两点间的距离公式.ppt
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优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
两点间的距离公式》课件
几何意义：两点间的距离是 两点之间的最短路径
应用实例：计算两点间的距 离，如直线、曲线、平面等
两点间的距离公式
04
在物理中的应用
质点运动学中的距离计算
质点运动学：研究质点在空间中的运动规律 距离公式：描述两个质点之间距离的公式 应用：计算质点在运动过程中的位移、速度和加速度 实例：计算自由落体运动中质点的位移、速度和加速度
两点间的距离公 式：d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
公式中的参数： x1, y1, x2, y2 分别表示两个点 的横坐标和纵坐 标
公式的用途：计 算两点间的直线 距离
公式的推导：利 用勾股定理推导 得出
两点间的距离公式
03
在几何中的应用
两点间线段最短问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式
05
的扩展应用
任意两点间的距离计算
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
扩展应用：适用于 任意两点间的距离 计算
应用场景：地图导 航、GPS定位、物 流配送等
计算方法：输入两 点的坐标，利用公 式进行计算
多边形边长计算
利用两点间的距离公式，可以计算出多边形的边长 例如，已知多边形的顶点坐标，可以计算出每个边的长度 利用这些边长，可以计算出多边形的面积、周长等参数 在实际应用中，如建筑设计、地图绘制等领域，多边形边长计算具有重要意义
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20XX.XX.XXBiblioteka 两点间的距离公式,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式》课件3
在平面几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及三角形、四边形等图形的周 长和面积。
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册
2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)
1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+
−
+ −
+ −
+ + ，
=
=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+
两点的距离公式ppt课件
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
两点间的距离公式-数学公式PPT
业
1、求下列两点间的距离： (1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
例题分析
P1P2 x2 x12 y2 y12
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使
得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
回顾：
x轴上两点P1（x1，0）， P2（x2，0） 的距离 | P1P2|＝|x2－x1|．
y轴上两点P1（0，y1）， P2（0，y2） 的距离 | P1P2|＝|y2－y1|．
思考:
已知平面上两点P1（x1,y1),P2（x2,y2), 如何求P1, P2 的距离 |P1P2| ？
思考:已知平面上两点P1（x1,y1),P2 （x2,y2),如何求P1, P2 的y距|P1P2| ？
化简得：6x-5y-1=0
举例
例2、证明平行四边形四条边的平方和等 于两条对角线的平方和.
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
解题参考
第一步： 建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步： 进行有关的代数运算；
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何关
系.
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
§3.3.2两点间的距离
复习
直线l1,
唯一解 l2解方程组无穷多解
l1, l1,
l2相交 l2重合
无解
l1, l2平行
复习
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
两直线相交 A1 B1
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
两点间的距离公式》课件5
代数式求值问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
代数式求值：将两 点的坐标代入公式， 计算距离
应用实例：求两点 (1,2)和(3,4)之间 的距离
扩展应用：求两点 间的距离公式在几 何、物理等领域的 应用
向量模的计算
向量模的定义： 向量的长度或
大小
向量模的计算 公式：|a| = √(a1^2 + a2^2 + ... +
an^2)
向量模的应用： 物理、工程、 计算机科学等
领域
向量模的性质： 非负性、齐次 性、三角不等
式等Βιβλιοθήκη 空间几何中两点间距离的计算
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 拓展应用：计算空间中任意两点间的距离 应用场景：建筑设计、地图绘制、导航系统等 计算方法：利用两点间的距离公式，结合空间几何知识，计算两点间的距离
圆上两点间距离最短问题
问题描述：在圆上找到两点，使得两点间的距离最短 解决方法：使用两点间的距离公式，找到圆心与两点连线的垂直平分线 应用实例：在圆上找到两点，使得两点间的距离最短，并使用两点间的距离公式进行计算 结论：两点间的距离最短问题可以通过两点间的距离公式在几何中的应用来解决
两点间距离公式的其他应用
测量地图上的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出地图上两点 之间的距离。
计算空间中的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出空间中两点 之间的距离。
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计算地球表面的距离：通过两点间 的距离公式，可以计算出地球表面 上两点之间的距离。
计算网络中的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出网络中两点 之间的距离。
空间两点间的距离公式 课件
解析：∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.∴AB、BC、BE
两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 M 22a，0，1－ 22a，N 22a， 22a，0. ∴|MN|＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02 ＝ a2－ 2a＋1＝ a－ 222＋12.
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2| ＝___x_1－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2＋___z_1－__z_2_2.
思考应用
若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x，y，z满 足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
∴当 a＝ 22时，|MN|最短，即为 22时， M、N 恰为 AC、BF 的中点．
点评：依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利
用空间坐标系中的性质、定理来求距离、证垂直、求角度
等．
OA＝2，OC＝3，AC＝
13，∴OD＝
6 ＝6 13
13 13 .
