二、含时微扰理论
量子力学第9章-含时微扰
ˆ ˆ H(t) = H0 + H′(t)
量与时间有关， 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。 含时微扰理论可以通过 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
比较等式两边得
(0 (1 δnk = an )(0) +λan )(0) +⋯
(0 an )(0 =δnk ) (1 (2 an )(0 = an )(0 =⋯ 0 ) ) =
n
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
(0 (1 (2 an = an ) +λan ) +λ2an ) +⋯
∑
n
n
n
n
m n
零级近似波函数 am 不随时 d m) a(0 间变化， = 0 间变化，它由未微扰时体系 (4)解这组方程 解这组方程， (4)解这组方程，我们可得到关于 所处的初始状态所决定。 所处的初始状态所决定。 t d 的各级近似解， an 的各级近似解，从而得到波函 d (1) am (0 ˆ ′ 的近似解。实际上， 数 Ψ 的近似解。实际上，大多数 iℏ n = ∑ an )H neiωm t m d t 情况下，只求一级近似就足够了。 情况下，只求一级近似就足够了。 n a(2 1， （最后令 λ = 1，即用 H’mn代替 d m) (1 ˆ ′ n iℏ = ∑ an )H neiωm t m d t n λ H’mn，用a m (1)代替 λa m (1)。） ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯
第五章微扰理论
2b 2 2 nπx 2b nπx ( 0 )∗ (0) = ∫ψ n H 'ψ n dx = − sin dx + sin 2 dx ∫ ∫ a 0 a a a a 0
a a 2 nπ
a
2b ＝− nπ
＝−
2b sin ydy + ∫ nπ 0
2
2
nπ
n
∫ sin π
2
2
ydy ⎞ ⎟＝0 。 ⎠
−n
2 3
)
[1 − (− 1) ] sin mLπ x
m+ n
。
⎧− b,0 ≤ x ≤ a / 2, 例 4、粒子处于宽为 a 的一维无限深势阱中，若微扰为 H ' = ⎨ 试求粒子 ⎩ b, a / 2 ≤ x ≤ a, ，
能量和波函数的一级修正。 解： （1）能量的一级修正，按公式
E
(1) n
m+ n
−1
] [
，
所以波函数的一级修正为：
(1) (x ) = ψn
∑
m
'
2 μL2 4 Lamn (− 1)m+ n − 1 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 π h (n − m ) (m − n ) π
]
2 mπ sin x L L
4
8μL3 an ＝ 4 2 π h
2 L
∑
m
'
(m
m
2
2
。
E ( 0) + b a ⎞ ( 0) ˆ ( 0) 表象中的表示为 H = ⎛ ⎜ 1 ⎟ ，其中 E1 例 1、设体系的哈密顿在 H , E (20) 为 (0) ⎜ a ⎟ E2 + b⎠ ⎝
微扰理论讲义
（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令： H’ = λH(1)只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方
程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而 已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把 H(1) 理解为H’ 即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出 这一小量。
要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到
微扰理论适用条件是：
H m n
1
En(0) Em(0)
En(0) Em(0)
这就是本节开始时提到的关于 H’ 很小的明确表示式。当这一
条件被满足时，由上式计算得到 的一级修正通常可给出相当精确 的结果。
H m n
E (0) n
E (0) m
1
E (0) n
四 微扰理论适用条件
总结上述, 在非简并情况下，受扰动体系的 能量和态矢量分别由下式给出：
En En(0) H nn mn
| H m n |2 En(0) Em(0)
| n
|
(0) n
mn
H m n En(0) Em(0)
|
(0 m
)
欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知
道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能
|
(0) n
m
H nm
E (0) n
E (0) m
|
(0) m
三、二级微扰
E ( 2) n
m
| Hm n |2
E (0) n
E (0) m
在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：
