一次函数中的面积问题学案

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一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）

一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）第一篇：一次函数应用专题--面积问题(教案)《一次函数应用专题--面积问题》教学设计（广州市第四十七中学初二）【教学目标】1、能根据一次函数的解析式（或图像），求图形的面积。

2、通过对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会“数形结合”思想和“转化”思想。

3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验解决问题的乐趣。

【教学重点】数形结合思想在一次函数中的应用【教学难点】在面积问题中渗透“数形结合”思想和“转化”思想【教学过程】一、课前热身，知识回顾【热身】已知一次函数y=-x+3，请画图并解决以下问题：1、y=-x+3与x轴交于点A（，）与y轴交于点B（，）.2、函数y=-x+3与两坐标轴围成的三角形的面积为.（设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面例1，例3探究，做好铺垫.）二、问题探究，总结方法【例1】：若函数y=-x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为9，求此一次函数的解析式.（设计意2图：使学生会根据面积求一次函数解析式,并了解此类问题的结论有两种,学会分类讨论.）【例2】：如图，若点P(a,b)是直线y=-x+3上的一个动点，在点P运动的过程中，ΔOPA的面积为S（O为坐标原点）（1）当ΔOPA的面积为3时，求P的坐标.（2）若P位于第一象限内，试写出S与a的函数关系式，并求自变量a的取值范围.（设计意图：在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学内容，一方面渗透动态问题的解决方法.）【例3】：如图，直线y=4x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D.且与y=-x+3的交点为E，求两直线与x轴围成的图形的面积.（设计意图：使学生会求两条直线与x轴或y轴所围图形的面积.）【巩固提升】：1求两直线与y轴围成的图形的面积.（设计意图：巩固例3）2、连接CB，求ΔCEB的面积，你有多少种求法？（设计意图：在巩固例3的同时，探究三条边均不平行于坐标轴的三角形的面积的求法.）三、课堂小结，反思提高本环节由学生谈自己的收获，教师做适当的引导与补充.（设计意图：总结回顾本节课的学习内容，养成梳理知识的习惯.）四、练习1、已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积.2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式.3、求直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积.54、如图，直线y=kx+经过点A（-2，m），3yB（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．5、如图，直线L的解析表达式为y =-AOBx1x +2，且与x轴、y 轴交于点A、B，在2y轴上有一点C（0，4），动点M从A 点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

一次函数与面积问题学案(两课时)

一次函数与面积问题（2）（学案）回顾求面积的两个基本模型例1.如图,直线 y = kx -6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为 (- 6, 0),当点P(x ，y )在直线EF 上运动时，（1）求△OAP 的面积 S 与x 的函数关系式;（2）当△OAP 的面积为6时，求P 点的坐标.例2. 如图，已知直线4+-=x y 与x 轴相交于点A ，与直线x y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）动点E 从原点O 出发，沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设E 的横坐标为m ，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．试求 S 与m 之间的函数关系式．课堂小结：练习1．如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（6，0），（0，2），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线m x y +-=21交折线．．OAB 于点E ．（1）若直线m x y +-=21经过点A ，求m 的值；（2）记ODE ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；练习2. 在直角坐标系中，将直线x y 21=平移得到直线l ，已知直线l 经过点A （-4，0）. （1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B,若点P 的坐标为（-3，m ），△ABP 与△ABO 的面积之间满足 A B OA B P S △△S 21=，求m 的值.作业：1. 如图，直线的函数解析式为y x =．下表是直线的函数关系中自变量x 与函数y 的部分对应值．设直线a 与x 3)<在OB 上移动，过点P 作直线l 与x 轴垂直．（1）画出直线a 的图象；（2）求点C 的坐标；（3）设O B C △中位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与m 之间的函数关系式；（4）求点P ，使过点P 且垂直于x 轴的直线l 平分OBC △的面积．2.如图,直线y = kx-6与x 轴y 轴分别相交于点E,F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为(- 6,0). 当点P （x ，y ）在直线上运动时，求以O 、F 、P 、A 为顶点的凸四边形的面积S 与x 的函数关系式并指出自变量x 的取值范围。