36
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
∴|O1D|＝
11232＋11832＋4＝1113424＝2286 13 .
解析：由空间两点间的距离公式得 |AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57 当 x＝87时，|AB|有最小值 75＝ 735，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.∴AB、BC、BE
两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 M 22a，0，1－ 22a，N 22a， 22a，0. ∴|MN|＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02 ＝ a2－ 2a＋1＝ a－ 222＋12.
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2| ＝___x_1－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2＋___z_1－__z_2_2.
思考应用
若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x，y，z满 足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
∴当 a＝ 22时，|MN|最短，即为 22时， M、N 恰为 AC、BF 的中点．
点评：依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利
用空间坐标系中的性质、定理来求距离、证垂直、求角度
等．
OA＝2，OC＝3，AC＝
13，∴OD＝
6 ＝6 13
13 13 .
36
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
∴|O1D|＝
11232＋11832＋4＝1113424＝2286 13 .
解析：由空间两点间的距离公式得 |AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57 当 x＝87时，|AB|有最小值 75＝ 735，
2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)
.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)
x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)
x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)
两点间距离公式课件
两点间距离公式课件
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
两点间的距离公式课件
工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更 高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求 。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度 ，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行 计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。 比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来 的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度， 根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、 物理学、工程学等领域都有广 泛应用。
在计算两点之间的直线距离、 确定物体运动轨迹、解决实际 问题等方面都需要用到该公式 。
在地理信息系统、地图绘制、 导航等领域，该公式也是不可 或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距 离。
√：表示开平方运算 。
06
公式注意事项
空间两点间的距离公式课件(人教A版必修
空间两点间的距 离公式
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
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判断两点是否在同一直线上
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计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
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计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
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解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
P1P2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。
易求得，点P（0，-11 2 13）
3
(2)|PA|+|PB|=|AB1|= 2 13
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴 上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明 理由，并求其最大值。
M
• 归纳：
• （1）当两定点位于直线的异侧时，可求得 动点到定点的距离之和的最小值。
• （2）当定点对于直线的同侧时，可求得动 点到两定点的距离之差的最大值。
• （3）若不满足（1）（2）时，可利用对称 性将两定点变换到同（异）侧，再进行求 解。
• 例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点 A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
于是有 P1Q M1M 2 x2 x1 ,
QP2 N1N2 y2 y1
所以 P1P2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 所以两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 间的距离为
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
若 y1 y2
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
x1 o
x2 x
P1P2 x2 x1
若 x1 x2
y
y2
• P2 (x1, y2 )
o
x
y1
• P1(x1, y1)
P1P2 y2 y1
若 x1 x2, y1 y2
在平面直角坐标系中，从点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2M2 ，垂足分别为
N1 0，y1，M2 x2，0 直线 P1N1与P2M2 相交于点Q。
y
P2
N2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
如图 RtP1P2Q 中， P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
为了计算其长度，过点 P1 向x轴作垂线，垂足为 M1 x1，0 过点 P2 向y轴作垂线，垂足为 N2 0，y2 ,
3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
探究：
（1）如果A、B是 x 轴上两点，C、D是 y 轴上两点，
它们坐标分别是（xA，0）、（xB，0）、（0，yC）、（0，yD），
那么|AABB| x、A x|B C, CDD|怎yC 样yD 求？
(2)已知 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，试求两点间的距离。
思路：以x轴为对称轴，做A的 对称点A1，连接AB1与x轴交 与点M,M就是所求点。此时， MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、 B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显 然M’B-M’A=M’B+A’A1<BA1 。
问：M在何处时， |MB|-|MA|值 最小，最小值等于多少？
思路：以y轴为对称轴，做B的 对称点B1，连接AB1与y轴交 与点P,P就是所求点。此时， PA+PB=PA+PB1=AB1;
p’
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线
3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M
3坐.已知标两直是线l1：（（32 m，）x 14y）5，3m，求线段AB的长度.
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案： (1)8 (3)2 10
(2)3 (4) 13
练习（2）：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的 距离是17，求a的值。
答案： a 8
距离的最值问题
• 直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴 上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其 最小值。
y (b,c) D
(a+b,c) C
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 (0,0) A (a,0)B
x
C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
因为 AB 2 a2 CD 2 , AD 2 BC 2 b2 c2
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (a b)2 c2
OP x2 y2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P ，
使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值。
解：设所求点为P（x,0），于是
由
PA 2 PB 2 得
x 12 0 22
x 22 0
2
7
即 x2 2x 5 x2 4x 11
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0),Q(0, 2)
距离的最值问题的变式
例6. 求f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4的最小值。
解：f (x) (x 1)2 1 (x 3)2 +4 = (x 1)2 （0-1）2 (x 3)2 +（0-2）2 即将函数式转化为求动点P(x, 0)到两定点 A（1,1）、B(3,2)的距离之和的最小值。