高中数学填空题的常用解题方法与必修二知识点全面总结.doc
高中数学必修2知识点归纳填空
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱： ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台： ，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠= ，注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成 于X ‘轴，且长度 ；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成 于Y ‘轴，且长度变为 ； 一般地，直观图的面积是其原图面积的 倍，即()S 直观图原图＝4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=侧面⑶圆台侧面积：l r S +⋅⋅=π侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S =下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
高中数学填空题解题技巧剖析
高中数学填空题解题技巧剖析填空题是高中数学试卷中常见的一种题型，通常考查考生对基础知识的掌握程度以及对解题思路的把握。
以下将对高中数学填空题的解题技巧进行剖析。
一、审题与理解首先，对于填空题，我们需要认真审题，理解题意，确定题目的求解目标和题目所给出的信息。
在阅读题目时，我们要注重以下几个方面的内容：1.题目要求：明确题目的求解目标和所需填空的个数。
2.已知条件：理解题目中已给出的条件，包括数据、等式、图形等，这些已知条件是解题的基础。
3.隐含条件：有些题目会有一些隐含条件，需要我们根据题目的描述自行推断。
通过仔细审题，我们可以对题目的信息做到心中有数，才能在解题过程中根据所给条件与已知知识来推导解答。
二、关注关键词在填空题的解题过程中，识别和把握题目中的关键词是非常重要的。
常见的数学关键词包括“最大值”、“最小值”、“相似”、“比例”、“约分”、“倍数”、“公因数”等。
在解题时，我们可以通过关键词的提示，判断题目的解题思路和逻辑。
举个例子，如果题目中出现了“比例”，那么我们就要考虑使用比例的性质来求解；如果出现了“最大值”、“最小值”，那么就要通过极值的方法来求解。
三、思路明确解题思路的明确是填空题的解题关键之一。
仔细阅读题，在弄清题目的目标，所给条件之后，要通过思考，明确解题的思路。
对于一些简单的题目，需要使用基本公式，例如利用勾股定理解三角形边长，利用圆周率求圆的面积和周长等；对于一些复杂的题目，则需要结合已有的知识和技巧来思考如何解决问题。
四、记忆公式高中数学包含很多的公式和定理，掌握这些公式和定理是解题的必要条件。
在平时的学习过程中，要注意理解和记忆公式的使用方法和注意事项，以便在考试中运用自如。
五、检查答案检查结果在填空题中非常必要，因为填空题的答案相对比较简单，在计算过程中容易出现错别字、错位、运算符号错误等小错误，所以我们需要反复检查计算过程，确保每一个空都填对了，并且运算过程没有错误。
高考数学填空题答题套路和技巧
高考数学填空题答题套路和技巧考试答题，对分数影响最为关键的就是答案的正确性。
下面是为大家整理的高考数学填空题答题套路和技巧相关内容，以供参考，一起来看看！高考数学填空题答题套路和技巧1、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
2、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
3、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
4、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
5、图像法借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。
文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。
6、构造法在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。
高考数学答题规范1、答题工具答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。
禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。
必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
2、答题规则与程序①先填空题，再做解答题；②先填涂再解答；③先易后难。
3、答题位置按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。
4、解题过程及书写格式要求关于填空题，常见的错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰、字符书写不规范或不正确、分式写法不规范、通项和函数表达式书写不规范、函数解析式书写正确但不注明定义域、要求结果写成集合的不用集合表示、集合的对象属性描述不准确。
高中数学解题技巧之填空题型
高中数学解题技巧之填空题型填空题是高中数学考试中常见的题型之一，需要考生根据题目给出的条件和要求，在空格中填入符合题意的数值或表达式。
填空题的特点是要求考生灵活运用所学的数学知识，结合题目给出的条件进行推理和计算。
在解答填空题时，考生需要注意以下几个方面的技巧。
一、理解题意，明确要求首先，考生在解答填空题时要仔细阅读题目，理解题意，明确要求。
填空题通常会给出一些条件和限制，考生需要根据这些条件和限制来确定填空的数值或表达式。
例如，下面是一道填空题：已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a，b，c为常数，且a>0。
若f(1)=5，f(2)=12，f(3)=21，则f(-1)的值为________。
在这道题中，题目给出了函数f(x)的表达式和三个已知点的坐标，要求考生求出f(-1)的值。
考生需要根据已知条件，利用函数的性质和运算法则来计算出f(-1)的值。
二、利用已知条件，建立方程在填空题中，很多时候需要考生根据已知条件来建立方程，以求解未知数或表达式的值。
建立方程是解答填空题的关键步骤之一。
考生需要根据题目给出的条件，运用数学知识和思维方法，将问题转化为方程求解的过程。
例如，下面是一道填空题：已知等差数列的前n项和为Sn=3n^2+2n，求该等差数列的第n项。
在这道题中，要求考生求解等差数列的第n项。
考生可以先利用等差数列的性质，建立等差数列的通项公式an，然后根据已知条件Sn=3n^2+2n，将Sn代入通项公式中，建立方程，最后求解出an的值。
三、灵活运用数学知识和方法在解答填空题时，考生需要灵活运用所学的数学知识和方法。
填空题的解答过程中，往往需要考生综合运用代数、几何、函数、概率等多个数学分支的知识。
例如，下面是一道填空题：已知正方形ABCD的边长为2a，点E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=BF=a，则△DEF的面积为________。
在这道题中，题目给出了正方形ABCD的边长和点E、F的位置关系，要求考生求解△DEF的面积。
高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法.doc
