第6讲 矩阵及其运算 方阵.PPT

不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
与
0
0
0
0.
0 0 0 0
定义2 .两个矩阵 A (aij )mn与 B (bij )mn
对应元素相等，即
aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n), 则称矩阵 A与相B等,记作 A B.
3、矩阵与矩阵相乘
１) 定义
设 A (aij ) 是一个 m s 矩阵， B (bij ) 是一 个 s 矩n 阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的 乘积 C (cij是) 一个 m n矩阵. 其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
(i 1, 2, m ; j 1, 2, , n),
A
发B 站C
D
2.
A
A
发B 站C
D
B 到站 C
D
为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方 填上0, 就得到一 个数表:
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
定义１ 由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表
注: （1）只有一行的矩阵 A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
例如 2 3 5 9 为行矩阵(或行向量).
1
2 4
为列矩阵(或列向量).
(2)元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零矩
阵记作 Omn 或 o .
表示法只有一种，写出这种表示方法.
证明
因为 1 2 3 4
0123
D
1 0,
0012
0001
所以1,2,3,4 线性无关. 又因为1,2 ,3 ,4 , 线性相关(由定理4)，
所以可由1,2 ,3 ,4 线性表示(由定理2).
下面证明表示法唯一.
若 k11 k22 k33 k44 , 且 l11 l22 l33 l44 ,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解取决于
系数 aij i, j 1 , 2 , , n, 常数项 bi i 1 , 2 , , n
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2, ,n .
3 三角方阵
上三角方阵 下三角方阵
二 方阵与行列式
设 A (aij )nn, 则 A 称为 A的行列式. 记为det A或 A .
例 A 2 3, 6 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B; AB BA.
0 D
1
2
3 1,
由克莱姆法则知：
0012
0001
该方程组有唯一解， 解得：
k1 b1 2b2 b3 , k3 b3 2b4 ,
k2 b2 2b3 b4 , k4 b4 .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
所以，任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由 1 (1,0,0,0), 2 (2,1,0,0), 3 (3,2,1,0), 4 (4,3,2,1) 线性表示，并且表示法只有一种，
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n b1 a2n b2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
运算性质
设A、B为复矩阵， 为复数，且运算都是可行的.
1 A B A B; 2 A A; 3 AB AB.
3) 对称阵 定义 设A 为n 阶方阵，如果满足 A AT ，即
aij a ji i , j 1,2, ,n
那末A 称为对称阵.
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
a2n
b2n
(aij
bij )
amn bmn
注 只有当两个矩阵的行数与行数，列数与列数 分别相等时，才能进行加法运算.
例如
12 1
3 9
5 1 0 6
8 5
9 4
3 6 8 3 2 1
12 1 16
3 3
38 95 62
5 9 04 8 1
13 7 6
11 4 8
但 B C, 且A 0, B 0, C 0.
4、矩阵的其它运算
１) 转置矩阵
定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
1 4
例
A 1 2 2, 4 5 8
AT
2
5 ;
2 8
B 18 , 6,
BT 18. 6
转置矩阵的运算性质
1 A BT AT BT ; 2 AT AT ; 3 ABT BT AT ;
2. 某航空公司在 A, B, C, D 四城
B
市之间开辟了若干航线, 如图
所示表示了四城市间的航班图, A
C
如果从 A 到 B 有航班, 则用带
箭头的线连接 A 与 B .
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
其中 表示有航班.
到站
A
B
C
D
为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方 填上0, 就得到一 个数表:
练习四 参考答案
一、1、 (a1,a2 , ,an ) n维向量. 2、向量的线性运算. 3、 31 42 .
4、 0.
二、1、 1) c 5 ;
2)
c
5,
3
1711
1 7
2
.
二、2、试证任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由向量组1 (1,0,0,0)，2 (2,1,0,0)，
3 (3,2,1,0), 4 (4,3,2,1) 线性表示，并且
表示法只有一种，写出这种表示方法.
