29基本不等式学案
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3.4．1基本不等式：2
b
a a
b +≤
学案作者：张春燕
一、教学目标
1. 使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明.
2. 感知与基本不等式相近的一些不等式的证明和几何背景.
3. 初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力. 二、教学重点，难点
重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义.
难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式，关键是对基本不等式的理解与掌握. 三、问题导学
问题1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形，设直角三角形边长为a ，b ，则正方形的边长为_____________面积为_____________. 问题2：那四个直角三角形的面积和为_____________.
问题3：根据四个三角形的面积和正方形的面积，可得到一个不等式：2
2
b a +_____ab 2， 什么时候这两部分面积相等呢？
问题4：证明不等式：2
2b a +≥ab 2.
问题5：特别地，如果a>0, b>0, 则b a +≥ab 2 ， 2b a ab +≤，其中2
b
a +叫正数a,
b 的算术平均数，ab 叫正数a, b 的几何平均数. 问题6：课本98P 探究给出基本不等式的几何解释. 四、探究交流（基本不等式的应用）
已知x, y 都是正数，求证：
① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2. ② 如果和x+y 是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值24
1S . 证明：
总结：“和定积最大，积定和最小”. 注：应用基本不等式须注意三点： ① 各项或各因式为正. ② 和或积为定值.
③ 各因式或各项能取得相等的值，必要时作适当变形，以适应上述前提. 即：一正 二定 三相等. 五、例题
例1：x>0, 当x 取什么值时，x
x 1
+
的值最小？最小是多少？
例2：一段长30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例3：x>1, 当x 取什么值时，1
1
-+x x 的值最小？最小是多少？
例4：已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证： ①
411≥+b a . ②9)11
)(11(22≥--b
a .
课堂反馈： 选择题
1．已知R b a ab ∈≠,,0，则下列式子总能成立的是（ ）
A.
b a a b +2≥ B.b a
a b +2-≥ C.b
a a
b +2-≤ D.
b a
a b +2≥ 2．已知y>x>0, 且x + y=1,那么（ ）
A. x<2y
x + x + y x +<2xy 2 y x + ∈R b a ,，且4=+b a ，则有（ ） A. 211≥ab B.111≥+b a C. 2≥ab D.41122≥+b a 4．下列不等式在+ ∈R b a ,时一定成立的是（ ） A. b a ab +2≤ab ≤2b a +≤22 2b a + B. ab ≤b a ab +2≤2 b a +≤ 2 2 2b a + C. ab ≤2b a +≤b a ab +2≤ 2 2 2b a + D. ab ≤b a ab +2≤ 2 2 2b a +≤2b a + 5．若2 lg ),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+= = >>，则（ ） A ．R 1 ≥+++ x x x x B.4)1 )(1(≥++y y x x C.4)1 1)((≥++y x y x D.2lg lg )2lg lg (22y x y x +≤+ 7．某民营企业的一种电子产品，2007年的产品在2006年基础上增长率是a ，2008年又在2007 年的基础上增长率为b ，（a, b>0）, 若这两年的平均增长率为q ，则（ ） A.2b a q += B.2b a q +≥ C.2 b a q +≤ D.大小关系不确定 二：填空题 1． 当x>1时，不等式a x x ≥-+ 1 1 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 2． 当10,1<<>b a 时，a b b a log log +的范围是_____________. 3． 设,0>>b a 把2 b a +，a b ，a ，b 按从小到大的顺序排列起来为_____________. 4． 若不等式 b a a b +>2成立，实数a ，b 满足的条件是_____________. 5． 若实数a ，b 满足a +b =2，则b a 33+的最小值是_____________. 三：证明 已知：a, b, c 都是正数，且a + b + c=1, 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 思考题：若0 x 1 + 的最大值.