一元一次方程(第4讲)
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
第4讲 方程解应用题-完整版
第四讲 方程解应用题内容概述掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法.能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解.典型问题兴趣篇：1.解下列方程:(1)12225x x x -+-=-答案：（1）117x =（2）1029x =（3）28x =【解析】（1）第一个方程的解法如下：()()()()()122251051202210105520245516252165711117x x x x x x x x x x x x x x x -+-=---=-+-+=--+=-+=-==两边同时乘以去括号移项(2)1251356x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭（2）第二个方程的解法如下：()()125135625135225152291101029x x x x x x x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭-=+===两边同时乘以移项(3)111233x x -=+（3）第三个方程两边都是“分数”，所以交叉相乘后仍相等，解法如下：()()()()()111233311123333233233325628x x x x x x x x x x -=+-=⨯+-=+-=+==交叉相乘去括号移项2.在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张，如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？答案：10张【解析】设甲得了x 张选票．则乙得了()25x +张，丙得了142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭张选票．三人的选票总和为36这一等量关系，可以列出方程()1254362x x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解这个方程：123612735210x x x x x ++=-== 因此，甲得了10张选票.3.有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个，问：有多少名学生上体育课？答案：24名【解析】设学生人数为x ，则排球、足球、篮球的个数分别为2x 、3x 、4x． 由于三种球一共26个，我们可以列出方程：26234x x x++= 解方程可得24x =．因此一共有24名学生．4.唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的35，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．答案：45人【解析】根据本题的等量关系我们应该设小班人数为x ，则大班人数为35x .再表示小班和大班画片的数量：小班每人13张，所以一共发了13x 张； 大班每人17张，所以一共发了3175x ⨯张．由题意，小班比大班多发126张画片，即小班总数减去大班等于12 126．我们以此为等量关系列出方程：313171265x x =⨯+解这个方程可得45x =. 因此小班一共有45人．5.阿呆和阿瓜两人收藏了127张游戏光盘，已知阿呆光盘的12和阿瓜光盘的45合在一起是83张，那么阿呆、阿瓜各收藏了多少张游戏光盘？ 答案：62张，65张【解析】设阿呆收藏了x 张游戏光盘，则阿瓜收藏了()127x -张游戏光盘，依题意得：()141278325x x +-= ()58127830x x +-=510168186x x +-=318662x x ==所以阿呆收藏了62张游戏光盘，阿瓜收蒇了127-62=65张游戏光盘.6.明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍，若两班合在一起，则男生所占的比例为60%.请问：六年级二班有多少名女生？ 答案：24名【解析】设一班人数为x ，由题意可得：一班男生有70%x 人，女生有30%x 人．二班男生有()70%2x -人，二班女生有230%x ⨯人，即60%x ． 将题目中涉及到的相关人数整理成表格，如下所示：我们以男生总数与所有学生总数的比例为等量关系．列出方程： ()140%260%230%2x x -=⨯-解这个方程得40x =．因此一班一共有40人，则二班女生有60%60%4024x =⨯=人.7.解下面的方程组（1）422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩答案：(1)1,9x y == (2)15,12x y ==【解析】(1)422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩①②本题如果用加减消元并不简便，相反如果将①式两边同时除以2得2x+y=11就可以用代入消元的方法来做.由2x+y=11可得y=11-2x ③ 将③代人②，得： 17x+7(11-2x)=80，解这个一元一次方程得：x=1； 将x=1代人③，得y=9；所以原方程组的解为：19x y =⎧⎨=⎩(2)4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩①②本题如果用代入消元法来处理会非常麻烦，注意到①式中x 的系数是4，而②式中x 的系数不带符号看是8，正好成两倍关系，因此我们可以采用加减消元法来处理．将①×2得：8x+14y=288 ③ 把③+②消去x 可得 26y=312， l 从而解得了y=12.将y=12代入①式可求得x=15.所以原方程组的解为：1512x y =⎧⎨=⎩8.小高与萱萱一起在水果店买水果，小高买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元，萱萱买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元．你能算出1千克苹果多少元，l 千克梨多少元吗？答案：l 千克苹果4元，1千克梨3.4元 【解析】设1千克苹果x 元，1千克梨y 元，则根据两人的花费列出方程组：3218.82318.2x y x y +=⎧⎨+=⎩①②把①式左右两边同对乘以2，得到： 6x+4y=37.6 ③把②式左右两边同时乘以3，得到： 6x+9y=54.6 ④ 用④式减去③式，得到： 5y=17, 解得y=3.4．把y=3.4代入①式得： 3x+2×3.4=18.8． 解出x=4．由此可见x=4，y=3.4．也就是说，1千克苹果4元，1千克梨3.4元．9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310，8个蟹将和10个虾兵就能把龙宫全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？答案：蟹将12个，虾兵30个【解析】设一个蟹将所能完成的工作量是x ，一个虾兵所能完成的工作量是y.根据题意，“2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310”，我们有方程32410x y +=；再根据“8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫”，还可列出方程8101x y +=．将这两个方程联立即得方程组：324108101x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩①②将①式两边乘以10可将其化为整数方程 20r+40y=3； ③再将②式两边同乘以4可得 32x+40y=4； ④ 再将④-③即可得112x =，进而可得130y =. 因此，只让蟹将打扫需要12个；只让虾兵打扫需要30个.10.如图4-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 答案：1：2【解析】假设竖式纸盒有x 个，横式纸盒有y 个，由分析可知，正方形纸板有(x+2y)块，长方形纸板有(4x+3y)块，由题意：正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2，因此我们列出方程：21432x y x y +=+该分数方程交叉相乘可得()4322x y x y +=+化简之后为y=2x ，即x:y=1:2．因此，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1：2．拓展篇：1.解下列方程：（1）31714612x x xx +-++=+（2）321721223423x x ⎡⎤⎛⎫⨯⨯++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）355412x x +=+ （4）()()()21725x x x ++=++答案：(1)12x = (2)65x = (3)514x = (4)12x =【解析】(1)原方程可化为：12x+3(x+3)+2(x-l)=7x+12， (两边同时乘以12) 12x+3x+9+2x-2=7x+12， （去括号） 17x+7=7x+12,17x-7x=12-7， （移项） lOx=5． x=0.5(2)原方程可化为：3212722234323x x ⎡⎤⨯++-=⎢⎥⎣⎦（先去小括号）3187226323x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ 1724423x x +-= （再去中括号）112423x x += （化简）211342x x -= （移项）51122x =65x =(3)原方程可化为：()()235541x x +=+ （交叉相乘）610205x x +=+ （去括号） 206105x x -=- （移项） 145x =514x =(4)原方程可化为：()()()()772225x x x x x x +++=++++ （先拆开一个括号）22772245x x x x x x +++=++++ （再拆开一个括号） 228749x x x x ++=++8749x x +=+ （消去两边的2x ）42x = （移项） 12x =2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是15，那么原来的分数是多少？答案：3389．【解析】设原来分数的分子是x ，则分母是122x -，分子、分母减去19之后，分别等于x-19和103-x ．此时分数等于15．根据这一等量关系列出方程得1911035x x -=-交叉相乘后得5(x-19)=103-x ，求解可得x=33．此时原来分数的分母是122-x=122-33=89，即原分数就是3389.3．130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，请问：最后配成的盐水有多少克？答案：200克【解析】设新添的浓度为9%的盐水有x克，那该溶液中盐的重量就9%x克．那么混合后的盐水总质量是(130+x)克，含盐(130×5%+9%x)克．由于混合前与混合后盐的重量相同，因此我们有如下方程：133×5%+9%x=6.4%×(130+x).两边同时乘以100，就可以去掉百分号，变成130×5+9x=6.4×(130+x).求解该方程，可得x=70.由于溶液混合后重量保持不变，因此最终的溶液是130+70=200克．4．如图4-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余l，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是n．图4-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个自然数．