矩阵论_第一章_线性空间和线性映射剖析

a b : ab, a, b R
k • a : ak , a R , k R
例 5 R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2 ,
a3 , ]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
二 线性空间的基本概念及其性质
定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
则称 是 的 负元素.
（5） 数 1
1
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
0 1
wenku.baidu.com1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0, 1 0, 1 1
都是 R22 的基。R22 是4维线性空间。
例3 实数域 R上的线性空间 R[ x]中n 的向量组
1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
an1 an2
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可
以写成
1, 2, , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,
, xn
例3 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
与函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x , n 4.
都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换
例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的
线性空间。
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下构成实数域上的线性空间：
第一节 线性空间的概念 一 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律 ( ) ( )
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,
2
,
n
a21
a22
a2n
an1 an2
ann
称 n 阶方阵
a11 a12 P a21 a22
a1n
a2n
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
例1 实数域 R上的线性空间 R3中向量组
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是 R3 的基。 R3 是3维线性空间。
例2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
例1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2, ,n为一
组互不相同的实数。
x2
4, 3
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为