用几何画板探究一线三等角相似模型

用几何画板探究一线三等角相似模型

资料编号:202210161100 在学习相似三角形时,我们会遇到一种特殊的相似模型——一线三等角相似模型.这种模型常见于等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形等图形中.在处理复杂的几何图形时,如果能从图形中识别出这种模型,将对问题的解决起到至关重要的作用.

现在,我们借助于几何画板软件,来探究一线三等角相似模型及其应用.

模型制作

1. 打开几何画板软件,使用“线工具”任意画一条直线,在该直线上任取两点A、B,再任意画一条线段AD,依次选中点D、A、B（顺时针方向）,依次单击“变换”、“标记角度”.如图1所示.

2.双击选中点B,单击选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,将点A绕点B按标记角度DAB

BA.如图2、图3所示.

旋转到点'A的位置,作直线'

3. 在直线AB上任取一点P,连结DP,双击选中点P,单击点D,依次单击“变换”、“旋转”,将点D绕点P按标记角度DAB

PD,交直

旋转到点'D的位置,作直线'

线'

BA于点C.如图4所示.

4.选中点'D、点'A,依次单击“显示”、“隐藏点”.

5.依次选中点P、A、D,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PBC的内部.如图5所示.

6. 单击“标识工具”,单击点A,并向角内拖动鼠标,松开鼠标,标识DAB

∠,用同样的方法标识DPC

∠.如图6所示.

∠、ABC

7. 依次选中点P、B、C,依次单击“构造”、“线段”,此时,构造了△PBC.选中直线AB,依次单击“显示”、“线型”、“实线”;选中直线PC、BC，依次单击“显示”、“线型”、“细线”.如图7所示.

8. 检查从第1步至第7步作图,完成作图.

模型探索

当点P在线段AB上时,拖动点D,使DAB

∠分别为锐角、直角、钝角,得到图8、图9、图10三种不同类型的图形.

其中,点P在线段AB上,PBC

=

∠,则△DAP∽△PBC.

∠

DPC

DAP∠

=

模型证明

证明:∵BPC

=

∠

∠

+

DPC

DPB∠

∠

∠

=

+

ADP

DAP

DPB∠

∠

=

DAP

DPC∠

∴ADP

∠

=

BPC∠

∵ADP

∠

BPC∠

DAP∠

=

∠,PBC

=

∴△DAP∽△PBC.

当点P在线段BA的延长线上时,如图11所示,由作图可知:=

∠DAB

DPC

∠

=

∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.

ABE

当点P在线段AB的延长线上时,如图12所示,由作图可知:=

∠DPE

DAB

=

∠

∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.

ABF

像这样,两个相等的角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧,如果与这两个角相等的第三个角的顶点在该直线上,角的两边分别与这两个角的非共线边（或该边所在直线）相交所形成的两个三角形相似.我们把包含这种基本图形的一类题目称为一线三等角相似模型.

特别地,当点P 是线段AB 的中点时,△DAP ∽△PBC ∽△DPC .如图13所示.

图 13

证明:易证△DAP ∽△PBC

∴BC AP

CP PD

= ∴BC

CP

AP PD = ∵点P 是线段AB 的中点 ∴BP AP = ∴

CB

CP

BP PD =

∵PBC DPC ∠=∠ ∴△DPC ∽△PBC ∴△DAP ∽△PBC ∽△DPC . 模型应用

例1.（1）问题:如图（1）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,=∠=∠A DPC

︒=∠90B .求证:BP AP BC AD ⋅=⋅.

（2）探究:如图（2）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当B A DPC ∠=∠=∠

θ=时,上述结论是否仍然成立?说明理由.

（3）应用:请利用（1）（2）获得的经验解决问题:如图（3）,在△ABD 中,6=AB ,

5==BD AD ,点P 以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足A DPC ∠=∠.设点P 的运动时间为t （秒）,当以点D 为圆心,以DC 为半径的圆与AB 边相切时,求t 的值.

图

（1)

图 （2）

C

A

B D

P

图 （3）

C

D

A

B

P

（1）证明: ∵︒=∠=∠90A DPC

21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴

BP

AD

BC AP =

∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （2）成立.

理由如下:∵θ=∠=∠A DPC

21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴

BP

AD

BC AP =

∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （3）设切点为E ,连结DE . ∴AB DE ⊥

∵BD AD =,AB DE ⊥ ∴32

1

==

AB AE 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:

4352222=-=-=AE AD DE

∴145,4=-=-==DC BD BC DC