《第一章 有理数》期末考点复习
七年级上数学期末复习第一章《有理数》
⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩第一章《有理数》一、基本概念 1、正数与负数 ①表示大小②在实际中表示意义相反的量 ③带“-”号的数并不都是负数2、数轴(规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴)原点 ①三要素 正方向 单位长度 ②如何画数轴 ③数轴上的点与有理数④在数轴上可以根据正方向比较大小 3、相反数①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。
数轴上表示相反数的两点关于原点对称。
②a 的相反数-a ；0的相反数是0。
③a 与b 互为相反数：a+b=0④多重符号化简：结果是由“-”决定的。
“-”个数是奇数个，则结果为“-”， “-”个数是偶数个，则结果为“+”。
4、绝对值①一般地，数轴上表示数a 的点与原点距离，表示成｜a ｜。
②离原点越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越小。
③一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.a （a ≥0）｜a ｜=-a （a ≤0）④正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
5、倒数①乘积是1的两个数叫作互为倒数。
（求一个数的倒数时，正负不变） ②a 的倒数是1a（a ≠0） ③a 与b 互为倒数：ab=16③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于它本身的数是±1，0 ⑤相反数是它本身的数是0 ⑥绝对值最小的数是0. 7、乘方①求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
（表示乘方时，底数是负数或分数时，需要加上括号）a ·a ·…·a=a n⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩②8、科学记数法①把一个绝对值大于10的数表示成a×n10（其中1≤｜a｜＜10，n为正整数）。
a 的整数位必须只有一位数。
负数表示成科学记数法，不能忘了“-”。
②指数n与原数的整数位数之间的关系：n-19、近似数与有效数字①准确数、近似数、精确度（3种求近似值的形式）精确到万位精确度精确到0.001保留三个有效数字②近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。
人教版七年级数学上册第一章有理数知识点总结
第一章有理数期末复习一、正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前加上符号“—”（负）的数叫做负数。
注意：0既不是正数，也不是负数；0是正数和负数的分界。
考点题目：1.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示_____________2.在跳远测试中，合格的标准是4.00m，小明跳出了3.96m，记做-0.04m，小强的成绩被记做+0.18m，则小强跳了______m3.洗衣粉包装袋上有：“净重：300±5g”，请说明这段文字的含义袋号 1 2 3 4 5净重 303 298 300 294 305根据上面的数据解释这5袋洗衣粉的净重是否合格。
4.飞机在距地面800m的高空做飞行表演，它第一次上升了200m，第二次下降了300m，第三次又上升了-100米，此时它距地面多高？二、有理数：整数和分数统称为有理数。
整数：正整数，0，负整数统称为整数；分数：正分数，负分数统称为分数注意：小数可以化为分数，所以把小数看成分数；百分数也是分数。
正有理数：正整数，正分数有理数｛ 0负有理数：负整数，负分数有理数｛整数：正整数负整数 0分数：正分数负分数含有“π”的数均不是有理数。
考点题目：1.“0”的意义：①0是整数，也是有理数。
②0不是正数也不是负数。
③0是自然数2.把下列各数填在相应的集合中：-22，-π，-5%，92 ，-0.66……，0.121121112……，3.14正整数集合：。
负整数集合：。
负分数集合：。
有理数集合：。
负有理数集合：。
三、数轴：规定了单位长度，原点，正方向的直线。
考点题目：1.数轴上表示表示3的点和表示-6的点之间的距离是_____2.数轴上-3与2之间有___个整数，有____个有理数。
3.点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度时，它所表示的数是_____4.在数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数为_______5.把数轴上表示2的点移动5个单位长度后，所得的对应的点表示的数是_______6.画出数轴并标出下列各数对应的点四、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数注意：a和-a互为相反数（a表示任意一个数，正数，负数，0）0的相反数是0；互为相反数的两个数相加得0考点题目：1.-3的相反数是_______；0的相反数是_______；2.化简各数的符号：-（-5）=_______ +（+5）=_______ +（-5）=_______（+5）=________3.如果a=-a，那么表示数a的点在数轴的位置是_______4.如果a+2的相反数是-8，那么a=_______如果a的相反数是-9，那么a=_______5.一个数在数轴上所对应的点向左移动8个单位后，得到表示他的相反数的点，这个数是_______6.若a+2的相反数是-8，那么a=_______五、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
第一章_有理数复习提纲
《第一章有理数》复习提纲1.1正数和负数正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数，在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。
1.2.1有理数正整数、 0 、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
∏、无限不循环小数不是有理数（练习）在－，1，0，8.9，－6，，－3.2，＋108，－0.05，28，－9中，（1）正整数是__________________；（2）负整数是____________________（3）正分数是_________________；（4）负分数是_____________________1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度要相等。
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
（练习）用数轴上的点表示下列各数：－1，0，4，－5，1，－2.5.1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（2和－2互为相反数）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
求相反数的方法：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
（练习）1、＋的相反数是＿＿；－的相反数是＿＿；0的相反数是＿＿；a的相反数是＿＿。
2、化简下列各数：同号得“+”，异号得“－”－（＋8）＝＿＿; －（－6）＝＿＿ ; －0＝＿＿；－（－a）＝＿＿＿。
1.2.4绝对值（绝对值：∣a∣≥0，绝对值不可能是负数。
第1章有理数(单元复习课件)(知识导图+考点梳理+数学活动+课本复习题)七年级数学上册人教版2024
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
盈利/万元
-6.8
-10.7
31.5
27.8
31.5> 27.8 > -6.8 > -10.7
6. 某年我国人均水资源比上年的增幅是 -5.6%. 后续
三年各年比上年的增幅分别是 -4.0%，13.0%，-9.6%.
