二分图理论

*7.5 二部图及匹配

7.5.1二部图

在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。

定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足

（1）12V V V =，12V V φ=；

（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。

则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。

由定义可知，二部图是无自回路的图。

图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。

图7-55二部图示例

显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。 一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。可以看出，它们仍是二部图。

图7-56二部图示例

定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。

证明 先证必要性。

设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。121(,,,,)k v v v v 是G 中任一长度为k 的

回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。

再证充分性。

设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。设,G V E =只含有长度为偶数的回路，定义互补节点子集1V 和2V 如下：任取一个顶点0v V ∈，令

10{()(,)}V v v V d v v =∈∧为偶数

21V V V =-

现在证明1V 中任意两节点间无边存在。

假若存在一条边(,)i j v v E ∈，且1,i j v v V ∈，则由0v 到i v 间的最短路（长度为偶数）， 边(,)i j v v 和j v 到0v 间的最短路（长度为偶数）所组成的回路的长度为奇数，与假设矛盾。 同理可证2V 中任意两节点间无边存在。

故G 中的每条边必具有形式(,)i j v v ，其中1i v V ∈，2j v V ∈， 即G 是具有互补节点子集1V 和2V 的一个二部图。

利用定理7.5.1可以很快地判断出图7-57中的()a 、()c 是二部图，而()b 则不是二部图。

图7-57

例7.5.1 六名间谍,,,,,a b c d e f 被擒，已知a 懂汉语、法语和日语，b 懂德语、俄语和日语，c 懂英语和法语，d 懂西班牙语，e 懂英语和德语，f 懂俄语和西班牙语，问至少用几个房间监禁他们，能使在一个房间里的人不能直接对话。

解 以六人,,,,,a b c d e f 为顶点，在懂共同语言的人的顶点间连边得图G （如图7-58()a 所示），因为G 中没有奇圈，所以G 是二部图（如图7-58()b 所示），故至少应有两间房间即可。

图7-58 7.5.2 匹配

二部图的主要应用是匹配，“匹配”是图论中的一个重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题”等运筹学中的问题上有重要的应用。

首先看实际中常碰见的问题：给n 个工作人员安排m 项任务，n 个人用12{,,,}n V x x x =表示。并不是每个工作人员均能胜任所有的任务，一个人只能胜任其中(1)k k ≥个任务，那么如何安排才能做到最大限度地使每项任务都有人做，并使尽可能多的人有工作做？

例如，现有12345,,,,x x x x x 五个人，12345,,,,y y y y y 五项工作。已知1x 能胜任1y 和2y ，2x 能胜任2y 和3y ，3x 能胜任2y 和5y ，4x 能胜任1y 和3y ，5x 能胜任3y 、4y 和5y 。如何安排才能使每个人都有工作做，且每项工作都有人做？

显然，我们只需构造这样的数学模型：以i x 和j y （i ，j =1，2，3，4，5）为顶点，在i x 与其胜任的工作j y 之间连边，得二部图G ，如图7-59所示，然后在G 中找一个边的子集，使得每个顶点只与一条边关联（图中粗线），问题便得以解决了。这就是所谓匹配问题，下面给出匹配的基本概念和术语。

图7-59匹配问题示意图

定义7.5.2 设无向图,G V E =，G 中有边集M ⊆E ，且在M 中任意两条边都没有公共的端点，称边集M 为图G 的一个匹配(Matching)。M 中一条边的两个端点，叫做在M 下是配对的。如果G 中不存在匹配1M ，使得1M M >，则称M 为最大匹配(Maximum Matching)。

对于G 的一个匹配M ，若节点v 与M 中的边关联，则称v 是M 饱和的(Saturated)，否则称v 是M 不饱和的。

定义7.5.3 设二部图12,,G V V E =，M 是G 的一个匹配。若1v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是1V 对2V 的完全匹配（简称1V ―完全匹配）；若2v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是2V 对1V 的完全匹配（简称2V —完全匹配）。若M 既是1V ―完全匹配，又是2V ―完全匹配（即图G 的每个顶点都是饱和的），则称M 是完全匹配(Complete Matching)。

显然，完全匹配是最大匹配，但反之不然。

例7.5.2（1）在图7-59中，边集1122354354{(,),(,),(,),(,),(,)}M x y x y x y x y x y =是一个匹配，而且是是一个最大和完全匹配。

（2）在图7-60()a 中，边集1{(1,5),(2,7),(3,9),(4,8)}M =和2{(1,6),(2,7),(3,9)M =，(4,8)}都是图G 的最大匹配，也是1V ―完全匹配，但不是完全匹配。在图7-60()b 中，边集{(1,4),(2,5),(3,6)}M =是完全匹配。

图7-60

为了寻求二部图的最大匹配，下面交替路和可扩路两个概念。

定义7.5.4 设12,,G V V E =是一个二部图，M 是图G 的一个匹配，L 是G 中的一条路，如果L 是由属于M 和不属于M 的边交替出现组成，则称L 为G 的M 交替路(Alternating Path)。如果交替路L 的始点和终点都是M 不饱和点，则称L 为G 的M 可扩路