相似三角形综合练习相似与圆(难)

D

C B

A

O M N E H

A B C P E

D H

F O 相似三角形与圆

１．如图,ＡB 是⊙Ｏ直径,E Ｄ⊥ＡB 于Ｄ,交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于Ｃ，CB 交ED 于F ,求证：DG 2=D Ｅ•ＤF

2.如图,弦EF ⊥直径MN 于H ,弦MC 延长线交ＥF 的反向延长线于A ,求证：M Ａ•M Ｃ=ＭB •MD

3.(２００６年黄冈）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧ＡC 上一点，弦ＥD 分别交⊙O 于点E ,交AB 于点H ，交AC 于点Ｆ，过点C 的切线交ＥD 的延长线于点P ． (1)若ＰC ＝PF ,求证：AB ⊥ED ； (２)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ,为什么？

4．如图(1)，AD 是△ABC 的高,A Ｅ是△ＡＢC 的外接圆直径,则有结论：AB · ＡC =A Ｅ· A Ｄ成立,请证明.如果把图（1)中的∠ＡB Ｃ变为钝角，其它条件不变，如图(2),则上述结论是否仍然成立?

D C

B

A O E F

5．如图,AD 是△ABC 的角平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆Ｏ于点E ，过点Ｃ、D 、E 三点的⊙O １与A

Ｃ的延长线交于点Ｆ，连结E Ｆ、DF .

（1)求证：△AEF ∽△F ＥD ； (2）若AD =８，DE ＝４,求ＥF 的长.

6．如图，P Ｃ与⊙O 交于B ,点A 在⊙Ｏ上,且∠PCA ＝∠BAP ． （１)求证：P Ａ是⊙Ｏ的切线. (2)△ABP 和△ＣAP 相似吗？为什么？ （3)若PB ：BC =２:3,且PC =2０，求P Ａ的长．

7．已知：如图， AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥ＡＤ于点Ｅ，交⊙Ｏ于点C ，OE =1,ＢE =8,A Ｅ:AB =1：3. （１)求证：AB 是⊙O 的切线；

(2）点F 是ＡCD 上的一点，当∠ＡOF =2∠Ｂ时，求ＡF 的长．

８．如图,⊿A ＢC 内接于⊙O ，且ＢC 是⊙O 的直径,AD ⊥ＢＣ于D ，F 是弧BC 中点，且A Ｆ交BC 于Ｅ，AB =6,AC ＝8，求ＣD ,DE ,及ＥＦ的长.

9． 已知:如图，在Rt ABC △中,90ACB ∠=，4AC =

,BC =,以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是

BC 的中点，连结OD ，O Ｂ、ＤE 交于点F . （1)求证:DE 是O 的切线; (２)求E Ｆ：F Ｄ的值.

10．如图，A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线

相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． (1）求证：BF EF =;

(2)求证：PA 是O 的切线; (3)若FG BF =,且O

的半径长为求BD 和FG 的长度．

B C E

C

4．答：.连接BE ，证△ＡBE ∽△ADC 图(2)同理可证,结论仍成立; 5．答:.(１)连接ＥC ，可证∠ＤFE ＝∠ＤCE ,又

∠D ＣE ＝∠ＢAE =∠C ＡE ,从而△AEF ∽△FED ;(2)EF

=

６．答：．(1)作直径ＡC '，连接ＢC '，证∠P AC '=9０即可；（２)△ＡBP ∽△CAP ，理由略;（３)P Ａ＝

10．(１)证明:BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，

EB BC ⊥∴.

又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．

易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△. BF CF EF CF

DG CG AG CG ==

∴，. BF EF

DG AG

=

∴. G ∵是AD 的中点，

DG AG =∴.

BF EF =∴．

（２)证明：连结AO AB ，.

BC ∵是O 的直径,90BAC ∠=∴°.

在Rt BAE △中,由（1）,知F 是斜边BE 的中点, AF FB EF ==∴. FBA FAB ∠=∠∴．

又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴． BE ∵是O 的切线,90EBO ∠=∴°．

90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°, PA ∴是O 的切线．

（3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H . BD AD FH AD ⊥⊥∵，, FH BC ∴∥.

由(１)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴.

由已知,有BF FG =,AF FG =∴,即AFG △是等腰三角形． FH AD ⊥∵,AH GH =∴． DG AG =∵,

2DG HG =∴,即

1

2

HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°, ∴四边形BDHF 是矩形,BD FH =.

FH BC ∵∥,易证HFG DCG △∽△． FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===． O ∵

的半径长为

BC =∴

C

1

2

BD BD CD BC BD ===-∴

．

解得BD =

BD FH ==∴．

12FG HG CG DG ==∵

,1

2FG CG =∴． 3CF FG =∴．

在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =， 由勾股定理，得2

2

2

CF BF BC =+.

222(3)FG FG =+∴.

解得3FG =（负值舍去)． 3FG =∴．

［或取CG 的中点H ，连结DH ,则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△， FG HG =∴,故2CG FG =,3CF FG =． 由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，22

33

CD CG FG CB CF FG ===∴

.

2

3=,解得BD =．

又在Rt CFB △中，由勾股定理，得222

(3)FG FG =+，

3FG =∴(舍去负值)．]