En
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。
个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
含时薛定谔方程的微扰理论
dbm i 0 bk exp(i( Em Ek0 )t / ) H 'mk dt k
0 假定初始态（t=0)为静态 n
0 0 ψ exp(iEn t / ) n
则 如果微扰很 小，bk变化 很小 t=0 to t’
bk (0) kn
dbm i 0 0 exp( i ( Em En )t / ) H 'mn dt
dbk exp(iEk0t / ) k0 Ek0bk exp(iEk0t / ) k0 i k dt k
dbk 0 0 0 ˆ b exp( iE t / ) H ' exp( iE t / ) k k k k i k dt k
引入微扰
ψ 0 ˆ ˆ ( H H ' )ψ i t
0 0 ψ bk (t )ψ 0 b ( t ) exp( iE t / ) k k k k k k
代入含时薛定谔方程
0 0 0 0 0 ˆ b exp( iE t / ) E b exp( iE t / ) H ' k k k k k k k k k
E Ei
i i j
1928
1 | j |2 | i |2 d i d j Ei J ij rij i i j
Hartree-Fock Self-consistent-field method 波函数考虑自旋； Slater 行列式
i i j i i j
可以 忽略
bm (t ' ) mn
i ( mn ) t ' i ( mn ) t ' e 1 e 1 0 0 m Qi xi n [ ] 2i mn mn i
第五章微扰理论
∵ r < a = 10 −15 m, ∴ e
E1( 0) − es2 = ≈ −13.6eν 2 a0
≈1
(0) 微扰使能级较 E1 有微小的提高。
如果设核是电荷均匀分布的小球
e2 3 1 r 2 − s( − ) 2 a 2 2a U (r ) = 2 − e s r
µes4
a0
为Байду номын сангаас尔半径
(0 ˆ (0 ′ E1(1) = H11 = ∫ψ 100)* H ′ψ 100)*dτ
4π = 3 πa0 4es2 ≈ 3 a0
∫ ∫
a
−
0 a
e
2r a0
es2 es2 2 ( − )r dr r a
0
1 1 2 ( − )r dr r a
a = 10 −15 m 为球壳半径，
- E )a
/
(0) m
(1) m
′ = H mn
a
(1) m
′ H mn = ( 0) (0) En - Em
（10）
(1) n
=∑
m
′ H mn ( ψ m0 ) ( ( En0 ) - Em0 )
m≠ n
( / ′ En = En0 ) + H nn + ∑ m
′ H nm E
(0) n
2 (0) m
并
( ψ m0 )*ψ l( 0 ) dτ = δ ml ∫
∴
∑E a
/ l
(0) n
0 (1) l l ml
( ( δ - El0 ∑ l(1)δ ml = -∫ψ m0 )* H ′ψ n0) dτ a
l
′ 令 H mn =
量子力学概论第9章 含时微扰理论
9.3 自发发射
9.3.1 爱因斯坦A，B系数 9.3.2 激发态寿命 9.3.3 选择定则
9.3.3 选择定则
图9.6 氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
第9章 含时微扰理论
9.1 二能级系统 9.2 辐射的发射与吸收 9.3 自发发射
9.1 二能级系统
9.1.1 微扰体系 9.1.2 含时微扰理论 9.1.3 正弦微扰
9.1.3 正弦微扰
图9.1 在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率(式9.28)
图9.2 作为驱动频率函数的跃迁概率(式9.28)
9.2 辐射的发射与吸收
9.2.1 电磁波 9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射 9.2.3 非相干微扰
2.1 电磁波
图9.3 电磁波
9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射
图9.4 光与原子作用的三种方式 a)吸收 b)受激发射 c) 自发发射
9.2.3 非相干微扰
图9.5 对做平均时的轴
含时微扰理论91二能级系统92辐射的发射与吸收93自发发射91二能级系统911微扰体系912含时微扰理论913正弦微扰913正弦微扰图91在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率式928图92作为驱动频率函数的跃迁概率式92892辐射的发射与吸收921电磁波922吸收受激辐射和自发辐射923非相干微扰921电磁波图93电磁波922吸收受激辐射和自发辐射图94光与原子作用的三种方式a吸收b受激发射自发发射923非相干微扰图9593自发发射931爱因斯坦ab系数932激发态寿命933选择定则933选择定则图96氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