一次函数面积专题导学案定稿

一次函数专题一-面积问题(导学案)
例1.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)点A坐标为,点B坐标为
(2)求这条直线与坐标轴围成的面积
(3)直线∕ry=x+l与X轴交于点C,与y轴于点D,与直线/交于点E.
你能计算出哪些三角形的面积？
变式探究
已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
变式1：若点P为X轴上的动点，当S.ABP=2时，求P点坐标.
变式2：若点P为直线/上的动点，当S AAOP=2时，求P点坐标。

变式3：过点0的直线b交直线/于点Q，若直线/2把AAOB的面积分成1：1两部分，求Q点坐标及直线Z2的函数表达
式。

例2.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,BP和AP相交于P点(1,3),
求SΔABP.
变式：已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RSABC,ZBAC=90o,点P(l,a)是第一象限内的一个动点。

若△ABC
分享收获
和^ ABP的面积相等，求a的值。

谈谈你的收获.
拓展提升：己知直线/:y=-'x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边2
在第一象限内作等腰Rt∆ABC,NBAC=90。

，点P(l,a)是直线X=I的一个动点。

若A ABC和小ABP的面积相等,求a的值。

一次函数中的面积问题

一次函数中的面积问题学习目标：1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交点坐标的求法，会求出两直线交点坐标，会求一次函数的解析式。

2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法。

一、探究新知例1：已知直线l ：22+-=x y ，(1)求直线l 与两坐标轴的交点坐标；(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

变式1：已知直线l ：22+-=x y ，且点T )32,(t 在直线l 上， (1) 求OT 所在直线的解析式；(2) 求直线l 和直线OT 与x 轴所围成的图形面积。

变式2：如图，已知直线l ：22+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B 、M,，将变式1中的直线OT 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线PA 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积。

变式3：如图，已知直线PA 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数)(2n m m x y +-=的图象。

（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线PA 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积65，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式。

例2：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点P(a,0)，若APB ∆的面积为3，求a 的值。

变式：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，如果在第二象限内有一点)21,(a P ，且APB ∆的面积为3，求a 的值。

三、提升训练1：如图，点m x y C B A +-=2在一次函数、、的图象上，它们的横坐标依次为,211、、-分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，求图中阴影部分的面积之和。

2：设直线1l ：1-+=k kx y 和直线2l ：k x k y ++=)1(（k 为正整数）及x 轴围成的三角形面积为k S ，求200621S S S +++ 的值。

一次函数中的点、线、面积问题教学设计

§5 一次函数中的点、线、面习题课教学设计一、教学设计1、教学目标：知识与能力目标：1）.能熟练地求直线的解析式及交点坐标；2）.会求直线与坐标轴围成的面积问题; 3）.提炼思维导图和数学技能。

通过动手操作和问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生熟练运用数形结合、割补法求面积、分类讨论等数学解题技能情感态度目标：在学习过程中，通过师生互动、生生互动、互助完成例题和练习，通过互助、合作体验成功的喜悦，激发求知的欲望，培养合作探究精神。

2、教学重点：1）.能熟练地求直线的解析式及交点坐标；2）.会求直线与坐标轴围成的面积问题3、教学难点：提炼思维导图和数学思想技能方法。

二、教学方法：1、学法：小组合作学习：基于以4人小组和2人师徒小组为单位，以1人展讲和2人展讲的形式呈现了生讲生学、以讲促学、师徒合作、小组合作等多种师生互动、生生互动的学习场景。

使全体学生在观察、思考、交流中掌握数学知识和技能，体验数学学习的乐趣，从而提高课堂效益。

2、教法：要素组合课型：教师通过课堂教学设计，将学生的听、看、讲、想、做五要素进行不同排列组合，使课堂出现“动、静”转换。

通过充分调动学生感官，激发学习。

本节课主要采取“练习——归纳——运用”的思路展开，其操作环节设计如下：动手操作，观察交流→思维技能提炼→方法技能运用、展示→反思交流→分层反馈，总结提高。

三、教学过程与方法1、【基础知识回顾】1）、朗读：1.求一次函数解析式的关键是找___________ ，三角形面积公式_________. 2）、已知点A （2,0）,B(0,2)，则直线AB 的解析式为______________,____AOBS.。

