2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题
江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学
江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为NY18．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求ba的值；（2）若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍． （1）写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；（2）设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3．问：P 能否大于120，说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．P A BCDE（第16题图）19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； （2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16． （1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝i =1∑n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．（第18题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试 数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知点P (3，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x=m+2cos α，y=2sin α（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ（第21题（A ）图）－π4)=2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．D ．选修4－5：不等式选讲设实数x ，y ，z 满足x ＋5y ＋z ＝9，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求： （1）X 的概率分布； （2）数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A －DF －B 的大小．ABCDEF（第23题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=【答案】3π 【解析】试题分析：由题意得：1cos =2θ，又因为θ为锐角，所以.3πθ=考点：集合相等2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析：12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数，所以a+2=0a-20a=-2.≠，，考点：纯虚数3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为【答案】31 【解析】试题分析：由题意得平均得分为18+28+30+32+38+40=31.6考点：茎叶图 4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 【答案】1 【解析】试题分析：由奇函数得：()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+，，1-=1a x xx a x-++，21a =，因为1a ≠-，所以 1.a = 考点：奇函数5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=【答案】3 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q,则36311,.82a q q a ===因此645321 3.a a a a q q+=+=+= 考点：等比数列6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6 【解析】试题分析：从中一次性随机摸出2只球共有2510C =种基本事件, 恰好有1只是白球包含11326C C =种基本事件，因此所求概率为6=0.6.10考点：古典概型概率7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为【答案】14 【解析】试题分析：第一次循环：11;T S ==，第二次循环：23;T S ==，第三次循环：36;T S ==，第四次循环：410;T S ==，结束循环，输出14.W = 考点：循环结构流程图8．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为【答案】y x = N14Y1试题分析：由题意得：3,4m ==，而双曲线的渐近线方程为y x=，即y 2x =± 考点：双曲线的渐近线9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得：262,16,48T A T T ππω==-===, 又sin 21,2()842k k Z πππϕϕπ⎛⎫⨯+=+=+∈ ⎪⎝⎭，2πϕ<，所以=4πϕ考点：三角函数解析式10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅= 考点：球的表面积11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为【答案】【解析】试题分析：因为CPQ ∆的面积等于1sin 2PCQ ∠,所以当=90PCQ ∠时CPQ ∆的面积最大，此时圆心到直线3y x =，因此22a = 考点：直线与圆位置关系12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是【答案】63516a -<<-试题分析：由()220f x ax ax a '=+-=得：1,x =或2x =-，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是()0,10,(2)0a f f <>-<，即63516a -<<-考点：利用导数研究函数图像13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为【答案】24 【解析】试题分析：因为211()33AQ AB AP AP PB AP ⋅=⋅+=,所以2=12AP ，因此222=)361224.B Q B P B P P Q B P B P A B A P ⋅+⋅==-=-=（ 考点：向量表示14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意得24,a b =又由2=c x ax b ++得：12||AB x x =-==，同理CD =因为四边形ABCD 为梯形，所以1255,2=⨯解得 4.c = 考点：二次函数二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………3分 即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，所以a ＝b ，即b a＝1． ………………………………………………………………6分 （2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝223． ………………………………8分所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝429， ……………………………10分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79．…………………………………12分所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋7218．………………………………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．…………………………………………………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…………………………………………………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ．……………………………6分 （2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．………………………………………8分 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以PA ⊥平面BDE ．………………………………12分 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ． ………………………………14分17．解：（1）依题意得 y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *． …………………………………4分 （2）方法一 依题意x ＝0.2a ． ……………………………………………6分PABCDEO所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝ak (a 2＋25) ……………………………8分≤a3(a 2＋25)＝13(a ＋25a )≤13×(2 a ×25a)＝130＜120． …………………………13分 答：P 不可能大于120． …………………………………………14分 方法二 依题意x ＝0.2a ． …………………………………………6分 所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25)．……………………………8分 假设P ＞120，得ka 2－20a ＋25k ＜0． …………………………………10分 因为k ≥3，所以△＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解．……………13分 答：P 不可能大于120． ……………………………………14分 18．解： ⑴因为c a ＝22，a 2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ……………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ……………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1 x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22 + y 2＝1，[来源:学。
江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学(word版含答案)