答案：1993【解析】由图4-2可以看出，第二次商等于（8a+7），第一次商等于[8(8a+7)+1]=64a+57，所求的自然数是8（64a+57）+1. ①同样地，由图4-3中的短除式可得，以17为除数的第一次商是（17×2a+15），所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4．②由于①、②两式表示的是同一个自然数，因此这两个式子相等，由此可得方程8(64a+57)+1=17 (17×2a+15)+4.解方程可得a=3因此所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4=17×(17×6+15)+4=1993．5.数学老师从一个装有若干个红色和蓝色小球的口袋中取出1个红色小球后，袋中剩下的小球有17是红色小球；如果一开始从口袋中取出2个蓝色小球后，袋中剩下的小球就有15是红色小球，那么原来这个口袋中有多少个小球？答案：22个【解析】设原来这个口袋中有x 个小球，依题意得： ()()1111275x x -+=-解得x=22.所以原来这个口袋中有22个小球．6.给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个，已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问：该班一共有多少名学生？答案：56名【解析】假设第二组有x 名学生，那么第一组、第三组、第四组学生的人数分别有2x 、（22-x ）、（22-x ）．由题意，总共分出去230个苹果，于是我们以苹果的总数作为等量关系列出方程：2x ×3+x ×4+(22-x ）×5+(22-x)×6=230, 化简得6x+4x+ll0-5x+132-6x=230. 求解得x=12.因此，该班学生的总数是2x+x+(22-x)+(22-x)=44+x=56人.7.甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶，甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？答案：420千米【解析】设A 、B 两地相距x 千米，依题意，先求出乙车行驶的时间，减去2小时就是甲车行驶的时间，再乘以甲车的速度就等于甲车行驶的路程，列出方程如下：228826028840x x -⎛⎫-⨯=+⎪⎝⎭ 3432120288x x --=+2840x = 420x =所以A 、B 两地相距420千米．8.解下面的方程组：（1）1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩ （3）18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩答案：(1) x=2, y=3 (2) x=7, y=4 (3) x=9,y=5【解析】(1)先给方程组编号1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩①②注意到两个方程中y 的系数为9和3，9是3的倍数，因此该方程适合用加减消元法；将①+3×②，并化简得：50x=100 ③ 解③得：x=2．将x=2代人①解得：y=3．所以原方程组的解为：x=2, y=3(2)先给方程组编号2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩①②不难看出，第一个方程中的x 很容易用y 来表示，因此该方程适合用代入消元法；由①得：x=2y-l ． ③将③代人②得：13(2y-1)-8y=59． ④ 解④得：y=4．将y=4代入③得：x=7．所以原方程组的解为：x=7, y=4.(3)先给方程组编号18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩①②两方程的y 的系数相差l ，相减后y 的系数恰为1，因此可以先用两式相减，再用代入消元法来求解；由①-②得：2x+y=23. ③ 由③得：y=23-2x ．将y=23-2x 代入②得：16x+28(23-2x)=284. ④ 解④得：x=9．将x=9代入y=23-2x 得：y=5． 原方程组的解为：x=9,y=59.商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种包装的筷子各有多少盒？答案：大盒数9，中盒数6，小盒数12【解析】设中盒数量为x ，则小盒数量是2x ，两者加在一起为3x ，因此大盒的数量为27-3x ．根据筷子总数为330，我们列出方程：()281227318330x x x ⨯+⨯+-⨯=将其化简整理可得()2818273330x x +-=解得x=6． }所以中盒数为x=6，小盒数为2x=12，大盒数为27-3x=9．10．甲、乙两人从柜距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？答案：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米【解析】假设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米．我们以两次行走的总路程为等量．列出方程：()()2 2.5362336x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 即：95723536x y x y +=⎧⎨+=⎩①②用①式减去②式，得：6x=36，即：x=6．把x=6代入②式，得：5y=18，即：y=3.6因此甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米.11.一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡，问：白球、黑球每个各重多少克？答案:每个白球重20克，每个黑球重15克【解析】设白球每个重量是x 克，黑球每个重量是y 克.第一次调整，右盘减少了一个白球，增加了两个黑球，所以变化量为2y-x ，而右盘增加了一个白球、一个20克的砝码，并减少了两个黑球，因此变化量为x-2y+20．由于天平仍然维持平衡，因此变化量相等，因此有方程：2022x y y x +-=-用同样的方法，我们可以利用第二次调整过程，列出第二个方程：2250x y y x -=-+将这两个方程联立，即得方程组：20222250x y y x x y y x +-=-⎧⎨-=-+⎩ 解这个方程组可得:x=20,y=15因此每个白球的重量是20克，每个黑球的重量是15克.12．奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．墨莫买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；小高买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；卡莉娅买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元，请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少元？答案:大号80元，中号60元，小号50元【解析】设奥运指定商品零售店里大号、中号和小号福娃的单价是x 元,y 元，z 元.由题意，容易列出以下方程组：32360227022300x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③ 解三元一次方程组的方法还是消元，消去一个未知数，使其变为二元一次方程组．本题可以利用代入消元法求解：①式可转化为x=360-(3y+2z)，将该式代 入②式和③式，得到以下二元一次方程组：()()2360322703603222300y z y z y z y z ⨯--++=⎧⎪⎨--++=⎪⎩解之得到y=60和z=50.为进一步求出x ，我们利用①式的变形x=360-(3y+2z)，再将上面求出的y 、z 代入该式即可得到x=80．最终方程组的解为x=80，y=60，z=50即大号、中号、小号福娃的单价分别是80元、60元、50元．13.如图4-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？答案:250厘米【解析】假设木板下滑后的高度是x 厘米，那么开始时的高度就是(x+90)厘米，由勾股定理，开始时木板长度的平方就是：702+(x+90)2，下滑后木板长度的平方就是：(130+70)2+x 2.由于两个式子表示的是同一块木板，因此有方程：()()2222709013070x x ++=++ 这是一个二次方程，但是把括号拆开就很容易看出含有x 2的项抵消了：4900+180x+8100=40000剩下的就是180x=27000即：x=150因此木板下滑后的高度是150厘米.把x=150代人(130+70)2+x 2，得：(130+70)2+x 2=2002+1502=2502.所以木板的长度就是250厘米.14.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17岁．问：这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？答案:18【解析】设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为a 、b 、c 、d ，我们根据题意列出方程，得到一个四元一次方程组：293233213173b c d a a c db a b dc a b cd ++⎧+=⎪⎪++⎪+=⎪⎨++⎪+=⎪⎪++⎪+=⎩ 先别着急用代入消元法计算，我们来看看方程组有什么特点．每个方程未知数的系数都是一个1和3个13，方程的形式都相同，但未知数循环出现．我们可以根据这个特点，用加减消元法计算．首先把这四个方程相加得：()113292321173a b c d ⎛⎫+⨯⨯+++=+++ ⎪⎝⎭将其化简可得：a+b+c+d=45． ⑤把①式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3a-a=29×3-45，即a=21;把②式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3b-b=23×3-45，即b=12；把③式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3c-c=21×3-45，即c=9；把④式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3d-d=17×3-45，即d=3．因此，这四个人的年龄分别是21、12、9、3，其中最大年龄与最小年龄的差是21-3=18.事实上，我们可以把方程组变形，得：22933223332213321733a a b c d b a b c d c a b c d d a b c d +++⎧+=⎪⎪+++⎪+=⎪⎨+++⎪+=⎪⎪+++⎪+=⎩ 很显然，在a 、b 、c 、d 四个数中，最大的是a ，最小的是d ．把第一个式子与第四个式子相减，就可以得到()229173a d -=-，解得a-d=18，也可以得到问题的结果．超越篇：1.丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：2536704x y x y +=⎧⎨+=⎩其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是7x =，3y =；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是4x =，4y =．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？