晶体对称性
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6次反轴为3次轴加对称面
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
(4). 简单正交
(5). 底心正交 (6). 体心正交 (7). 面心正交
(8). 三角
(9). 简单四方(四角) (10). 体心四方(四角)
(11). 六角
(12). 简立方
(13). 体心立方 (14). 面心立方
晶系
三斜 单斜
对称性特征
1, 2, 3, 4, 6 1, 2,3, 4,6, i, m, 4
不论任何晶体的宏观对称元 素只有8种独立的对称元素
1 = ������, 2 = ������, 3 = 3 + ������, 6 = 3 + ������
旋转-反演轴的对称操作
1次反轴为对称中心 2次反轴为对称面
3次反轴为3次轴加对称中心
它们有哪些对称操作？ 正四面体 正六角拄
(2). 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面体的四个 顶角上，正四面体的对称操作 包含在立方体操作之中。 绕三个立方轴转动180度 (3)
绕4个立方体对角线轴 (120 和240度，8) 绕三个立方轴 (90和270度+ 中心反演, 6)
绕6条面对角线轴(180度, 6)
设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 来描述 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度, B点转到B’ 点(B’点必有一个格点) A和B两点等价—以通过B点的 轴顺时针转过, A点转到A’点 (A’点必有一个格点) 观对称性
只能有以下十种对称素
1, 2, 3, 4, 6
群
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线 的反演面， 共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中 共2个
群 — 立方点群, 含有48个对称操作 群 — 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 — 立方点群 的24个纯转动操作
群 — 正四面体点群
群—
的12个纯转动操作
群加上中心反演
对称元素为镜面 用 表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
群的概念
群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，
满足如下四个规则:
① 集合 G 中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 .
若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性
对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。
在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对称操
作群的对称元素，比如转动轴，反演中心，反映面
运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。
二. 晶体中允许的对称操作
人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原子做周期性 排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本身对 称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变。晶 体的平移对称性限制了晶体所可能有的点对称操作。
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作
三. 晶体宏观对称性的表述：点群
四. 七个晶系和14种晶体点阵
五. 晶体的微观对称性：空间群
六. 二维情形 七. 点群对称性和晶体的物理性质
黄昆 书 1.5-1.7 节 阎守胜 书 2.2 节
一. 对称性的概念
一个物体(或图形)具有对称性，是指该物体(或图形)是由两 个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作(线性变换)， 各部分调换位置之后整个物体(或图形)保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。 即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操 作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反 演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
第一章 晶体结构
• • • • • §1.1 晶格 §1.2 晶体的对称性 §1.3 典型的晶体结构和表面结构 §1.4 倒易点阵和布里渊区 §1.5 晶体结构的实验研究
黄昆、韩汝琦《固体物理学》第一章
C. Kittel 《固体物理导论》第一章 阎守胜，固体物理基础，第二章
§1.2 晶体的对称性
−������������������������ ������������������������ 0
0 0 −1
(1). 立方体的对称操作
一个物体在某一个正交变换下保持不变 物体的对称操作越多，其对称性越高 (1). 绕三个立方轴转动 (9) (2). 绕6条面对角线轴转动 (6) (3). 绕4个立方体对角线轴转动 (8) (4). 恒等操作/正交变换 (1) + 中心反演 48个对称操作
4. 一个物体绕某一个转轴转动 2������/������ 加上中心反演的联合
操作，以及其联合操作的倍数不变时, 该轴为物体n重旋
转－反演轴，计为������
立方体
立方轴 为4重轴，计为 4
同时也是4重旋转-反演轴，计为 面对角线 为2重轴，计为2
同时也是2重旋转-反演轴，计为
体对角线轴 为3重轴，计为3
a12 a22 a13
a13 x y a23 z a33
a11 a12 Ai j a21 a22 a 31 a32
a13 a23 a33
—— 其中矩阵是正交矩阵
常见对称操作
绕z固定轴的转动: (Rotation)
彭罗斯瓷砖
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数: 1, 1.618
3D Quasicrystal
AlNiCo 衍射图
二十面体AlPdMn表面的STM图像
三. 晶体学点群
点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容，这种 受限制的点群称为晶体学点群(crystallographic point group). 晶体中只有 8 种独立的对称元素： 1, 2,3, 4,6, i, m, 4
只有C1或Ci 唯一C2或CS
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º a=b c = ＝ 90º=120º
点群的熊夫利Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T 和 O Cn: n次旋转轴； Sn: n次旋转-反演轴； Dn: n次旋转轴加上n个与之垂直的二次轴 T: 四面体群； O: 八面体群。 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面；
v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；
晶体的宏观对称只有32个不同类型
四. 7 种晶系和14种布拉菲格子
— 32种点群描述的晶体对称性 — 对应的只有14种布拉伐格子
— 分为7个晶系 — 单胞的三个基矢 沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
14种布拉伐原胞
(1). 简单三斜
C1 , Cs
(2). 简单单斜
② 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A ③ 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E ④ 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
对称操作群
一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定 义。因此一个物体的全部对称操作的集合，构成对 称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部
中心反演(Inversion): 平面反映(Reflection): 恒等操作(Identity operation):
������������������������ ������ ������ = ������������������ = ������������������������ 0 −������������������������ ������������������������ 0 0 0 1
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有 长程平移对称性。 其实准晶可以看作是具有平移对称性的六 维超空间在三维真实空间的投影
2011年度诺贝尔化学奖由以色列科学家达尼 埃尔·谢赫特曼Daniel Shechtman一人获得， 以表彰他在发现准晶体方面的工作。 The 2011 Nobel Prize in Chemistry is awarded to Daniel Shechtman "for the discovery of quasicrystals".
