矩阵论_第一章_线性空间和线性映射剖析
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矩阵论-线性代数引论
限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
矩阵理论
主讲教师 杨建平
教材:矩阵论及其应用
(中国科技大学出版社,黄有度等)
• 参考书: • 矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌) • 矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等) • 矩阵论(科学出版社,戴华)
矩阵理论
内容简介 第一章 线性空间与线性变换 第二章
—矩阵与Jordan标准形
第三章 矩阵分析及矩阵函数 第四章 矩阵微分方程
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ，因此 A( x1 x2 ) R( A)，
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A)， 同理， 当 k C 时，有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间， 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则，故 R( A) 为C上的线性空间。
则把f(x)在 x a 处按 Taylor 公式展开后，有
例8
1 (1, 2 (0,
在 n 维线性空间 R n 中，它的一个基为：
0,,0) T 1,,0)
0,,1)
T
T n
T
n (0,
对于任一向量 (a1 , a2 ,, an ) R , 有
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算，则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间，其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间，(或核）， 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明： 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn， 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
主讲教师 杨建平
教材:矩阵论及其应用
(中国科技大学出版社,黄有度等)
• 参考书: • 矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌) • 矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等) • 矩阵论(科学出版社,戴华)
矩阵理论
内容简介 第一章 线性空间与线性变换 第二章
—矩阵与Jordan标准形
第三章 矩阵分析及矩阵函数 第四章 矩阵微分方程
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ，因此 A( x1 x2 ) R( A)，
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A)， 同理， 当 k C 时，有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间， 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则，故 R( A) 为C上的线性空间。
则把f(x)在 x a 处按 Taylor 公式展开后，有
例8
1 (1, 2 (0,
在 n 维线性空间 R n 中，它的一个基为：
0,,0) T 1,,0)
0,,1)
T
T n
T
n (0,
对于任一向量 (a1 , a2 ,, an ) R , 有
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算，则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间，其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间，(或核）， 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明： 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn， 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
矩阵论——讲稿
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
矩阵论_第一章_线性空间和线性映射
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对 于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
1
则称 是 的 负元素. （ 5） 数 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
则
R
为实数域
R上的一个线性空间。
二 线性空间的基本概念及其性质
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
称 n 阶方阵
a1n a22 a2 n an 2 ann a12
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
第三节 线性空间的子空间
定义 设
V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间，
W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
线性代数中的线性空间和线性映射
线性代数中的线性空间和线性映射线性代数是数学中重要的一门学科，它的研究范围包括向量空间、线性变换、矩阵论等多个方面。
其中，线性空间和线性映射是线性代数的重要概念，本文将从这两个方面入手，探讨它们的定义、性质及应用。
一、线性空间线性空间又称向量空间，是线性代数中的基本概念之一。
它是一个具有加法和数乘运算的集合，满足以下条件：1.对于任意两个向量，其和仍为向量；2.对于任意一个向量和任意一个标量，它们的积仍为向量；3.加法和数乘运算遵从结合律和分配律；4.存在一个零向量，满足加法运算返回自身。
线性空间的定义具有很强的普遍性，它可以适用于实数、复数、函数以及其他更广泛的对象集合。
下面举一个实数向量空间的例子。
考虑一个三维实数向量空间，它包含所有形如 $(x,y,z)$ 的三元组，其中 $x,y,z$ 均为实数。
我们可以定义向量的加法和数乘运算如下：$$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)$$$$k(x, y, z) = (kx, ky, kz)$$显然，这样定义的加法和数乘运算符合上述线性空间的定义，因此该三维实数向量空间是一个线性空间。
除了上述基本性质外，线性空间还有许多衍生的性质，如基和维数的概念等。
具体来说，一个线性空间的基是指它的极大线性无关组，而线性空间的维数是其基的元素个数。
这些概念在矩阵论等应用中有广泛的应用。
二、线性映射线性映射是一种特殊的函数，它将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持加法和数乘运算的线性性。
考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$，一个从 $V$ 到 $W$ 的线性映射 $T$ 应该满足以下条件：1.对于任意向量 $u,v\in V$，有 $T(u+v) = T(u) + T(v)$；2.对于任意向量 $u\in V$ 和标量 $k$，有 $T(ku) = kT(u)$；3.存在一个零向量 $0$，满足 $T(0)=0$。
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
矩阵论线性空间和线性映射
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是线性空间 R3 旳基底，R3是3维线性空间。
基底旳例子（续）
例2 实数域 R上旳线性空间 R22中旳向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
yn
于是有：
x1 y1
x2
P
y2
xn
yn
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间 R22 中，向量组
1
0 1
3
1 0
1 1
,
2
1 1
1 1
,
4
1 1
0 1 , 与向量组
1
1 0
1 0
,
3
1 1
0 0
,
2
1 0
1 0 ,
1 0
,
4
1 1
1 1
,
为其两组基，求从基 1,2 ,3,4 到基 1, 2, 3, 4 旳过渡矩
第一章
线性空间和线性映射
本章知识要点
❖ 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； ❖ 线性空间旳分解：子空间、值域(像空间)与核空间
(零空间)、秩与零度、子空间旳交、和与直和； ❖ 线性变换及其矩阵表达：定义、运算、值域与核空
间、秩与零度、相同类、特征值与特征向量、不变 子空间、Jordan原则形; ❖ 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、原则 正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、 对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、 正规矩阵与可对角化、谱分解。 ❖ Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是线性空间 R3 旳基底，R3是3维线性空间。
基底旳例子（续）
例2 实数域 R上旳线性空间 R22中旳向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
yn
于是有：
x1 y1
x2
P
y2
xn
yn
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间 R22 中，向量组
1
0 1
3
1 0
1 1
,
2
1 1
1 1
,
4
1 1
0 1 , 与向量组
1
1 0
1 0
,
3
1 1
0 0
,
2
1 0
1 0 ,
1 0
,
4
1 1
1 1
,
为其两组基，求从基 1,2 ,3,4 到基 1, 2, 3, 4 旳过渡矩
第一章
线性空间和线性映射
本章知识要点
❖ 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； ❖ 线性空间旳分解：子空间、值域(像空间)与核空间
(零空间)、秩与零度、子空间旳交、和与直和； ❖ 线性变换及其矩阵表达：定义、运算、值域与核空
