图形的相似

相似图形

知识点1 相似图形的概念

具有相同形状的图形叫做相似图形

注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形； 而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。

知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形

即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小） 注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。

若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。

二、相似图形的性质 知识点1 线段的比

一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比 注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一； （2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a （3）比值总为正数

知识点2 比例线段

对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如

a c

b d

=（或_________），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。

判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列

（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比

知识点3 比例的基本性质

交叉相乘：(,,,0)a c

ad bc a b c d b d

=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的

未知数）

,.a c a b c d a c

b d b d a b

c d

++===--如果，那么

（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd

b d b d

±±==如果，那么。（分母不变，分子加上或减去分母的倍数）

知识点4 相似多边形的性质、判断

相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型 斜三角形 直角三角形

2. ⎧⎨⎩

1.全等是相似的特例：即全等必相似，

可通过放大或缩小得到：即形状完全相同，

与位置，大小无关

全等三角形的判

定 ______ ______ _______ _______

相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应

相等

一条直角边

与斜边对应

成比例

性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），

对应角相等（根据内角和定理求内角）；

判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。（两条件同时成立）

全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。 注意：两个矩形不一定相似，只有当他们的长与宽的比相等时，这两个矩形才相似。

2、相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型。

Ⅰ.相交线型

知识点5 黄金分割

将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP ，PB ），

=小段长(PB)大段长（AP ）

大段长(AP)全长（AB ）

（此时线段AP 叫做线段PB ，AB 的比例中项），则可得出这一比值等于

5-1

2

即0.618…。这种分割称为黄金分割，点P 称为_________。如图所示注意：由黄金分割的定义知2AP AB PB

=⋅.

设AP=x ，则BP=AB-x ，

所以

2()x AB AB x =⋅-即220x ABx AB +-= 解得15

2

x AB -±=

. 因为x>0，所以512x AB -=

,则有51

0.6182AP AB -=≈

（一条线段的黄金分割点有两个。）

C E D

B A

C

A D B.

C

B

D

E

A

(一)成比例线段

1．已知，C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＜BC ，若AB=2，则BC=（ ） A ．

﹣1 B ．（

+1） C ．3﹣

D ．（

﹣1）

2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AC=4，则线段AB 的长为（ ） A ．2﹣2 B ．2+2 C ．6﹣2 D ．6+2 3．若

x y z

k y z z x y x

===+++，则错误！未找到引用源。k = ．

4.已知线段a 、b 、c 满足a ︰b ︰c ＝3︰2︰6，且226a b c ++=． （1）、求a 、b 、c 的值； （2）、若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．

5.已知：线段a 、b 、c ，且4

32c

b a ==．

（1）求b

b

a +的值．

（2）如线段a 、b 、c 满足27=++c b a ，求a 、b 、c 的值．

10.已知2==d

c b

a ，求a

b a +和d

c d

c +-的值。

（二）平行线分线段成比例定理及其推论

1. 平行线分线段成比例定理

如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则

BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC

DE DF

=

.

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DE

AB AC BC

==

3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC

DE

AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =， 求证：111c

a

b

=+.

l 3

l 2l 1F

E D C

B A A

B C

D

E

E

D

C B A

E

D

C

B

A

F

E D

C

B

A