证明 设 k11 k22 k33 k44 ,
整理得
k1 2k2 3k3 4k4 b1
k2 2k3 3k4 b2
k3 2k4 b3
k4 b4
由于方程组的系数行列式
1234
k个
m, k为正整数.
注意 矩阵乘法也不满足消去律，即： 若 AB AC, 不一定有 B C . 若 AB 0, 不一定有 A 0，或 B 0.
例 设 A 1 1 , B 1 1,
1 1
1 1
C 1 1 , 1 1
则 AB 0 0, AC 0 0.
0 0
0 0
2) 矩阵乘法满足的运算规律
1 AE EA A;
2 ABC ABC ; 3 AB AB AB (其中 为数) ;
4 AB C AB AC, B C A BA CA;
5 若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂， 即
Ak AAA, 并且 Am Ak Amk , ( Am )k Amk .
2、数与矩阵相乘
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A, 规定为
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
.
amn
2) 数乘矩阵满足的运算规律
（设A、B为 m n矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B ;
(4) (1)A A. 矩阵加法与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算.
求 ABT .
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解法2
1 4 2 2 1
AB T
BT AT
7
2 0 0
3
1 3 1 1 2
0 17 14 13.
3 10
2) 共轭矩阵 定义
当 A (aij ) 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数，记 A (aij )， A称为 A 的共轭矩阵.
a11 b11 a12 b12
A
B
a21
b21
a22 b22
am1 bm1 am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a11 b11 a12 b12
A
B
a21
b21
a22 b22
am1 bm1 am2 bm2
a1n b1n
两式相减可得：
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (k3 l3 )3 (k4 l4 )4 0. 由于1,2,3,4 线性无关, 所以
ki li , i 1, ,4.
即 表示法唯一.
第六讲
第三章 矩阵
第一节 矩阵的概念与运算 第二节 方阵
第一节 矩阵的概念与运算
一、矩阵概念的引入
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
第二节 方阵
行数与列数都等于 n的矩阵 ,A称为 阶n 方阵. 可记作 An .
一 几类重要的方阵
1 单位阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
不全为0
2
1 0 形如 0 2
0 O 0
0
O0
的方阵,称为对角
例 设 A 1 1 , B 1 1
1 1
1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
注意 矩阵乘法不满足交换律.
ABk Ak Bk ?
k个
ABk ( AB) ( AB)
k个 k个 Ak Bk A A B B
ABk Ak Bk .
6 0
8 1
不存在.
1 2 3
3 2
1
3
2
2
3
1
10
1
10.
例 3 计算下列乘积： 221 2.
3
解
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
1 0 0
E
0
1
0
En
称为 n 阶单位矩阵.
0 0 1
2) 矩阵乘法满足的运算规律
这种表示方法为：
(b1 2b2 b3 )1 (b2 2b3 b4 )2 (b3 2b4 )3 b44 .
二、2、试证任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由向量组1 (1,0,0,0)，2 (2,1,0,0)，
3 (3,2,1,0), 4 (4,3,2,1) 线性表示，并且
4 4. 9
2) 矩阵加法满足的运算规律
1 A B B A ;
2 A B C A B C ;
a11
3
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n
a2n
(aij ) ;
amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
a 11
a 21
a m1
a 12
a 22
a m2
称为 m n矩阵.
a 1n
a 2n
a mn
a11
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n a2n amn
简记为 A Amn (aij )mn (aij ). 这m n个数称为A的元素. 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
4 AT T A.
例4 已知 A 2 1
求 ABT .
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
0
1 17
14 13
3, 10
0 17
AB T
14
13.
3 10
例4 已知 A 2 1
并把此乘积记作 C AB .
例１ C 2
1
4 2 222 3
4
622
16 8
?
32 16
22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0, 4
0
B
1 3
1
3 2 1 2
4 1 1
1
求 AB.
解 A (aij )34, B (bij )43,
思考
矩阵与行列式有何区别?
解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，
而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以 不同.
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩
阵A 与B 的和记作 A B，规定为
C (cij )33.
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6