间、秩与零度、相同类、特征值与特征向量、不变 子空间、Jordan原则形; ❖ 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、原则 正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、 对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、 正规矩阵与可对角化、谱分解。 ❖ Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。
矩阵论 线性空间一(1-3)
例2、在线性空间 中，
例3 在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得
求解
注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求
解问题。
给定线性空间V 的两个向量组
与
，如果
中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向
量组
可以由向量组 线性表示；
如果向量组
与
组
与向量组
可以相互表示，则称向量 是等价的。
进而得x=0,及
故向量组x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 , …,yr-t , z1 ,z2 , …,zs-t 线性无关，并构成S1+S2的基。
例3、求
的交空间与和空间的维 数与基
解 由于
并且
是
的极大线性无关组，故 是和空间L的一组基。
由维数公式得交空间的维数是1，现在要求交空间 的一组基。
一、子空间与生成子空间 1、定义：设V是一个线性空间，S是V的一个子集， 如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则 称S是V的一个子空间。记为 定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间 当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即
说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是 它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为 零子空间。
命题二 向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充 要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示。
可以证明：
1、在线性空间
中，
线性无关。
其中 表示第i行元素第j列元素1，其它元素为0的 矩阵。
2、在线性空间
中，
线性无关。
定义 设
是线性空间V的向量组,如果
（1）
是线性无关组，
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
例 2 V = F mn = {A = (aij)mn | aijF}，它在矩 阵的加法与数乘运算下构成数域 F 上的线性空间， 称为矩阵空间，其中 Rmn 为由一切 mn 实矩阵构 成的实矩阵空间。
例 3 实数域 R 上次数不超过 n 1 次的关于 文字 x 的一切多项式和零多项式所构成的集合
二、线性空间的基与维数 向量空间中的基与维数是依赖于向量的线 性相关与线性无关的概念来定义的。 线性空间 V 作为一个向量集合，其中向量 的线性相关、线性无关、极大无关组、等价等 一系列概念，在形式上与向量空间 Rn 中的定义 完全类似。 与上述概念相关的性质与结果也可平移到 线性空间中。
定义 1.2 设 V 是线性空间，若存在一组线性 无关的向量 1, 2, …, n，使空间中任一向量可 由它们线性表示，则称向量组 {1, 2, …, n} 为 V 的一组基。基所含向量个数为 V 的维数，记为 dimV = n, n < 或者 n = 。
图 1 二维向量空间 V = {x = (0, x2, x3)T | x2, x3R}
本质上，向量空间就是满足某些特性 ( 比如 对于向量加法及数乘两种运算封闭)的向量集合， 它的一个直观模型是向量几何，2 维和 3 维几何 空间中大多数有用的结论都可以扩展到向量空间。
定义向量空间的目的就是讨论向量集合的一 般性质。
解 因为
a0 a 2 3 1 f x (1, x, x , x ) , a2 a 3
类似地，{Eij, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n} 是矩阵空间 Rmn 的一组基，dimRmn = mn。 例 7 向量组 {1, x, x2, …, xn 1} 是 Pn[x] 的一 组基，dimPn[x] = n。
矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件
对、、 V，k、l F 或F C, 成立
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
矩阵论讲义01 线性空间
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。
则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=；（8）恒等律 x x =1； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。
同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
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1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
a b : ab, a, b R
k • a : ak , a R , k R
例 5 R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2 ,
a3 , ]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
例3 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
与函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x , n 4.
都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
x2
4, 3
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,
2
,
n
a21
a22
a2n
an1 an2
ann
称 n 阶方阵
a11 a12 P a21 a22
a1n
a2n
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
例1 实数域 R上的线性空间 R3中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基。 R3 是3维线性空间。
例2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的
线性空间。
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下构成实数域上的线性空间：
例1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2, ,n为一
组互不相同的实数。
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
二 线性空间的基本概念及其性质
定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
第一节 线性空间的概念 一 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律 ( ) ( )
an1 an2
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可
以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
则称 是 的 负元素.
（5） 数 1
1
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0, 1 0, 1 1
都是 R22 的基。R22 是4维线性空间。
例3 实数域 R上的线性空间 R[ x]中n 的向量组
1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
a b : ab, a, b R
k • a : ak , a R , k R
例 5 R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2 ,
a3 , ]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
例3 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
与函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x , n 4.
都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
x2
4, 3
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,
2
,
n
a21
a22
a2n
an1 an2
ann
称 n 阶方阵
a11 a12 P a21 a22
a1n
a2n
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
例1 实数域 R上的线性空间 R3中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基。 R3 是3维线性空间。
例2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的
线性空间。
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下构成实数域上的线性空间：
例1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2, ,n为一
组互不相同的实数。
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
二 线性空间的基本概念及其性质
定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
第一节 线性空间的概念 一 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律 ( ) ( )
an1 an2
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可
以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
则称 是 的 负元素.
（5） 数 1
1
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0, 1 0, 1 1
都是 R22 的基。R22 是4维线性空间。
例3 实数域 R上的线性空间 R[ x]中n 的向量组
1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.