两点间的距离公式.ppt
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所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
PFra Baidu bibliotekP2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
PFra Baidu bibliotekP2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。