目的：对本节课所需要的基础知识两点法求直线解析式，三角形面积公式回顾，为下面的学习做铺垫。

效果：通过朗读理论，再结合一个练习，学生熟练解析式和三角形面积求法。

2、【典例精析及时训练】例1、直线AB 的图像与x 轴、y 轴分别交于A （-3,0）、B （0,3）两点，（1）求直线AB 的函数解析式；（2）过点B 做直线AB 的垂线BC,交x 轴于点C,求出点C 的坐标；（3）求▲ABC 的面积。

一次函数有关的面积问题

《一次函数相关的面积问题》教学设计一、教学目标1.知识与技能：通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点的坐标或直线的解析式。

2、数学思考：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究,使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律,体会分类思想、数形结合思想,化归思想和方程思想.3、问题解决：根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

4、情感态度：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点、难点重点：根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点的坐标或一次函数的解析式。

难点：①不规则图形面积的计算；②根据面积求点的坐标三、教学方法与手段的选择由于本节课重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

四、教学流程一、复习引入:1、一次函数24y x =-+与x 轴的交点A 的坐标是与y 轴的交点B 的坐标是 ________。

2、已知一次函数的图像与x 轴、y 轴的交于（－2，0）、（0，4）点，则这个函数的解析式为_____________。

3、直线24y x =-+与直线21y x =+的交点坐标是______。

二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积例1：如图1，已知直线l ：24y x =-+，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

小结：类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积（规则图形--变式1：如图2，已知直线l ：24y x =-+，点(1,2)C 在直线l 上，(1) 求OC 所在直线的解析式；(2) 求直线l 和直线OC 与x 轴所围成的图形面积。

小结：类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积（规则图形--公式法变式2：如图3，已知直线l ：24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 将变式1中的直线OC 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积。

专题复习一次函数的面积问题教案

专题复习:一次函数的面积问题教案一、教学目标依据课标的要求和学生的认知特点，我制定如下三维教学目标：1．知识与技能：能利用表达式求三角形或四边形的面积，能利用面积求点坐标或直线表达式。

2．过程与方法：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与表达式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想3．情感、态度与价值观：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点与难点：1、重点：根据函数表达式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数表达式。

难点：不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标三、教学方法高效6+1教学模式，让学生在自主、合作、探究中学习四、教学过程一、导：（创设情景，导入新课）1、直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是-----------。

2、点A（-1,2）到x轴的距离是------，到y轴的距离是--------。

3、y=2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，则A的坐标为 ---------， B 点的坐标为---------。

则该图像与两坐标轴围成的面积是--------。

师生活动：学生先独立完成，学生口答结果后教师直接导入新课。

设计意图：练习求直线与x轴y轴交点坐标，两直线交点坐标，为学习本节内容铺垫。

（出示本节学习目标）设计意图:学生根椐学习目标使学习更有针对性。

二、思：（利用表达式求面积）自学例1，独立完成下面两个题例1：已知直线l：24y x=-+，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

1、（1）求直线y=2x+3、y= -2x-1及y 轴围成的三角形的面积. （2）求直线y=2x+3、y=-2x-1及x 轴围成的三角形的面积.2、已知直线y=ax+ 分别与x 轴和y 轴交于B 、C 两点，直线y= － x+b与x 轴交于点A ，并且两直线交点P 为（2，2）.（1）求两直线表达式；（2）求四边形AOCP 的面积.师生活动：学生自学例题后，独立完成两个题目，教师巡视并作适当的引导（）设计意图：通过对题型1、2的探究，，使学生会计算三角形或四边形的面积,培养学生的独立解决问题能力，发挥学生的主观能动性。

第3课时一次函数中的面积问题(复习课)(学案解析版)