答案:38【解析】设方程组的四个系数依次是a 、b 、c 、d ，即2536704ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩甲没有看错数，得出方程组的解是x=7，y=3，代入方程组：73253673704a b c d +=⎧⎨+=⎩乙误把“2536”看作“1536”，得出方程组的解是x=4，y=4代入方程组：44153644704a b c d +=⎧⎨+=⎩ 将上述4个方程重新组合可得:732536441536a b a b +=⎧⎨+=⎩①②7370444704c d c d +=⎧⎨+=⎩③④先解①、②两式组成的方程组，得到解为34638a b =⎧⎨=⎩再解③、④两式组成的方程组，得到44132c d =⎧⎨=⎩ 比较a 、b 、c 、d 这四个系数的大小，可知其中最小的系数是38.2.幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣．结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问：三个班总共分了多少个枣？答案:673个【解析】设乙班人数为x ，则甲班人数和丙班人数分别是(x+4)和(x-4)人，再设乙班小孩每人分y 个枣，则甲班和丙班每个小孩分到的枣的个数分别为(y-3)和(y+5)个，将这些条件整理成表格如下所示：再根据甲、乙、丙三个班总枣数的差，可以列出方程：()()()()433455x y xy xy x y +--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩①②接下来化简方程 ①式左端()()43x y xy =+--()()()43443124312x y x xyxy y x xy y x =+-+-⎡⎤⎣⎦=+---=--类似的，②式左端4520y x =-+这样①、②两方程就化简为43155415y x x y -=⎧⎨-=⎩①②①式与②式相加消去y ，即得2x=30,所以x=15．把x=15代入①式，即得y=(15+3x)÷4=15．于是甲、乙、丙3个班人数分别是19、15、11，每个人分到的枣的个数分别是12、15、20，共分到枣数为19×12+15×15+11×20=228+225+220=673个．3.下表显示了一次钓鱼比赛的结果：已知：①冠军钓到15条鱼；②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？答案:共有175名选手参赛，共钓到943条鱼【解析】设钓鱼数在3到12条的人数有x 人，共钓了y 条鱼．则钓了3条或3条以上的所有选手有x+5+2+1=x+8人，他们一共钓了y+13×5+14×2+15×1= y+108条鱼；钓了12条或者12条以下的选手有x+9+5+7=x+21人，他们一共钓了y+0×9+1×5+2×7=y+19条鱼；钓鱼的总人数为(9+5+7)+(x+8)=x+29人，他们共钓了(0×9+l ×5+2×7)+(y+108)=y+127条鱼.根据所给的条件②和③，我们可以列出方程组：()()6810852119x y x y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得：146816x y =⎧⎨=⎩所以钓鱼的总人数为x+29=175人，他们一共钓了y+127=943条鱼.4.A 、B 两地相距2400米．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B 地，乙又继续行进50分钟到达A 地．请问：甲比乙每分钟多走多少米？答案:20米【解析】我们不妨设甲、乙分别从A 、B 两地同时出发相向而行要花x 分钟相遇，则分析题中的条件可以知道：甲x 分钟走的路程乙要花50分钟走完，甲18分钟走的路程乙要花x 分钟走完．由路程固定时速度与时间成反比，因而有 50=18x x =甲速乙速 交叉相乘得x 2=900，所以x=30;而505=303=甲速乙速． 另外根据相遇问题速度公式，甲速十乙速=2400÷30=80，再根据甲乙速度的比例关系，我们可以求得两人的速度分别为每分钟50米和30米，因此甲比乙每分钟多走20米．5.甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲车单独运要几次运完？答案:10次【解析】我们设搬运这堆货物的总工作量是1，并设甲单独运需要x 次，则乙单独运需要(z+5)次，这样甲、己两人的工作效率分别是1x 和15x +，两人一起运，各运6次刚好可以运完，所以 6615x x +=+ ① 两边同时乘以x ×(x+5)=x 2+5x ，得到()263065x x x x ++=+ ，移项便得()23077x x x x =-=⨯- ②x 是整数，需要把30分解为两个差为7的整数的乘积，将30分解质因数可知30=2×3×5=3×(2×5)=3×10.由此可以直接解出x=10，并且容易看出满足该方程的自然数只能有这一个． 于是甲单独运这批货物共需要10次．6.一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．答案:56【解析】设数列的首项和末项分别为a 、b,项数为n.把“首项除以2，末项乘以2”，则总量增加了一个末项，减少了半个首项，因此变化量为增加12b a -；而“平均数增加7”意味着数列总和增加7n ，因此 172b a n -= ① 把“首项乘以2，末项除以2”说明数列综合变化为增加一个首项，减少半个末项，而总的变化量是减少，这说明减少的比增加的多。
第4讲 方程及应用
第4讲 方程及其应用限时计算能力训练：（1）4213301120912765211-+-+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++947511311673198（3）1999199819981998÷ （4）21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯一、解一元一次方程例1：503045x x+=； 练习1：115514464030x x --+=例2：)843(1385314-=+x x ）（ 100)1540(101191=-+x x练习2：）（231-x =）（2052-x 2870)1018(521853=-⨯+⨯x x例3：11810365741=⨯-÷÷）（x 31121487431=⨯-÷÷）（x练习3：5261651=+÷）（x 833243531=⨯-÷÷）（x例4：52221+-=--y y y 261312=+-+x x练习4：432128-12-+=+x x 31819615xx x --+=+ 例5：51174205x x +=-； 练习5：3115312=--x x例6：2%)20(2x x x =-+）（ 练习6：(3)( 1.2)(2)x x x x -⋅+=-巩固练习：（1）10(47)3(1212)216x x x ---=-； （2）38115923x x =⨯+；（3）21(300)54x x =+⨯； （4）31(2010)(10)5103x x +-⨯=-⨯+；（5）11(770)501910x x +-=； （6）1601160235x x+=； （7）4696-3154=++x x （8）2144312=-÷）（x（9）31821125322-=-÷）（x x （10）801132127--+=x x x（11）319521⨯-=）（x x （12）x x -=⨯-1313821）（（13）2100280051)2800(x 41-=⨯-+x （14） 9519-21-=⨯x x ）（（15）)104(5107-=+x x ）（ （16）x 1036x 152x 152=++（16）)10(431030-x 54-=+x （18）7-1269261）（x x -=二、解二元一次方程组例1、⎩⎨⎧=+=+1341632y x x x练习：用代入法解下面各方程组①3102x y x y -=⎧⎨=⎩ ②44323x y x y -=⎧⎨+=⎩③613.543 3.5x y x y +=⎧⎨-=⎩ ④21237x y x y +=⎧⎨-=⎩例2、⎩⎨⎧=+=-13272y x y x例3、⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x1. 用消元法解下列方程组①32135217x y x y +=⎧⎨+=⎩ ②3428211x y x y +=⎧⎨+=⎩③37334222x y x y +=⎧⎨+=⎩ ④35399266x y x y +=⎧⎨-=⎩三、方程的应用例1 某中学高中生人数是初中生人数的65，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的1712。
王敏行：第4讲：列方程解应用题
第四讲列方程解应用题【专题知识点概述】有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。
此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。
利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助，并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。
列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.一、列一元一次方程解应用题方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.解一元一次方程的步骤：1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化1二、二元一次方程组列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别，由于可以多设未知数，所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法，其中最关键的步骤是消元，“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数，解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方程的相减达到消元目的.代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.消元后，把方程转化成一元一次方程求解。
【重点难点解析】重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量.3、找到题目中的等量关系，建立方程.4、解方程.5、通过求到的关键量求得题目答案.难点：1.恰当的假设未知数2.从已知条件中寻找等量关系，列出方程或方程组并求解。
实际问题与一元一次方程(四)数字问题
④新数=原数-63.
借助表格
原数 新数
初中数学
十位数字 4x+1 x
个位数字 x
4x+1
两位数 10（4x+1）+x
10x+4x+1
分析：①原数=十位数字×10+个位数字；
②十位数字=4×个位数字+1；
4x+1
x
③新数=原数的个位数字×10+原数的十位数字；
④新数=原数-63. 10x+（4x+1）=10（4x+1）+x-63
原数 新数
百位数字 十位数字 个位数字
1
b
c
b
c
三位数 100+10b+c 100b+10c+1
初中数学
例题讲解
例2 有一个三位数，它的百位数字是1，如果把1移 到最后，其他两位数字顺序不变，所得的三位数比 这个三位数的2倍少7，求这个三位数.
原数 新数
百位数字 十位数字 个位数字
1
b
c
b
c
1
三位数
初中数学
例题小结
3. 未知数的选择;
原数 新数
十位数字 4x+1 x
个位数字 x
4x+1
初中数学
原数 新数
十位数字 y
（y-1）÷4
个位数字 （y-1）÷4
y
两位数 10（4x+1）+x
10x+4x+1
两位数 10y+（y-1）÷4
10y -1 4 y
例题小结
1. 逐字提取信息; 2. 两位数的表示; 3. 未知数的选择; 4. 检验的方法.