江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．421(2)x x -的展开式中x 的系数为 A ．﹣32 B ．32 C ．﹣8 D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB AB AC x y =+，则A ．y ＝2xB ．y ＝﹣2xC ．x ＝2yD ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Q log 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为A ．1800B ．2700C ．7290D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1的距离为2C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 18．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b ++ A ．有最小值为4 B ．有最小值为221+C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面 B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()R y f t == sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有A ．()y f x =的图象不经过第三象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点12．数列{}n a 为等比数列A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝ ．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为 ．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝ ．16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC。
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江苏省苏州市2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题2019．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)，∴a r ·b r＝2x ﹣2∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ． 答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2) 考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +>22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)． 10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x+'=+=， 当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值；（2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23sin ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
江苏省苏州市2020年高三上学期期中数学试卷(理科)C卷
江苏省苏州市2020年高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A . {x|0≤x≤2}B . {x|1≤x≤2}C . {x|0≤x≤4}D . {x|1≤x≤4}2. （2分）下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点④如果两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，那么另一条直线也与这个平面垂直．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个3. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .4. （2分）已知平面向量，，则A . －10B . 10C . －20D . 205. （2分） (2015高二下·克拉玛依期中) 根据定积分的几何含义，（）．A . ＞B . ＜C . ≤D . =6. （2分） (2016高二上·芒市期中) 已知等差数列{an}中，a1=4，a2=6，则S4=（）A . 18B . 21C . 28D . 407. （2分） (2018高一下·六安期末) 设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为（）A . 12B . 13C . 22D . 238. （2分）已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，则[log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（）A . ﹣1B . ﹣2C . 0D . 19. （2分）若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A . [， 2]B . [，]C . [， 2]D . [1，2]10. （2分） (2015高一下·松原开学考) 函数的图象一定经过（）A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限11. （2分） (2016高二上·宾阳期中) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a= ，b= ，且1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高等于（）A . ﹣1B . +1C .D .12. （2分）(2018·绵阳模拟) 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A . 1B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·安徽模拟) 二项式的展开式中常数项为________．（用数字作答）14. （1分）设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=________．15. （1分） (2017高二下·延安期中) 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点；②﹣1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是________．16. （1分）把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （15分）(2013·北京理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ，第n项之后各项an+1 ，an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．18. （10分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求A；（2）若a= ，sinBsinC=sin2A，求△ABC的周长．19. （5分）(2017·合肥模拟) 某市举行的英文拼字大赛中，要求每人参赛队选取2名选手比赛，有两种比赛方案，方案一：现场拼词，正确得2分，不正确不得分；方案二：听录音拼词，正确得3分，不正确不得分，比赛项目设个人赛：每位选手可自行选择方案，拼词一次，累计得分高者胜．团体赛：2名选手只能选择同一方案，每人拼词一次，两人得分累计得分高者胜．现有来自某参赛队的甲、乙两名选手，他们在“现场拼词”正确的概率均为，在“听录音拼词”正确的概率为p0（0＜p0＜1）．（Ⅰ）在个人赛上，甲选择了方案一，乙选择了方案二，结果发现他们的累计得分不超过3分的概率为，求p0 ．（Ⅱ）在团体赛上，甲、乙两人选择何种方案，累计得分的数学期望较大？20. （5分） (2016高二上·绍兴期中) 如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PA B为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．21. （10分） (2017高三上·涪城开学考) 已知f（x）=lnx+x2﹣bx．（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当b=﹣1时，设g（x）=f（x）﹣2x2，求证函数g（x）只有一个零点．22. （10分）在极坐标系中，曲线C1方程为ρ=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为ρsin（θ+ ）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设A、B分别是C1，C2上的动点，求|AB|的最小值．23. （5分） (2018高一上·沈阳月考) 己知函数 .（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围。
最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 在△ ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b， c， C＝ 120°， c＝ 7， a－b＝ 2.
(1) 求 a，b 的值；
(2) 求 sin(A ＋ C) 的值．
π)上的解为
x 1，x 2，则 cos(x1－ x2)＝ ________．
14. 已知函数 f(x) ＝ 3x2－ x3，g(x) ＝ ex－1－ a－ ln x ．若对于任意 x1∈ (0， 3)，总是存在两
个不同的 x2， x 3∈ (0， 3)，使得 f(x 1)＝ g(x 2)＝ g(x3)，则实数 a 的取值范围是 ________．
6.
已知
tan
α ＝2，则 cos
sin α α＋ 2sin
的值为 ________． α
7. “ x＞ 2”是“ x＞ 1”的 ________条件． (选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” 或“既不充分又不必要” )
π 8. 已知函数 y＝ sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ (0＜ φ＜ 2 )个单位长度得到函数 y＝
B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos α＋ 2 3sin α ( α为参数 )，直线 l 的参数方程为
x＝1＋ tcos β ，
πБайду номын сангаас
y＝ tsin β
a 的取值范围．
5
20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 {a n} 满足 (n－ 1)an＋1＝ nan－ a1， n∈N* .