同时也是2重旋转－反演轴，计为
正四面体
立方轴是4重旋转－反演轴
— 不是4重轴
面对角线是2重旋转－反演轴 — 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 — 不是3重旋转－反演轴
对称素 ������ 的含义 先绕轴转动，再作中心反演 A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，
表明对称素������ 存在一个对称面M
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各种可 能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间 的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制，例如，若有 0 两个2重轴，它们之间的夹角只可能是 300 ,450 ,600 ,90 ，可以证 明总共只能有32种不同的组合方式，称为 32 种晶体学点群。 形形色色的晶体就宏观对称性而言，总共只有这 32 种类型， 每种晶体一定属于这 32 种点群之一，这是对晶体按对称性 特点进行的第一步分类。
恒等/正交变换 (1)
金刚石晶格
(3). 正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动 2) 绕对棱中点连线转动 3) 绕相对面中心连线转动 — 3个 — 1个 — 3个 — 5个
4) 恒等/正交变换
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作 —— 正六面柱的对称操作有24个
对称元素
1. “对称元素”—简洁明了地概括一个物体的对称性 2. 对称元素 — 旋转轴、旋转-反演轴、反演中心、反映面 3. 一个物体绕某一个转轴转动 2������/������ ，以及其倍数不变时 该轴为物体n重旋转轴，计为������
d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
晶体的宏观对称只有32个不同类型点群
— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体 回转群
只包含一个旋转轴的点群 — 下标表示是几重旋转轴 双面群 包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个 — 4个
群 群 群
群加上中心反演 群加上反演面 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
(4). 简单正交
(5). 底心正交 (6). 体心正交 (7). 面心正交
(8). 三角
(9). 简单四方(四角) (10). 体心四方(四角)
(11). 六角
(12). 简立方
(13). 体心立方 (14). 面心立方
晶系
三斜 单斜
对称性特征
1, 2, 3, 4, 6 1, 2,3, 4,6, i, m, 4
不论任何晶体的宏观对称元 素只有8种独立的对称元素
1 = ������, 2 = ������, 3 = 3 + ������, 6 = 3 + ������
旋转-反演轴的对称操作
1次反轴为对称中心 2次反轴为对称面
3次反轴为3次轴加对称中心
它们有哪些对称操作？ 正四面体 正六角拄
(2). 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面体的四个 顶角上，正四面体的对称操作 包含在立方体操作之中。 绕三个立方轴转动180度 (3)
绕4个立方体对角线轴 (120 和240度，8) 绕三个立方轴 (90和270度+ 中心反演, 6)
绕6条面对角线轴(180度, 6)
设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 来描述 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度, B点转到B’ 点(B’点必有一个格点) A和B两点等价—以通过B点的 轴顺时针转过, A点转到A’点 (A’点必有一个格点) 观对称性
只能有以下十种对称素
1, 2, 3, 4, 6
群
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线 的反演面， 共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中 共2个
群 — 立方点群, 含有48个对称操作 群 — 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 — 立方点群 的24个纯转动操作
群 — 正四面体点群
群—
的12个纯转动操作
群加上中心反演
对称元素为镜面 用 表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
群的概念
群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，
满足如下四个规则:
① 集合 G 中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 .
