几何概型-简单-讲义

几何概型

知识讲解

一、几何概型

定义：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．

二、几何概型具备以下两个特征：

1.无限性：即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几

何区域来表示；

2.等可能性：即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等．

三、几何概型的计算公式及步骤

P A，其中表示区域的几何度量，A表1.几何概型中，事件A的概率定义为()A

示区域A的几何度量．

2.几何概型的计算步骤

1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类①样本空间具有明显的几何

意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；②样本空间所求事件所对应的几何区域没直接

给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条件转换成变量所满足的代数条件；

2）在坐标系中把相应的几何图形画出来；

P A，其中3）把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式()A

表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量．

四、几何概率中概率0和1的理解

理解：如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事

件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必然事件，即概率为1的事件不一定为必然事件．

典型例题

一．选择题（共5小题）

1．（2018?西宁一模）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．

根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，

其构成的区域是半圆，

则弦MN的长度超过R的概率是P=．

故选：D．

2．（2018?新华区校级模拟）欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，

而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形

孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率

为（）

A．B．C． D．

【解答】解：由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×22=4π，

而边长为1cm的正方形面积为1×1=1，

故所求概率P=，

故选：A．

3．（2018?安宁区校级模拟）在区间[﹣，]上随机取一个数x，则事件“０≤sinx ≤1”发生的概率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：在区间[﹣，]上，由0≤sinx≤1得0≤x≤，

=，

故选：C．

4．（2018?乐山三模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽是我国古

代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展，如图所示，四个相

同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若θ＝．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：由已知，可得小正方形的边长为，

故小正方形的面积，

大正方形的面积S=4，故飞镖落在小正方形内得概率P=．故选：A．

5．（2018?凌源市模拟）已知x，y∈[0，2]，则事件“ｘ

+y≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．

【解答】解：由题意x，y∈[0，2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，

及事件“ｘ+y≤1”对应的区域，如下图所示：

所以事件“ｘ+y≤1”发生的概率为；

故选：B．

二．填空题（共5小题）

6．（2018?江苏二模）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到站，在出发前在车站停靠3分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过10分钟的概率为．

【解答】解：根据题意知这是一个几何概型，

公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，

∴基本事件总数包含的时间长度是15，

又乘客到达车站的时刻是任意的，且出发前在车站停靠3分钟，

∴满足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间长度是15﹣13=2，

满足一个乘客候车时间不超过10分钟的事件包含的时间长度是13，

由几何概型公式得所求的概率为P=．

故答案为：．

7．（2018?江苏二模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC、BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为．

【解答】解：设AC=x，则CB=12﹣x，

则矩形的面积S=x（12﹣x），

由x（12﹣x）＞32得x2﹣12x+32＜0，

解得4＜x＜8，

根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，

故答案为：．

8．（2018春?启东市校级期中）人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为

37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为．

【解答】解：∵民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．

∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为：

p==．

故答案为：．

9．（2017?如皋市二模）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．

【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，

则S1=，S2=，

∵S1＞2S2，

∴AP＞2BP，

∴S1＞2S2的概率是．

故答案为：．

10．（2017?扬州模拟）在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为．

【解答】解：区间（0，5）的区间长度为5．

满足3＜m＜4的区间长度为1．

由测度比为长度比可得满足3＜m＜4的概率P=．

故答案为：．

三．解答题（共2小题）

11．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．

（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；