光学谐振腔基本概念

0 1
F:球面透镜的焦距(凹为- 凸为+) F:球面透镜的焦距(凹为-,凸为+) 球面透镜的焦距 r1 θ1 −θ2 = 证 F 1 θ2 = − r1 +θ1 F θ1 r2 = r1 1 0 ∴T = 1 − 1 F 1 θ2 = − r1 +θ1 F
r1,r2 θ1 -θ2 θ2 r1,r2
L L L L L2 2 C = − [2 − − − 2(1− − + )] L R1 R2 R1 R2 R1R2 2 L L 2L2 4L 2 2 =− ( + − )= − − L R1 R2 R1R2 R1R2 R1 R2
L L L2 L D = 4(1− − + ) − 2(1− ) −1 R1 R2 R1R2 R2 4L 2L 4L2 2L 2L 2L =1− − + = − + (1− )(1− ) R1 R2 R1R2 R1 R1 R2
A = 2g2 −1 =1
B = 2Lg2 = 2L
D = 4g1g2 − 2g2 −1=1
2 C = − (g1 + g2 − 2g1g2 ) = 0 L
1 2L T = 0 1
2
1 2L1 2L 1 4L T = 0 1 0 1 = 0 1
三、谐振腔的几何参数 1、RL参数 RL参数
R1 L R2
两镜面曲率半径， R1、R2：两镜面曲率半径，L：腔长 2、g参数
L g1 =1− R 1 L g2 =1− R2
§2 光线变换矩阵 一、光线坐标矩阵
r θ
θ r
r:光线位置到轴线距离(轴线上方为正) r:光线位置到轴线距离(轴线上方为正) 光线位置到轴线距离 θ:光线方向与轴线方向(水平)所夹锐角 光线方向与轴线方向(水平) 向上传播为正) (向上传播为正)
(2)
0 1 T = 1 − 1 125
0 5 5 r2 1 = 1 θ − 0.02 = − 0.02 1 2 125
θ2
o
θ1
例2 入射光线的坐标为r1=4cm，θ1=-0.01弧度, 入射光线的坐标为r =4cm， 0.01弧度 弧度, 求分别通过焦距大小都为F=0.1m的凸、 F=0.1m的凸 求分别通过焦距大小都为F=0.1m的凸、凹透镜后 的光线坐标 解 (1)
sin x = 2i
§3 谐振腔的稳定性 一、稳定腔的概念 1、物理意义 镜面上任一点发出的近轴光线，往返无 镜面上任一点发出的近轴光线， 限次而不逸出 2、数学意义 Tn各元素当 n →∞时,保持有界
二、稳定性条件 1、稳定腔
(1) 0<g1g2<1
证
为使T 各元素有界, 须是实数 实数, 为使Tn各元素有界,ϕ须是实数,则
2
光线往返二周后自行闭合， 光线往返二周后自行闭合，因此为稳定腔
注
=0,即 =L,为对称共 g1=g2=0,即R1=R2=L,为对称共 焦腔
R1 R2
L
证明：近轴条件下R=2F 证明：近轴条件下R=2F
证 以平行于光轴的光线为例
θ1 =θ2
θ1
θ1 = i
α =θ2 + i = 2i
r i≈ R
1 0 ∴T = 2 − 1 R
(3)两介质的平面界面 即折射定律) (3)两介质的平面界面 (即折射定律)
1 T = 0 0 n 1 n2
证
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 n1θ1 ≈ n2θ2 r2 = r1 θ1 n2 = n1 θ2 = θ1 θ2 n1 n2
r 5 1 = θ 0.02 1 1 0 T = 1 − 1 20 0 5 5 0.02 = − 0.23 1
θ1
o θ2
r2 1 = 1 θ − 2 20
2、实例 (1)单程传播L (1)单程传ห้องสมุดไป่ตู้L距离 单程传播 证
θ1 r1 θ2 r2 L
1 ∴T = 0 L 1 1 T = 0 L 1
r2=r1+Lθ1 +Lθ θ2= θ1
(2)球面反射镜 (2)球面反射镜
1 0 T = 2 − 1 R
T = T4T T2T 3 1
1 L T = T3 = 1 0 1
1 T2 = 2 − R 2 0 1
1 T4 = 2 − R 1
0 1
R1 ④
① ③
② R2
L
1 T = 2 − R 1
01 L 1 2 0 1 − R 1 2
θ2 = i
r α≈ F r r =2 F R
o i F α F
R
θ2 r
R = 2F
1 0 T = 0 1 →
r2 r = 1 θ θ 2 1
注
R=∞ 或 F =∞
即平面镜的反射定律
θ1
θ2 θ1
2、非稳定腔
(1)g >1(2) (2)g <0(3) =0或 =0(4) (3)g (4)g (1)g1g2>1(2)g1g2<0(3)g1=0或g2=0(4)g1g2=1 =∞，平行平面腔， 如g1=g2=1, 即R1=R2=∞，平行平面腔，则
θ1 θ1 n1
1 ∴T = 0 0 n 1 n2
θ2 r1,r2 n2
讨论