2020年“停课不停教、停课不停学”四川省初中学案第3课时（复习课）一次函数中的面积问题参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为（﹣2，2），则S△P AB＝8．【分析】作PC⊥x轴于C，如图，根据坐标轴上点的坐标特征求出A（4，0）、B（0，4），然后根据三角形面积公式和梯形的面积公式以及S△P AB＝S梯形BOCP+S△ABO﹣S△APC进行计算．【解答】解：作PC⊥x轴于C，如图，当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0）；当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4），所以S△P AB＝S梯形BOCP+S△ABO﹣S△APC＝×（2+4）×2+×4×4﹣×（4+2）×2＝8．故答案为8．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二．解答题（共8小题）2．如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标；（2）根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+5中，令y＝0可得x＝﹣，令x＝0可得y＝5，∴A（﹣，0），B（0，5）；（2）∵OA＝，OB＝5，∴S△AOB＝OA•OB＝××5＝．【点评】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，掌握函数图象与坐标轴的交点的求法是解题的关键．3．如图，正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝mx+n的图象交于点A（3，4），一次函数y2的图象与x 轴，y轴分别交于点B，点C，且OA＝OC．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）根据待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式即可；（2）利用三角形面积公式计算解答即可．【解答】解：（1）把点（3，4）代入正比例函数y1＝kx，可得：k＝，解析式为：y1＝x，∵A（3，4），∴OA＝OC＝5，∴C（0，﹣5），把（3，4）和（0，﹣5）代入一次函数y2＝mx+n，可得：，解得：，解析式为：y2＝3x﹣5；（2）当x＝0时，3x﹣5＝0，x＝，∴B（，0），∴S△BOC＝OB•OC＝＝，则直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积是．【点评】本题考查的是一次函数的问题，关键是根据待定系数法求解析式．4．已知：点P是一次函数y＝﹣2x+8的图象上一点，如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，求P点的坐标．【分析】先求出Q点坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征设P（x，﹣2x+8），则根据三角形面积公式得到•4•|﹣2x+8|＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标．【解答】解：当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，则Q（4，0），设P（x，﹣2x+8），所以•4•|﹣2x+8|＝6，解得x＝或x＝，所以P点坐标为（，3），（，﹣3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点A．直线y＝x+5与y＝kx+1（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求直线y＝kx+1的表达式；（2）直线y＝x+5、直线y＝kx+1与y轴围成的△ABC的面积等于多少？【分析】（1）将点B的横坐标代入直线y＝x+5求出点B的纵坐标，从而得到点B的坐标，再代入直线求出k的值，即可得解；（2）令x＝0利用两直线解析式求出点A、C的坐标，然后求出AC，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵点B的横坐标为﹣1，∴y＝﹣1+5＝4，∴点B的坐标为（﹣1，4），代入y＝kx+1得，﹣k+1＝4，解得k＝﹣3，所以，直线y＝kx+1的表达式为y＝﹣3x+1；（2）令x＝0，则y＝5，点C的坐标为（0，5），y＝1，点A的坐标为（0，1），所以，AC＝5﹣1＝4，∵B（﹣1，4），∴点B到AC的距离为1，∴△ABC的面积＝×4×1＝2．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，确定出点B的坐标是解题的关键．6．求直线y＝2x﹣4和y＝﹣x+2与y轴所围成的三角形的面积．【分析】设直线y＝2x﹣4与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2与y轴交于点B，直线y＝2x﹣4与直线y ＝﹣x+2交于点C，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出A，B的坐标，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：设直线y＝2x﹣4与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2与y轴交于点B，直线y＝2x﹣4与直线y＝﹣x+2交于点C，如图所示．