高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法高中数学填空题解题技巧方法一、高中数学填空题解题技巧直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质等，通过变形、推理、运算等过程，直接得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.适用范围：对于计算型的试题，多通过计算求结果.方法点津：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.方法二、高中数学填空题解题技巧特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.适用范围：求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.高中数学填空题解题技巧方法点津：填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.方法三、高中数学填空题解题技巧数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能以数辅形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，如Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线、函数的零点等.适用范围：图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算.方法点津：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.方法四、高中数学填空题解题技巧构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.方法点津：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.填空题十大经典解题方法直接法跟选择题一样，填空题有些题目也是可以通过套用公式定理性质直接求解的，拿到题目后，直接根据题干提供的信息通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
高中数学填空题的常用解题方法与必修二知识点全面总结
高中数学填空题的常用解题方法与必修二知识点全面总结高中数学填空题在数学考试中占有非常重要的地位，尤其是对于考研、高考等重要考试来说填空题更是必不可少。
解题过程中需要考生掌握的一些必修二知识点，本文将从填空题的常用解题方法和必修二知识点两方面进行详细总结。
一、高中数学填空题的常用解题方法1. 查漏补缺法填空题有些答案没有直接告诉你，而是需要通过一些条件推理来得到。
此时，我们可以利用“查漏补缺”法，合理利用文中给出的信息，从而填出正确答案。
以“几何图形的面积、周长等数量关系”为例，给出以下文字材料：矩形长为12cm，宽为6cm，则它的周长____cm，对角线长度____cm，面积____平方厘米。
在这个材料中，我们可以通过矩形长宽求出周长，通过勾股定理求出对角线长度，最后根据长宽求出面积。
填空顺序可以随意，但是只有把前面的填好才能填后面，否则答案可能错误。
2. 运用公式法填空题常常会与公式打交道，此时我们可以采用运用公式法的方式解题。
比如以下材料：一架飞机从北京经过广东到达香港，全程长为1783km。
机长飞行时间为4h20min，飞行速度为多少公里/小时？这个问题需要用到“路程=时间×速度”的公式，即填空方法为：（1）将时间转换为小时制，即4.20h；（2）根据公式求出速度，即速度=路程÷ 时间=1783 ÷ 4.20≈424.76（四舍五入可得424.8）。
3. 利用数学思维填空题往往难以通过查漏补缺和运用公式的方式来解答，遇到这种情况我们可以通过数学思维来解答。
以以下材料为例：某商店收集了数据文具销售量的资料，$p_i$表示第i种文具的销售量，文具种类总数为n。
该商店决定通过重复随机采样估计其文具总销售量，每次随机采样量为m，总采样次数为k。
试求该商店文具总销售量的估计值。
这个问题需要用到“估计”这个关键字，因此我们不妨想象该商店通过重复随机采样的过程中，每次采样量不同可能会带来的影响。
高二数学解题技巧：高二数学填空题的解法
高二数学解题技巧：高二数学填空题的解法(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学必修二题型及解题方法
高中数学必修二题型及解题方法初高中数学选择题和填空题虽然不多，但是占得分值比较大，而且往往都是一些基础的题的延伸，如何避免在这类题上损失，下面是整理的有关解题方法技巧总结。
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。
选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
必须想要快速、正确地求解选择题、填空题，除了具备精确的排序、严格的推理小说外，还要存有求解选择题、填空题的方法与技巧。
下面通过实例了解常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找到最合适的检验条件，再通过检验，找到恰当答案，一般会将供选择的答案代入条件中回去检验，找到恰当答案，此法称作验证法(也表示代入法)。
当碰到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。
这种方法叫特殊元素法。
(4)确定、筛选法：对于恰当答案存有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理小说、编程语言，把不能恰当的结论确定，余下的结论再经甄选，从而做出恰当的结论的数学分析叫做确定、筛选法。
(5)图解法：借助合乎题设条件的图形或图像的性质、特点去推论，做出恰当的挑选称作图解法。
图解法就是求解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
综上所述，不好的解题方法都就是在空战中总结出的，而不好的方法防止在基础题上浪费时间，只有熟练掌握，就可以获得好成绩。
高考数学总结归纳点拨 填空题的解答技巧与方法
填空题的解答技巧与方法填空题不同于解答题，它只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程，故填空题的结果必须是数值准确，形式规范，表达式最简．基于以上原因，现就填空题的特点及方法技巧试作分析．一、填空题的主要特点填空题的主要特点是题目小、跨度大、知识覆盖面广，渗透着各种思想与方法，形式灵活，突出考查学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力，近年来填空题作为命题组改革试验的一个窗口，因此出现了不少创新题型：如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．二、填空题的解答技巧与方法1．直接法从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得到正确的结论．直接法是解填空题的常用的基本方法．使用时，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1 设z 是虚数，条件甲：1z z+是实数，条件乙：1z =，则甲是乙的 条件． 解析：设()z a bi a b =+∈R ，是虚数0b ⇔≠．22221a b z a b i z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 若1z =，即221a b +=，则12z a z+=∈R ， 若1z z +∈R ，则220b b a b -=+， 又0b ≠∵，221a b +=∴．∴甲是乙的充要条件．例2 ①4()n k k *=∈N ；②41()n k k *=+∈N ；③42()n k k *=+∈N ；④43()n k k *=+∈N 中，使2(1)2()n n i i n *+=∈N 成立的是 ．解析：22(1)[(1)]22n n n n n i i i i +=+==，n i i =∴，即41()n k k *=+∈N ．2．数形结合法根据题设条件的几何意义，画出辅助图形，然后通过对图形的直观分析，获取正确答案．这种方法常常会收到简捷明快的效果．例3 已知1z =，51z z +=，则z = ． 解析：由51z z +=联想复数加法的几何性质，不难发现51z z ，，所对应的三点A C B ，，及原点O 构成平行四边形的四个顶点如图，则AOB △为等边三角形易求得132z i =+；当点z 对应的点A 在实轴下方时，132z i =-，故填132i +或132i -． 例4 适合条件1z =及111z z +=-的复数z 的集合 ． 解析：由数形结合知，1z =表示单位圆，111z z +=-变形为11z z +=-，其几何意义为1-与1两点连线的垂直平分线，即y 轴，则易知点z 为单位圆与y 轴的两个交点，z i =±∴． 即复数z 的集合为{}i ±．3．等价转化运用转化的方法，把新问题转化为已经解决的问题，许多问题是在条件和结论不断转化中获得解决的．例5 复数z 满足103z z i-=-，则z 等于 ． 解析：利用复数相等的定义求复数的关键是要把两个复数转化成代数形式． 设()z a bi a b =+∈R ，，则223a b a bi i +-+=+，2231a b a b ⎧⎪+-=⎨=⎪⎩，，∴431.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴ 所以43z i =-+． 例6 设z ∈C ，则方程20z z +=的解的个数为 ．解析：由20z z +=，知2z ∈R ．0z =∴或z 为纯虚数．∴设()z ai a =∈R ，有20a a -+=0a ⇒=或1a =±．∴方程有3个解．点评：本例中，充分注意到了2z ∈R 的特征，设z ai =，简化了运算过程，也考查了同学们的观察能力．4．用好已知条件速解创新填空题填空题作为试验田，常有创新题出现，这类题目，通过定义、新概念或一种新的运算，或给定新模型来创设问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识与方法，实现信息的迁移，从而顺利解决问题．例7 定义运算ab ad bc c d =-，则对复数(0)z x yi x y x =+∈>R ，，，符合条件111z x =的点Z 在复平面上所表示的曲线形状是 ．解析：由1z x -=x ，21212y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴≥．故填：抛物线．。