2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}，则A ∩B =______．2. 已知复数z 满足z2+i =i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为______． 3. 已知向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值是______． 4. 函数y =√2−x的定义域为______．5. 在等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=8，则前5项和S 5= ______ ．6. 已知tanα=2，则sinαcosα+2sinα的值为______．7. “x >2”是“x >1”的______ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8. 已知函数y =sin2x 的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数y =sin(2x +π6)的图象，则φ的值为______． 9. 设函数f(x)={e x ,x ≥02x +1,x <0，则不等式f(x +2)>f(x 2)的解集为______．10. 已知函数f(x)=lnx −mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围为______． 11. 已知各项都为正数的等差数列{a n }中，a 5=3，则a 3a 7的最大值为______． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．13. 若方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2，则cos(x 1−x 2)=______．14. 已知函数f(x)=3x 2−x 3，g(x)=e x−1−a −lnx ，若对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)，则实数a 的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C =120°，c =7，a −b =2．(1)求a ，b 的值； (2)求sin(A +C)的值．16.已知向量a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)．]，求x的值；(1)若a⃗//b⃗ ，x∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ ，x∈[0,π217.已知等比数列{a n}满足a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=|a n−2n+1|，求数列{b n}的前n项和为T n．18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所米，∠COD=120°，现根据需要把此窑在圆的圆心为O.经测量AB=4米，BC=√33洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF=θ，矩形EFGH的面积为S．(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2)求cosθ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？19. 已知函数f(x)=√x −1√x ．(1)求f(x)的图象在x =1处的切线方程； (2)求函数F(x)=f(x)−x 的极大值；(3)若af(x)≤lnx 对x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足(n −1)a n+1=na n −a 1,n ∈N ∗．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2−a 1=1，且对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，求整数a 1的值；(3)设数列{b n }满足b n =a n +310，若a 2−a 1=15，且存在正整数s ，t ，使得a s +b t 是整数，求|a 1|的最小值．21. 已知二阶矩阵M =[a13b ]的特征值λ=−1所对应的一个特征向量为[−13]． (1)求矩阵M ；(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2=x ，求曲线C 的方程．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosβy =tsinβ(t 为参数，0<β<π2)，若曲线C 被直线l 截得的弦长为√13，求β的值．23. 设正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求证：ab+c +bc+a +ca+b ≥32．24. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．25. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AA 1=b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE =13BB 1，C 1F =13CC 1.设λ=ba ．(1)当λ=3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，求λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解：∵集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】−1【解析】解：由z2+i =i ，得z =i(2+i)=−1+2i ． ∴复数z 的实部为−1． 故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】1【解析】解：∵向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴2x −2=0，求得x =1， 故答案为：1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出x 的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】(1,2)【解析】解：函数y =√2−x中，令{x −1>02−x >0， 解得1<x <2，所以函数y 的定义域为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1,a4=8，∴q3=a4a1=8，解得q=2，则前5项和S5=1×(1−25)1−2=25−12−1=31．故答案为：31．6.【答案】25【解析】解：∵tanα=2，∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25．故答案为：25．由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】充分不必要【解析】解：当x>2时，x>1一定成立．当x>1时，x>2不一定成立，比如当x=32时，满足x>1时，但x>2不成立．∴“x>2”是“x>1”充分不必要条件．故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】π12【解析】解：把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数y=sin(2x+π6)=sin(2x+2φ)的图象，∴2φ=π6，则φ=π12，故答案为：π12．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】(−1,2)【解析】解：根据题意可知函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x+2)>f(x2)等价于x+2>x2，即x2−x−2<0，解得−1<x<2，即不等式的解集为(−1,2)利用该分段函数的单调性可得x+2>x2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题．10.【答案】(−∞,−1e)【解析】解：由f(x)=lnx−mx ，得f′(x)=x+mx2(x>0)．令f′(x)=0，则x=−m，因为f(x)=lnx−mx的极小值大于0，所以−m>0，所以m<0，所以当x>−m时，f′(x)>0，当0<x<−m时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,−m)上单调递减，在(−m,+∞)上单调递增，所以f(x)极小值=f(−m)=ln(−m)+1>0，所以m<−1e，综上，m的取值范围为(−∞,−1e).故答案为：(−∞,−1e).对f(x)求导，根据f(x)=lnx−mx的极小值大于0，可得m<0，然后判断f(x)的单调性求出极小值，再由f(x)的极小值大于0，建立关于m的不等式，求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.