当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣4，∴点A的坐标为（0，﹣4）；当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴点C的坐标为（2，0）．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×2＝6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及解方程组，求出点A，B，C的坐标是解题的关键．7．如图，直线y＝x+1经过点A（1，m），B（4，n），点C的坐标为（2，5），求△ABC的面积．【分析】把点A（1，m），B（4，n）分别代入y＝x+1求得A、B的坐标，分别过A、C作x轴的平行线EF、GH，过B作GF∥y轴，根据A、B、C的坐标得出E（0，5），F（4，5），G（4，），H（0，），进而得出EF＝4，GF＝，EC＝2，CF＝2，FB＝2，BG＝，AG＝3，AH＝1，然后根据S△ABC＝S矩形EFGH﹣S梯形ECAH﹣S△BCF﹣S△ABG即可求得△ABC的面积．【解答】解：把点A（1，m），B（4，n）分别代入y＝x+1得，m＝×1+1＝，n＝×4+1＝3，∴A（1，），B（4，3）分别过A、C作x轴的平行线EF、GH，过B作GF∥y轴，∴四边形EFGH是矩形，∵C的坐标为（2，5），∴E（0，5），F（4，5），G（4，），H（0，），∴EF＝4，GF＝，EC＝2，CF＝2，FB＝2，BG＝，AG＝3，AH＝1，∴S△ABC＝S矩形EFGH﹣S梯形ECAH﹣S△BCF﹣S△ABG＝EF•FG﹣（AH+EC）GF﹣CF•BF﹣AG•BG ＝14﹣﹣2﹣＝．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建矩形是本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7交于点A（2，4），直线I1与x 轴交于点C，与y轴交于点B，将直线I1向下平移7个单位得到直线I3，I3与y轴交于点D，与I2交于点E，连接AD．（1）求交点E的坐标；（2）求△ADE的面积．【分析】（1）将点A（2，4）分别代入直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7，求出b＝3，k＝﹣，那么直线I1的解析式为y＝x+3，直线I2的解析式为y＝﹣x+7，点B的坐标为（0，3），根据平移规律得出D（0，﹣4），直线I3的解析式为y＝x﹣4．联立I3与I2的解析式得到方程组，解方程组求出交点E的坐标；（2）由I1∥I3，可得S△ADE＝S△BDE，再根据三角形的面积公式列式计算即可．【解答】解：（1）∵直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7交于点A（2，4），∴4＝×2+b，4＝2k+7，∴b＝3，k＝﹣，∴直线I1的解析式为y＝x+3，直线I2的解析式为y＝﹣x+7，∴直线I1与y轴交点B的坐标为（0，3），∵将直线I1向下平移7个单位得到直线I3，I3与y轴交于点D，∴D（0，﹣4），直线I3的解析式为y＝x﹣4．由，解得，∴交点E的坐标为（，﹣）；（2）∵I1∥I3，∴S△ADE＝S△BDE＝×7×＝．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积．都是基础知识，需牢固掌握．9．如图1，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线l1：y＝x+2经过点D，分别与x、y轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．（1）求出直线l2的解析式．（2）在直线l2上是否存在点E，使△ABE与△ABO的面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到D后停止，求P点在整个运动过程的最少用时．【分析】（1）利用C，D两点坐标代入y＝kx+b，解方程组即可解决问题；（2）存在．如图1中，作OE∥AB交CD于E．由AB∥OE，可得S△ABE＝S△ABO，构建方程组求出点E坐标即可；（3）如图2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由题意P点在整个运动过程的时间t＝+＝（PC+），易知∠MDA＝∠BAO＝45°，推出PH＝，推出t＝（PC+PH），根据此线段最短可知，当点P与P′，点H与H′共线时，t的值最小，最小值＝CH′；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，0），B（0，2），D（4，6），C（1，0），则有，解得，∴直线l2的解析式为y＝2x﹣2．（2）存在．①当点E在线段CD上时，如图1中，作OE∥AB交CD于E．∵AB∥OE，∴S△ABE＝S△ABO，∵直线OE的解析式为y＝x，由，解得，∴E（2，2）．②当点E′在线段CD的延长线上时，由，解得，∴E′（6，10）．综上所述，满足条件的点E坐标为（2，2）或（6，10）．（3）如图2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由题意P点在整个运动过程的时间t＝+＝（PC+），∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB，∴∠MDA＝∠BAO＝45°，∴PH＝，∴t＝（PC+PH），根据此线段最短可知，当点P与P′，点H与H′共线时，t的值最小，最小值＝CH′＝3s ∴P点在整个运动过程的最少用时为3s．。