高二数学填空题答题技巧
高二数学填空题答题技巧高二数学填空题答题技巧一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论。
这样可大大地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。
我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到"数促形"的目的。
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
高中数学填空题答题技巧1.剔除法：利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
2.特特殊值检验法：对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
3.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
高中数学必修二知识点梳理—填空版
高中数学必修二知识点梳理—填空版【第一章空间几何体】1、空间几何体的结构（1）常见的多面体有：、、；常见的旋转体有：、、、；（2）棱柱：有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱；（3）棱锥：有一个面是________,其余各面都是________,由这些面所围成的多面体叫做棱锥；（4）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台；（5）圆柱：以______________为旋转轴，其余三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；（6）圆锥：以______________为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（7）球：以______________为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球；2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫，中心投影的投影线交于；把在一束平行光线照射下的投影叫，平行投影的投影线是的。
3、几何体的______、_______和_______统称为几何体的三视图;三视图遵循：正俯等______、侧俯等_______、正侧等_______原则;4、斜二测画法：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴______,长度______；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴_______，长度________。
5、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）多面体的表面积为几何体各个面的面积之_______。
（2）旋转体侧面积、表面积公式=圆柱侧S =圆锥侧S =圆台侧S =圆柱表S =圆锥表S =圆台表S （3）柱体、锥体、台体的体积公式V =柱V =锥'1()3V S S h=+台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=；S 球面=6、用一平面去截球，所得截面为________,球心与截面圆圆心连线与截面_____,球半径R 与截面圆半径r ，球心到截面距离d ，满足关系式_______________;【第二章点、线、面间的位置关系】1、四个公理公理1：公理2：公理3：公理4：2、公理2的推论推论1：推论2：推论3：3、线线位置关系：、、。
(新人教A)高三数学第二轮第 2讲 数学填空题的常用解法
第2讲 高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
高中数学必修2知识点(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
第一讲空间几何体热点一空间几何体与三视图知识点识与画三视图的关键点(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系，三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正(主)视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正(主)视图对正，画在正(主)视图中的正下方；侧(左)视图要画在正(主)视图的正右方，高度要与正(主)视图平齐．(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．[命题方向]由三视图判断几何体的结构特征.2.由几何体判断三视图问题．例、(2014年武汉调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()例、(2014年江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )热点二 空间几何体的表面积与体积知识点三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征S=πR 2[命题方向]空间几何体的表面积求法空间几何体的体积求法．例、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )例、(2014年浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 22()S r rl r r l πππ=+=+圆锥表面积22()S r r r l rl π''=+++圆台表面积B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2热点三 多面体与球知识点多面体与球接、切问题求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．命题方向] 1．球的表面积与体积问题.2.与球有关的组合体问题例、(2014年陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π 3V R π=柱313V R π=锥C ．2π D.4π3例、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中AB ∶AD ∶AA 1＝2∶1∶3，则四棱锥O -ABCD 的体积为( ) A.263B.63 C ．2 3D ．3热点四 空间线面位置关系的判断知识点空间线面位置关系的判断方法(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择“点P 在直线l 上”,“点A 在平面点P 在直线l 外”,“点A 在平面α外”直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,P l A α∈∈,P l A α∈∈,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂且公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2．