2.1.1参数方程的概念
参数方程
x 3 cos y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + 2
13 。
） 4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
参数方程的定义,互化
（ 2) x y 1 si n sin 2 cos(为 参 数 ）
解 ： ( 2 ) 把 x s i n c o s 平 方 后 减 去 y 1 s i n 2 得 到 x 2 y ,
又 xsincos2sin(),
y
4
x[ 2, 2],
与 参 数 方 程 等 价 的 普 通 方 程 为 ：
16
)
B
( 25 ,0); 16
2、方程 yxcsions(为参所数表）示的曲线上一点的坐标是
（）
D
Байду номын сангаас
A、（2，7）；B、
( 1 C, 、2 ) ; 33
( D1 、, （1 )1;，0） 22
B
11
3.参数方程和普通 方程的互化
B
12
由 参 数 方 程 xy csions3,(为 参 数 )直 接 判 断 点 M的 轨 迹 的
解得：t=2,a=9
∴a=9 B
6 3t,
a
2t
2
1.
8
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t,
y
2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
o
xB
4
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救援
物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹
方程？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
参数方程的意义汇总
1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
数学运用
例1、如图，以O为圆心，分别以a,b为半径(a>b>0) 作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于M，N两点， 自M作MT ox，垂足为T，自N作NP MT , 垂足为P, 求点P的轨迹 参数方程.
小结： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （2） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所 确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2） 就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变 数t叫做参变数，简称参数。
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 确定投放时机呢？
y 500
垂直高度为y，所以 x 100t , （g=9.8m/s2 ) 1 2 y 500 gt . 2
令y 0, 得t 10.10s. 代入x 100t , 得 x 1010m.
o x 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为 1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), （2） y g (t ).
参数方程的意义
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 确定投放时机呢？
参数方程的概念
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？
观察1
如果点P的坐标为 x, y ),圆半径为 , P0OP ( r , 根据三角函数定义点P的横坐标 、 , x 纵坐标y都是的函数,即
P(x,y)
5
x r cos y r sin
r
①
o
p0
5
-5
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点P(x,y),都在圆O上.
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2
sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为 x 3 cos
y 2 sin
x 3t 已知曲线C的参数方程是2 y 2t 1 (1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
§2.1.1参数方程的概念-教案