一次函数中的面积问题学习教案

3、已知一次函数y=2x+6与两坐标轴围成的三角形面积被一正比例函数分成面积的比为1：2 的两部分(bù fen)，求这个正比例函数的解析式．
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如图：正方形ABCD边长为4，将此正方形置于坐标系中点A的坐标为（1，0)。
((12))过若点直C线的l经直过线点Ey且将4正x方形与8 X轴交与E, 求S四边形AECD ； ABCD分成(fēn chénɡ)面3 积相3等的两部分，求直线l的解析式。
用坐标值表示线段长时要加上绝对值符号以防漏解b60交正比例函数的图像txin于点a且点a的横坐标为4saob15求一次函数和正比例函数的解析式
一次函数中的面积(miàn jī)问题
会计学
1
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基础 (问1角j.ī直题形线c的h(面zǔh积íx)i为àn)y=3x-.6与坐标轴围成的三
第九页，共12页。
2、如图，已知直线(zhíxiàn)y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线 (zhíxiàn)y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．
若△AOB被分成(fēn chénɡ)的两部分面积比为1 ：5，求k和b的值．
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2.已知两条直线(zhíxiàn)y=2x-3和y=5-x ，求出这两条直线(zhíxiàn)与x轴围成的三角形的面积.
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方法 (fān gfǎ) 小结
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逆向(nì x1i、à若n一ɡ次) 函数y=3x+m的图像(tú 变xià式nɡ)与两坐标轴围成三角形的面积为

一次函数面积问题铅垂法教学设计

一次函数面积问题铅垂法教学设计
铅垂法是解决一次函数面积问题的常用方法之一。

通过使用铅垂法，可以快速而准确地计算一次函数曲线与x轴所围成的面积。

1. 标出关键点：首先需要确定一次函数的两个关键点，即截距和与x轴的交点。

通过解方程组，可以求得这两个点的横坐标和纵坐标。

2. 画出函数图像：根据得到的关键点，可以画出一次函数的图像。

确保图像在纸上占据足够的空间，以便进行后续的计算。

3. 划分区域：将x轴根据关键点分成几个区域，方便后续计算。

每个区域的宽度可以通过两个关键点的横坐标之差来确定。

4. 使用铅垂线：从每个区域的顶点处画一条垂直于x轴的线，与函数曲线相交形成铅垂线。

确保每个区域都有一条铅垂线。

5. 计算面积：计算每个区域内的面积，可以通过计算铅垂线与x轴之间的长度来得到。

将每个区域的面积相加，即可得到整个函数曲线与x轴所围成的面积。

6. 检查结果：可以使用其他方法或公式进行验证，确保计算结果的准确性。

通过使用铅垂法教学设计，可以帮助学生更好地理解一次函数的面积计算方法。

同时，通过实际操作和计算，学生可以培养解决问题和推理能力，提高数学思维的灵活性和准确性。

这种教学设计方法可以激发学生的兴趣，使他们在学习数学的过程中更加主动和积极。

一次函数中的点、线、面积问题导学案

1§5一次函数中的点、线、面习题课班级______姓名_______【学习目标】1.能熟练地求直线的解析式及交点坐标；2.会求直线与坐标轴围成的面积问题;3.提炼思维导图和数学技能。

一、【基础知识回顾】 1、朗读：一次函数中确定一条直线解析式的方法_________________，三角形面积公式_________. 2、已知点A （2,0）,B(0,2)，则直线AB 的解析式为______________,____AOBS=.。

.二、【典例解析思维提炼】例1、直线AB 的图像与x 轴、y 轴分别交于A （-3,0）、B （0,3）两点，（1）求直线AB 的函数解析式；（2）过点B 做直线AB 的垂线BC,交x 轴于点C,求出点C 的坐标；（3）?ABC S ∆=xy AOB【思维提炼】________________________________________.即时练习1：如图所示，直线:1l y=x+3与:2l y=-2x+6交于点P ，与x 轴分别交于点A 和点C.求： *①P 点坐标； *②PAC S ∆；**③如何求四边形PBOC 的面积呢？（说说你的想法）【经验习得】________________________________________. 例2、直线364y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线a 经过原点与线段AB 交于点C ，把△ABO 的面积分为2：1的两部分，求直线a 的函数解析式。

xyAOBxyAOB【思维提炼】________________________________________.即时练习2：直线y=x 的图像沿y 轴平移b 个单位后与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，已知8ABO S ∆=，求直线AB 的函数解析式。

xyy=xOxyy=xO三、【反思小结】四、【分层达标】*1、(知识达标)：已知一次函数3y x =+与21y x =-的图像相交于P 点,且两直线与y 轴分别交于A 、B 两点，（1）求P 点的坐标；（2）求?ABP S ∆=**2、（能力达标）：已知：直线12+l y x m =：经过点B （-1，0），它与y 轴交于点A ，直线2:0)l y kx b k =+>（与y 轴交于点C ，它与x 轴交于点D ，（1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点P(-3，-4),且:3:2ACPACDSS=，求的解析式。