公理4①平行于同一条直线的两条直线互相 平行②等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 ．我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.记直线a 垂直于b 为：a ⊥b[命题方向]在选择、填空中考查空间线面平行、垂直关系的问题．例、(2014年广东高考)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l ∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定,l P β=且,l P β=且0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦例、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[注意事项]1．割、补法是把不规则几何体转化为可求体积的几何体的常用方法．2．等体积转化法适合于三棱锥．第二讲高考中的立体几何热点一空间位置关系的证明知识点找中点构造平行四边形是立体几何中证明平行问题的一个重要技巧，具体解题时可以充分利用平行关系的传递性，把已知条件中的平行关系集中到我们需要的平行四边形中；垂直关系的证明中，线面垂直的证明方法主要有三个，一是利用判定定理，二是利用两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面，三是根据面面垂直的性质定理．两个平面的位置关系有且只有两种①两个平面平行——没有公共点②两个平面相交——有一条公共直线．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．二、和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．1、平面平行的判定判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．2、：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.3、：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.4、以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.5、一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.证明直线和平面垂直的常用方法有6、结论：(1)利用判定定理；1.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ，b 没有公共点，即a ，b 平行或异面．2．a ∥α的判定和性质定理使用的区别：如果结论中有a ∥α，则要用判定定理，在α内找与a 平行的直线；若条件中有a ∥α，则要用性质定理，找(或作)过a 且与α相交的平面．3．当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫做直线与平面的距离．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；平面与平面平行的几个有用性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．⑥如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[命题方向]1．证明线、面平行问题.2.证明线、面垂直问题．例、(2014年山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .例、如图，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .热点二空间几何体的体积、面积与位置关系问题[命题方向]1．空间几何体的体积、面积求法.2.空间位置关系的证明．例、(2014年辽宁高考)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．例、(2014年新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距热点三探索存在性问题知识点求三棱锥体积的方法：(1)直接法：V＝13Sh；(2)转换顶点法：V P-ABC＝V A-PBC＝V B -P AC＝V C -P AB；(3)间接法：体积分割或体积差方法．[命题方向]1．与位置有关的存在性问题.2.与长度、角度有关的存在性问题．(2014年四川高考)11 ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．例、如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)求证：EM∥平面ABC；(3)试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE ？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．[注意事项]研究与空间几何体有关的最值问题要注意变量取值的范围第三讲直线与圆热点一直线方程知识点1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线解决探索存在性问题往往要把成立的结论当作条件，据此列出方程式方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，对于探索点的位置是否存在时，多数情况下先猜测位置点再给出证明1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 正向线l 上 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0度 ； (2)倾斜角的范围为 （0o -180o 】 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在；(2)范围：全体实数R . (3)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝ .1．两条直线平行y 2－y 1x 2－x 1对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时l1与l2的关系为k=1k22．两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k k2=-1[命题方向]1．两直线位置关系的判断与应用，多与充要性判断结合考查.2.直线方程的求法．例、“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件例、(2014年大连一模)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0热点二圆的方程知识点求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 命题方向]1．圆的方程求法.2.与圆有关的最值问题．例、(2014年潍坊二模)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1例、(2014年江西高考)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)πD.54π例、圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．热点三 直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系如表.2.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2－d2 (其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．3．圆上的点到直线的距离的求解策略(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．[命题方向]1．圆的切线问题.2.直线与圆相交弦长问题.3.圆与圆的位置关系．例、(2014年合肥二模)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为()A.62 B.32C.94D ．2 3例、(2014年全国大纲卷)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________[注意事项]1．准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线及直线与圆的相应的位置关系．2．涉及切线长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线以及圆心与切线段另一端点的连线组成一直角三角形。
