常微分方程习题及评分标准答案

常微分方程分项习题

一、选择题（每题3分） 第一章：

1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ）

（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章：

2．下列是一阶线性方程的是（ ）

（A ）2

dy x y dx

=- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+=

（C ）22(

)0dy dy x xy dx dx

+-= （D ）cos dy

y dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ）

（A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy

xy dx dx -+=

（C ）2

(1)0dy x xy dx

+-= （D ）22cos cos d y y x dx =

4．下列方程是3阶方程的为（ ）

（A ）'23y x y =+ （B ）3

(

)0dy xy dx

+= （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dy

y dx

=

5．微分方程43(

)()0dy dy dy

x dx dx dx

+-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6．方程2342()20dy d y

x y dx dx

+-=的阶数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程

dy x y

dx x y

-=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程

（B ）通过变量变换y

u x

=

可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y =

（D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）．

（A ）为一阶线性方程

（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12

y x π

=++

（D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程

n y x Q y x P dx

dy

)()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -⎰ （B ）()nP x dx e ⎰

（C ）(1)()n P x dx xe -⎰ （D ）()nP x dx xe ⎰

10．针对方程

2(cos sin )dy

y y x x dx

+=-，下列说法错误的是（ ）

． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1

sin x

y Ce x

=- 11．方程

2()dy y

xf dx x

=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y

u x

= （D ）2u x y =

12．方程2()dy

x f xy dx

=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。

（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y

u x

= （D ）2u x y =

13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）

（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ）

（A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解

（C ）方程的通解为1

y c x c

=

-- （D ）方程有特解2y =±

15．方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=其中(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数，如有

1M N

y x

M

∂∂-∂∂=，则方程的积分因子为（ ）

（A ）(,)y x y e μ= （B ）(,)y x y e μ-= （C ）(,)x x y e μ= （D ）(,)x x y e μ-= 16. 若函数()f x 满足关系式 20

()()ln 22

x t

f x f dt =+⎰

, 则等于()f x =（ ） （A ）ln 2x e （B ）2ln 2x e （C ）ln 2x e + （D ）2ln 2x

e +

第三章： 17．方程

1ln dy

x dx

=+满足条件(1)0y =的解的存在区间为（ ）

。 （A ）(0,) （B ）[0,) （C ）(1,) （D ）[1,)

18．已知方程

),(d d y x f x

y

=（其中(,)f x y 为区域R 上的连续函数）

，则利普希兹条件是保证方程初值解唯一的（ ）条件．

（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 19．利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 20．方程

22dy

x y dx

=+定义在矩形域:22,11R x y -≤≤-≤≤上，

则经过点(0,0)的解存在唯一区间为（ ）

（A ）[1,1]- （B ）11[,]22- （C ）[2,2]- （D ）11

[,]55

-

21．方程22dy

x y dx

=+解存在区间为（ ）

（A ）[1,1]- （B ）(,)-∞+∞ （C ）[2,2]- （D ）11

[,]55

-

第四章：

22. 微分方程''1x y y e -=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数)为（ ） （A ） x ae b + （B ） x axe b + （C ） x ae bx + (D) x axe bx + 第五章：