初中数学《一次函数中的三角形面积问题》教案

AFEoyx与一次函数有关的三角形面积问题【学习目标】知识技能：能运用一次函数的图象和性质解决与一次函数有关的三角形面积问题。

问题解决：求与一次函数有关的三角形面积的常用方法及各种方法的归纳。

【关键】1.用坐标去表示线段的长度。

2.通过割补法把三角形边或高转化成坐标轴或与坐标轴平行的线段。

【学习流程】一、温故而知新1.一次函数的一般式是，过点和 ; 正比例函数的一般式是，过点和。

2.待定系数法求函数的解析式的基本步骤是、、、。

二、新课学习探究问题1：三角形的两边都在坐标轴上 1.在坐标系xoy 中，直线y=2x-4与x 轴交于点A （），与y 轴交于点B （），S ∆AOB = 。

例1.直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是6,则b =______.分析：（1）先表示出直线x 轴和y 轴的交点坐标，由三角形面积公式建立等式。

（2）由于b 值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。

即探究问题2：三角形的一边在坐标轴上例2.如图，直线y=kx+3与x 轴、y 轴分别交于点E （-4，0）和点F ，点A 的坐标为（-3，0）。

（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为4，并说明理由。

（4）若点P 在直线EF 上呢，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围；方法总结：探究问题3：三角形的三边都不在坐标轴上例3.如图所示，直线y=x+6分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，直线 y=x-2交y 轴于C ，两直线相交于点P 。

（1）求点P 的坐标；（2）求S ∆PCA 。

思考：问题1：如何求P 的坐标？问题2：你还可以求得哪些点的坐标？如何求？问题3： ∆PCA 规则吗？如何求S ∆PCA ？方法总结：例4．如图，已知点O （0，0），C （1，3），D （4，2）求三角形OCD 的面积。

学案：一次函数相关的面积问题

学案：一次函数相关的面积问题课题:一次函数相关的面积问题张雪平一、教学目标:1、知识与技能:通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点坐标或直线解析式。

2、数学思考:通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想，化归思想和方程思想.3、问题解决:根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

4、情感态度:培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二.重点，难点重点:根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

难点:不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标【教学过程】一、复习引入yx,,，241、一次函数与x轴的交点A的坐标是与y轴的交点B的坐标是________， 2、已知一次函数的图像与x轴、y轴的交于(,2，0)、(0，4)点，则这个函数的解析式为_____________。

yx,,，24yx,，213、直线与直线的交点坐标是______(以上三个问题的复习为下面两个类型题的探究做好准备.二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积yx,,，24例1:已知直线l:，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

小结:类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积(规则图形 --公式法) yx,,，24C(1,2)变式1:已知直线l:，点在直线l上，(1) 求OC所在直线的解析式;(2) 求直线l 和直线OC与x轴所围成的图形面积。

小结:类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积(规则图形 --公式法)1yx,,，24变式2:如图，已知直线l:与x轴、y轴分别交于点B、M,，将变式1中的直线OC向上平移1个单位长度得到直线PA，点Q是直线PA与y轴的交点，求四边形PQOB的面积。

yMP QxAOB小结:(1)类型3需要求出点p坐标，而求点p坐标，需要联立两直线的解析式，求解方程组(2)类型3是求不规则图形的面积(割补法)通过对题型一的探究，经过变式1，变式2，变式3的训练，使学生会用计算图形面积的方法列方程，找到解决面积问题的方法，题型二:由三角形面积求点的坐标或直线解析式例2一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求该一次函数的解析式(小结:题目中没有强调k值的正负，所以此题应分>0,<0两种情况，所以应该求两条直线kk的解析式。