高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法
高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法随着高中学习的深入，数学填空题也逐渐成为考试中不可避免的一部分。
但是，填空题相比于选择题，存在一定的挑战性，需要掌握一些解题技巧和经典解题方法，才能在考试中得心应手。
一、解题技巧1. 首先，仔细审题，理解题意。
根据题目所给出的条件和要求，确定需要求解的未知量或者表达式。
2. 采用代数变量的方式，将需要求解的未知量表示出来，并根据已知条件列出方程。
3. 善于利用等式变形，将复杂的方程转化为易于解题的形式。
4. 熟练掌握一些基本的数学知识和公式，比如三角函数、面积公式、勾股定理等，能够大大提高解题的速度和效率。
5. 在解题过程中，要注意排除干扰项，多进行合理的推理和阐述，以避免出现无效的解。
二、十大经典解题方法1. 利用通分的方式将分数化成整数，便于进行计算。
2. 将多项式分解因式，简化方程组和分式的计算。
3. 对于无理数可能出现的情况，利用近似值或者计算结果进行判断。
4. 根据题目中所给出的统计数据，进行排列组合的计算，确定可能的结果。
5. 利用曲线图像、图形变换和轨迹运动的特性，确定某些未知量的值。
6. 将复杂的图形拆分成简单的几何形状，快速计算其面积或者周长。
7. 利用相似、对称和平移的特性，确定几何图形在坐标系中的位置和大小。
8. 针对方程中出现的复杂函数，利用数学知识进行分析和化简。
9. 考虑多种不同的解法，找到最快、最简单的解法，能够快速给出正确答案。
10. 根据所给条件，确定可能的范围和取值区间，帮助解决较为复杂的问题。
以上是高中数学填空题解题技巧与填空题十大经典解题方法。
我们可以通过多数学题的练习和经验积累，不断提高自己的数学能力和解题水平。
同时，也要注重对数学知识的掌握和理解，建立科学的数学思维方式，才能在考试中取得优异的成绩。
新教材 人教B版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点及解题方法规律提炼汇总
人教B必修第二册全册知识点汇总第四章指数函数、对数函数与幂函数 (2)4.1指数与指数函数 (2)4.1.1实数指数幂及其运算 (2)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)4.2对数与对数函数 (14)4.2.1对数运算 (14)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (31)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (39)第五章统计与概率 (43)5.1统计 (43)5.1.1数据的收集 (43)5.1.2数据的数字特征 (50)5.1.3数据的直观表示 (56)5.1.4用样本估计总体 (63)5.3概率 (67)5.3.1样本空间与事件 (67)5.3.2事件之间的关系与运算 (70)5.3.3古典概型 (74)5.3.4频率与概率 (78)5.3.5随机事件的独立性 (80)5.4统计与概率的应用 (84)第六章平面向量初步 (87)6.1平面向量及其线性运算 (87)6.1.1向量的概念 (87)6.1.2向量的加法 (91)6.1.3向量的减法 (95)6.1.4数乘向量 (99)6.1.5向量的线性运算 (102)6.2向量基本定理与向量的坐标 (105)6.2.1向量基本定理 (105)6.2.2直线上向量的坐标及其运算 (108)6.2.3平面向量的坐标及其运算 (110)6.3平面向量线性运算的应用 (115)第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数指数幂n为正整数，na有意义，且a≠0时，规定a1n＝__na__正分数mn，amn＝__(na)m__＝na m负分数指数幂s是正分数，a s有意义且a≠0时，规定a－s＝__1a s__无理数指数幂当a＞0且t是无理数时，a t是一个确定的__实数__．实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)(1)a r a s＝__a r＋s__．(2)(a r)s＝__a rs__．(3)(ab)r＝__a r b r__．题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4． ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 易错警示 典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．(2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1 题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ． 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断．(2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__． 如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解； (2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解．与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有__相同__的定义域．(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相同__的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性与其底数a 有关，当a ＞1时，y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是增函数，当0＜a ＜1时，y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律． 题型指数函数性质的简单应用 典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c 时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜3 3，又2＝212＝(25)110＝32110，55＝515＝(52)110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．形如y＝a f(x)类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ， 因为t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1294， 所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞) D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x是R 上的奇函数． ①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．[解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数． 证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2． 规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性 (1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)．(2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)．