新苏教版七年级第四章《一元一次方程》教案
第四章一元一次方程课标要求：（1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）会解一元一次方程；（3）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.课时1 从问题到方程（1）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：学会用方程描述问题中数量之间的相等关系.过程与方法：通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型.情感、态度与价值观：初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值.2.重、难点：理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程.二、教材处理：1.情景创设：（1）天平称球（或硬币、铅笔等），见课本P114.（2）排球联赛，某队胜多少场？见课本P114.……建议根据实际情况，创设较多的与学生生活相关的实际问题，以激发学生学习兴趣.2.学生活动、意义建构、数学理论：用天平演示实验后，学生思考问题一：可以用什么方法解决这个问题？问题二：你是如何解决这个问题的？借助方程能否解，怎样解？对排球队胜多少场的问题，学生思考问题一：猜一猜，该队胜了多少场？问题二：可以用什么方法解决这个问题？（尝试法；枚举法；列方程等）问题三：设该队胜了x场，能用方程来解吗？如何解？从而揭示课题——从问题到方程.3.数学运用：例1（补）：见教师教学参考资料“某校七年级共有216名师生参加某次活动，用一辆面包车和若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐16人，还需用多少辆40座的客车？”学生思考一：设用x辆40座的客车，则客车能接送多少人？学生思考二：列方程，等量关系是什么？师提供正确的解题格式“设还需用x辆40座的客车.根据题意，得40x+16=216”.变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆40座的客车？变式训练二：用轿车和客车共9辆车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆轿车和多少辆40座的客车？……思维拓展见课本P115试一试；也可补充题，见教师教学参考资料……习题处理，见课本P115练一练1，2，3.学生说清每小题的等量关系式，而后师小结.建议补充一些能借用一元一次方程来解的简单的实际问题，如行程问题、工程问题、形积问题、商品销售问题等，介绍一些名词，为后面的学习作一铺垫，但一定要控制难度.4.回顾反思：（1）本课只是要求教师帮助学生在现实情境中，通过对多种实际问题的分析，感受方程是作为刻画现实世界模型的重要意义，建立方程思想.为第3单元作铺垫，对本章知识的学习起到提纲挈领的作用.（2）教学时，要在调动学生的积极性和激发他们的学习兴趣上下工夫.课时2 从问题到方程（2）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：通过对具体实际生活问题的分析，进一步学会根据实际问题的意义设未知数并列出方程，了解一元一次方程的概念.过程与方法：经历把实际问题抽象出数学问题的过程，体会方程是人们分析、解决实际问题的有效工具.情感、态度与价值观：进一步领会方程与现实生活间的密切联系，感受数学建模思想的应用.2.重、难点：分析问题，探寻等量关系列一元一次方程.二、教材处理：1.情景创设：（1）列车提速问题，见课本P115.生活背景：从1997年到2004年，我国共进行了5次列车提速.（2）见教师教学参考资料手机通讯话费付费方式2.学生活动、意义建构、数学理论：结合问题情景，思考：解决这个问题的关键是什么？题中涉及哪些量？这些量之间的关系如何？你能找出表示问题意义的相等关系吗？用方程怎样表达？方法一：用直接未知数.设甲、乙两城市间的路程为x km，相等关系：提速前的运行时间－提速后的运行时间=缩短时间.方法二：用间接未知数.设提速前列车从甲地到乙地的运行时间为x 小时，相等关系：提速前的运行速度×运行时间=提速后的运行速度×运行时间，即80x=100（x－3）.建议只让学生多一些方法，但不要讲的太多.3.数学运用：例1（补）：某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人，每艘船都坐满.问：大船、小船各租了多少艘？教学时可以先让学生尝试和探索，然后交流.而后概括从实际问题到方程一般要经历的过程：找出表示问题意义的相等关系，设未知数（通常用x、y等），用含未知数的代数式表示题中相关的量，根据相等关系列方程.思维拓展见课本P116试一试，P116练一练1.习题见课本P117及教师教学参考资料等.……最后，学生观察所列方程的特点，归纳得出一元一次方程的概念，再举出几个类似的方程.建议结合导学与评价，补充练习.4.回顾反思：（1）把实际问题抽象为数学问题，再从数学问题到列出方程.关键在于弄清题意，恰当地巧设未知数，找出问题中的相等关系.（2）设元设得巧，方程列得妙；设元设得好，方程列的得快.一般问什么则设什么，有时设未知的另一个量来求也较方便.（3）解题时，找出问题中的相等关系，要深刻理解题意，把握题中隐含条件及内在联系（如题中等量关系语句、量与量之间的关系）.（4）学有余力的同学鼓励其解方程（小学根据逆运算原理），对一般同学不作要求.课时3 解一元一次方程（等式的基本性质）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：了解与一元一次方程有关的概念，掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.过程与方法：经历数值代入计算的过程，领会方程的解和解方程的意义.知道求方程的解就是将方程变形为x=a 的形式.情感、态度与价值观：强调检验的重要性，养成检验反思的好习惯.2.重、难点：比较方程的解和解方程的异同；归纳等式的性质；利用性质解方程.二、教材处理：1.情景创设：（1）见课本P118“如何解2x＋1=5”.通过填表尝试，即采用枚举这一合情推理的方法找出满足方程的未知数的值，得出方程的解和解方程的概念.（2）见华东师大版七（下）P4由用天平测物，联想到等式的几种变形.探索得出：如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以看到天平依然平衡，得x＋2=5→x=5－2，3x=2x＋2→3x－2x=2；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡，得2x=6→x=6÷2.学生归纳等式的性质.2.学生活动、意义建构、数学理论：出示问题情景（1）后，学生考虑：怎样求方程中的未知数的值？分别将1、2、3、4、5代入方程，哪一个值能使方程成立？学生做课本P118试一试，教师讲授方程的解和解方程的概念.引入问题情景（2）后，鼓励学生说出各自不同的想法，相互交流、补充，逐步引导启发学生归纳等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式. 等式的性质比较抽象，教学时不必在理论上作过多的展开，重在问题情景②探索的过程，可多举例讨论.3.数学运用：处理完问题情景（1）（2），学生阅读课本P118—119，进一步熟悉学习内容，思考：比较方程的解和解方程的异同？（方程的解是使方程成立的未知数的值；解方程是求方程解的过程，是一个等价变形过程，而求方程的解就是将方程变形为x=a的形式）.出示例1 解下列方程：（1）x＋5=2；（2）－2x=4.引导学生自己尝试运用等式的基本性质解方程，说清楚每一步的依据，交流解题方法.教师提供正确的解题格式.强调检验方法及检验的必要性.习题训练：（1）以下变形是否正确？（2）说明变形的依据？（3）解方程，如课本P120练一练1，教师教学参考资料例题等.思维拓展：（1）求作一个方程，使它的解为－1；（2）简单应用题如课本P120练一练2.4.回顾反思：（1）小学阶段利用加减法、乘除法互为逆运算的方法解方程，学生印象深刻，教学时鼓励学生运用等式的性质来求，但不强求.（2）解方程后，虽不要书面检验，但要求学生培养检验反思的好习惯.（3）注意等式的性质中的“都”和“同”：“都”表示两边均要变形，“同”表示两边要作一样的变形.（4）简单介绍等式的另两条性质：对称性与传递性.课时4 解一元一次方程（移项）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程.过程与方法：通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法.情感、态度与价值观：进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想.2.重、难点：移项法则的归纳与应用.二、教材处理：1.情景创设：开门见山，专题训练.解方程（写出解答过程中的第一步）：（1）x＋2=7→；（2）3＋2x=1＋x→；（3）－x＋3=－2→；（4）2x－3=1→；（5）－2x＋9=－5→；（6）3＋4x=1－2x→.2.学生活动、意义建构、数学理论：结合上面问题与课本P120例2，P121例3，让学生尝试解答，讨论辨析，观察方程的变形，并叙述这种变形规律，得出移项法则.3.数学运用：课本P120例2，P121例3的教学处理：先让学生自主探求，师发问：解方程4x－15=9时，能否直接把等式左边的－15改变符号移到等式右边？方程4x－15=9与4x=9＋15的差别在哪儿？解方程2x=5x－21时，能否直接把等式右边的5 x改变符号移到等式左边？为什么？指导学生在例2、例3解方程的过程中发现规律，结合两例课本云图说明及卡通人的介绍，引出这种方程的变形是移项.学生自主总结出移项法则——移项要变号. 牢记：从等式左边移到等式右边的项要变号；从等式右边移到等式左边的项也要变号.“叛变”了嘛！建议补充什么是多项式的项，未知项，常数项？用移项法解方程须注意：（1）目标明确，解方程目标是把方程变形为x=a的形式；（2）移项时，要移谁，移到哪？（3）怎样移项？方法一是利用加、减法互逆运算这一关系；方法二是利用等式的性质；方法三是移项法则.用课本P121例4来进一步熟悉移项法则在解方程中的运用.注意解题步骤的规范化.习题训练：（1）以下移项变形是否正确？（2）解方程，如课本P122练一练1，2等.思维拓展，解简单的应用题，如课本P122练一练3或补充一些题.4.回顾反思：（1）学生从利用逆运算解方程到用移项法则解方程要有个过程，不宜操之过急.在移项时，学生常犯的错误是忘记变号，这主要是学生不熟悉移项法则，要对照等式的性质逐渐来理解.（2）解例题时要不拘泥于课本上的解法，追求解题策略的多样化.另外，注意解题格式的规范化和检验的必要性.（3）合并同类项法则学生可能已淡忘，适时进行整式的加减法的专项训练.教训：不要求学生“－x＋2x=（－1＋2）x=1x=x”谨小慎微，步子小了，也会拌自己的脚.（4）以练促讲，以练代讲.当堂检测，即时反馈.课时5 解一元一次方程（去括号）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：会应用去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一些简单的一元一次方程.过程与方法：经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据.情感、态度与价值观：初步掌握解方程的一般步骤，培养学生的概括能力和耐心、细致的学习态度..2.重、难点：去括号法则在解方程中的熟练应用.二、教材处理：1.情景创设：（1）小明说：“我姐姐今年的年龄是我去年的年龄的2倍少6，”已知姐姐今年20岁，问小明今年几岁？（2）见教师教学参考资料，即课本P116试一试.2.