北师大版八年级数学上册4.3一次函数图象与面积问题优秀教学案例

（四）反思与评价
1.引导学生对自己在学习过程中的思考、方法、结果进行反思，培养学生自我评价的能力。
2.组织学生进行小组内、小组间的评价，让学生在评价中相互学习、共同进步。
3.教师要关注学生的学习过程，从多维度、多角度评价学生的学习成果，给予肯定和鼓励。
4.引导学生将所学知识与实际生活相结合，进行拓展应用，提高学生的数学素养。
2.讲解一次函数图象与面积问题的解决方法，如利用图象交点、解析几何方法等。
3.通过例题演示，让学生跟随教师一起解决一次函数图象与面积问题，活中的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性、挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论交流。
针对这一问题，我设计了本节课的教学案例，旨在通过引导学生观察、思考、探究，使他们在解决实际问题的过程中，体会一次函数图象与面积问题的联系，提高解决问题的能力。教学案例围绕一个实际问题展开，让学生在解决问题的过程中，自然而然地涉及到一次函数图象与面积问题的知识点。通过案例的引导，使学生能够将所学知识与实际问题紧密结合，提高他们的数学应用能力。
2.鼓励每个小组成员积极发表自己的观点，共同探讨问题的解法。
3.教师在讨论过程中，关注每个小组的学习进展，及时给予指导和鼓励。
（四）总结归纳
1.让学生用自己的语言总结一次函数图象与面积问题的解法及注意事项。
2.教师对学生的总结进行点评，纠正错误，完善归纳。
3.引导学生将所学知识进行整合，形成体系，提高学生的数学素养。
4.教师在问题导向过程中，要善于启发、点拨，引导学生发现规律，归纳总结。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生团队合作、互助学习的意识。
2.设计具有探究性、挑战性的学习任务，激发学生合作学习的动力。

一次函数中的面积与求值

[活动 6] 问题四:
由学生总结这节课的收获.
作业：课后思考题. 1.点 B 在直线 y= -x+1 上，且点 B 在第四象限，点 A(2,0)、 O(0,0),△ABO 的面积为 2，求点 B 的坐标.
y
学生总结，教师归纳.
总结回顾学习内容，养成梳理知识的习惯.
分层作业，让不同层次的学生都有发展空间（1 题必做，2 题选做）.
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动 1] 复习提问：求图形面积的方法.
[活动 2] 问题一：如图，一次函
数的图象与 x 轴交于点 B(-6,0) 交正比例函数的图象于点 A,点 A 的横坐标为-4,
学生回答，教师重点关注面积的求法.
教师展示课件；学生分析题意，列出方程，学生口述解题过程. 教师板书学生列出的方程.
解决问题根据题中图形面积的大小和面积关系列方程求相关的值.
情感态度 1.培养学生主动探究，合作交流的意识.
2.激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.
由已知图形面积等相关条件列出方程
不规则图形面积的计算
教学流程安排
活动流程
活动内容和目的
活动 1 复习提问：求面回顾相关知识，为解决问题一、二、三做铺垫.
教师引导学生，让学生发现结果；分组交流，师生互动得出两种结果及解题的不同方法.
1. 巩固问题一获得的方法；
2. 让学生体会分类讨论的思想.
为 2:1 的两部分.
求：直线 a 的解析式.
y
B
A OX
[活动 4] 问题三:直线 PA 是一次
函数 y= x+n 的图象，直线 PB 是一次函数 y=-2x+m (m＞n)

一次函数中的面积问题

一次函数中的面积问题学情分析：本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

研究目标与考点分析：研究目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式；2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。

考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合。

研究重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用；2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

研究方法：讲练结合练巩固。

研究内容与过程：一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题，包括规则图形和不规则图形的求解方法，以及含参数问题的求解方法。

文章强调了在求解过程中，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

二、典例精讲本节提供了三个典型例题，分别介绍了如何利用面积求解析式，如何求解含参数问题的面积，以及如何求解四边形的面积。

文章强调了在解题过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

在研究过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

同时，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

通过讲练结合练，可以更好地巩固所学知识。

1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m)，且将△AOB分成两部分。

1）若△AOB被分成的两部分面积相等，则k=-2，b=2.2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k=-5，b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y=kx+b经过OA的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB=S△DOC，求直线y=kx+b的解析式。

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