含时微扰戴森级数法
n ei(/c)(nˆ x) ˆ p i
|2 (En Ei
)
二、电偶极近似
由于 Ze2 , 1
Ratom c
有电偶极近似：
Ze2 Z ; Ratom Z Z /137 1
cRatom Ratom
利用
，
得电偶极近似下：
abs
4 2 me2
e2 ()
c
n ei(/c)(nˆ x) ˆ p i
|2 (En Ei
)
求和规则
总吸收截面：
振子强度
Thomas-Reiche-Kuhn求和规则：
n px i imni n x i
fni 2m ni n x i 2 2m ni n x i i x n
n
n
n
1
n
1 i
n
px
i
i x n 1
n
1 n x i i i px n
c(0) i
1;
c(1) i
i Vii
lim
0
i
Viiet
c(2) i
( i )2
m
Vmi 2
dt 'e e t
t 'imit ' t 'iimt '
imi
( i )2
Vii
2
e2t
2 2
i
mi
Vmi
2(Ei
2 e2t Em i
)
ci
i Vii
( i )2
ik f
x Zr a0
i nˆ x c
Z 3/2ˆ k f
(La0 )3/2
dx e e 3
i(k f
nˆ ) c
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
量子力学中的微扰论
第一章近似方法无论是经典力学还是量子力学，可以严格求解的物理系统总是少数。
如在经典力学中，两个物体在万有引力作用下运动，即二体问题是可以严格解的，解出来就是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力，它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。
19世纪末，法国数学家彭加勒证明了三体问题是不可解的，或说是不可积的，即无法表示为一个轨道的方程甚至无法表示为一个不定积分。
彭加勒证明：对可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。
实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。
为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理。
在什么情况下使用什么样的近似方法，考虑哪些因素，忽略哪些因素，取舍之间蕴涵着丰富的物理内容。
如：经典力学中的三体问题，通常使用微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰来处理。
譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。
月亮对地球轨道也有影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。
微扰论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。
量子力学处理的是微观粒子，而实际问题大多包含多个微观粒子，因此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于——多体性。
对于具体物理问题的薛定谔方程，能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的问题很少。
在通常遇到的许多问题中，由于系统的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解，只能求近似解。
因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。
近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数，因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重要。
变分法求基态能量的步骤
似。（15）式成立的条件是：Wkm (t) 1 (k m) 即跃迁几率很小，体系保持在初始状态的几率很大，
4、例题：
一维带电谐振子，电量为q，t 时刻处于基态。 设微扰 H ' q xet2 /2，ε为外电场强度，τ 为参数。求
W
am (t) 2
am (t)
2
(m)d m
(1)
m
显然， (m)不可能处处非0。
2、
am
(t)
1 i
t 0
H
' mk
eimk
t
'dt
'
H
' mk
eimkt 1
mk
(2)
am (t) 2
H
' mk
2
(eimk t
1)(e imk t
§5.7跃迁几率
一、H ' 仅在 t (0,t) 时间间隔内作用，在此时间内 H ' 不含时间，初态 k 是分立的，而最终时连续分布 （如：电离）活近与连续分布的（n大）。
1、终态：能量 m m dm之间的末态数目：即 以 (m)表示末态的态密度。这样，从初态到末 态的跃迁几率是各种可能的跃迁几率之和：
dt
从k m （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能
量变化
2、含时微扰下的schr.eq.