课题：§2.1.1参数方程---参数方程的概念（第一课时）吴代军（恩施高中.恩施市445000 ）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为北师大2003课标版《选修4-4》第二讲“参数方程”的起始课《参数方程的概念》，课本中给出的问题情境是“投铅球”，由于涉及投掷点的高度问题，对学生而言难度略大，从而构置学生熟悉的运动项目--“跳远”这一情景，层层深入的探究“跳远”这一运动项目的数学内涵，较为自然的生成“参数方程概念”，比较参数方程和普通方程在研究同一问题的数学直观与简洁美，通过学生生活问题数学抽象，再经过严密的逻辑推理，建立恰当的数学模型，进行合理的数学运算，进而培养学生良好的数学素养.2.2019年考试说明和教学大纲考试说明指出：要求学生“了解参数方程并了解参数方程参数的意义”，在对学生的能力层次要求上属于“了解”的程度，这就要求学生能根据问题的条件，学会引进恰当的参数建立参数方程，体会具体问题中参数的意义.f x y教学大纲指出：参数方程不仅可表示曲线，还可描绘事物运动变化的规律，对于较难建立(,)0的方程用参数方程描绘,x y间的联系更为方便，这就让我们感受到了学习参数方程的必要性。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：根据问题情境和题设条件引入合适的参数，建立参数方程，并体会参数的意义.3．学生学情诊断课堂主体对象为湖北省重点中学、省级示范高中恩施高中，学生有较强的探究意识和学习能力，基于本节内容为学生对函数关系、运动变化、实际问题的建模已经有较为深刻的认知，已经学习了“曲线与方程”，探究动点轨迹方程有理性的认识，由此对本节课“参数方程的概念”的知识建构作了较好的铺垫.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：根据具体问题选取恰当的参数，建立曲线的参数方程，确定参数的范围.4．教学策略分析本课型为概念课，旨在通过实际情景问题的内涵挖掘，呼朋引伴式的合作与探究，从而达成对“参数方程的概念”新知的建构．在较强的生活背景下将本课时的帷幕渐渐拉开、循序渐进而又螺旋上升的感悟中生成知识，学生体会到数学源于生活，数学是有用的，展“为有源头活水来”之美．鉴于上述分析，本节课的教学策略确定为：情境教学法、发现式教学、启发式教学，为激发学生的学习兴趣，提升课堂效率,增强直观形象，需采用视频投放、实物投影仪、PPT.5．教学基本流程反思凝练)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧=-=αα二．课堂实录6.1 情境创设奥运会的田赛项目急行跳远起源于古希腊奥林匹克运动，首先，我们欣赏一个急行跳远的视频片段，请同学们猜想这样一个问题：若某运动员初速度0v 一定的情况下，以多大的倾斜角α起跳，会跳得更远呢？ 你能建构这一运动轨迹的函数关系(,)0f x y =吗？【设计意图】创设学生熟悉的运动项目“急行跳远”作为引入，从而激发学生兴趣；通过分析“急行跳远”这一运动项目，发现由于水平位移量x 和高度y 是两种不同的运动合成，因此直接建立,x y 所要满足的函数关系式很困难，从而可建立水平位移量x 和高度y 两个方向上的等量关系，比直接列出x ，y 的函数关系要方便得多，为引出“参数方程”的必要性做好铺垫.并为学生对北师大版习题2-1的第一题“摩托车飞跃黄河”这一实际问题的参数方程的刻画有了初步的认知.6.2 第一篇章 追本溯源直观想象 猜想验证为此，我们建立以起跳点为坐标原点的直角坐标系（如此建系较为直观），据物理学可知，以初速度0v ，与水平方向成α起跳后，其运动轨迹由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的反向重力加速度而合成，易得：同学能否验证自己的猜想呢？能否通过逻辑推理证明自己猜想的真伪？【设计意图】通过对“急行跳远”这一情景的挖掘，让同学们提出数学猜想、并通过逻辑推理验证自己的猜想，从而收获学习的乐趣，提升我们学生的数学核心素养；更为重要的是，从而为引出“参)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-⋅=αα数方程的概念”埋下伏笔.探中抽知 新知生成通过对“急行跳远”的探究，你能求它的普通方程么？通过对比研究我们发现了什么？参数方程的定义：如果曲线C 上任意一点P 的坐标y x ,都可以表示为变量t 的函数：{)()(t f x t g y ==， 反之，对于t 的每一个允许值，由函数式{)()(t f x t g y ==所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，则方程：{为参数）（t t f x t g y )()(==叫做曲线C 的参数方程,变量t 为参数.相比参数方程而言，直接给出坐标y x ,的关系称为普通方程.注：1、一般地，参数（...,,θαt ）是有条件限制的；2、参数是联系y x ,的桥梁，可有物理意义、几何意义，也可无明显的意义；3、对应关系.【设计意图】通过对特殊问题的研究，进而理性分析一般问题所蕴含的数学本质，培养学生归纳的数学能力，完成由感性到理性的新知识--“参数方程的概念”的认知建构，较为深刻的体会参数方程这一定义的函数本质.6.3 第二篇章 探究展示自主探究一：探求曲线的参数方程问题1：汶川地震，举国上下，万众一心，为灾区人民第一时间配给救援物资，某运输机在离灾区地面m 490的上空以h km /720匀速直线飞行，为使得救援物资准确投放灾区指定的安置点（不计空气阻)/8.9(2200214902s m g t t x gt y =⎪⎩⎪⎨⎧=-=为参数，力），飞行员如何确定投放时机？