电磁场理论复习题含答案

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律

1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ρ

，则M （1，1，1）处 A ρ= ，=⨯∇A ρ 0 。

2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ˆ4ˆ)(ˆ2

+++=ρ，则在M （1，1，1）处=⋅∇A ρ 9 。

3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ρ

），则必须同时给定该场矢量

的 旋度 及 散度 。

4. 写出线性和各项同性介质中场量D ρ、E ρ、B ρ、H ρ

、J ρ所满足的方程（结构方

程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。

6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E ρ、磁场强度为B ρ

，则

（a ）E ρ、B ρ

皆与A 垂直。

（b ）E ρ与A 垂直，B ρ

与A 平行。

（c ）E ρ与A 平行，B ρ

与A 垂直。

（d ）E ρ 、B ρ皆与A 平行。 答案：B

7. 两种不同的理想介质的交界面上，

（A ）1212 , E E H H ==r r r r

（B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H ==

答案：C

8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E e

E y -=ρ

，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J ρ

（A/m 2）为：

（a ） )cos(ˆ0βz ωt E e

y - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y - ˆˆˆ

222x

y

z

e e e ++A

ρ⋅∇A

ρ

⨯∇E

J H B E D ρ

ρρρρρσ=μ=ε= , ,t

q

S d J S

∂∂-=⋅⎰ρ

ρ

t

J ∂ρ

∂-

=⋅∇ρ

（c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωe

y -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：C 9. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ˆ0d

x

e

E x πρ=ρ

，其中0ρ、d 为常数。则d x =处电荷体密度ρ为：

（a ）d 04πρ-

（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d

02ρπε- 答案：d 10. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()

R ( )sin ˆcos ˆ(2

0300

r e e r

B r e e R

E r r ρ 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上

由边界条件 t t E E 21=得：

sin sin 230

0θ=θR B

R 202R B =→

（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：

θε=

-ε=-ε=ρcos 6)()(0

210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D ρ

得：

⎩

⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (

0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r ρ

即空间电荷只分布在球面上。

11. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外磁场强度分布为

⎪⎩⎪

⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A

)R ( )sin ˆcos ˆ(203

0r e e r r e e H r r ρ

且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。

Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ3

00

R A μμ=→ （2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得

θμμ

+

-=-==θθsin )2(|)(0

210R r s H H J

第3章 静电场及其边值问题的解法

1. 静电场中电位φ 与电场强度E ρ的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数

分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件为 。 2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：=⨯∇E ρ

0 ，

E ρ

⋅∇= -ρ / ε0 。

3. 电位φ 和电场强度E ρ

满足的泊松方程分别为 、 。

4. 介电常数为ε 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。

5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是

连续的。

6. 如图，1E ρ、2E ρ

分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，ε2 = 3ε1 ，θ1 = 30°，

则θ2 = 60° ，=||||21E E ρρ 。

7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其法向的方向导数

n

∂φ∂的关系为 。

8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体

密度ρ = ρ0 (1- e x -d ) 的电荷（设内部介电常数为ε0）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d

区域的电位φ 及电场强度E ρ

；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222

d x

e x

--ερ-=φ

⇒ερ-=φ∇

边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ

（1）直接积分得：

x e d d

d U

e x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ-++-ερ=φ

1

θ2θ1

E ρ2

E ρ1ε2

εE φ

=-∇r r 12121

2 n n

φφ

φφεε∂∂==∂∂；2 ρφε

∇=-

2

E ρε∇∇=r 2

E 2

1ε=m w 3

s n

ρ-=∂φ

∂ε

1=φ0

2U =φo

x

d