这些增幅中哪个最小？增幅是负数说明什么？
-9.6%最小
（1）一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作| a |，
读作“a的绝对值”.
（2）绝对值的性质（非负性）.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0.
即： ①如果a>0，那么￨a￨= a；
②如果a=0，那么￨a￨= 0；
③如果a<0，那么￨a￨= -a.
7. 在数轴上表示下列各数、并将这些数按从小到大的顺序排列，
再用“<”连接起来.
3，-4，0，2，-2，-1
-4
-4
-3
-2
-1
0
-2
-1
0
-4 < -2 < -1 <
1
2
3
2
3
0 < 2 < 3
4
知识梳理
4. 相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数,互为相反数；
（2）相反数的几何意义：
在数轴上位于原点两侧并且到原点距离相等的两个点所表示
–(–2) > –|+2|
（3）+|–3| 和 |–(+5)|； （4）–(+ ) 和 –|–
（3）+|–3| = 3， |–(+5)| = 5；
沪科版七年级上数学第一章《有理数》期末复习课件(51张ppt)
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第1章 |复习（一）
考点攻略
►考点一 正、负数的意义
例 1 (1)如果前进 5 米记作＋5 米，那么后退 8 米记作 －8米 ． ________ (2)如果收入 200 元记为＋200 元，那么－50 元表示的意义 50元 ． 为支出 __________
[解析] 如果前进记为正，则后退记为负，所以后退 8 米 记为－8 米；如果收入记为正，则支出记为负，所以－50 元 则表示支出 50 元．
[ 解析 ]
是否为数轴，关键是要根据数轴的三要
素：原点、正方向、单位长度来加以判断．
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第1章 |复习（一）
误区警示 数轴是一条直线，它的三要素(原点、正方向、 单位长度)缺一不可．
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第1章 |复习（一） ►考点三 相反数的概念
－(－2013)的相反数是 1 B. 2013 D．－2013 ( D)
数；
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第1章 |复习（二）
(6)有理数的混合运算 在进行混合运算时， 要先 乘方 ， 再 乘除 ， 后 加减 ；同级运算，从左到右进行；如果有括号 要先算括号里面的(按小括号、中括号、大ห้องสมุดไป่ตู้号的次 序进行)．
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第1章 |复习（二）
2．科学记数法 一般地，一个绝对值大于或等于 10 的数都可以记成 ±a × 1 0 n 的 形 式 ， 其 中 1 ≤ a ＜ 1 0 ， n 等 于 原数的整数位数减1，这种记数方法叫做科学记数法． 3．近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响， 测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们将 此数称为 近似数 .
[解析] 17410＝1.741×104， 科学记数法的表示形式 为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 17410 有 5 位，所以可以确定 n＝ 5－1＝4，即 17410＝1.741×104.
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。
本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。
一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。
有理数的表示形式为分数或整数。
二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。
2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。
三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。
四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。
2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。
五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。
在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。
六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。
七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。
通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。
八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。
在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。
九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。
通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。
总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。
本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。
(完整版)初中数学第一章有理数知识点归纳总结
第一章有理数思维路径：有理数数轴 运算（数）（形）1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. ▲注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；▲a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.(4)相反数的商为-1.（5）相反数的绝对值相等4.绝对值：(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或 ⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；▲5.有理数比大小：（1）正数永远比0大，负数永远比0小；（2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；▲（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
人教版七年级数学上册第一章有理数全章总复习
知识清单
2.有理数的减法
(1)法则：减去一个数等于加上这个数的__相___反__数___；
(2)字母表示：a－b＝a＋___(_-_b_)____． 3.有理数的乘法 (1)法则：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值 __相__乘___；任何数与0相乘仍得__0__； (2) 几个不为0的有理数相乘，积的符号由_负__因__数___的个数决 定，当_负___因__数__有奇数个时，积为_负___，当_负__因___数__有偶数个 时，积为_正___；
知识清单
7有理数的混合运算的运算顺序 先算__乘__方___，再算__乘__除____，最后算__加__减____；如果有括号，就 先算_括__号__里__面___的____.