学生活动、意义建构、数学理论：学生分析：情景（1）是配平问题.若取小明今年为x岁，则依据下面的等量关系式列方程：姐姐今年的年龄=小明去年年龄的2倍－6.得2（x－1）－6=20.情景（2）得方程：x＋2（30－x）=50.师提出问题，如何解方程？用上节课的知识能不能求解？有什么困难？如何去掉这个方程中的括号？谈谈你的想法.学生讨论，教师把话题引到课本较为简单的例5上（见下面数学运用），引出去括号.3.数学运用：学生讨论：解方程P122例5 －3（x＋1）=9教师充分让学生活动起来，畅所欲言，说出如何变形为x=a的形式.（生：利用乘除法互为逆运算；利用等式的基本性质；利用乘法分配律；利用去括号的方法等等）前两种方法实际上是把x＋1看作一个整体；后两种方法只是整理方程的左边，实则去括号.师生一道解方程例5、情景问题（1）、（2）.总结：根据乘法分配律和去括号法则（括号前面是“＋”号，把“＋”号和括号去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“－”号，把“－”号和括号去掉，括号内各项都改变符号）去括号时要注意：（1）不要漏乘括号内的任何一项；（2）若括号前面是“－”号，，记住去括号后括号内各项都变号.习题训练：解方程，如课本P122练一练1，P113练一练2等.思维拓展，解简单的应用题，如课本P123练一练3或补充一些题，如含小括号、中括号、大括号的方程（这方面课本安排几乎没有，只限浅显问题，教师不必深究）.4.回顾反思：（1）注意解法的灵活性，不要过分强求学生按固定格式来解，可适当引导学生找出较好的解题方法和书写过程.（2）学生去括号时错误之处：数字系数漏乘某一项；乘后各项符号的确定不准确.（3）系数化为1时，注意不要和移项搞混，建议整数和小数系数可用除法，分数系数可改用乘法.课时6 解一元一次方程（去分母）一、教材分析： 1.学习目标：知识与技能：知道解一元一次方程的一般步骤，能灵活运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等五大步骤解一元一次方程.过程与方法：巩固方程解法，经历求解过程，能体会到解法应根据具体方程本身特点而定.情感、态度与价值观：体会化归思想——把复杂变简单，将未知变已知的作用，体会数学的应用价值. 2.重、难点：利用“去分母”将方程作变形处理. 二、教材处理： 1.情景创设：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？” 毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有21在学习数学，41在学习音乐，71沉默无言，此外，还有三名妇女.”算一算：毕达哥拉斯的学生有多少名？ 2.学生活动、意义建构、数学理论：由情景问题入手，引导学生审清题意，根据等量关系：学生总数的21＋学生总数的41＋学生总数的71＋3＝学生总数列出方程.即设毕达哥拉斯的学生有x 名，由题意得x /2＋x /4＋x /7＋3＝x .学生独立思考问题，尝试解方程，交流自己的解法，相互加以比较.（生：①先移项再合并同类项；②先合并同类项后移项；③两边同时乘以28，56，84……） 学生比较上述方法，判断选择，引入——去分母. 3.数学运用：结合情景问题的解法，师生互动处理课本P 123例7、例8.反馈矫正学生出现的问题，让学生展开讨论，发现解答时出错之处.去分母时须注意：（1）确定各分母的最小公倍数；（2）不要漏乘没有分母的项；（3）分数线有括号作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体.建议进行专项训练，如23x －，－23x －乘以6，8……概括解一元一次方程一般步骤，强调变形时各步易出现错误的内容.习题练习：见课本P 124练一练1，2，3 思维拓展：见课本P 124议一议2.02x －－5.01 x =3；又如03.01.0x －7.02.09.0x－=1 （提示：分子、分母是小数、分数的可以首先利用分数的基本性质将其化为整数系数，然后再解方程.） 4.回顾反思：（1）回顾去分母注意事项，见上面数学运用.（2）本课时蕴涵的数学思想方法主要是化归思想.解方程的过程就是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、（未知数）系数化为1等步骤，把一个一元一次方程逐步转化为x =a 的形式.这是一个等量变形的过程，也是一个化归的过程.（3）具体解方程时，可根据具体情况，有些步骤可能用不上；有些步骤可以前后顺序颠倒；有时还可以省略一些步骤，以使运算简化.课时7 用方程解决问题（配料问题）一、教材分析： 1.学习目标：知识与技能：大致了解用方程解决问题的一般步骤和方法，明确其关键是找出能表示实际问题全部含义的相等关系.过程与方法：经历活动和思考、交流与讨论、分析解决问题等过程，体会数学的应用价值.情感、态度与价值观：经历“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，感悟数学建模思想. 2.重、难点：寻找等量关系. 二、教材处理： 1.情景创设：冰淇淋配料问题，见课本P 126. 2.学生活动、意义建构、数学理论：借用课本中两个卡通人的对话，学生思考：（1）如果用算术解法你能解出结果吗？如何求？（2）若用方程求解，如何设未知数？等量关系式是什么？（3）如果在三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料比是2∶3∶5，那么如何设未知数？学生在教师指导下完成问题，了解解法步骤：理解题意，找出一个能表示实际问题全部含义的相等关系，分析解答过程，设未知数，再根据相等关系列出方程，解这个方程，并写出答案.在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.3.数学运用：课本P127问题1：分析：根据题中关键语句“做这批桌子，恰好用去木材3.8m3”，得相等关系：做桌面的木材＋做桌腿的木材=3.8m3.设共做了x张桌子，做桌面的木材需0.03x m3，做桌腿的木材需4×0.002x m3，方程为0.03x＋4×0.002x=3.8……学生自主解决问题.习题练习：课本P128练一练1，2；再举例如螺母螺栓、盒身底盖、人员调配问题等.思维拓展：数学实验室（月历问题），下图提供2005年11月的月历表（3）根据“数学实验室”中的游戏，请你再编一个游戏，并列出方程求解. 如：①某列3个数的和为54，这3个数是几？和能为56吗？②月历中能有2×2矩形方块中的4个数之和为80吗？若有，这四个数之间有什么样的关系？4.回顾反思：（1）进一步熟悉解一元一次方程的方法步骤；（2）弄清楚用一元一次方程解决问题的关键；（3）根据学生情况，适当补充安排较多类型的问题.如课本P129练一练3，4和教师教学参考资料补充例题.课时8 用方程解决问题（表格建模）一、教材分析： 1.学习目标：知识与技能：能利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系列方程解决问题.过程与方法：进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力. 情感、态度与价值观：综合运用已有知识，在探索和解决问题的过程中获得体验，发展自己的思维能力. 2.重、难点：表格设计，用表格分析题中的数量关系. 二、教材处理： 1.情景创设：广东宏远队的朱芳雨是中国男篮的主力前锋.在一场洲际杯比赛中，他一人独得23分（不含罚球得分）.已知他投进3分球比2分球少4个，他一共投进了几个3分球和几个2分球？ 2.学生活动、意义建构、数学理论：学生分析：题中涉及哪几个量？（投中3分球和2分球的个数关系，得分）；相等关系是什么？（3分球的得分＋2分球的得分=23）教师提示，师生建构表格，学生填写. 根据表格和相等关系列出方程： 3x ＋2（x ＋4）=23. ……学生在问题情景中初步体验用表格建模策略分析问题各量间的相互关系，列表格是解决问题的一个重要手段.3.数学运用：课本P 129问题2.学生仔细审题（齐读或精读后能复述题意）思考：（1）指出问题中的数、数量、已知数量和未知数量；（2）表格可以怎样设计？（3）设小丽买了x kg 苹果，如何用表格分析问题中的数量关系？列出方程是什么？思维拓展：本题还有没有其它解法？（如：设小丽买了x kg橘子；设小丽买了x元苹果；设小丽买了x元橘子）教师小结，让学生体会用方程解决问题时，设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有所选择.习题练习：见课本P130练一练2，3或安排其它.4.回顾反思：（1）解方程，读懂题意是解决问题的前提，审题不要留于形式，“磨刀不误砍材工”.（2）所谓解题建模策略，是帮助学生理解题意，找清楚各量间的关系的一种方法，一种策略，一种途径，一个手段，不要过多地加大对解题策略（列表格）的分析、构建，这不应成为解方程的新的难点.学习时，可用列表格法表示问题的数量关系，列出代数式，帮助理清思路，找准等量关系列方程.课时9 用方程解决问题（示意图建模）一、教材分析：1.学习目标：知识与技能：能利用示意图作为建模策略，分析实际问题中的等量关系列方程解决问题.过程与方法：经历用方程解决实际问题的过程，提高应用数学的意识.情感、态度与价值观：进一步体会建构方程模型的作用，培养抽象、概括、分析问题的能力的勇于克服困难的意志.2.重、难点：示意图的构建和分析.二、教材处理：1.情景创设：简介“中国结”的文化内涵：见教师教学参考资料“课程资源”.问题情景，见课本P130.2.学生活动、意义建构、数学理论：呈现问题后，教师点拨：（1）直接分析：题中两个条件分别交代了计划做“中国结”总数可用含小组成员数（设x ）的两个代数式来表示，得方程 5x －9=4x ＋15；（2）借助示意图分析相等关系.结合课本示意图，学生思考：根据问题中的第（2）个条件，这个 小组计划做的中国结多少个？怎样在示意图 上表示？你能根据示意图中线段和或差写出相等关系吗？并根据相等关系列出方程吗？你能列出几个不同的方程，不妨与同学交流一下.（5x －4x =9＋15；5x －9－15=4x ；5x =4x ＋15＋9等）示意图通常可以画成直线图或环形图等，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程.行程类问题中的数量关系多数可以用示意图来表达. 3.数学运用：例：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步.已知环形跑道一圈长400m ，乙每秒中跑6m ，甲每秒中跑8m.（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8m 处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8m 处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？安排构思：补充环形示意图和线形示意图的作用，为下节课学习作一准备.分析：第（1）问是相遇问题，相等关系为：甲的行程＋乙的行程=环形跑道一圈长－8m ；第（1）问是追及问题，相等关系为：甲的行程=乙的行程＋相差距离（400一8）m..教师可以指导学生利用环形示意图 和线形示意图来帮助理清相等关系.习题见课本P 131练一练1，2，3，4.思维拓展：情景问题若设计划做x 个中国结，能不能解决？ 课本习题可提高要求，一题多解，变式训练. 4.回顾反思：（1）利用示意图进行分析是继列表格法之后解决问题的又一个重要手段，示意图帮助我们分析各个量之间的相互关系的一种有效的工具.教学时，可多找一些实例去分析，让学生切身体会示意图的作用.（2）教学时，多让学生去探索、讨论、交流，来感悟画示意图帮助分析问题、解决问题.。
5.2 第4课时 解一元一次方程- 去分母课件人教版数学七年级上册
移项，得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项，得25x=23.