体系波函数Ф 应满足schr.eq; i H (t) (2)
t
H(t) 中的 H 0 不含t，本征函数 n 已知：
天津大学《量子化学》变分法与微扰理论
Hˆi Ei
其中本征函数系 i 0,1,2,,i ,i1,
构成正交归一的完备系：
i* jd ij
则任一满足体系的边界条件的品优函数都可按 {i}展开：
cii
i
则当体系的状态为时的平均能量为：
E
*Hˆd *d
E0
上式称为能量最低原理：用任何品优波函数通
从而导致各种不同类型的变分处理方案。
例如选择多参数作变分，令尝试变分函数为
(1,2,…)，其中1,2等为变分参数，则
W
E
1, 2, Hˆ 1, 2, 1, 2, 1, 2,
求W对1，2，…的偏导数：W1
W
2
0
可求得当W 取最低值W0时1，2等的数值。W0
与相应的0即为基态能量与波函数的近似值。
j
即有线性方程组
H11 WS11 c1 H12 WS12 c2 H1n WS1n cn 0 H21 WS21 c1 H22 WS22 c2 H2n WS2n cn 0
Hn1 WSn1 c1 Hn2 WSn2 c2 Hnn WSnn cn 0
改写成矩阵形式，得
H11 H 21
过计算能量的平均值E可给出基态能量E0的上
限，相应的波函数也最接近真实的基态波函数 0 。
2. 变分法
a) 有可能找到许多满足边界条件的函数作为
尝试变分函数。问题在于如何找到一个尽 可能接近真实状态的波函数？
b) 通常是在所选择的尝试变分函数引入变分
参量，由此求出体系基态平均能量的表达
式为：
W
E
Hˆ
E0
c)
然后利用数学分析中的求极值的方法：W
0
含时微扰理论
含时微扰理论含时微扰理论是量子力学中的重要概念，用于描述系统在外部扰动下的演化过程。
它是对系统的哈密顿量进行微小、有限时间的扰动，从而得到系统的演化方程和一系列重要的物理量。
本文将介绍含时微扰理论的基本原理、应用以及与其相关的一些重要概念。
一、基本原理含时微扰理论是建立在微扰理论的基础上的，而微扰理论是量子力学的重要工具，用于处理系统的哈密顿量具有小扰动的情况。
在含时微扰理论中，我们考虑系统在某个初始态下，受到一个含时外场的作用，即哈密顿量在时间上发生了变化。
我们通过对系统的哈密顿量进行展开，得到系统的演化方程，并计算一系列物理量的期望值。
二、含时微扰理论的应用含时微扰理论在理论物理研究中有广泛的应用。
其一，在量子力学中，它可以用来描述原子和分子在弱外场下的响应行为，比如激光的原子吸收和辐射等。
其二，在凝聚态物理中，含时微扰理论可以用来描述晶体中电子的运动和输运行为。
其三，在核物理中，它可以用来研究核反应和衰变等过程。
除了这些应用，含时微扰理论还被广泛应用于量子信息、量子计算和量子光学等领域。
三、相关概念在含时微扰理论中，有一些重要的概念需要了解。
首先是微扰项的选择，通常我们选择比较简单的形式，比如线性扰动或二次扰动。
其次是系统的响应函数，它描述了系统在外场作用下的响应情况。
响应函数的计算可以借助于微扰展开，通过对微扰项的逐级递推计算，得到系统的响应。
最后是含时微扰理论的有效性和局限性，对于强场或长时间的扰动，微扰理论可能不再适用，此时需要考虑更加复杂的方法。
综上所述，含时微扰理论是量子力学中的重要概念，能够描述系统在外部扰动下的演化过程。
它有着广泛的应用领域，可以用于研究原子、分子、凝聚态物理和核物理等。
在应用含时微扰理论时，我们需要选择适当的微扰项、计算系统的响应函数，并注意其有效性和局限性。
通过对含时微扰理论的研究，我们可以更好地理解量子系统的演化行为，推动理论物理的发展。
量子力学习题解答-第9章
4. 选 择 定 则 ： 在 光 波 作 用 下 ， 要 实 现 原 子 在 y nlm y 与 n'l'm' 态 之 间 的 跃 迁 ， 必 须 满 足
y r y nlm
n 'l 'm'
¹ 0 的条件，不能实现的跃迁称为禁戒跃迁。要使矩阵元不为零，两态之间的
角量子数和磁量子数必须满足
Dl = l' - l = ±1, Dm = m' - m = 0, ±1。
=
2 H b¢a ihw
iw 0 t
e2
sin
æ çè
wt 2
ö ÷ø
得到：
ca
2
+
cb
2
=
cos2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
æ çè
w0 w
ö2 ÷ø
sin2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
4 H a¢b h 2w 2
2
sin 2
æ wt çè 2
ö ÷ø
=
cos2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
éæ êêëçè
由初始条件 ca (-e )
= 1 Þ c&b (t) t=-e
sin
æ çè
wt 2
öù ÷øúû
由 cb
( 0)
=
0
得： C4
=
iw0 w
，所以
ca
(t)
=
e-
i 2
w0
t
éêëcos
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
微扰理论
微扰理论 (量子力学)维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法于量子力学。
当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。
基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。
假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。
这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。
不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依于时间，详见含时微扰理论。
本篇文章只讲述不含时微扰理论。
此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。
目录[隐藏]∙ 1 微扰理论应用∙ 2 历史∙ 3 一阶修正∙ 4 二阶与更高阶修正∙ 5 简并∙ 6 参阅∙7 参考文献∙8 外部链接[编辑]微扰理论应用微扰理论是量子力学的一个重要的工具。
因为，物理学家发觉，甚至对于中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛定谔方程的精确解。
我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。
这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。