若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性
对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。
在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对称操
作群的对称元素，比如转动轴，反演中心，反映面
运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。
二. 晶体中允许的对称操作
人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原子做周期性 排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本身对 称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变。晶 体的平移对称性限制了晶体所可能有的点对称操作。
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作
三. 晶体宏观对称性的表述：点群
四. 七个晶系和14种晶体点阵
五. 晶体的微观对称性：空间群
六. 二维情形 七. 点群对称性和晶体的物理性质
黄昆 书 1.5-1.7 节 阎守胜 书 2.2 节
一. 对称性的概念
一个物体(或图形)具有对称性，是指该物体(或图形)是由两 个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作(线性变换)， 各部分调换位置之后整个物体(或图形)保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。 即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操 作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反 演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
第一章 晶体结构
• • • • • §1.1 晶格 §1.2 晶体的对称性 §1.3 典型的晶体结构和表面结构 §1.4 倒易点阵和布里渊区 §1.5 晶体结构的实验研究
黄昆、韩汝琦《固体物理学》第一章
C. Kittel 《固体物理导论》第一章 阎守胜，固体物理基础，第二章
§1.2 晶体的对称性
−������������������������ ������������������������ 0
0 0 −1
(1). 立方体的对称操作
一个物体在某一个正交变换下保持不变 物体的对称操作越多，其对称性越高 (1). 绕三个立方轴转动 (9) (2). 绕6条面对角线轴转动 (6) (3). 绕4个立方体对角线轴转动 (8) (4). 恒等操作/正交变换 (1) + 中心反演 48个对称操作
4. 一个物体绕某一个转轴转动 2������/������ 加上中心反演的联合
操作，以及其联合操作的倍数不变时, 该轴为物体n重旋
转－反演轴，计为������
立方体
立方轴 为4重轴，计为 4
同时也是4重旋转-反演轴，计为 面对角线 为2重轴，计为2
同时也是2重旋转-反演轴，计为
体对角线轴 为3重轴，计为3
a12 a22 a13
a13 x y a23 z a33
a11 a12 Ai j a21 a22 a 31 a32
a13 a23 a33
—— 其中矩阵是正交矩阵
常见对称操作
绕z固定轴的转动: (Rotation)
彭罗斯瓷砖
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数: 1, 1.618
3D Quasicrystal
AlNiCo 衍射图
二十面体AlPdMn表面的STM图像
三. 晶体学点群
点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容，这种 受限制的点群称为晶体学点群(crystallographic point group). 晶体中只有 8 种独立的对称元素： 1, 2,3, 4,6, i, m, 4
只有C1或Ci 唯一C2或CS
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º a=b c = ＝ 90º=120º
点群的熊夫利Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T 和 O Cn: n次旋转轴； Sn: n次旋转-反演轴； Dn: n次旋转轴加上n个与之垂直的二次轴 T: 四面体群； O: 八面体群。 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面；
v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；
晶体的宏观对称只有32个不同类型
四. 7 种晶系和14种布拉菲格子
— 32种点群描述的晶体对称性 — 对应的只有14种布拉伐格子
— 分为7个晶系 — 单胞的三个基矢 沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
14种布拉伐原胞
(1). 简单三斜
C1 , Cs
(2). 简单单斜
② 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A ③ 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E ④ 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
对称操作群
一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定 义。因此一个物体的全部对称操作的集合，构成对 称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部
中心反演(Inversion): 平面反映(Reflection): 恒等操作(Identity operation):
������������������������ ������ ������ = ������������������ = ������������������������ 0 −������������������������ ������������������������ 0 0 0 1
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有 长程平移对称性。 其实准晶可以看作是具有平移对称性的六 维超空间在三维真实空间的投影
2011年度诺贝尔化学奖由以色列科学家达尼 埃尔·谢赫特曼Daniel Shechtman一人获得， 以表彰他在发现准晶体方面的工作。 The 2011 Nobel Prize in Chemistry is awarded to Daniel Shechtman "for the discovery of quasicrystals".
同时也是2重旋转－反演轴，计为
正四面体
立方轴是4重旋转－反演轴
— 不是4重轴
面对角线是2重旋转－反演轴 — 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 — 不是3重旋转－反演轴
对称素 ������ 的含义 先绕轴转动，再作中心反演 A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，
表明对称素������ 存在一个对称面M
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各种可 能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间 的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制，例如，若有 0 两个2重轴，它们之间的夹角只可能是 300 ,450 ,600 ,90 ，可以证 明总共只能有32种不同的组合方式，称为 32 种晶体学点群。 形形色色的晶体就宏观对称性而言，总共只有这 32 种类型， 每种晶体一定属于这 32 种点群之一，这是对晶体按对称性 特点进行的第一步分类。
恒等/正交变换 (1)
金刚石晶格
(3). 正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动 2) 绕对棱中点连线转动 3) 绕相对面中心连线转动 — 3个 — 1个 — 3个 — 5个
4) 恒等/正交变换
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作 —— 正六面柱的对称操作有24个
对称元素
1. “对称元素”—简洁明了地概括一个物体的对称性 2. 对称元素 — 旋转轴、旋转-反演轴、反演中心、反映面 3. 一个物体绕某一个转轴转动 2������/������ ，以及其倍数不变时 该轴为物体n重旋转轴，计为������
d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
晶体的宏观对称只有32个不同类型点群
— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体 回转群
只包含一个旋转轴的点群 — 下标表示是几重旋转轴 双面群 包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个 — 4个
群 群 群
群加上中心反演 群加上反演面 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个