系数化为1，得x=
23
.
25
拓展提升
例 若要使
取的值为
+
与3m-2的值不相等,则m不能
.
探
究
+
与 解：令 =Biblioteka m-2应 去分母，得m+1=2（3m-2）
用 去括号，得m+1=6m-4
移项，得 m-6m=-1-4
合并同类项，得-5m=-5
(
)
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时,漏乘某项出错
C.去括号时没有变号
D.去分母时,各项所乘的数不同
3.当x=
−1
2−
时, 的值比 的值大2.
4
3
4.解方程:(1)
5−1 5−7
=
6
3
2+1
+2
(2)
+1= .
3
2
课
堂
小
结
与
检
测
1.将方程2-
2−4
−7
=- 去分母,得
3
12
(
C )
A.24-4(2x-4)= x-7
B.24-4(2x-4)=-x-7
C.24-4(2x-4)=-(x-7)
D.24-4x+4=-x+7
2−1 −1
2.将方程
- =1去分母,得6x-3-2x-2=6,错在
2
3
(
C )
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时,漏乘某项出错
C.去括号时,没有变号
湘教版七年级上册数学第3章 一元一次方程 用一元一次方程解实际问题的一般步骤
感悟新知
2x-(48-x-x)
知3－讲
原来
第一次改变 后
甲桶内水的 质量 48-x
48-x-x
乙桶内水的 质量 x
2x
感悟新知
解：设乙桶内原来有水x千克， 则甲桶内原来有水(48-x)千克． 根据题意，得2(48-x-x)=2x-(48-x-x)， 解得x=18，48-x=48-18=30． 答：甲桶内原来有水30千克， 乙桶内原来有水18千克．
感悟新知
知2－讲
(3)设圈出的四个数中，最小数为y，则另三个数 分别为：y+1、y+7、y+8，根据题意，得 y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=56.
解这个方程，得y=10. 所以y+1=10+1=11，y+7=10+7=17， y+8=10+8=18. 答：这四天分别是10号、11号、17号、18号.
课堂小结
用一元一次方程解实际问题的一般步骤
1.①列方程解实际问题的关键是找等量关系. ②列方程时，方程两边所表示的量必须相等，并
且单位一定要统一. ③解出方程的解还要检验其是否符合实际意义. 2.列一元一次方程解应用题的一般步骤为：①审、
②设、③列、④解、⑤验、⑥答.
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
知1－导
感悟新知
(1)你认为小红和小华的做法正确吗？方程
知1－导
15%x+170=x与15%x=x－170有怎样的联系？
2024年新人教版七年级数学上册教学课件 第五章 5.3实际问题与一元一次方程(第4课时)
列 方 程
费 用 相 同
更 优 惠
如何比较两个代 数式的大小
同学们，通过这节课的学习， 你有什么收获呢？
谢谢 大家
上制作的，可以在Windows环境下独立运行，
集文字、符号、图形、图像、动画、声音于
一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学
生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直 样，也可能因讨厌一位老师而讨厌学习。一个被学生喜欢的老师，其教育效果总是超出一般教师。 无 论中学 生还 是小 学生， 他们 对自己 喜欢 的老 师都会 有一些 普遍 认同的 标准， 诸如 尊重和 理解学 生， 宽容、 不伤害 学 生自尊心，平等待人、说话办事公道 、有耐 心、不 轻易发 脾气等 。 教师 要放 下架子 ，把学 生放 在心上 。“蹲 下身 子和学 生说话 ，走下 讲台给 学生讲 课”;关 心学生 情感体 验，让 学生感 受 到被关怀的温暖;自觉接受学生的评价 ，努力 做学生 喜欢的 老师。 教 师要学 会宽 容， 宽容学 生的 错误和 过失 ，宽 容学生 一时没 有取 得很大 的进步 。苏 霍姆林 斯基说 过： 有时宽 容引起 的 道德震 动，比 惩罚 更强 烈。每 当想 起叶圣 陶先 生的 话：你 这糊涂 的先 生，在 你教鞭 下有 瓦特， 在你的 冷眼 里有牛 顿，在 你 的讥笑里有爱迪生。身为教师，就更 加感受 到自己 职责的 神圣和 一言一 行的重 要。 善 待每一 个学 生， 做学生 喜欢 的老师 ，师 生双 方才会 有愉快 的情 感体验 。一个 教师 ，只有 当他受 到学 生喜爱 时，才 能 真正实现自己的最大价值。 义务教育课程方案和课程标准（2022 年版） 简介 新课标 的全名 叫做 《义 务教育 课程 方案和 课程 标准 （2022 年版） 》， 文件包 括义务 教育 课程方 案和16 个课 程标准 （2022 年 版），不仅有语文数学等主要科目， 连劳动 、道德 这些， 也有非 常详细 的课程 标准。 现行义 务教育 课程 标准 ，是201 1年 制定的 ，离 现在已 经十 多年了 ；而 课程方 案最早 ，要 追溯到 2001年 ，已 经二十 多年没 更 新过了，很多内容，确实需要根据现 实情况 更新。 所以这 次新标 准的 实施 ，首先 是对 老课标 的一 次升 级完善 。另外 ，在 双减的 大背景 下颁 布，也 能体现 出， 国家对 未来教 育 改革方向的规划。 课程方 案课程 标准 是啥 ？课程 方案 是对某 一学 科课 程的总 体设计 ，或 者说， 是对教 学过 程的计 划安排 。简 单说， 每个年 级 上什么课，每周上几节，老师上课怎 么讲， 课程方 案就是 依据。 课程标 准是规 定某 一学 科的课 程性 质、课 程目 标、 内容目 标、实 施建 议的教 学指导 性文 件，也 就是说 ，它 规定了 ，老师 上 课都要讲什么内容。 课程方 案和课 程标 准， 就像是 一面 旗帜， 学校 里所 有具体 的课程 设计 ，都要 朝它无 限靠 近。所 以，这 份文 件的出 台，其 实 给学校教育定了一个总基调，决定了 我们孩 子成长 的走向 。 各门课 程基于 培养 目标 ，将党 的教 育方针 具体 化细 化为学 生核心 素养 发展要 求，明 确本 课程应 着力培 养的 正确价 值观、 必 备品格 和关键 能力 。进 一步优 化了 课程设 置， 九年 一体化 设计， 注重 幼小衔 接、小 学初 中衔接 ，独立 设置 劳动课 程。与 时 俱进， 更新课 程内 容， 改进课 程内 容组织 与呈 现形 式，注 重学科 内知 识关联 、学科 间关 联。结 合课程 内容 ，依据 核心素 养 发展水 平，提 出学 业质 量标准 ，引 导和帮 助教 师把 握教学 深度与 广度 。通过 增加学 业要 求、教 学提示 、评 价案例 等，增 强 了指导性。 教育部 将组织 宣传 解读 、培训 等工 作，指 导地 方和 学校细 化课程 实施 要求， 部署教 材修 订工作 ，启动 一批 课程改 革项目 ， 推动新修订的义务教育课程有效落实 。
第二单元方程与不等式——第4讲：一元一次方程
号、
．
，
—
数） 的方程 ， 是逆 向的两个数学问题 ， 这是一 个开放题 型， 方法 、 答案都不唯一． 例 ２ （ ） 商店一 套 西服 的进 价为 ３ ０元 ， １某 ０ 按 标价的 ８ 销售可获利 １０ ， 折 ０ 元 设这套西服 的标 价为
元， 可列 出方 程 ．
将未知数系数化为
一
一３ ．
所得的结果 仍 数，
— —
分析
解 一 元 一 次 方 程 时 ， 注 意去 分 母 时 不 漏 要
（） ２ 等式两边乘 结果仍 说明 ．
，
—
或 除 以 同一 个
乘 不 含 分母 的项 ， 括 号 时 注 意 分 配 律 及 去 括 号 法 则 去
—
的运用． 答案 ： ． ＊
点评 本题 考查 的 是 一 元 一 次 方程 的 解 法 ， 本 是
等式 的性 质是 方程 化简、 变形 的依据． 的未知数
，
— —
３ 求 出使方程 中等号左右 两边 ． 的值的过程 叫做
也 叫做 方 程 的 ４ 只 含 有 ．
，
— —
章 的基 础 ． （ ） 知 一 个 一 元 一 次 方 程 的 解 是 ２ 则 这 个 一 ２已 ， 元 一 次 方 程 是 ． 只写 一 个 即可 ） （
的利 息 ， 税 后 利 息 可表 示 为 ３ ０ ％ （— ２ ％ ） 元 ． 则 ．６ １ ０
而“ 到期后银行 应向储户 支付现金 ” 本金 与税 后利 是
息 的和 ， 本 金 ＋税 后 利 息 一 ５２ ． ， 列 出方 程 即 １ ２４ 可
・
争
一
④
．
＋ ３ ０ ％ （ —２ ％ ） ． ６ １ ０ 一５ ２ ． ． １２４
第4章 一元一次方程——一元一次方程的定义和解法 讲义苏科版版数学七年级上册
A．3-x-1＝0 B．6-x-1＝0 C．6-x+1＝0 D．6-x+1＝2
题型二：解方程
例1、解下列方程
（1）－2x=－3x+8（2）56=3x+32－2x
(3) （4）4y﹣3(20﹣y)=6y﹣7(9﹣y)
(5) （6） x－ ＝１
(7) （8）
（9） . （10） － = 1
注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程是指求出方程的解的过程．
②方程的解的检验方法：把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，比较两边的值是否相等．
【例题精讲】
第一部分：从问题到方程
题型一：方程及一元一次方程的概念辨析
例1、已知 是关于x的一元一次方程，试求代数式 的值。
3. 移项法则
把等式一边的某项__________后移到另一边，叫做移项．
4. 去括号法则
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号_______．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号内相应各项的符号_______．
5. 解方程的一般步骤
（1）去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
（2）方程3y= ，两边都除以3，得y=1（ ）
改正：________________________________________________。
2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )．
A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6 B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6
C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4 D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝4
苏科版七年级数学上册 4.1 等式与方程(第4章 一元一次方程 学习、上课课件)
思路点拨 解答此类问题时，先要观察等式变形后的左边与右边，
与等式变形前的左边与右边的差异，是同时增加(或减少) 还是同时扩大(或缩小)，然后确定变形的依据，最后得出 结论.
感悟新知
知识点 3 方程