应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
例如，通过添加一个微扰的电位于氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
应用微扰理论而得到的解答并不是精确解，但是，这方法可以计算出相当准确的解答。
假若我们使展开的参数变得非常的小，得到的解答会很准确。
通常，解答是用有限数目的项目的的幂级数来表达。
[编辑]历史薛定谔在创立了奠定基石的量子波力学理论后，经过短短一段时间，于 1926 年，他又在另一篇论文里，发表了微扰理论[1]。
量子力学第五章微扰理论
。
(1) n al(1) l(0) l 1
上式可以选取 a (1)
n
( ，使得展开式中不含 n0) 项，即 0
( ( 使 an1) n0) 0 ，则上展开式可改写为
8
( n1) al(1) l(0) l n
or
(1) n al(1) l(0) l
五、求非简并定态微扰步骤 ˆ 1 写出体系的哈密顿算符 H n En n ˆ ˆ ˆ 2 把哈密顿算符写成 H H (0) H
( ˆ ˆ 3 写出或求出 H (0) 的本征值与本征函数 En0) 及 ψ n H ˆ H ( ( ˆ ( 4 利用 En1) n0 )* H n0 ) d H nn 及 H mn (1) ( n m0) 求能级及波函数的一级近似 ( ( En0) Em0) m n
0: 1:
ˆ ( H (0) En(0) ) n(0) 0 ˆ ˆ ( H (0) En(0) ) n(1) ( H (1) En(1) ) n(0)
ˆ ˆ 2: ( H (0) En(0) ) n(2) ( H (1) En(1) ) n(1) En(2) n(0)
求零级近似波函数
组 Cij0 的值，即可求得零级近似波函数
将能量一级修正 En1的 k 个根分别代回方程（4），可得 k
nj0 C ji0i
i
(7)
17
即
(1) ' H '11 Enj H 12 (1) H '21 H '22 Enj H' H 'k 2 k1
2 2 e2 ˆ H 2m r
微扰理论及其应用
渤海大学本科毕业论文（设计）含时微扰理论及其应用Time-dependent perturbation theory and its application学院（系）：数理学院物理系专业：物理学（师范）学号：10030009学生姓名：庞涛入学年度：2010指导教师：韩萍完成日期：2014 年5 月5 日渤海大学Bohai University摘要在量子力学中，精确求解薛定谔方程是很困难的，一般只能求近似解，应用微扰理论可以求得近似解。
学好微扰理论在以后的学习中具有很大帮助。
微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。
在量子力学中，含时微扰理论研究的是一个量子系统的含时微扰所产生的效应.该理论是由英国物理学家狄拉克首先提出和发展建立起来的。
应用含时微扰理论可以近似的计算出有微扰时的波函数，从而计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。
含时微扰包括常微扰和周期微扰，在这两种微扰作用下，得到的结果是不同的，我们分析计算了在常微扰和周期微扰两种微扰作用下的跃迁概率，得到了一些结论。
在常微扰作用下时，我们得到了一个重要公式，该公式被称为费米黄金定则。
常微扰是只在一段时间内起作用，时间足够长的话，则跃迁概率与时间无关；而通过计算无微扰体系在周期微扰作用下的跃迁概率，得出的结论是周时，期微扰的频率只有在一定范围内，才会发生跃迁。
只有当外界微扰含有频率mk才会出现明显跃迁。
此外，我们还讨论了光的发射和吸收，给出了偶极跃迁的选择定则。
最后对激光的产生和激光的应用进行了介绍。
关键词：选择定则；含时微扰；跃迁概率；黄金规则Time-dependent perturbation theory and its applicationAbstractIn quantum mechanics, the exact solution of Schrodinger equation is very difficult, generally only approximate solutions, using the perturbation theory can be obtained the approximate solution. To learn a great help to the perturbation theory of learning in the future. Perturbation theory is divided into two categories, not the time-dependent perturbation theory and time-dependent perturbation theory.In quantum mechanics, the time-dependent theory of perturbation is the effect of a quantum system with time-dependent perturbation generated. This theory was first proposed and developed by the British physicist Dirac. Calculated using time-dependent perturbation theory can be approximated by a wave function perturbation, thus calculated without perturbation system under the perturbation induced by a quantum state transition to the transition probability of another quantum state. The time-dependent perturbation included regular perturbation and periodic perturbation, in which two kinds of perturbations, the result is different, analysis of transition probability in constant perturbation and periodic perturbation two perturbation effect was obtained by us, some conclusions were obtained. In