横截面为纯剪切应力状态

sx
s y
cos2 t x sin 2
t t = x
y 〈剪应力互等定理〉（10-1）
由：t = 0
t dA = s x dAcossin s y dAsin cos t xdAcos2 t ydAsin2
——任意斜截面上正应力计算公式
s 2
y
2


t
2 x
分析上面方程的结构可发现，此方程实为圆曲线方程。
圆心坐标：
s x

s
2
y
,0
半径：
s x

s y
2
2


t
2 x
任一点坐标： s ,t
上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆
二.应力圆的画法：
1.设s ,t 轴，选取应力比例尺。
应力s ,t
三.验证 s ,t 的正确性
由应力圆可得：
y sy tyx
txy sx
n
s
sx x t txy
tyx sy
t
BH O s3
G1t' s,tG
D(sx, txy)
2
2 F A
CL
s1 s
E (sy, tyx)
G2 t"
OC = s x s y
2
CA = s x s y
2
则：
—— 2
CD
=
——2
DA
——2
CA
=
s x

s
2
y
2

t
2 x
EL = CE sin2 2 = CEsin 2 cos2 cos2 sin 2 = CD cos2 sin 2 CD sin 2 cos2
= CAsin 2 DAcos2
=t
OL = LC CL
= OC CE
OL = LC CL
= OC CG cos 2 2
= OC CD cos 2 cos 2 CD sin 2 sin 2
s s s s
本章要点
（1）平面应力状态的解析法和图解法 （2）强度理论（包括莫尔强度理论）
重要概念
单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、 广义虎克定律、第一强度理论、第二强度理论、第三强度理 论、第四强度理论。
目录
§8-1 应力状态的概念和实例 §8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力 §8-3 平面应力状态下的最大应力，主应力 §8-4 三向应力状态下的最大应力 §8-5 广义虎克定律 §8-6 强度理论
§8-1 应力状态的概念和实例
一.应力状态的概念：
1.一点的应力状态
由第二章分析轴向拉压直杆截面上的应力时可知：随着所 取截面的方向不同，截面上的应力也不同。由第四章分析圆 轴扭转横截面上的应力时可知：在同一横截面上的各点，应 力也是不相同的。同此，我们可知：应力仅随着截面方向的 不同而不同，而且在同一截面上的各点，应力也不一定完全 相同。对于上述我们所提到的截面上点的应力情况，我们就 称为一点的应力状态。
2.材料单元体：
为了研究点的应力状态，围绕该点截取一微小立方体，这个
微小立方体就称为材料单元体。由于单元体很微小，故可以把它
的各个面上的应力看做是均匀分布的。立方体两个相对面上的应
力，可看成是一对大小相等，方向相反的应力。这个单元体的应
力情况可以代表该点的应力状态。
3.主平面，主应力
在受力构件中的某一点，我们总可以找出一个单元体，在这
2.以s x ,t x 为坐标，得D点，s y ,t y 得E点。
s 3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。
4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。
5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 s ,t
6.按比例尺量出s ,t 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
由 n = 0
s dA = s x dAcos cos s y dAsin sin t xdAsin cos
s = s xco2 s s y sin 2 t x sin 2
=
1 2
sx
s y

1 2
态。 Z sz
tzy
tzx
txy
sx dz
Z
s2
dz
tyx
txz tyz
sy
tyz
txz O
txy
sy tyx
Y
sx
tzy
tzx
dx
O
s3
s1
Y dx
X
dy sz
X
dy
P
P
Me B
Me
A
s A s=P/A
B t=Me/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面
b) 横截面，周向面，直径面各一对
P Me
C Me
t = s x s y sin cos t x cos2 sin 2
= 1 2
sx
s y
sin 2 t x cos2
（10-2）
——任意斜截面上剪应力计算公式
t x ,t y ,s x ,s y的正负号的规定：
（1）s x ,s y ——拉为正，压为负。 （2） t x ,t y ——单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负。
Байду номын сангаасsC s
t
sA A
P A
B C
sA
B tB sC
c) 同b)，但从上表面截取
d) 从A、B、C三点截取
tC C sC
目录
§8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力
平面应力状态的研究方法——数解法〈解析法〉图解法。 一.数解法（解析法）
求任意斜截面ef上的正应力和剪应力：
(1).用平行于Z轴，沿斜截面ef将单元体分成两部分，并取下面 一部分为研究对象。 (2).对留下部分进行受力分析如图：
个单元体的各个面上只有正应力而无剪应力。对这种剪应力为 零的平面，我们就称为主平面。而主平面上的正应力，我们就 称其为主应力。
4.应力状态的分类：
(1).单向应力状态：三个主应力中，只有一个不为零——简单
应力状态。
(2).双向应力状态：三个主应力中，只有一个为零。
(3).三向应力状态：三个主应力都不为零 ——复杂应力状
二．图解法，应力圆
1．应力圆的导出：
由（10-1）（10-2）得：
s

1 2
sx
s y
=
1 2
s
x
s
y
cos2 t x sin 2
t
=
1 2
sx
s y
sin 2 t x cos2
两式平方相加：
s
sx
s 2
y
2


t
2
=
s x