正整数), n的值比原数的整数位数少1. 解:(1)2800万 =28000000 =2.8×107
(2)1600亿 =1600000பைடு நூலகம்0000 =1.6×1011 (3)731000000 =7.31×108
例题讲解
例4按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1). 5.95（精确到0.1）； (2). 32.3（精确到个位）； (3). 1.645（精确到0.01）； (4). 1.0725（精确到千分位）．
3
3
8
正数集合 +8， 0.5，
20%， 5 ， ┉8
负数集合
-3，1 2 ，
1 3
，-3.314，
-12 ┉
分数集合
1
2 3
，
1 3
，
0.5，-3.14，
20%， ┉
5， 8
自然数集合 0，+8， ┉
课堂练习
人教版第一章有理数知识点总结及习题
第一章有理数知识点总结及习题一、有理数的基础知识（1）正数：像1、2.5，这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。
1.在4，0，-7，3.09，-3.2，-5, 6中，正数的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42..下列说法正确的是( )A 、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；B 、非负数就是正数；C 、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；D 、0既不是正数也不是负数；知识窗口：我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。
3.若-3000元表示亏损3000元，那么1390元表示的意义是4.已知小红比小勇高13cm ，小明比小勇矮9cm ，若将小红的身高记为+13cm ，那么小明的身高应记为 ，小勇的身高应记为 。
5.观察下列一列数：1，-2, 3，-4, 5，-6, 7，-8, 9，........。
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2015个数；（2）在前2015个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2016和-2016是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别在第几个？若不在，请说明理由。
2、有理数的概念及分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 概念剖析： ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数只有有限小数和无限循环小数是有理数；例1.下列说法中不正确的是（ ）A.-3.14是分数、负数，也是有理数B.0不是正数，也不是负数，但是整数。
C.-2015是负数，且是有理数D.0.9不是整数，也不是分数，因此它不是有理数。
第一章《有理数》复习总结
第一章《有理数》复习总结有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。
有理数可以表示为p/q的形式，其中p和q都是整数，且q不等于0。
p称为分子，q称为分母。
1.有理数的大小比较：(1)对于同号的有理数，绝对值越大，数值越大；(2)对于异号的有理数，正数大于负数，绝对值越小，数值越大。
2.有理数的加减乘除：(1)加法：拆分有理数，按照整数部分和小数部分相加；(2)减法：将减数变为相反数，再进行加法运算；(3)乘法：分别计算分子和分母的乘积，然后化简；(4)除法：将除数变为倒数，再进行乘法运算。
3.有理数的约分和化简：(1)约分：将分子和分母同时除以最大公因数，使得分数不可再约分；(2)化简：将带有分数线的有理数化为最简形式。
4.有理数的绝对值：(1)正数的绝对值是其本身；(2)负数的绝对值是其相反数；(3)零的绝对值是零。
5.有理数的相反数：(1)正数的相反数是负数；(2)负数的相反数是正数；(3)零的相反数是零。
6.计算混合数的值：(1)将整数部分和小数部分分开，分别计算；(2)将结果相加或相减，得到最终的结果。
7.有理数的乘方：(1)有理数的整数次方，将底数连乘或连除相应次数；(2)底数是分数，将底数化为整数的形式进行计算。
8.有理数的乘法逆元：(1)有理数的乘法逆元是其倒数；(2)除零外，任意非零有理数的乘法逆元存在。
9.有理数的混合运算：(1)先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算；(2)若有多个加法或减法运算，按照从左到右的顺序进行。
10.有理数在坐标轴上的表示：(1)正数表示点在原点的右侧；(2)负数表示点在原点的左侧；(3)零表示点在原点。
有理数在数学中有着广泛的应用，比如在数轴上定位、计算中的加减乘除、分数和小数的运算等。
学好有理数不仅需要掌握各种运算规则和性质，还需要大量的练习和实践。
通过不断的练习和思考，可以提高解决实际问题的能力，培养思维和逻辑思维能力。
总之，有理数作为数学的一个重要概念，是我们平日生活中接触最多的数的形式。
人教版七年级数学上册第一章《有理数》期末复习知识点+易错题(含答案)
人教版七年级数学上册期末复习有理数知识点+易错题有理数习知识点复习1、有理数的定义：________和________统称为有理数。
2、有理数的分类：按照符号分类，可以分为________、________和________；按照定义分类，可以分为________和________：整数分为________、________和________；分数分为________和________。
3、数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。
4、数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。
5、用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。
6、绝对值的定义：数轴上____________与________的________，叫做这个数的绝对值。
7、绝对值的表示方法如下：-2的绝对值是2，记作________；3的绝对值是3，记作________；0的绝对值是________。
8、相反数的定义：__________、__________的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________。
9、表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如2的相反数可表示为________。
10、有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，取__________符号，并用________________。
③一个数与0相加，________。
11、有理数减法法则：减去一个数，等于____________。
12、有理数加法运算律：加法交换律：a+b=________；加法结合律：(a+b)+c=________。
13、有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。
七年级数学上《有理数的运算》期末总复习资料
第一章有理数的运算期末总复习资料知识点一：有理数的加、减、乘、除、乘方运算1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与0相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示为：a-b=a+(-b)。
4.在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”5.有理数的乘法法则①：、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）②任何数同0相乘，都得0；③几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0 ④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：ab=ba⑵乘法结合律(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律a(b+c)=ab+ac6.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即a（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得07.乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳第一章有理数知识点总结一、正数和负数1.正数和负数的概念：负数是比小的数，正数是比大的数。
