如下一段意味深长的对话：

数学家：这有什么难？如果圆桌小到只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。 提问者：这还用你讲？简直废话！

数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般问题的解决． 提问者：怎么解决？

数学家：我先将第一枚硬币放在桌子的中心，利用圆桌的对称性，我就可以获胜．不管是圆桌还是方桌，也不管是桌子有多大，只要有一个对称中心就行．

数学家独具慧眼，能从一般性问题中一下子找到一个极易求解的极端情形，并能将极端情形下的解法推向一般，轻而易举地解决了上述难题，而且还作了推广．

这位数学家大概是这样思考的：

一般性的问题比较复杂，先将其极端化，注意到所放硬币总数1n ≥，取其极端情形1n =即假设桌子小到只能放下一枚硬币，得出特殊问题的解，即先占中心者为胜．然后根据圆桌的对称性，先放者把硬币放在中心位置O ，若后放者把硬币放在C 处，则先放者把硬币放在中心位置O 的对称点'C 处，这样只要后放者能放下硬币，先放者总能根据对称性，放下硬币，最后获胜．

这种思考问题的方法称为极端原理.

有时，我们只要抓住研究对象中某些具有极端性质的事物或它们所具有的特殊性质即可达到解决问题的目的。这样一种思想方法常称为极端原理.在数学竞赛中应用较多.

从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

所谓极端原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法.

【例 1】 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情

况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。

【解析】 注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可

能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。 将礼堂中的99人记为1a ，2a ，…，99a ，将99人分为3组：

()()()1233343566676899a a a a a a a a a ，，，，，，，，，，

，，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A ，B ，C ，并约定A 中的学生所认识的66人只在B ，C 中，同时，B ，C 中的学生所认

识的66人也只在A ，C 和A ，B 中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。 因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A ，B ，C 三个抽屉中，必有2人在同一抽屉， 即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。

点评：这种类型的构造通常都是用分组的语言来描述的，此题的99和66是很大的提示

【例 2】 已知正整数01n a a a ，

，，，满足0122n a a a a n <<<<< .证明：一定可以从中选出3个不同的数，使得其中两数之和等于第三数。

【解析】 由于01212n a a a a n <<<<<< ①

12012n n n n n a a a a a a n ---<-<-<≤ ②

从而21n +个数

012120n n n n n n a a a a a a a a a a ----- ，，，，，，，，，

分属于21n -个集合

{1}， {2}，…， {2n-1}，

根据抽屉原理，存在01i j n -≤，≤，使得n i j a a a -=. （1）若i j ≠，则n i j a a a =+，原命题成立；