（重力加速度2/8.9s m g =）成果展示：剖析思维过程,并通过实物投影展示其解答过程！此处参数t 的意义是什么呢？范围如何选择？（追问：...）飞行员确定投放时机为：距离投放安置点水平距离2000米处投放物资可准确投放.【设计意图】将教材问题作适度的加工和处理，培养学生的数据处理能力，有利于学生对新知的理性认知，成果的展示让学生感受学习习得性成功的体验，与此同时，以地震作为问题背景，有利于培养学生的同情心、民族感，渗透数学学科的人文精神.合作探究二：参数方程概念辨析问题2-1：下列方程可看成参数方程的是（ ）)(012.)(02.22为参数为参数m mx y x B t t y x A =--+=-+{)(.)0(.cos 2cos 232为参数为参数，θθθ===-=>⎩⎨⎧x y a x a y D a a C 问题2-2：曲线的参数方程{为参数）ααα(sin 22cos ==x y ，则参数πα611=对应点的坐标是（ ） )21,1.(A )23,1.(-B )21,1.(-C )23,21.(-D 问题2-3：下列各点可能在方程{)232(2sin cos ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈==ππαααα，为参数，x y 所表示的曲线上的是（ ） )22,1.(A )21,1.(--B )21,23.(-C )23,21.(-D【设计意图】通过师生学生独立自主探究与合作探究相结合，使学生体验探究问题中比较、分析、推理、判断、辨析，使其对参数方程的概念有更进一步的深刻的理解，感受曲线的参数方程与点之间的对应关系，为后续圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程的学习谱写了序章.小组展示三：已知一个量求参数方程问题3（北师大版 选修4-428P 练习2 改编） 设2()cos y t t=为参数，曲线C ：229436y x -=. (1)求曲线C 的参数方程；(2)已知参数4t π=-对应的点(,)M a b 在曲线C 上，求a 的值.【设计意图】通过回归课本的典型问题及其对教材问题的深加工，让学生重视教材的问题原型，“饮水思源”，教材是我们研究问题和培养学生能力和核心素养的“根”，而枝繁叶茂、异彩纷呈的问题均源于此.6.4第三篇章 课堂小结 反思凝炼通过本节课的学习，你学习了那些知识？渗透了那些的数学思想？体现了什么样的数学核心素？ （请学生谈自己的学习体会）【设计意图】通过让学生畅所欲言的谈方法、谈收获、谈体验，使得学生学会学习，学会总结，学会反思，学会表达，进而养成学生良好的反思、小结的学习习惯，为学生的终生发展奠基.6.5课后作业 分层练习基础训练：完成对应章节的《课时作业》能力提升：（北师大课标版26P “问题提出”）一位铅球运动投掷铅球的瞬间铅球球心距离地面高度为h ，初速度为0v 且与水平方向成α角投掷铅球.(Ⅰ)请同学们探究该铅球的运动轨迹的参数方程；(Ⅱ)并研究以多大的倾斜角投掷时，铅球抛掷的水平距离最远？（忽略空气阻力）;(Ⅲ)试分析投掷铅球与急行跳远这两项运动的联系和区别？并举例说明我们身边还有哪些案例属于这类问题，并尝试给出最优化的研究方案.【设计意图】分层训练旨在尊重每一个学生的独立有个性化的发展，尊重他们的认知差异，在学生的最近发展区建构知识，给出能力提升这一问题，意在首尾呼应，让学生带着问题来，带着思考离，起到“言有尽而意无穷”的数学教学的延伸功能，与此同时，开放性问题的设计让学生充分发挥数学想象、通过逻辑推理、验证自己猜想的过程，完成由感性到理性的升华.6.6板书设计一览无余三、教后反思：①反思课前预案：②反思课堂活动：③反思教后改进：四、教学点评：。
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
高中数学2-1-1参数方程的概念与圆的参数方程
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和
利用三角恒等式消参法两种．
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【变式1】 设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运 π 动， 角速度为 rad/s.试以时间 t 为参数， 建立质点运动轨迹 60 的参数方程．
当 cos θ ＝0 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
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【反思感悟】 如果取半径绕原点 O 逆时针旋转转过的角度 θ 为参数，圆
x＝rcos θ， 2 2 2 x ＋y ＝r 对应的参数方程为 y＝rsin θ.