注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0.强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。
2.具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。
惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃。
二、有理数1.有理数的概念：⑴正整数、0、负整数统称为整数（和正整数统称为自然数）。
⑵正分数和负分数统称为分数。
⑶正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
2.数轴1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。
同一数轴上的单位长度要统一。
数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2）数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来。
3）利用数轴表示两数大小：在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4）数轴上特殊的最大（小）数：最小的自然数是1，无最大的自然数。
最小的正整数是1，无最大的正整数。
最大的负整数是-1，无最小的负整数。
3.相反数：1) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0.2) 互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0.3) 相反数的求法：求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）。
第一章有理数(学生版)
初一数学期末复习 第一章 有理数 主要知识点1.正数、负数、有理数例1.―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C ，那么零下2°C 记作 ；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨 . 例2. 把下列各数填在相应的集合内-0.1，-9，125，0，+16.71，1000，317-，4，-26，-3.8，6％，2π，0.3131131113……（每两个3之间依次多一个1）正数集合：{ …} ；负数集合： { … }； 整数集合：{ …} ；分数集合： { …}； 负分数集合：{ … } ；有理数集合：{ …}. 练习：1. 下列说法正确的是（ ）A. 有理数分为正有理数和负有理数B. 整数和分数统称有理数C. 0不是有理数D. 负有理数就是负整数 2. 在0，-2，3.14，227，2π，0.1414 中，有理数的个数是 （ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2.相反数、绝对值、倒数例1. （1）7的相反数是 ；（2）a b -的相反数是 ；a b +的相反数是 ； （3）相反数等于它本身的数是 ； （4）如果,a b 互为相反数，那么 . 例2.（1）-1.5的倒数是 ；（2）23的负倒数是 ；（3）a 的倒数是 ；（4）倒数等于它本身的数是 ；（5）如果,a b 互为倒数，那么 ；如果,a b 互为负倒数，那么 . 例3. （1）34-的绝对值是 ；（2）绝对值小于3的整数有 ；（3）若|x| = 3， |y| = 7，则x －y 的值是 ；（4）若a a -=，则a 与0的大小关系是：a 0（5）数轴上点A 距离表示数1的点6个单位长度，则点A 所表示的数是 ； 练习：1．－5的相反数、倒数、绝对值各是 （ ） A. 5,51,5 B. 5,51,5-C. 5,51,5-- D. 5,51,5--2. 下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 2.03-和3210B.12和2 C. 12-和0.5 D. 3和13-3.以下命题中：①倒数等于它本身是1；②绝对值等于它本身的数是0； ③相反数等于它本身的数是0； ④平方等于它本身的数是±1； ⑤立方等于它本身的数是±1. 正确的命题有( )个A. 0B. 1C. 2D. 3 4.若3a =-，则a =______________.5. 如果a 与1互为相反数，则│a│等于 （ ）A.2B.－2C.1D.－1 6.若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是 （ ） A. 0a b -= B. 0a b += C. 1a b = D. 1ab =-7．若22(1)0,x y -++=则xy =__________.8．已知x 、y 是实数，且2(1)24y x y --+与互为相反数，求实数x y +的倒数.9．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求2a b x cdx++-的值.10．大家知道055-=，它在数轴上的意义是表示5的点与原点之间的距离，又如式子36-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.类似的，式子5+a 在数轴上的意义是 .3.数轴例 1.若一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，则这个数是( )A.+8和–8B.+4和–4C.+8D. –4 例2. 把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： –3，+l ，212，－l.5，6.例3．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，•再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A ，B 是数轴上的点，•请参照图1-8并思考，完成下列各题:-5-4-3-2-10234567853（1）如果点A 表示数-3，•将点A•向右移动7•个单位长度，•那么终点B•表示的数是_______，A ，B 两点间的距离是________；（2）如果点A 表示数3，将A 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是_______，A ，B 两点间的距离为________；（3）如果点A 表示数-4，将A 点向右移动168个单位长度，再向左移动256•个单位长度，那么终点B 表示的数是_________，A ，B 两点间的距离是________．（4）一般地，如果A 点表示的数为m ，将A 点向右移动n 个单位长度，再向左移动p•个单位长度，那么，请你猜想终点B 表示什么数？A ，B 两点间的距离为多少？练习：1．如图5-2,数轴上的点A 表示的数为a,则1a 等于（ ）A. 12- B.12C.-2D.22. 点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图5-11所示，其中表示－2的相反数的点是___________.3. 数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（ ）A.6或6-B.6C.6-D.3或3-A BC D图5-11图5-21-1图4.绝对值化简例1.若有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示,化简：| a+b |＋| c+b |+| c-a |= .例2．已知8,2,a b a b b a ==-=-，则a b +的值是（ ） 1066101010A B C D ---、、、或、或练习： 1．化简：(1)3π- = ； (2)3.14π-= .2．若11a a -=-，则a 的取值范围是（ ）1111A a B a C a D a ><≥≤、、、、3．已知12x <<，则31x x-+-等于 （ ）2222A xB C xD --、、、、4．有理数,a b 在数轴上对应的点的位置如图1-1，则a b a b b a-+-++= .5．已知,a b 为实数，且0,0a b ><，化简2a b b a ---.5.比较大小例1.在数轴上表示出下列各数,并把各数用“<”从小到大连接起来. 1, 0, -3, 221, -1.5, 5.例2.用“>”“<”或“=”填空. (1)7383； (2)-4131； (3)0.1 -10；(4)0.2 0； (5)-(-3) |-3|； (6)|-521| -221.练习：1. 比较大小：35-12-； －（＋３.12138.2. 实数a 、b 两数在数轴上的位置如图5-16所示，下列结论正确的是 （ ）....A a b B a b C a bD a b>>->-<-3. 如图5-15，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是( ) A.a ＜1＜－aB.a ＜－a ＜1C.1＜－a ＜aD.－a ＜a ＜14.下列说法正确的是（ ）A.若a 为有理数，则0a -<B.如果两个有理数a b>，那么a b>C.已知两个有理数不等，则这两个数的绝对值也不等D.任何一个有理数的绝对值都是非负数5．大家知道055-=，它在数轴上的意义是表示5的点与原点之间的距离，又如式子36-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离。