2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．易错警示 典例剖析 典例4 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的值域． [错解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． [辨析] 在换元时，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__．(3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？(2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ．(2)log a a b ＝B ． 知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A )A ．log a b ＝2 020B ．log b a ＝2 020C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，5)B ．(2,5)C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．log 39＝2与912 ＝3C ．8－13 ＝12与log 812＝－13 D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．(3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎨⎧ a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值：(1)log 381；(2)log 4116；(3)log128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4．(2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，所以log128＝－3． (4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．[解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算：(1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95． (3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值．[错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1．[辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎨⎧ x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __．(2)商的对数：__log a M N ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__log a b＝log c blog c a__．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？(2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M．题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1计算：(1)log a2＋log a 12(a＞0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；(4)2log525＋3log264；(5)log2(log216)；(6)62log63－20log71＋log41 16．[解析](1)log a2＋log a 12＝log a(2×12)＝log a1＝0．(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2．(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．(5)log2(log216)＝log24＝2．(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．利用对数的运算法则化简典例剖析典例2用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z ． [解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ．(2)lg xy 2z＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ． (3)lg xy 3z＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ． (4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值；(2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y ．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182 ＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a． (2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg t lg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ．∴1z －1x ＝12y ．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log ab ＝log b A ．易错警示 典例剖析 典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2x y 的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x y ＝1或4，∴log 2x y ＝log 21＝0或log 2x y ＝log 24＝4．[辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴x y ＝4，∴log 2x y ＝log 24＝4．4.2.3 对数函数的性质与图像第1课时 对数函数的性质与图像知识点对数函数函数y ＝__log a x __称为对数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x ＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a ＞0，且a ≠1；②log a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1． 对数函数的性质与图像知识点0＜a ＜1 a ＞1图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x ．求函数的定义域 典例剖析典例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lg (2－x )； (2)y ＝1log 3(3x －2)；(3)y ＝log (2x －1)(3－4x )．[分析] 函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解． [解析] (1)由题意得lg (2－x )≥0， 即2－x ≥1，∴x ≤1，则y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． (2)欲使y ＝1log 3(3x －2)有意义，应有log 3(3x －2)≠0，∴⎩⎨⎧3x －2＞03x －2≠1.解得x ＞23，且x ≠1．∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞23，且x ≠1． (3)使y ＝log (2x －1)(3－4x )有意义时，⎩⎨⎧2x －1＞02x －1≠13－4x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12x ≠1x ＜34，∴12＜x ＜34．