【综合评价】 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的 方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困
难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参
数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习 参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提 高应用意识和实践能力．
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【学习目标】 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写 出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参
数写出它们的参数方程． 3．举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示
更方便，感受参数方程的优越性．
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自学导引
1．参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数
参数方程的概念
曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )． 因为|OA |＝a 2－t 2， 所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )． 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________． 解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )． 又f (t )、g (t )均为奇函数， 所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称． 所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。
参数方程
（一）参数方程的概念1.1参数方程的定义及用途1.2参数方程化为普通方程1.3普通方程化为参数方程（二）直线的参数方程2.1直线的参数方程化为标准参数方程2.2直线的标准参数方程的三种应用（三）圆锥曲线参数方程3.1圆锥曲线的参数方程及参数的几何意义3.2圆锥曲线参数方程应用于表示曲线上一点坐标（四）参数法求动点轨迹方程（五）同步练习（一）参数方程的概念1.1参数方程的定义及用途(1)参数方程的定义：一般来说参数方程是指：在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。
即且满足(1)对于[a，b]中的任何一个t1，则①得到的(x1，y1)点都在曲线l上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y)的坐标x，y通过①在[a，b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线l的参数方程。
相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线l 的直角坐标方程，简称普通方程。
(2)参数方程定义的几点说明：①在曲线的参数方程中，应明确参数t的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。
如方程θ为参数，θ∈[0,2π)，是表示中心在原点，焦点在x轴上，长轴8的椭圆；而方程θ为参数，θ∈[0,π]，只是表示上述椭圆的x轴上方的部分。
在没有明确注明参数的取值范围时，可由参数的物理或几何意义，或由两个函数x=f(t)，y=g(t)的定义域的交集点去确定；②一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以是多个。
当我们选择的参数不同时，一条曲线的参数方程可以是多个；③一条曲线可能存在参数方程，但不一定存在普通方程。
课本中圆的渐开线的参数方程是，其普通方程很难得出，不会理它。
(3)参数方程的用途：引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：①有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；②有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。
2.1.1 参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
出参数的取值范围并标注出来．
[通一类] 2.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA＝2a， 射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线 交于 B 点，作 PQ⊥OA 交 OA 于 D，PB∥OA， 试求点 P 的轨迹的参数方程． 解： P(x， 设 y)是轨迹上任意一点， 取∠DOQ＝θ， PQ⊥OA， 由
t∈R
x＝2m＋1 和 y＝m
(m∈R) 都表示直线 x＝2y＋1.
[研一题]
x＝2t 的参数方程是 y＝3t2－1
[例 1]
已知曲线 C
(t 为参数)
(1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4 a 的值．
[精讲详析]
本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关
系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
(1)把点
x＝2t， M1 的坐标代入参数方程 y＝3t2－1，
0＝2t 得 －1＝3t2－1
，∴t＝0.