the constant under perturbations, we obtain a formula, the formula is called the Fermi golden rule. The perturbation is often work only in a period of time, time is long enough, the transition probability is independent of time; and through the calculation of transition probability without perturbation system in the period under perturbations, it was concluded that the periodic perturbation frequency only in a certain range, the transition will occur. Only when the external perturbation with frequency, will appear obvious transition. In addition, we also discuss the emission and absorption of light, gives the dipole transition selection rule. Application of laser and laser produced finally is introduced in this paper.Key Words：Selection rule；time-dependent perturbation；transition probability；The golden rule目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 含时微扰理论的概述 (2)1.1 含时微扰理论下的薛定谔方程 (2)1.2 跃迁概率 (3)2 常微扰和周期微扰 (5)2.1 跃迁概率和费米黄金定则 (5)2.2 周期微扰 (7)3 含时微扰理论的应用 (10)3.1 光的发射和吸收 (10)3.1.1 爱因斯坦的发射和吸收系数 (10)3.1.2 用微扰理论计算发射和吸收系数 (11)3.2 选择定则 (14)3.3 典例分析 (16)4 激光简介 (18)4.1 激光的产生 (18)4.2 激光的应用 (19)结论 (21)参考文献 (22)引言在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以准确求解的问题是很少的，一般只能求近似解。
量子力学 微扰理论
Hψ = Eψ
(5.1.1)
满足下述条件:
(1) H 可分解为 H (0) 和 H ' 两部分，而且 H ' 远小于 H (0)
H = H (0) + H ' H ' << H (0)
(5.1.2) (5.1.3)
（5.1.3）式表示， H 与 H (0) 的差别很小， H ' 可视为加于 H (0) 上的微扰。（5.1.3）式的严格意义将
(2) n kn
l≠k
(5 .1 .26)
当 n = k 时，考虑到 an(1) =0 由(5.1.26)式得
∑ ∑ En(2)
=
al(1)
H
' nl
l≠n
=
l≠n
H
' ln
H
' nl
E
(0) n
−
El(0)
∑H
' ln
2
=
l≠n
E
(0) n
−
El(0)
当 n ≠ k 时，由(5.1.26)式得
∑ a
n
n
=
−(
H
'−
E
(1) n
)ψ
(1) n
+
ψ E (2) (0) nn
……
(5.1.10)
零级近似显然就是无微扰时的定态薛定谔方程(5.1.4)式。同样，还可以列出准确到 λ3 , λ4 ,…等
各级的近似方程式。
1．一级微扰
求一级微扰修正只需求解(5.1.9)式。由于
H
(0)
厄米，
H
(0)
的本征函数系{ψ
以求出（5.1.11）式的展开系数，以ψ
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以m* 左乘上式后 对全空间积分
i
n
d * d *H ˆ ( t ) d a ( t ) a ( t ) m n n dt n m n n
d * H ˆ ( t ) e i[ m n ]t / d i an ( t ) mn an ( t ) m n dt n n d ˆ e i mn t i am ( t ) an ( t ) H mn dt n
an
(0)(t)
i
(1 ) da m
= n
dt
n
( 0) H ˆ e i mn t an mn
k
(1) dam 1 ˆ eimnt nk H mn dt i n 1 ˆ eimk t H mk i
对 t 积分得： a
(1) m
1 t ˆ imk t e dt H mk i 0
1 i mk t H e dt mk i 0
t
2
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关， 即： t0 0
ˆ ˆ H H ( r ) 0 0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
极限公式：
sin 2 (x ) lim x 2 ( x )
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim
t
sin 2 ( 1 2 mk t )
1 2
mk 2
m k ( 1 ) 2 ( ) 2 ( m k ) mk 2
n
n
n
n
mn
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，近而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。 （最后令 = 1，即用 H’mn代替 H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
(0) da m
0 dt da (1) m (0) H ˆ e i mn t i a n mn dt n ( 2) da m (1 ) H i ˆ e i mn t an mn dt n
§2
量子跃迁几率
返回
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
体系的某一状态
m
a m ( t )m
t 时刻发现体系处于 m 态 的几率等于 | a m (t) | 2
am(0) (t) = mk
1 t e i mk t dt H mk i 0