光疏→光密： 光疏→光密：n2>n1,θ1<θ2, 偏向法线 θ θ 光密→光疏： 光密→光疏：n2<n1,θ1>θ2, 偏离法线 θ θ
(4)球面透镜 (4)球面透镜
1 T = 1 − F
F
讨论 (1)若r =0,θ 任意 (1)若 1=0,θ1
r2 1 = 1 θ − 2 F 0 0 0 = 1θ1 θ1
θ2 θ1
过光心的 光线不改 变方向
-θ2 θ2
(2)若 任意, (2)若r1任意, θ1=0
r2 1 = 1 θ − 2 F 0 r r 1 = 1r1 1 0 − F
r1,r2
F
平行于光轴的光线过焦点 (3)若 (3)若
r = Fθ1 1
0 Fθ1 Fθ1 θ = 0 1 1 r2 1 = 1 θ − 2 F
2、往返n周 往返n
Asin nϕ −sin (n −1)ϕ sin ϕ n Tn = T = Csin nϕ sin ϕ Bsin nϕ sin ϕ Dsin nϕ −sin (n −1)ϕ sin ϕ
ϕ = arccos 1 (A + D) 2
A、B、C、D：往返一周的光线变换矩 阵元素 eix − e−ix
2 C = − (g1 + g2 − 2g1g2 ) = 0 L D = 4g1g2 − 2g2 −1= −1
−1 0 T = 0 −1
−1 0 −1 0 1 0 T = 0 −1 0 −1 = 0 1
01 L 0 1 1
L 1 L 1 2 = 2 2L 2L − R 1− R − R 1− R 1 2 1 2 2L 2L2 1− 2L − R2 R2 = 2 2 4L 2L 2L 2L − + (1− )(1− ) − − + R R R2 1 1 1 1 R R2 R R2
−1< 1 ( A+ D) <1 2
A+D=(2g2-1)+(4g1g2-2g2-1)=4g1g2-2
1 2
(A + D) = 2g1g2 −1
0 < 2g1g2 < 2 0 < g1g2 <1
∴-1< 2g1g2 −1<1
(2) g1=g2=0 证
A = 2g2 −1= −1
B = 2Lg2 = 0
θ1
θ2
三、谐振腔的光线变换矩阵 1、往返一周
2g2 −1 2Lg2 T = 2 − (g1 + g2 − 2g1g2 ) 4g1g2 − 2g2 −1 L
L:谐振腔长度 R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
R1 ④
① ③
② R2
L
r2 r =T 1 θ 1θ 2 1 r3 r2 r = T2 = T2T 1 1 θ θ θ1 2 3 r3 r4 r = T3 = T3T2T 1 1 θ θ θ1 4 3 r5 r4 r = T4 = T4T3T2T 1 1 θ θ θ1 4 5
θ>0: θ<0:
θ θ θ θ
二、光线变换矩阵 1、定义
r r2 = T 1 θ θ 1 2
r 1 ：输入面光线坐标矩阵 θ 1 r2 ：输出面光线坐标矩阵 θ 2
A B T = C D：光线变换矩阵
r 4 1 = θ − 0.01 1 0 1 T = − 0.1 1
θ1 θ2
0 4 4 r2 1 = θ − 0.1 1 − 0.01 = − 0.41 2 1 0 (2) T = 0.1 1 r2 1 0 4 4 = θ 0.1 1 − 0.01 = 0.39 2
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-) 球面镜曲率半径 +,凸为 证
θ2 θ2 ′ α o ii θ1 r,r2 1
α=i+θ2′ =i+θ θ1=α+i θ2= - θ2′
θ 2 ′ - α =α-θ 1 θ2′=2α-θ1 =2α
r1 α= R
R
r2 = r1 2 θ2 = − R r1 + θ1
F
θ1
r1,r2
过焦点的光线平行于光轴
入射光线的坐标为r =5cm， =0.02弧度 弧度, 例1 入射光线的坐标为r1=5cm，θ1=0.02弧度,求 通过曲率半径分别为R=0.4m R=2.5m的凹面反射 R=0.4m、 通过曲率半径分别为R=0.4m、R=2.5m的凹面反射 镜后的光线坐标 解 (1)
2g2 −1 2Lg2 T = 2 − (g1 + g2 − 2g1g2 ) 4g1g2 − 2g2 −1 L
L 2L A = 2(1− ) −1 =1− R2 R2
g1 =1−
L R1 L g2 =1− R2
L 2L2 B = 2L(1− ) = 2L − R2 R2
光学谐振腔基本概念 §1 光学谐振腔概述 一、谐振腔结构 由两个球面反射镜组成共轴系统, 由两个球面反射镜组成共轴系统,即两镜 面的轴线(镜面顶点与曲率中心联线)重合. 面的轴线(镜面顶点与曲率中心联线)重合. 二、谐振腔类型 1、双凹腔
2、双凸腔 3、双平腔
(平行平面腔) 平行平面腔)
4、凹凸腔 5、平凹腔 6、平凸腔