知3－讲
1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝
1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的 字母叫作未知数.
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣等量关系“剩余空白区域的面积＝(1－ 14)×长方形空地的面积”列出等式． 解：可列等式为(30－2x)(20－x)＝(1－14)×20×30.
感悟新知
知1－练
思路总结 列等式的一般思路：
(1)要注意理清情境中的数量关系，列出相应的代数式； 如题(1)是行程问题，可以根据“速度×时间＝路程”， 用代数式表示出甲、乙两人跑的路程；
个不为0的数.
感悟新知
知2－练
例 2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝c (c 为常数) 的形式， 正确的是( )
A. 由－13x＝23y得x＝2y B. 由3x－2＝2x＋2得x＝4 C. 由2x－3＝3x得x＝3 D. 由ax＝5a得x＝5 解题秘方：紧扣等式的基本性质求解，涉及加减的用性质 1，涉及乘除的用性质2(注意：等式的两边都除以同一个 数的时候，这个数必须不为0).
第4章 一元一次方程
4.1 等式与方程
学习目标
1 课时讲解 等式
等式的性质 方程 方程的解与解方程
2 课时流程
逐点 导讲练Leabharlann 课堂 小结作业 提升
感悟新知
知识点 1 等式
知1－讲
概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系
第4章《一元一次方程》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：叫做方程．2．一元一次方程：只含有（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数的次数为；②未知数所在的式子是，即分母中不含未知数．3．方程的解：叫做这个方程的解．4．解方程：叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：，结果仍相等．等式的性质2：，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边．(4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a ≠0)的形式．(5)系数化为1： 得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×3.利润问题：商品利润＝商品售价－4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× ×6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）关于x 的方程kx ＝2x +6与2x ﹣1＝5的解相同，则k 的值为（ ） A ．4B ．3C ．5D ．62．（2分）（2022秋•高新区期末）已知等式3a ＝2b +5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．3a ﹣5＝2bB ．3a +1＝2b +6C ．D ．3ac ＝2bc +53．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（）商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔x中性笔总计/ 13 34 A．+＝13 B．x+3.5（13﹣）＝34C．1.2（13﹣）＝x D．3.5（13﹣）＝34﹣x4．（2分）（2022秋•江都区期末）某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③＝﹣1；④+1．其中正确的是（）A．①④B．①③C．②③D．②④5．（2分）（2022秋•连云港期末）明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x 两银子，则可列方程为（）A．7x﹣4＝5x+8 B．C．7x+4＝5x﹣8 D．6．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）元旦期间，甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销，甲水果店连续两次降价，第一次降价10%，第二次降价20%，乙水果店一次性降价30%，小丽想要购买这种橙子，她应选择（）A．甲水果店B．乙水果店C．甲、乙水果店的价格相同D．不确定7．（2分）（2022秋•南通期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤8．（2分）（2022秋•泗洪县期末）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（）A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120xC．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）9．（2分）（2022秋•工业园区校级月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（）A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或者秒D．秒10．（2分）（2022秋•江都区月考）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是（）A．45 B．55 C．60 D．75二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．12．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在数轴上，A、B两点同时从原点O出发，分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动，运动的时间为t，若线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，则时间t 的最小值是．13．（2分）（2022秋•海门市期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是人．14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75%的酒精．现有一瓶浓度为95%的酒精500mL，需将其加入适量的水，使浓度稀释为75%．设加水量为xmL，可列方程为．15．（2分）（2022秋•江都区期末）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要小时．16．（2分）（2022秋•江阴市期末）某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，该商品的原价是元．17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．18．（2分）（2022秋•大丰区期末）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时，按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．19．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，正方形的边长为6，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是．20．（2分）（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•仪征市期末）解方程：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3；（2）+＝1．、22．（6分）（2022秋•仪征市期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：①5x﹣9＝4x+15②＝（1）①中的x表示；②中的y表示．（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．23．（8分）（2022秋•丹徒区期末）某商场用2730元购进甲、乙两种商品共60件，这两种商品的进价、标价如表所示：价格\类型甲乙进价（元/件）35 65标价（元/件）50 100（1）这两种商品各购进多少件？（2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中有2件甲种、1件乙种商品不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该商场共获利多少元？24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．25．（8分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过秒，P、Q两点相距3个单位．26．（8分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：户月用水量（m3）收费标准（元/m3）不超过18m3超过18m3，但不超过25m3的部分 5超过25m3的部分7（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费元；（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为m3，m3．27．（8分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N 两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N 表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．。
2024年苏科版七年级数学上册 4.3 用一元一次方程解决问题(课件)
知1－练
解题秘方：紧扣等量关系“两片国槐树叶与三片银杏树叶 一年的滞尘总量为164 mg”列出方程求解. 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，则一片银 杏树叶一年的平均滞尘量为(2x－4)mg. 根据题意，得2x＋3(2x－4)＝164. 解这个方程，得x＝22， 此时，2x－4 ＝40. 答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg ．
知2－讲
方法总结 常见的两种基本等量关系：
(1)总量与分量关系问题：总量＝各分量的和； (2)余缺问题: 表示同一个量的两个不同的式子相等.