即点 M1 在曲线 C 上． 把点
x＝2t， M2 的坐标代入参数方程 y＝3t2－1，
[读教材· 填要点] 1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某 个变数 t
x＝ft， 的函数 y＝gt，
①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程
组①所确定的点 M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么 方程组① 叫做 这条曲线的参数方程． 联系变量 x，y 的 2．普通方程 相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做 普通方程．
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜2)．
[悟一法] (1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系， 设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根 据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．
参数方程曲率公式推导过程
参数方程曲率公式推导过程1. 引言嘿，朋友们！今天咱们来聊聊一个听起来有点高深的话题——参数方程的曲率公式。
这可不是无聊的数学课，而是一次愉快的探险之旅！你有没有发现，生活中处处都有曲线？比如你早上喝咖啡时，那个完美的咖啡杯边缘，或者你骑车转弯时的感觉。
曲线就在我们身边，而曲率就是我们量度这些曲线“弯曲程度”的秘密武器。
好吧，咱们不卖关子，直接开聊吧！2. 参数方程的基本概念2.1 什么是参数方程？首先，咱们得了解什么是参数方程。
简单来说，参数方程就是用一个或多个参数来表示曲线的方程。
想象一下你在开车，车子的运动轨迹就可以用参数方程来描述。
比如，假设你在公园里骑车，你的位移可以用时间来表示。
也就是说，你可以用时间这个参数来描述你的位置。
这就像是人生的旅程，不同的时间点，我们在不同的地方，感觉也各不相同，对吧？2.2 参数方程的形式通常，参数方程的形式看起来像这样：( x = f(t) ) 和 ( y = g(t) )，这里的 ( t ) 就是我们的“时间”参数。
无论是直线、圆还是其他复杂的曲线，只要我们能找到合适的 ( f(t) )和 ( g(t) )，就能描绘出这些美丽的曲线。
这就像给一幅画上色，画家用不同的颜色和线条来表达他们的情感。
3. 曲率的定义3.1 曲率是什么？接下来，让我们聊聊曲率。
曲率是一个非常有趣的概念，它告诉我们曲线在某一点的“弯曲程度”。
想象一下你在路上行驶，遇到一个急转弯。
这个转弯越急，你就越能感受到身体的倾斜和转动。
曲率就是在量度这种感觉！如果曲率大，说明曲线弯得厉害；如果曲率小，那就比较平坦了。
曲率可以帮助我们理解曲线的性质，甚至可以用来设计更安全的道路，避免转弯时的“飞车”感。
3.2 曲率的计算那么，怎么计算曲率呢？这里来点“干货”。
如果我们有一个参数方程 ( x = f(t) ) 和( y = g(t) )，曲率的公式可以表示为：K = frac{{|f'(t)g''(t) g'(t)f''(t)|{{(f'(t)^2 + g'(t)^2)^{3/2。
21曲线参数方程的概念及圆的参数方程
x 100t, 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 5 0 0 g t . 2 令 y 0, 得 t 1 0 .1 0. s
o
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2. 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
t x 3, 例1: 已知曲线C的参数方程是 (t为 参 数 ) 2 t 1 . y 2
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
x
代 入 x 1 0 0 t , 得 x 1 0 1 0 m .
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) , （2） y g ( t ) . 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
参数方程的概念用
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos2
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
32
22
训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
x y
1 2t, at 2 .
(t为参数,a
R)
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
2.1 参数方程
第二章 参数方程 2.1 曲线的参数方程 一、参数方程的概念 1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()()x f t t T y g t =⎧∈⎨=⎩（1） 这里T 是(),()f t g t 的公共定义域，并且对于t 的每一个允许值。
由方程组（1）所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参变数，简称为参数。
2、参数方程的理解：（1）在方程组（1）中有3个变量，其中的,x y 表示点的坐标，变量t 叫做参变量，而且,x y 分别是t 的函数，这样的方程组叫做参数方程。
（2）从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(,)x y 由t 唯一确定。
当t 在允许值范围内连续变化时，,x y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
（3）曲线上任一点与满足方程组的有序实数对(,)x y 是一一对应关系。
（4）在表述参数方程是，必须指明参数的取值范围，参数取值范围不同，所表示的曲线也可能会不同。
3、参数方程与普通方程的区别与联系区别：①方程的形式不同，曲线的参数方程常常是方程组的形式； ②普通方程反映了曲线上任一点的坐标,x y 的直接关系，而参数方程反映了,x y 的间接关系。
参数方程是把曲线上点的横、纵坐标都描述为参数的函数，任意给定一个参数的相应的允许取值就可得到曲线上一个对应的点，反过来，对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值。
联系：①两种方程是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面； ②这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。
二、怎样将参数方程化为普通方程将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式（三角的或代数的）消元法。