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：
t0 t 0
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
t0 t 0
为便于讨论，将上 式改写成如下形式
0 ˆ H ( t ) ˆ it e it ] F [e
1 t i mk t ( 1 ) am ( t ) H mk e dt i 0
ˆ (t ) H ˆ H ( t ) H 0
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁 速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小 范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。 2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。 3. 黄金定则 设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm) dεm，则 跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：
（1）引进一个参量，用 H’ 代替 H’（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数；
（3）代入上式并按幂次分类；
( 0) a (1) 2a ( 2) an an n n
( 0) (1 ) ( 2) dam dam dam 2 ( 0 ) a (1) 2 a ( 2 ) ]H ˆ e i mn t i [an n n mn dt dt dt n ˆ e i mn t [a ( 0) 2a (1) 3a ( 2) ]H
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
d ˆ ( t ) i an ( t ) n an ( t ) H n dt n n
i
n
d ˆ ( t ) a ( t ) a ( t ) H n n n n dt n
(1) ( t ) am
Fmk i
0
t
[e it e it ]e i mk t dt
Fmk i
0
t
[e i[ mk ]t e i[ mk ]t ]dt
i[ mk ]t i[ mk ]t
Fmk e e i[ ] i[ ] mk mk i
2ie i mk t / 2 sin( 1 t) 2 mk
H mk e imk t 1 mk
（3）跃迁几率和跃迁速率
(1) ( t ) |2 Wk m | am
mk
H mk
2
2ie i mk t / 2 sin( 1 t) 2 mk
|2 sin2 ( 1 4 | H mk t) 2 mk 2 mk 2
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。 而且由于 exp[-in t/]|t=0 = 1，于是有：
( 0 ) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) (0) a (1) (0) ] k an a [ a n n n n n n n n n
0 ˆ H (t ) ˆ A cos t
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：
t0 t 0
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
t0 t 0
为便于讨论，将上 式改写成如下形式 （2）求 am(1)(t)
0 ˆ H ( t ) ˆ it e it ] F [e
ˆ ( t ) | m | H H mk k
H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征 态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元是：
ˆ [e it e it ] | m | F k
ˆ | [e it e it ] F [e it e it ] m | F mk k
am ( t )
( 0) ( t ) a (1) ( t ) am m mk
末态不等于初态时 mk = 0，则
(1) ( t ) am ( t ) am
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为：
(1) ( t ) |2 Wk m | am
n
定态波函数 n 构成正交完备系， 整个体系的波函数 可按 n 展开：代 入i Nhomakorabea t
n
ˆ (t ) an ( t )n H an (t )n
n
d i an ( t ) n i an ( t ) n t n dt n ˆ ˆ ( t ) a ( t ) H a ( t ) H n 0 n n n 相 ˆ i n H 0 n n n 消 t
(1) ( t ) am
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
H mk i
1 t i mk t H e dt mk 0 i
1
t
0
e i m kt dt
H mk i
mk
mk H mk
H mk
i mk
e
i mk t
t 0
e i mk t / 2 e i mk t / 2 e i mk t / 2
二、量子跃迁
§1 §2 §3
含时微扰理论 量子跃迁几率 光的发射和吸收
§1
含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
在定态微扰理论中讨论了分立能级的能量和波函数的修 正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定 态 Schrodinger 方程。 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
(1) ( t ) |2 Wk m | am
|2 sin2 ( 1 4 | H mk t) 2 mk 2 mk 2
sin 2 (x ) lim x 2 ( x )
Wk m
2t |2 ( m k ) | H mk
（4）讨论
该式是通过展开式
其中
an ( t )n
n
改写而成的
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
ˆ * H ˆ ( t ) d H n mn m 1 mn [ m n ] 微扰矩阵元 Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：