∴此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12 ＜x ＜34．规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．应用对数函数的单调性比较数的大小 典例剖析典例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)log 23.4和log 28.5； (2)log 0.53.8和log 0.52； (3)log 0.53和1; (4)log 20.5和0； (5)log 0.30.7和0; (6)log 34和0．[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log 0.50.5，(4)中将0化为log 21，(5)中将0化为log 0.31，(6)中将0化为log 31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．[解析] (1)∵y ＝log 2x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5， ∴log 23.4＜log 28.5．(2)∵y ＝log 0.5x 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2， ∴log 0.53.8＜log 0.52．(3)∵1＝log 0.50.5，∴log 0.53＜log 0.50.5，∴log 0.53＜1． (4)∵0＝log 21，∴log 20.5＜log 21，∴log 20.5＜0． (5)∵0＝log 0.31，∴log 0.30.7＞log 0.31， ∴log 0.30.7＞0．(6)∵0＝log 31，∴log 34＞log 31，∴log 34＞0．规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．易错警示 典例剖析典例4 解不等式log a (2x －5)＞log a (x －1)． [错解]原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4．故原不等式的解集为{x |x ＞4}．[辨析] 误解中默认为底数为a ＞1，没有对底数a 分类讨论．[正解]当a ＞1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4；当0＜a ＜1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＜x －1，解得52＜x ＜4．综上可知，当a ＞1时，原不等的解集为{x |x ＞4}，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |52＜x ＜4}．第2课时 对数函数的性质与图像的应用知识点y ＝log a f (x )型函数性质的研究(1)定义域：由f (x )＞0解得x 的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f (x )＞0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值． 知识点log a f (x )＜log a g (x )型不等式的解法 (1)讨论a 与1的关系，确定单调性．(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零． 题型对数函数的图像 典例剖析 典例1如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为( A )A ．3、43、35、110B ．3、43、110、35C ．43、3、35、110D ．43、3、110、35[解析] 解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C 1、C 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，C 1、C 2对应的a 分别为3、43.然后考虑C 3、C 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，C 3、C 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A ．解法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A ．规律方法：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图像位置的影响．观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图像与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性典例剖析典例2求函数y＝log12(1－x2)的单调区间．[分析]求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．[解析]要使函数有意义，应满足1－x2＞0，∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．令u＝1－x2，对称轴为x＝0．∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝log12u为减函数．∴函数y＝log12(1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．规律方法：1.求形如y＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝log a t在定义域上的单调性，从而判定y＝log a f(x)的单调性．形如y＝log a f(x)的函数的奇偶性典例剖析典例3判断函数y＝lg (x2＋1－x)的奇偶性．[分析]判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．[解析]∵x2＋1＞x，∴x2＋1－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．f(－x)＝lg (x2＋1＋x)＝lg (x2＋1－x)(x2＋1＋x)x2＋1－x＝lg1x2＋1－x＝－lg (x2＋1－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg (x2＋1－x)是奇函数．规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．形如y＝log a f(x)的函数的值域典例剖析典例4求函数f(x)＝log12(x2－6x＋17)的值域．[分析]利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．[解析]∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，∴函数f(x)的定义域为R，令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜12＜1，∴y＝log12t在[8，＋∞)上是减函数，∴f(x)≤log128＝－3，故所求函数的值域是(－∞，－3]．规律方法：对于形如y＝log a f(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求log a f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．易错警示典例剖析典例5已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)[错解]选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．[辨析]本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．[正解]设u＝2－ax，由y＝log a u，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．