2.1.1参数方程的概念

2.1.1
参数方程的概念
1、参数方程的概念：
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
提示： 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
求参数方程的步骤: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
x 3t , 例1、已知曲线C的参数方程 (t为参数) 2 y 2t 1. (1)、判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3 (6, a)在曲线C上，求a的值。
x sin 2、方程 ,( 为参数）所表示的曲Baidu Nhomakorabea上一点的坐标是 y cos
（ D ）
1 1 1 2 ( A、（2，7）；B、 , ); C、( , ); D、（1，0） 2 2 3 3
例2.动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y 2 12t
求参数方程的步骤: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一 点的坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), y g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
y 500
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
x 1 5t y 2 12t
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （2） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
o
x
1、参数方程的概念：
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
x 100t , 1 2 y 500 2 gt . 令y 0, 得t 10.10s. o x 代入x 100t , 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
解：
(2)、因为点M 3 (6, a)在曲线C上，所以
6 3t 解得t 2, a 9 2 a 2t 1 所以，a 9
练习
x 1 t2 1、曲线 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
25 ( A、（1，4）；B、 , 0); C、(1, 3); 16 25 D、 ( , 0); 16
解：)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 (1 所以M 1在曲线C上。 5 3t 把点M 2 (5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1 这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
x 3t , 例1、已知曲线C的参数方程 (t为参数) 2 y 2t 1. (1)、判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3 (6, a)在曲线C上，求a的值。