2.1.1参数方程的概念圆的参数方程
1、了解曲线的参数方程的意义（重点）2、常与方程、平面几何和三角函数结合命题3、掌握圆的参数方程并用于解决最值问题（难点）1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都都是某个变数t 的函数 ①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么①就叫做这条曲线的 ，联系变数x,y 的 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 。
2、圆的参数方程（1）如图所示，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0出发，按逆时针方向在圆OM （x.y ），则 y 这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM 0绕点O 旋转到OM 的位置时， OM 0转过的角度。
（2）圆心为C （a,b ），半径为r 数方程题型一 参数方程的概念【例1】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π） 判断点A （2，0），B （233，－）是否在曲线上？若在曲线上，求出点对应的参数的值。
【练习1】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=412t y t x （t为参数），判断点A （3，0），B （－2，2）是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值。
题型二 求曲线的参数方程【例2】已知边长为a 的等边三角形ABC 的顶点A 在y 轴的非负半轴上移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程。
【练习2】已知线段AB 的位置和长度都一定，点P 在AB 上移动，在AB 的同侧分别以AP 、PB 为边作等边三角形APM 和BPN ，求线段MN 的中点Q 的轨迹的参数方程。
题型三 圆的参数方程的应用【例3】 已知矩形ABCD 的顶点C （4，4），点A 在圆O ：)0,0(922≥≥=+y x yx上移动，且AB ，AD两边始终分别平行于x 轴、y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值，以及相应的点【练习3】1、已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π） （1）求圆心和半径；（2）若圆O 上点M 对应的参数35πθ＝，求点M 的坐标；（3）求圆O 上点N （－1，3）对应的参数θ。
参数方程的概念
参数方程的概念什么是参数方程？参数方程，又称为参数式方程，是描述曲线、曲面等几何图形的一种方式。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过引入一个或多个参数，将图形上的每一个点表示为参数的函数形式。
在参数方程中，每个参数都对应图形上的一个点，通过对参数的取值范围进行遍历，可以绘制出图形的完整轨迹。
参数方程的表示形式一般情况下，参数方程可以写成以下形式： - 对于二维曲线：x = f(t), y = g(t) - 对于三维曲线：x = f(t), y = g(t), z = h(t) 其中，x、y、z分别表示图形上的点的坐标，t为参数，f(t)、g(t)、h(t)为参数的函数。
参数方程的优势相比直角坐标系方程，参数方程具有以下几个优势： 1. 更直观：通过引入参数，参数方程可以直观地表示图形的轨迹。
在直角坐标系方程中，通常需要对x、y或x、y、z同时进行操作才能得到完整图形。
2. 更灵活：参数方程可以对图形进行灵活的变换和调整。
通过调整参数的取值范围或函数表达式，可以改变图形的形状、位置、方向等。
3. 更适用于描述曲线：对于复杂的曲线，直角坐标系方程可能无法给出简洁的表达，而参数方程则可以通过适当选择参数和函数表达式，更好地描述曲线的性质。
参数方程的应用参数方程在数学和物理等领域具有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 几何图形绘制参数方程可以用于绘制各种几何图形，例如： - 绘制圆：x = r * cos(t), y = r * sin(t)，其中r为半径，t为参数。
- 绘制椭圆：x = a * cos(t), y = b *sin(t)，其中a、b分别为椭圆的长短轴，t为参数。
- 绘制螺旋线：x = a *cos(t), y = a * sin(t)，z = b * t，其中a、b为常数，t为参数。
2. 运动学建模参数方程可以描述物体的运动轨迹，用于运动学建模和分析。
例如，在二维空间中，可以使用参数方程描述自由落体的轨迹： x = v0 * cos(theta) * t y = v0 *sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2 其中v0表示初始速度，theta表示初始角度，g表示重力加速度。
高三数学参数方程的概念
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt 2.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
4. 4 参 数 方 程
4.4.1 曲线参数方程的意义
教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
教学重点 曲线参数方程的定义及方法
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用一、教学内容:1．参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化 2．直线的标准参数方程及其应用 二、重点难点:1．参数方程的概念:在xoy 平面上，若曲线C 的任意点的坐标(x, y)都能通过第三变量t 表示出来，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，t ∈M,①,这里M 是某个指定的区间，反之，对于每一个t ∈M, 由①确定的点(x,y)都在曲线C 上，那么方程组①才能叫做曲线C 的参数方程. 2．曲线参数方程与普通方程的互化:曲线C 的普通方程和参数方程是曲线C 的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.曲线的参数方程曲线的普通方程.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。