人教版七年级上册期末复习精选题考点-第一章《有理数》复习
人教版七年级上册期末复习精选题考点第一章有理数知识点1：有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：细节剖析（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．细节剖析（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 细节剖析（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点2：有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．细节剖析“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知识点3：有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点4：科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.细节剖析一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.细节剖析（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.考点1：正数和负数【例题1】（2013秋•龙口市期末）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“(500.1)kg±、±、(500.2)kg ±”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()(500.3)kgA．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg【解答】解0.3(0.3)0.30.30.6()--=+=．kg故选：B．【变式1-1】（2009秋•宝应县校级期末）学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了20-米，此时小明的位置是()A．在家B．在书店C．在学校D．在家的北边30米处【解答】解：向南走了20-米，实际是向北走了20米，+=米处，∴此时小明的位置是在家的北边502070即在书店．故选：B．【变式1-2】（2019秋•芮城县期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是49.3kg．【解答】解：50(0.7)49.3kg+-=，故答案为：49.3kg ．【变式1-3】（2019秋•息县期末）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：):km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km 收费10元，超过3km 的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？【解答】解：（1）52(4)(3)1010()km ++-+-+=答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．（2）(52|4||3|10)0.2240.2 4.8++-+-+⨯=⨯=（升)答：在这个过程中共耗油4.8升．（3）[10(53) 1.8]10[10(43) 1.8]10[10(103) 1.8]68+-⨯+++-⨯+++-⨯=（元)答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．【变式1-4】（2019秋•漳州期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：( “+”表示进库，“-”表示出库）31+，32-，16-，35+，38-，20-．（1）经过这6天，仓库里的货品是 减少 （填增多了还是减少了）．（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？【解答】解：（1）)31321635382040+--+--=-（吨)，400-<，∴仓库里的货品是减少了．故答案为：减少了．（2）31321635382040+--+--=-，即经过这6天仓库里的货品减少了40吨，所以6天前仓库里有货品46040500+=吨．（3）313216353820172+++++=（吨)，1725860⨯=（元)．答：这6天要付860元装卸费．【变式1-5】（2018秋•恩施市期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：8+，6-，5-，10+，5-，3+，2-，6+，2+，5-（1）小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？（2）如果汽车耗油量为0.4升/千米，油价每升5.80元，那么这天下午汽车共需花费油价为多少元？【解答】解：（1）865105326256+--+-+-++-=．故小李距下午出发地有6千米远．（2）(86510532625)0.4 5.80+++++++++⨯⨯520.4 5.80=⨯⨯20.8 5.80=⨯120.64=（元)．故这天下午汽车共需花费油价为120.64元． 考点2：数轴【例题2】（2019秋•新都区期末）已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图所示，则||2|||1|a b b c a -----化简后的结果是 21c b -- ．【解答】解：由有理数a ，b ，c 在数轴上的位置可知，10c -<<，0b a >>，0a b ∴-<，0b c ->，10a -<，||2|||1|2()121a b b c a b a b c a c b ∴-----=----+=--，故答案为：21c b --．【变式2-1】（2019秋•曲沃县期末）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：)km 如下：3-，6+，2-，1+，5-，2-，9+，6-．（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？（2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？（3）若汽车消耗天然气量为30.2/m km ，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？（4）若出租车起步价为5元，起步里程为3km （包括3)km ，超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？【解答】解：（1）362152962km -+-+--+-=-，答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边2km 处．（2）|3|3-=，|36|3-+=，|362|1-+-=，|3621|2-+-+=，|36215|3-+-+-=，|362152|5-+-+--=，|3621529|4-+-+--+=，|36215296|2-+-+--+-=．54333221>>==>=>，∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远．（3）3(|3||6||2||1||5||2||9||6|)0.2 6.8m -++-++-+-++-⨯=答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米．（4）[(6596)34] 1.28556.8+++-⨯⨯+⨯=元，答：小李这天上午共得车费56.8元．【变式2-2】（2019秋•万州区期末）有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )A ．||3a <B ．0bc >C ．0a d ->D ．0a c +<【解答】解：由有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置可得，43a -<<-，||3a ∴>，因此A 选项不正确；0b <，0c >，则0bc <，因此选项B 不正确；0a <，0d >，0a d ∴-<，因此选项C 不正确；0a <，0c >，且||||a c >，0a c ∴+<，因此选项D 正确，故选：D ．【变式2-3】（2019秋•济源期末）如图，数轴上点A 、B 分别对应数a 、b ，其中0a <，0b >．