两点间的距离-PPT课件
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点到直线的距离公式)PPT全文课件
试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一(几何法)：把圆的方程都化成标准形式,为 C 1:(x 1 )2(y4)225 C 2:(x2 )2(y2 )21 0
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册
证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
证明 如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设
A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
第二章
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问
题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1
已知点A(-3,4),B(2, √3 ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
2017-2018学年高中数学北师大必修2课件：第二章 §1 1.5 第一课时 两点间的距离公式
－1－02＋0＋m2 2＝ 1＋m42(m≠0)． [答案] (1)D (2) 1＋m42(m≠0)
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点 的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
[活学活用] 已知点A(－1,2)，B(2， 7)，在x轴上求一点P，使|PA| ＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得
[解] 法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， 又|BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－－13＝－23， 则kAC ·kAB＝－1， ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．
解析法证明几何问题的步骤 (1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 另外，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标 系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
[活学活用] 已知AO是△ABC的边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝ 2(|AO|2＋|OC|2)． 证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系， 设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)， 由两点间距离公式得 |AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2， |AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2， |AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点 的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
[活学活用] 已知点A(－1,2)，B(2， 7)，在x轴上求一点P，使|PA| ＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得
[解] 法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， 又|BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－－13＝－23， 则kAC ·kAB＝－1， ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．
解析法证明几何问题的步骤 (1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 另外，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标 系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
[活学活用] 已知AO是△ABC的边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝ 2(|AO|2＋|OC|2)． 证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系， 设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)， 由两点间距离公式得 |AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2， |AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2， |AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册两条平行直线间的距离公式课件
由交点C的坐标为 (3, 2) ， D的坐标为 (1,1) .
| CD | (3 1)2 (2 1)2 17.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0, l2 : 2x y 8 0, l3 : x 4 y 14 0, l4 : 2x y 1 0, 求□ABCD的面积.
两条平行直线间的距离
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
解：设
,
已知两条平行直线
追问1：如何间求的距离C为D3，？求C的值.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
CD 的长 C、D 的坐标 例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
求两条平行直线
间的距离.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
解：设
,
求□ABCD的面积.
D的坐标为
.
间的距离：
追问2：公式中的A，B，C1，C2分别等于什么？
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0. l1 : 6x 21y 24 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d | 24 (1) | 23 23 53 . 62 212 3 53 159
l : Ax 问题3 公式有什么结构特征？
，
2
By
C2
| CD | (3 1)2 (2 1)2 17.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0, l2 : 2x y 8 0, l3 : x 4 y 14 0, l4 : 2x y 1 0, 求□ABCD的面积.
两条平行直线间的距离
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
解：设
,
已知两条平行直线
追问1：如何间求的距离C为D3，？求C的值.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
CD 的长 C、D 的坐标 例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
求两条平行直线
间的距离.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
解：设
,
求□ABCD的面积.
D的坐标为
.
间的距离：
追问2：公式中的A，B，C1，C2分别等于什么？
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0. l1 : 6x 21y 24 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d | 24 (1) | 23 23 53 . 62 212 3 53 159
l : Ax 问题3 公式有什么结构特征？
，
2
By
C2
两点间的距离公式(共1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.3.2两点间的距离方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
两条直线的交点
点的坐标满足直线方程
两条直线的交点坐标
两点之间的距离
点到直线的距
离
两平行直线的距离
点在直线上
所在直线二元一次方程组的解
一起来探讨这个简单的问题吧！
所以，所求点为P(1,0)，且|PA| =
(1 + 1)2 +(0 − 2)2 = 2 2.
目
录
2 题型
02
题型1－两点间的距离应用
例1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，
17
则BC边上 的中线长为______.
解：BC的中点坐标为(0,1)，
02
题型1－两点间的距离应用
理推导两点间的距离公式吗？
y
y
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
x
O
|P1 P2| = |y2 − y1 |
y
|P1 P2| = |x2 − x1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
x
O
P1 (x1，y1)
O
|1 2 | =
1 两点间的距离公式
目
录
2 题型
1 两点间的距离公式
目
录
01
新知探究
探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2
|?
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
两条直线的交点
点的坐标满足直线方程
两条直线的交点坐标
两点之间的距离
点到直线的距
离
两平行直线的距离
点在直线上
所在直线二元一次方程组的解
一起来探讨这个简单的问题吧！
所以，所求点为P(1,0)，且|PA| =
(1 + 1)2 +(0 − 2)2 = 2 2.
目
录
2 题型
02
题型1－两点间的距离应用
例1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，
17
则BC边上 的中线长为______.
解：BC的中点坐标为(0,1)，
02
题型1－两点间的距离应用
理推导两点间的距离公式吗？
y
y
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
x
O
|P1 P2| = |y2 − y1 |
y
|P1 P2| = |x2 − x1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
x
O
P1 (x1，y1)
O
|1 2 | =
1 两点间的距离公式
目
录
2 题型
1 两点间的距离公式
目
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01
新知探究
探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2
|?
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3.3.2 两点间的距离
数学组
已知平面上两点P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?
y
y
P1 P2
D P2
AB
o
x
| AB || xB xA |源自C P1ox
| CD || xD xC |
(1) x1≠x2, y1=y2
| P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
y
D (b,c) C (a+b,c)
o A(0,0) B (a,0) x
坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
用坐标法证明：矩形的对角线相等．
学以致用2：
证明直角三角形斜边的中点到三 个顶点的距离相等。
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
学以致用3：
设P为矩形ABCD所在平面上任意 一点，求证：
|PA|2+ |PC|2= |PB|2+ |PD|2。
收获1
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离 公式是：
| P1P2 || y2 y1 |
y
P1 (x1,y1)
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
o
x
Q (x1,y2) P2(x2,y2)
P1P2 ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 :
| OP | x2 y2
练习1
已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 : | OP | x2 y2
收获2
一个公式：两点间距离公式 一种方法：坐标法 一种思想：转化思想。将几何问题转 化为代数问题
[答案] 3 2
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
例1：
已知三角形ABC的三个顶点A(1,4)， B(4,1)，C(5,5)，判断三角形的形状。
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
分析:坐标法
通过建立平面直角坐标系，用代数方法 解决几何问题的方法，称为坐标法。
[证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB 所在直线为x轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
数学组
已知平面上两点P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?
y
y
P1 P2
D P2
AB
o
x
| AB || xB xA |源自C P1ox
| CD || xD xC |
(1) x1≠x2, y1=y2
| P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
y
D (b,c) C (a+b,c)
o A(0,0) B (a,0) x
坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
用坐标法证明：矩形的对角线相等．
学以致用2：
证明直角三角形斜边的中点到三 个顶点的距离相等。
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
学以致用3：
设P为矩形ABCD所在平面上任意 一点，求证：
|PA|2+ |PC|2= |PB|2+ |PD|2。
收获1
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离 公式是：
| P1P2 || y2 y1 |
y
P1 (x1,y1)
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
o
x
Q (x1,y2) P2(x2,y2)
P1P2 ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 :
| OP | x2 y2
练习1
已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 : | OP | x2 y2
收获2
一个公式：两点间距离公式 一种方法：坐标法 一种思想：转化思想。将几何问题转 化为代数问题
[答案] 3 2
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
例1：
已知三角形ABC的三个顶点A(1,4)， B(4,1)，C(5,5)，判断三角形的形状。
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
分析:坐标法
通过建立平面直角坐标系，用代数方法 解决几何问题的方法，称为坐标法。
[证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB 所在直线为x轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．