还常利用万能公式消解决形如2221()(,,,1()1()At x at a A B B at y at ⎧=⎪+⎪⎨⎡⎤-⎪⎣⎦=⎪+⎩其中为非零参数） 的消参问题 · 但特别要注意，（1）互化时，必须使坐标x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）.A 、⎪⎩⎪⎨⎧==42ty t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 2sin sin C 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x D 、⎪⎩⎪⎨⎧==2t y tx分析:在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与y=x 2不等价，而在D 中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同，且以⎪⎩⎪⎨⎧==2ty tx 代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。
如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。
3．直线的参数方程过点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧α+=α+=.sin ,cos 00t y y t x x其中参数t 的几何意义是:规定l 向上方向为正方向，t 是有向直线l 上，从已知点M 0(x 0, y 0)到点M(x,y)的有向线段M 0M 的数量，且|M 0M|=|t|. 当t>0时，点M 在点M 0的上方 当t=0时，点M 与点M 0重合 当t<0时，点M 在点M 0的下方特别地，若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .当t>0时，点M 在点M 0的右侧当t=0时，点M 与点M 2重合当t<0时，点M 在点M 0的左侧 4. 直线的参数方程的应用：由参数t 的几何意义可知，若M 1，M 2为直线l 上两点， t 1, t 2分别为M 1，M 2所对应的参数, 则(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|(2)010212M M M M t t ⋅=(3)若M 3为M 1，M 2的中点，则中点M 3对应的参数为2213t t t +=所以，处理过定点的直线截得的线段长问题，采用直线的参数方程有时比较方便。
参数方程的概念及意义
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？ 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
引例
1 x = t + t (t为参数 ) 1 y = t − t
直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易， 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普 通方程，则比较简单了。 通方程，则比较简单了。
参数方程化成 普通方程
x = 3t + 1 (t为参数 )化成普通方程。 化成普通方程。 例1 将参数方程 y = t3
相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程 普通方程。 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围
1 y =1− 2 (1 − x)
t
(t
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可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一 点的坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), y g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，轨迹参数方程为 y 2 12t
求参数方程的步骤: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
y 500
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
x 3t , 例1、已知曲线C的参数方程 (t为参数) 2 y 2t 1. (1)、判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3 (6, a)在曲线C上，求a的值。
x sin 2、方程 ,( 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y cos
（ D ）
1 1 1 2 ( A、（2，7）；B、 , ); C、( , ); D、（1，0） 2 2 3 3
例2.动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程。
解：)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 (1 所以M 1在曲线C上。 5 3t 把点M 2 (5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1 这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
x 3t , 例1、已知曲线C的参数方程 (t为参数) 2 y 2t 1. (1)、判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3 (6, a)在曲线C上，求a的值。
解：
(2)、因为点M 3 (6, a)在曲线C上，所以
6 3t 解得t 2, a 9 2 a 2t 1 所以，a 9
练习
x 1 t2 1、曲线 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
25 ( A、（1，4）；B、 , 0); C、(1, 3); 16 25 D、 ( , 0); 16
求参数方程的步骤: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
o
x
1、参数方程的概念：
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
x 100t , 1 2 y 500 2 gt . 令y 0, 得t 10.10s. o x 代入x 100t , 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
2.1.1
参数方程的概念
1、参数方程的概念：
探究：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确 定投放时机呢？
提示： 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
x 1 5t y 2 12t
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （2） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。