（1）当3a =-，7b =时，线段AB 的中点对应的数是 2 ．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M 对应着数m ．①当3m =，3b >，且2AM BM =时，求代数式22010a b ++的值；②3a =-．且3AM BM =时学生小朋通过演算发现代数式34b m -是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？【解答】解：（1）3722-+=， 故答案为：2；（2）①由3m =，3b >，且2AM BM =，可得32(3)a b -=-，整理得29a b +=．所以，22010920102019a b ++=+=，②当3a =-，且3AM BM =时，需要分两种情形．Ⅰ：当m b <时，(3)3()m b m --=-，整理得343b m -=．Ⅱ：当m b >时，(3)3()m m b --=-，整理得233m b -=综上，小朋的演算发现并不完整． 考点3：绝对值【例题3】（2020秋•市中区期中）已知a 是一个正整数，记()||G x a x x a =-+-．若G （1）G +（2）G+（3）(2019)(2020)90G G +⋯++=，则a 的值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8【解答】解：当x a 时，则||x a x a -=-，()0G x a x x a ∴=-+-=；当x a <时，则||()x a x a x a -=--=-+，()22G x a x x a a x ∴=--+=-， G （1）G +（2）G +（3）G +（4）(2020)90G +⋯+=，∴设第n 个数时，即x n =，()G x 开始为0，即x a n ==，()220G n n n ∴=-=，G ∴（1）G +（2）G +（3）G +（4）(2020)G +⋯+22242622000n n n n n =-+-+-+⋯+-+++⋯+22(123)n n n =⨯-+++⋯+2(1)222n n n +⨯=-⨯2n n =-， 即290n n -=，解得110n =，29n =-（舍去）．故选：B ．考点4：有理数大小比较【例题4】（2015秋•铁西区期末）如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点M ，P ，N ，Q ，若点P ，Q 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的有理数的点是( )A ．点MB ．点PC ．点ND ．点Q【解答】解：点P ，Q 表示的有理数互为相反数，∴原点在PQ 的中点，此时点M 距原点最远，因此点M 所表示的数的绝对值最大，故选：A ．【变式4-1】（2019秋•凤翔县期末）有理数a 、b 在数轴上如图，（1）在数轴上表示a -、b -；（2）试把这a 、b 、0、a -、b -五个数按从小到大用“<”连接．（3）用>、=或<填空：||a > a ，||b b ．【解答】解：（1）在数轴上表示为：（2）0a b b a <-<<<-；（3）||a a >，||b b =，故答案为：>，=． 考点5：有理数的加法【例题5】（2018秋•铜陵期末）如图33⨯的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入0、1、2三个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等，你认为小林的设想能实现吗？( )A ．一定可以B ．一定不可以C ．有可能D ．无法判断【解答】解：在每个空格中分别填入0、1、2三个数字中的一个，和有0~6，共有7种情况， 而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，78<．故小林的设想一定不可以实现．故选：B ．【变式5-1】（2020春•肇东市期末）小虫从某点A 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-．（1）小虫最后是否回到出发点A ？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【解答】解：（1）5310861210+-+--+-2727=-0=，所以小虫最后回到出发点A ；（2）第一次爬行距离原点是5cm ，第二次爬行距离原点是532()cm -=，第三次爬行距离原点是21012()cm +=，第四次爬行距离原点是1284()cm -=，第五次爬行距离原点是|46|2()cm -=，第六次爬行距离原点是21210()cm -+=，第七次爬行距离原点是10100()-=，cm从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；（3）小虫爬行的总路程为：|5||3||10||8||6||12||10|++-+++-+-+++-=++++++5310861210=．cm54()⨯=（粒)54154所以小虫一共得到54粒芝麻．考点6：有理数的减法【变式6】（2018秋•岳池县期末）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，()=-．<，则AB的长度可以表示为AB b ab a b请你用以上知识解决问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B 点，然后向右移动5个单位长度到达C点．（1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．①当2t=时，求AB和AC的长度；②试探究：在移动过程中，34-的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，AC AB请求其值．【解答】解：（1）A，B，C三点的位置如图所示：（2）①当2t=时，A点表示的数为4-，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴=--=，12(4)16AC=--=．AB5(4)9②34-的值不变．AC AB当移动时间为t 秒时，A 点表示的数为2t --，B 点表示的数为21t +，C 点表示的数为36t +， 则(36)(2)48AC t t t =+---=+，(21)(2)33AB t t t =+---=+， 343(48)4(33)AC AB t t ∴-=+-+ 12241212t t =+--12=即34AC AB -的值为定值12．∴在移动过程中，34AC AB -的值不变．考点7：有理数的加减混合运算【例题7】（2020秋•顺德区校级月考）计算：（1）8(6)5(8)+-++-．（2）510.474( 1.53)166----．【解答】解：（1）原式8(8)(6)5=+-+-+ 0(1)=+-1=-；（2）原式510.47 1.53(41)66=+-+26=-4=-．【变式7-1】（2020秋•兰州期中）某仓库6天内粮食进、出库的吨数如下( “+”表示进库，“-”表示出库）:26+，30-，18-，34+，20-，15-（1）经过这6天后，库里的粮食增多或减少了多少吨？（2）经过这6天后，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？ 【解答】（1）解：26301834201523+--+--=-， 答：经过这6天，库里的粮食减少了23吨． （2）解：48023503+=， 答：6天前库里存粮503吨．考点8：有理数的乘法【例题8】（2019秋•镇江期末）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是( )A ．0ab >B ．0a b +<C ．0a b ->D ．0b a ->【解答】解：由题意：0a <，0b >，||||b a >， 0ab ∴<，0a b +>，0a b -<，0b a ->，故选：D ．【变式8-1】（2018秋•嵊州市期末）已知a 、b 、c 为非零实数，请你探究以下问题：（1）当0a >时，||a a = 1 ；当0ab <时，||abab = ．（2）若0a b c ++=．那么||||||||a b c abca b c abc +++的值为 ． 【解答】解：（1）当0a >时，1||a aa a==； 当0ab <时，1||ab abab ab==--． 故答案为：1；1-．（2）0a b c ++=，a 、b 、c 均不为0，a ∴、b 、c 两正一负或两负一正．当a 、b 、c 两正一负时，0abc <， 11110||||||||a b c abc a b c abc +++=+--=； 当a 、b 、c 两负一正时，0abc >， 11110||||||||a b c abc a b c abc +++=--++= 故答案为：0．考点9：有理数的除法【例题9】（2019秋•大安市期末）阅读下面的解题过程：计算11(15)()632-÷-⨯解：原式1(15)()66=-÷-⨯（第一步）(15)(1)=-÷-（第二步） 15=-（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 二 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．