知2－练
例 2 派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年， 派派妈妈 的年龄比派派年龄的4倍还大1岁， 则派派今年的年 龄为___4_岁____.
解题秘方：设派派今年的年龄为x岁，紧扣“5 年后 派派妈妈的年龄＝4×5 年后派派的年龄＋1 岁”， 即可列出关于x的一元一次方程.
“一读，二划，三复述，四表示.”“一读”就是读题，
审题 方法
初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找 出重点词句， 理出脉络，使题目简单明了；“三复述” 就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表
示”就是画图表示题意， 使题目变得一目了然
续表：
知1－讲
(1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用
知2－练
例 4 [定价格][中考·泰州]某校七年级社会实践小组去商场 调查商品销售情况， 了解到该商场以每件80 元的价 格购进了某品牌衬衫500 件， 并以每件120 元的价格 销售了400 件， 商场准备采取促销措施， 将剩下的 衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下， 当每件衬衫降 价多少元时， 销售完这批衬衫正好达到盈利45％的 预期目标？
[初二数学共享课程第4讲：“小明的幸福生活”一元一次方程与实际问题]教师版讲义
![[初二数学共享课程第4讲：“小明的幸福生活”一元一次方程与实际问题]教师版讲义](https://img.taocdn.com/s3/m/60c0c89fa8956bec0875e312.png)
第4讲“小明的幸福生活”一元一次方程与实际问题学习目标：学习用一元一次方程表示数量关系，掌握常见的几种类型应用题的核心公式，能够自主列解方程，并解答。
学习时间：2小时学习准备：PPT课件；【温故知新】1.甲比乙的三倍多6，如果乙是5，甲是【】2.78是3与4乘积的【】倍3.11增加2倍比21多【】4.3的4倍与6的和是【】5.3与6的和的4倍是【】6.9与25的和是【】的1/27.【】比39的2倍多68.5与【】的和的1/2是109.15缩小1/3与21的差是【】10.21缩小到1/3比5多【】【趣味引入】1.小明给大家分西瓜，整个西瓜的1/2分给爷爷奶奶，剩下西瓜的1/2分给妈妈，再剩下的西瓜小明和爸爸一人一半，小明发现自己的西瓜是0.25kg，整个西瓜多少千克？【教学说明】用生活中的小故事，反应数量之间的关系，用未知数表示某些数量，并用相等的数量关系列出方程，并求解。
【知识梳理】（一）路程问题：速度x时间=路程（二）工程问题：效率x时间=工作量（三）销售问题：售价-进价=利润，利润÷进价x100%=利润率（四）数字问题：3个连续的自然数：n-1，n，n+13个连续奇数：2n-1，2n+1，2n+33个连续偶数：2n-2，2n，2n+2一个三位数百位是c，十位是b，个位是a，这个数是：100c+10b+a【教学说明】列举常见的应用题类型，和这些常见的应用题所存在的数量关系，理解这些数量关系，并能够简单应用。
【经典探究】【例1】小明和小刚家距离1200米，两人相约见面，小刚每分钟走80米，小明每分钟走多少米能刚好在5分钟时见到小刚？解析：相遇问题，S1+S2=S总。
【例2】大明步行速度是75米/分，小明步行速度是45米/分。
在小明出发20分钟后，大明出发去追小明，求多少分钟能追上？解析：追击问题，S1-S2=S差。
【例3】老师布置了一项任务，小明单独做需要25天，小红单独做需要20天，小红单独做了11天后找小明一起做，两人合作还需要多少天能完成？解析：工程问题，工作量1+工作量2=总工作量。
第4讲 可化为一元一次方程的分式方程
中山市溪角初级中学
解：⑴设苹果进价为每千克 x 元，根据题意得： 400x+10%x（
3000 -400）=2100， x
解得：x=5，经检验 x=5 是原方程的解， 答：苹果进价为每千克 5 元． ⑵由⑴得，每个超市苹果总量为：
3000 =600（千克） 5
大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元，则乙超市获利 600×（
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★课前预习★ x 2
1．解分式方程 3 x
2x
=1Байду номын сангаас
时，去分母后可得到（
C
）
A．x（2+x）-2（3+x）=1 B．x（2+x）-2=2+x C．x（2+x）-2（3+x）=（2+x）（3+x） D．x-2（3+x）=3+x 1 3 =0 2．方程 x-2 x 的解为（ C ） A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
中山市溪角初级中学
考点 2．分式方程的应用 4. 列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工 时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿 化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
解：设每人每小时的绿化面积 x 平方米，由题意，得
年份 2010 2011 2012 2013
试题类型 解答题
知识点 无考 列分式方程（化为一元二次方 程）解应用题 无考 无考
分值 7分 6分
1．从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲命题难度较大，是中考的热点，考查的重点 是解分式方程和列分式方程解应用题． 2．题型以解答题为主． 3． 2014 年考查重点可能仍是解可化为一元一次或一元二次方程的分式方程和列分式方程解应用 题．
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学习前线个性化教案
课题 七年级上学期—— 一元一次方程综合复习（第4讲） 课时 2
学生姓名 王文珍 年级 初一 授课时间 教师姓名 瞿 珍
教学目标
1.熟练掌握一元一次方程的求解方法
2.掌握一元一次方程的应用 重点难点 1.求解一元一次方程
2.列方程解应用题
一、相信自己，一定能填对！
1、若3x+6=17，移项得＿＿＿＿＿， x=＿＿＿＿。
2、代数式5m ＋14与5(m －14
)的的值互为相反数，则m 的值等于＿＿＿＿＿＿。
3、如果x=5是方程ax+5=10－4a 的解，那么a=＿＿＿＿＿＿
4、在梯形面积公式s= 12
(a +b) h 中，若s=24，b=5，h=4，则 a=＿＿＿. 5、若(a －2)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。
6、当x=＿＿＿时，单项式5a 2x+1b 2 与8a x+3b 2是同类项。
7、方程5x 4x 123
－＋－＝，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。
8、如果2a+4=a －3，那么代数式2a+1的值是________。
9、从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20％，张老师于2003年5月1日在银行存入人民币4万元，定期一年，年利率为1.98％，存款到期后，张老师净得本息和共计_____元。
10、当x 的值为－3时，代数式－3x 2 + a x －7的值是－25，则当x =－1时，这个代数式的值为 。
11、一块圆柱形铁块，底面半径为20cm ，高为16cm 。
若将其锻造成长为20cm ，宽为8cm 的长方形，则长方体的高为＿＿＿cm 。
12、请你结合生活实际，编一道应用题，使得所列方程为2x ＋4＝3x －3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、慧眼识真！
1、下列各式中，不是等式的式子是＿＿＿＿。
A 、3+2=6；
B 、ab=ba ；
C 、2x －1=1+2x ；
D 、5(x －1)
2、方程2－2x 4x 7312
－－＝－去分母得＿＿＿。
A 、2－2(2x －4)＝－(x －7) B 、12－2(2x －4)＝－x －7
C 、12－2(2x －4)＝－(x －7)
D 、12－4x ＋4＝－x ＋7
3、一批宿舍，若每间住1人，则有10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住。
这批宿舍的间数为＿＿＿＿。
A 、20
B 、15
C 、10
D 、12
4、某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是＿＿＿＿。
A 、15％
B 、20％
C 、25％
D 、10％
5、某商场上月的营业额是 a 万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是＿＿＿＿。
A 、15%a 万元；
B 、a(1+15%)万元；
②小张也说：“我也来试试，”他添了“现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬450元。
如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？”请你就小张的添法进行解答。
2、阅读以下例题：
解方程：|3x|＝1。
解：①当3x ≥0时，原方程可化为一元一次方程3x ＝1，
它的解是：x ＝13
； ②当3x ＜0时，原方程可化为一元一次方程－3x ＝1， 它的解是：x ＝－13。
∴原方程的解是：x 1＝－
13，x 2＝13 仿照例题解方程：|2x ＋1|＝5
作业:
1、一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小36，求原来的两位数.
2．小明花了30元买了两种书，共5本，单价分别为3元和8元，每种书各买了多少本？
3、小明与小彬骑自行车去郊外游玩，事先决定早8点出发，预计每小时骑7.5千米，上午10时可到达目的地，出发前他们决定上午9点到达目的地，那么每小时要骑多少千米？
4、小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。
一天，小明以80米／分的速度出发，5分
加油,你是最棒的！。