要使函数y＝log a(2－ax)是减函数，则y＝log a u必须是增函数，所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝log a(2－2x)在x＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．4.3指数函数与对数函数的关系知识点反函数的概念(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x 表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．知识点求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．知识点互为反函数的图像与性质(1)图像y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．(2)性质①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f －1(x)也是减函数．题型判断函数是否有反函数典例剖析典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)A．x x＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．x x是有理数x是无理数g(x)10C．x12345D．(2)判断下列函数是否有反函数．①f(x)＝x＋1 x－1；②g(x)＝x2－2x．[分析]根据反函数的定义进行判断．[解析](1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．(2)①令y＝f(x)，因为y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，是由反比例函数y＝2x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．求反函数典例剖析典例2求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝x＋2x＋1(x∈R且x≠－1)．。
高考数学填空知识点
高考数学填空知识点高考数学考试中，填空题是一种常见的题型。
它要求考生根据题目给出的条件，在空格内填入符合要求的数字、字母或符号。
在备考过程中，掌握并熟练运用填空题的解题技巧和知识点是非常重要的。
本文将从几个方面介绍高考数学填空题的知识点。
一、基础知识点1. 数与式填空题中常出现的数与式的知识点有：四则运算、分数运算、代数式展开、等式变形等。
在解答填空题时，要注意运算的优先级以及运算法则的正确运用。
2. 数列数列是填空题中常见的考点之一。
要熟悉常见数列的通项公式、递推公式以及求和公式。
此外，还需理解等差数列和等比数列的性质和特点，能够根据条件求解数列中的某个项或求和。
3. 几何知识填空题中的几何知识点包括：线段、角、面积、体积等。
要熟悉常见几何图形的性质和定理，掌握计算线段长度、角度大小、面积和体积的方法和公式。
二、技巧知识点1. 规律判断填空题中常常出现一些数学规律，要善于观察题目中给出的条件和已知信息，判断数列的规律或者运算的规律，从而快速找到正确答案。
2. 近似估算填空题有时需要进行计算，但并不要求得出精确的结果。
在这种情况下，可以通过近似估算的方法，快速得到一个接近正确答案的结果。
这对于提高解题速度非常有帮助。
3. 逆向思维有些填空题需要考生进行逆向思考，通过逆向推理来确定空格中的数字或符号。
在解答这类题目时，要善于运用逆向思维的方法，灵活应用相关知识点求解问题。
三、题型知识点1. 空间几何题空间几何题中常涉及点、线、面之间的位置关系，要熟悉空间几何图形的投影、旋转、平移等变换规律。
同时，还要掌握求解空间几何距离、角度等问题的方法。
2. 函数与方程题函数与方程题中常涉及到函数的定义域、值域，以及方程的根、解集等概念。
要掌握函数与方程的基本性质和变换规律，能够根据给定条件求解函数值或方程的解。
3. 概率统计题概率统计题中常涉及到事件的概率、样本的统计量等概念。
要掌握概率统计的基本知识，了解各种统计方法和概率计算的技巧。
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高中数学填空题的常用解题方法与必修二
知识点全面总结
高中数学填空题的常用解题方法
1、填空题的类型
填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写。
2、填空题的特征
填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接的求解题.填空题与选择题也有质的区别：
第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰的好处，但也有缺乏提示之不足;
第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。
从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分。
因此，解填空题要求在快速、准确上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想快速解答填空题，则千万不可小题大做，而要达到准确，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在巧字上下功夫。
3.解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是小题不能大做，基本策略是巧做。
解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、
等价转化法、构造法等.
高二数学必修二知识点全面总结
高中数学必修二知识点总结
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
(2)棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(3)棱台：
几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形.
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形.
(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;
侧面展开图是一个弓形.
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径.
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.
3、空间几何体的直观图斜二测画法
斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
高中数学必修二知识点总结：直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为
0度.因此,倾斜角的取值范围是0 180
(2)直线的斜率
定义：倾斜角不是90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当时,;当时,;当时,不存在.
过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
点斜式：直线斜率k,且过点
注意：当直线的斜率为0 时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
两点式：()直线两点,
截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.
一般式：(A,B不全为0)
注意：各式的适用范围特殊的方程如：
(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a 为常数);
(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(三)过定点的直线系
()斜率为k的直线系：,直线过定点;
()过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解.
方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点
(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.。