（2）把正确的解题过程写出来．【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．（2）11 (15)()632-÷-⨯1(15)()66=-÷-⨯(15)(6)6=-⨯-⨯906=⨯540=．故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．【变式9-1】（2019秋•江都区月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于1-；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；②若两个数（非0)互为相反数，则它们相除的商等于1-；故原命题错误；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．故选：A．【变式9-2】（2018秋•无为县月考）阅读下列材料：计算：1111() 243412÷-+．解法一：原式111111111113412 243244241224242424=÷-÷+÷=⨯-⨯+⨯=．解法二：原式14311211 ()6 241212122412244=÷-+=÷=⨯=．解法三：原式的倒数1111111111()()242424244 34122434123412=-+÷=-+⨯=⨯-⨯+⨯=．所以，原式14 =．（1）上述得到的结果不同，你认为解法一是错误的；（2）请你选择合适的解法计算：11322()()4261437-÷-+-． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一；（2）原式的倒数为：132211322()()()(42)792812352114614374261437-+-÷-=-+-⨯-=-+-+=-+=-，则原式114=-． 考点10：有理数的乘方【例题10】（2019秋•遵化市期末）一根1m 长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是( )A ．991()3mB ．992()3mC ．1001()3mD ．1002()3m【解答】解：第一次剪去绳子的23，还剩13m ； 第二次剪去剩下绳子的23，还剩2121(1)()333m -=， ⋯⋯∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为1001()3m ；故选：C ．【变式10-1】（2017秋•绍兴期末）小明爸爸给小明出了一道题，说明他本月炒股的盈亏情况（单位：元）请你也来计算一下，小明爸爸本月投资炒股到底是赔了还是赚了？赔了或赚了多少元？ 【解答】解：35002 2.81000 1.51500 1.82000⨯+⨯-⨯-⨯ 4000280022503600=+-- 950=（元)答：赚了，赚了950元．考点11：有理数的混合运算【例题11】（2020春•上虞区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n ；（其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取26n =．则：若49n =，则第449次“F 运算”的结果是( ) A ．98B ．88C ．78D ．68【解答】解：本题提供的“F 运算”，需要对正整数n 分情况（奇数、偶数）循环计算，由于49n =为奇数应先进行F ①运算， 即3495152⨯+=（偶数）， 需再进行F ②运算， 即3152219÷=（奇数），再进行F ①运算，得到319562⨯+=（偶数）， 再进行F ②运算，即162231÷=（奇数）， 再进行F ①运算，得到331598⨯+=（偶数）， 再进行F ②运算，即198249÷=，再进行F ①运算，得到3495152⨯+=（偶数），⋯， 即第1次运算结果为152，⋯，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，⋯， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， 4496745÷=⋯，则第449次“F 运算”的结果是98． 故选：A ．【变式11-1】（2019秋•海淀区期末）小明家想要从某场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从A 、B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示．表1：洗衣机和烘干机单价表洗衣机单价（元/台）烘干机单价（元/台）表二：商场促销方案则选择 B 品种的洗衣机和 品种的烘干机支付总费用最低，支付总费用最低为 元．【解答】解：购买A 品牌洗衣机和A 品牌烘干机费用(700011000)0.870000.813%40013272=+⨯-⨯⨯-=（元)；购买A 品牌洗衣机和B 品牌烘干机费用(700010000)0.870000.813%12872=+⨯-⨯⨯=（元)； 购买B 品牌洗衣机和A 品牌烘干机费用(750011000)0.875000.813%14020=+⨯-⨯⨯=（元)； 购买B 品牌洗衣机和B 品牌烘干机费用(750010000)0.875000.813%40012820=+⨯-⨯⨯-=（元)； 综上所述，选择购买B 品牌洗衣机和B 品牌烘干机支付总费用最低，支付总费用最低为12820元． 故答案为：B ；B ；12820．【变式11-2】（2019秋•甘州区期末）计算：（1）111()(24)836-+⨯-；（2）20131|2|(1)322-⨯--÷⨯；（3）2211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--；（4）817(36)()76⨯-⨯-⨯．【解答】解：（1）原式111(24)(24)(24)836=⨯--⨯-+⨯-384=-+-1=；（2）原式2(1)322=⨯--⨯⨯212=-- 14=-；（3）原式1112523=--⨯⨯7=-+1631=-；6（4）原式48=．。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是初中数学中的重要概念，它是进一步学习数学的基础。
下面我们来详细总结归纳一下有理数的知识点、考点和难点。
一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数可以看作是分母为 1 的分数。
分数则是两个整数的比值，形式为\（＼frac{m}｛n}＼）（其中\（n\neq 0\））。
二、有理数的分类1、按定义分类整数：正整数、0、负整数。
分数：正分数、负分数。
2、按性质分类正有理数：正整数、正分数。
负有理数：负整数、负分数。
三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴的作用：1、可以直观地表示有理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
2、可以比较有理数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
四、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如，＼（5\）的相反数是\（－5\），＼（－3\）的相反数是\（3\），＼（0\）的相反数是\（0\）。
相反数的性质：1、互为相反数的两个数之和为\（0\），即\（a ＋（a) ＝ 0\）。
2、数轴上表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
五、绝对值数轴上表示数\（a\）的点与原点的距离叫做数\（a\）的绝对值，记作\（＼vert a\vert\）。
绝对值的性质：1、正数的绝对值是它本身，即当\（a ＞ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
2、 0 的绝对值是 0，即\（＼vert 0\vert ＝ 0\）。
3、负数的绝对值是它的相反数，即当\（a ＜ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
绝对值的计算：例如，＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（＼vert 3\vert ＝ 3\）。
六、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较\（－3\）和\（－5\）的大小，因为\（＼vert －3\vert ＝3\），＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（3 ＜ 5\），所以\（－3 ＞－5\）。
初一数学上册第一章有理数总复习资料
第一章有理数总复习一、知识归纳：1、数轴是一条规定了原点、方向、长度单位的直线。
