二、含时微扰理论

该式是通过展开式
其中
an ( t )n
n
改写而成的
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
ˆ * H ˆ ( t ) d H n mn m 1 mn [ m n ] 微扰矩阵元 Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
假定 H0 的本征 函数 n 满足：
（二）含时微扰理论
ˆ H 0 n n n
i ˆ n H 0 n t
ˆ ( t ) i H t
H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt /] 满足左边含时 S - 方程：
an ( t )n
§2
量子跃迁几率
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（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率

体系的某一状态

m
a m ( t )m
t 时刻发现体系处于 m 态 的几率等于 | a m (t) | 2
am(0) (t) = mk
1 t e i mk t dt H mk i 0
1 i mk t H e dt mk i 0
t
2
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关， 即： t0 0
ˆ ˆ H H ( r ) 0 0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)

(1) ( t ) |2 Wk m | am
|2 sin2 ( 1 4 | H mk t) 2 mk 2 mk 2
sin 2 (x ) lim x 2 ( x )
Wk m
2t |2 ( m k ) | H mk
（4）讨论

n
n
n
n
mn
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，近而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。 （最后令 = 1，即用 H’mn代替 H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
(0) da m
0 dt da (1) m (0) H ˆ e i mn t i a n mn dt n ( 2) da m (1 ) H i ˆ e i mn t an mn dt n
H mk e imk t 1 mk


Fmk e i[ mk ]t 1 e i[ mk ]t 1 [ ] [ ] mk mk
~ ( m k )
（三）简谐微扰
（1）Hamilton 量
于是：
Wk m
2t |2 ( m k ) | H mk
跃迁速率：
k m
Wk m t
2 |2 ( m k ) | H mk
(1) ( t ) am
1 t i mk t H e dt mk i 0
mk H mk 2ie i mk t / 2 sin( 1 t) 2 mk
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。 而且由于 exp[-in t/]|t=0 = 1，于是有：
( 0 ) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) (0) a (1) (0) ] k an a [ a n n n n n n n n n
比较等式两边得
( 0) (0) a (1) (0) nk an n
( 0 ) ( 0) an nk (1) ( 0 ) a ( 2 ) ( 0 ) 0 an n
比较等号两边同 幂次项得：
因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。 t 0 后加入微扰，则第一级近似：
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
d ˆ ( t ) i an ( t ) n an ( t ) H n dt n n
i
n
d ˆ ( t ) a ( t ) a ( t ) H n n n n dt n
（1）引进一个参量，用 H’ 代替 H’（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数；
（3）代入上式并按幂次分类；
( 0) a (1) 2a ( 2) an an n n
( 0) (1 ) ( 2) dam dam dam 2 ( 0 ) a (1) 2 a ( 2 ) ]H ˆ e i mn t i [an n n mn dt dt dt n ˆ e i mn t [a ( 0) 2a (1) 3a ( 2) ]H
am ( t )
( 0) ( t ) a (1) ( t ) am m mk
末态不等于初态时 mk = 0，则
(1) ( t ) am ( t ) am
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为：
(1) ( t ) |2 Wk m | am
(1) ( t ) am

Fmk i
0
t
[e it e it ]e i mk t dt

Fmk i
0
t
[e i[ mk ]t e i[ mk ]t ]dt
i[ mk ]t i[ mk ]t
Fmk e e i[ ] i[ ] mk mk i
(1) ( t ) am
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
H mk i
1 t i mk t H e dt mk 0 i
1


t
0
e i m kt dt

H mk i


mk
mk H mk
H mk
i mk
e
i mk t

t 0
e i mk t / 2 e i mk t / 2 e i mk t / 2
ˆ ( t ) | m | H H mk k
H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征 态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元是：
ˆ [e it e it ] | m | F k
ˆ | [e it e it ] F [e it e it ] m | F mk k
an
(0)(t)
i
(1 ) da m
= n
dt


n
( 0) H ˆ e i mn t an mn
k
(1) dam 1 ˆ eimnt nk H mn dt i n 1 ˆ eimk t H mk i
对 t 积分得： a
(1) m
1 t ˆ imk t e dt H mk i 0
0 ˆ H (t ) ˆ A cos t
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：
t0 t 0
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
t0 t 0
为便于讨论，将上 式改写成如下形式 （2）求 am(1)(t)
0 ˆ H ( t ) ˆ it e it ] F [e
1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁 速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小 范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。 2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。 3. 黄金定则 设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm) dεm，则 跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：
二、量子跃迁
§1 §2 §3
含时微扰理论 量子跃迁几率 光的发射和吸收
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含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
在定态微扰理论中讨论了分立能级的能量和波函数的修 正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定 态 Schrodinger 方程。 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
ˆ (t ) H ˆ H ( t ) H 0
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
极限公式：
sin 2 (x ) lim x 2 ( x )
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim
t
sin 2 ( 1 2 mk t )
1 2
mk 2
m k ( 1 ) 2 ( ) 2 ( m k ) mk 2
2ie i mk t / 2 sin( 1 t) 2 mk

H mk e imk t 1 mk



（3）跃迁几率和跃迁速率
(1) ( t ) |2 Wk m | am
mk
H mk
2
2ie i mk t / 2 sin( 1 t) 2 mk
|2 sin2 ( 1 4 | H mk t) 2 mk 2 mk 2
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：
t0 t 0
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
t0 t 0
为便于讨论，将上 式改写成如下形式
0 ˆ H ( t ) ˆ it e it ] F [e

1 t i mk t ( 1 ) am ( t ) H mk e dt i 0
d m ( m ) k m 2 |2 ( m k ) d m ( m ) | H mk
2 |2 ( m ) | H mk

（三）简谐微扰
（1）Hamilton 量
0 ˆ H (t ) ˆ A cos t
以m* 左乘上式后 对全空间积分
i
n
d * d *H ˆ ( t ) d a ( t ) a ( t ) m n n dt n m n n
d * H ˆ ( t ) e i[ m n ]t / d i an ( t ) mn an ( t ) m n dt n n d ˆ e i mn t i am ( t ) an ( t ) H mn dt n
n
定态波函数 n 构成正交完备系， 整个体系的波函数 可按 n 展开：
代 入
i
t

n
ˆ (t ) an ( t )n H an (t )n
n
d i an ( t ) n i an ( t ) n t n dt n ˆ ˆ ( t ) a ( t ) H a ( t ) H n 0 n n n 相 ˆ i n H 0 n n n 消 t