有了数轴，任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示。
在数的研究上它起着重要的作用。
它使数和最简单的图形——直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在关系，因此它是数形结合的基础。
但要注意数轴上的所有点并不是都有有理数和它对应。
借助于数轴上点的位置关系可以比较有理数的大小，法则是：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。
2、相反数是指只有符号不同的两个数。
零的相反数是零。
互为相反的两个数位于数轴上原点的两边，离开原点的距离相等。
有了相反数的概念后，有理数的减法运算就可以转化为加法运算。
3、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
显然有：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
对于任何有理数a，都有≥0。
4、倒数可以这样理解:如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1，我们就说a与b互为倒数。
有了倒数的概念后，有理数的除法运算就可以转化为乘法运算。
5、有理数的大小比较：（1）正数都大于零，负数都小于零，即负数＜零＜正数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小；（4）在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的大；6、科学记数法：是指任何数记成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的范围是0＜|a|＜10。
7、近似数与有效数字：近似数：一个与实际数很接近的数，称为近似数；有效数字：从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，这些数字都是这个数的有效数字。
（1）有效数字越多，近似数就越精确；（2）由四舍五入得到的近似数0.003206，左边第一个不是零的数是3，最后一位四舍五入所得到的数是6，从3到6中间的所有的数字是3、2、0、6，左边的三0个不算，但2和6之间的0要算，这个近似数有4个有效数字。
二、有理数的运算法则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加，仍得这个数。
第一章有理数期末考点与易错专题
七年级数学第一章有理数考点易错一、填空题1、 下列数轴的画法正确的是（ ） A.B.C.D.2、若a 是负数，则a 的绝对值的相反数的倒数是（ ）A. -aB. aC. a 1-D. a13.有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则a 、−a 、b 、−b 的大小关系是（ ） A.−b >a >−a >b B.a >−a >b >−b C.b >a >−b >−aD.−b <a <−a <b4、下列结论正确的有（ ）①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0；⑤若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5、下列算式中不正确的是（ ） A. ﹣（﹣6）＋（﹣4）＝2 B. （﹣9）＋[﹣（﹣4）]＝﹣5 C. 1349=+--D. ﹣（＋9）＋[＋（﹣4）]＝﹣136、已知15=a ，14=b ，且a ＞b ，则a ＋b 的值等于（ ） A. 29或1B. ﹣29或1C. ﹣29或﹣1D. 29或﹣17、计算（-0.25）×（-4）²等于（ ）A.－1B.1C.－4D.48、由四舍五入法得到的近似数8.8×102，下不说法中正确的是（ ） A. 精确到十位B. 精确到个位C. 精确到百位D. 精确到千位9、当a<0时，下列各式正确的有（ ）① 02>a ②22a a -= ③()22a a -= ④33a a -=A.①②B.②③C.①③D.①③④10、若0<x<1，则x ，x1，x 2从小到大的顺序是（ ）A.x 1<x 2<xB. x 2<x<x 1C.x 1<x<x 2D. x<x 2<x 1二、填空题 11、从数轴上表示﹣1的点出发，向左移动两个单位长度到点B ，则点B 表示的数是________，再向右移动两个单位长度到达点C ，则点C 表示的数是________。
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0-11a b 《第一章 有理数》期末考点复习
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考点一：考查正、负数的意义
例1 王明成绩上升3位记作+3位，那么成绩下降5位记作（ ）
A 、 +3位
B 、 +5位
C 、 -3位
D 、-5位
练习：1.王明的成绩上升-10位，实际意思是其成绩 考点二：考查有理数的概念 例 2 在有理数()2013311
7, , 2.5, 4, , 0, 147
---
----中，为整数的是_____________，是负分数的有_______________。
考点三：考查数轴、相反数、倒数、绝对值的概念
例3 有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列不正确的是（ ）
A ．a ＜0
B ． b ＞0
C ．a ＜b
D ．a ＞b 例4 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =，则()a b cdx +-= 。
练习：2. 已知p 与3互为相反数,那么p 的倒数是
3. 3-= ; 若3,y y ==
考点四：考查有理数大小的比较方法
例5 在1，—1，—2这三个数中任意两数之和的最大值是（ ）
A 、1
B 、 0
C 、 —1
D 、—3
考点五：考查科学记数法、近似数 例6 2003年6月1日9时，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，首批4台机组率先发电，预计年内可发电5500000000度，这个数用科学记数法表示记为 度。
例7 近似值0.30精确到 位，235000精确到万位约等于 。
考点六：考查有理数的运算
例8 2 -（-3）的结果是（ ）A.-5； B.5； C.1； D.-1. 例9 如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =
ab
a b
+，则2﹡(3)-的值为 。
例10 已知xy x ,16y ,32
==＜0, 则x －y=______．
例11 计算下列各题：
(1) 312 ＋(－12 )－(－ 13 )＋22
3 (2) 2531(1)1(7)768-÷-⨯⨯-
(3) (－5)×6＋(－125) ÷(－5) (4)
899(9)9⨯-13124684⎛⎫
-÷-+ ⎪⎝⎭
(5) ()()()3
32875⨯---+-⨯- (6) ()2014
2
3122111010⎡⎤⎛⎫--+-
÷+- ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
考点七：考查非负数的性质
例12已知 a 、b 为有理数，且()2
2210a b -++= ，则()2013
ab =
考点八：考查数学思想方法
例13 (数形结合)数m 在数轴上的位置如图所示，化简
()m m -- 结果是（ ）
A ．0 B.-m C.2m D.-2m 例14 (分类讨论)已知,,a b c 均为非零有理数,则
a b c a
b
c
+
+
=
例15 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”在一个边长
为1的正方形纸版上，依次贴上面积为12 ，14 ，18 ，…，1
2
n 的矩形
彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算12 ＋14 ＋18 ＋…＋1
2n = 。
考点九：考查数学思维能力 例16 有8筐苹果,以每筐20千克为标准,超过的千克数记做正数,不足的千克数记作负数,称后的记录如下:
1.5, 3, 2, 0.5, 1, 2,
+-+-+-+- (1) 与标准重量比较, 这8筐苹果总计超过或不足多少千克? (2) 若苹果每千克售价10元, 则出售这8筐苹果可卖多少元?
例17 观察下列各等式：
2222211;132;1353;13574;135795=+=++=+++=++++=；…… 请你猜想出反映上面这一规律的一般结论：（用字母n 表示出来）
1357++++……n += . （字母n 表示符合上面规律的加数）
例18 已知|ab －2|与（b －1）2互为相反数，试计算:
()()()()1111122a b a b a b +++++++g g g …()()
120132013a b +++g .
12
141
8
1
161
32
...。