【答案】9【解析】解：依题意，等差数列{a n }各项都为正数， 所以a 3>0，a 7>0， 所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．当且仅当a 3=a 7=3时等号成立． 故答案为：9．因为等差数列{a n }各项都为正数，所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.【答案】13【解析】解：如图，∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 (DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6， 得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得−ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得13CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴13×3×3cosC =1，∴cosC =13， 故答案为13．利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决． 此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.【答案】−35【解析】解：由方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2， 得cos(2x 1−π6)=cos(2x 2−π6)， ∵x ∈(0,π)，∴2x −π6∈(−π6,11π6)，∴2x 1−π6+2x 2−π62=π，∴x 1=7π6−x 2．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2).又cos(2x 2−π6)=35．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)=−cos(2x 2−π6)=−35． 故答案为：−35． 由已知可得x 1+x 2=7π6，得到x 1=7π6−x 2，则cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)，结合已知得答案．本题考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题．14.【答案】[1,e 2−4−ln3)【解析】解：f(x)=3x 2−x 3，x ∈(0,3)， f′(x)=6x −3x 2=3x(2−x)，可得：函数f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而f(0)=f(3)=0，f(2)=4． ∴f(x)∈(0,4]=A ．g(x)=e x−1−a −lnx ，x ∈(0,3)， g′(x)=e x−1−1x ，在x ∈(0,3)上单调递增， g′(1)=0，∴函数g(x)在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．x →0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a ，g(3)=e 2−a −ln3． 令B =[1−a,e 2−a −ln3)．对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)⇔A ⊆B ．∴1−a ≤0，且4<e 2−a −ln3． 解得1≤a <e 2−4−ln3．∴实数a 的取值范围为[1,e 2−4−ln3)． 故答案为：[1,e 2−4−ln3)．f(x)=3x2−x3，x∈(0,3)，f′(x)=6x−3x2=3x(2−x)，可得其单调性极值与最值，设其值域为A.g(x)=e x−1−a−lnx，x∈(0,3)，g′(x)=e x−1−1x，在x∈(0,3)上单调递增，g′(1)=0，x→0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a，g(3)=e2−a−ln3.令B= [1−a,e2−a−ln3).对于任意x1∈(0,3)，总是存在两个不同的x2，x3∈(0,3)，使得f(x1)=g(x2)=g(x3)⇔A⊆B.即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：(1)∵余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，且c=7，C=120°，∴可得a2+b2+ab=49，∵a−b=2，∴b2+2b−15=0，∵b>0，∴可得b=3，a=5．(2)∵由(1)可知a=5，b=3，c=7，∴cosB=a2+c2−b22ac =1314，∵B为△ABC的内角，∴sinB=√1−cos2B=3√314，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=3√314，∴sin(A+C)的值为3√314．【解析】(1)由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49，结合a−b=2，即可解得a，b的值．(2)由(1)及余弦定理可求cos B，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin(A+C)的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)∵a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)，a⃗//b⃗ ，∴cosxsinx=√3cos2x，∴cosx(sinx−√3cosx)=0，∴cosx =0或sinx −√3cosx =0， 即cosx =0；或tanx =√3， ∵x ∈[0,π2]，∴x =π2或x =π3；(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =cos 2x +√3cosxsinx =1+cos2x 2+√32sin2x =sin(2x +π6)+12∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴f(x)∈[0,32]，故f(x)的最大值为32，此时x =π6．【解析】(1)利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解； (2)把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 此题考查了向量共线，数量积，三角函数求值等，难度不大．17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q(q ≠0)，∵a 2，a 3+1，a 4成等差数列，∴2(a 3+1)=a 2+a 4， ∵a 2=2，∴2(2q +1)=2+2q 2，解得q =2或q =0(舍)． ∴a 1=a 2q=1．∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1； (2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，∴c n+1−c n =2n −2(n +1)+1−(2n−1−2n +1)=2n−1−2． ∴当n ≥3时，c n+1>c n ． 又c 4=1>0，∴当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1． ∵c 1=0，c 2=c 3=−1，∴b 1=0，b 2=b 3=1． ∴T 1=0，T 2=1，T 3=2，当n ≥4时，T n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b n=2+b 4+b 5+⋯+b n =2+(23+24+⋯+2n−1)−(7+9+⋯+2n −1) =2+23(1−2n−3)1−2−7+2n−12(n −3)=2n −n 2+3．综上，T n ={0,n =11,n =22,n =32n −n 2+3,n ≥4．【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；(2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，作差可得当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1，再求出数列{b n }的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{b n }的前n 项和为T n ．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.【答案】解：(1)如下图所示，作OP ⊥CD 分别交AB ，GH 于点M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD =120°， 故OM ⊥AB.ON ⊥GH ，P 、M 、N 分别为CD ，AB ，GH 的中点． ∠CON =60°，在Rt △COP 中，CP =2，∠COP =60°，所以OC =43√3，OP =23√3， ∴OM =OP −PM =OP −BC =√33， 在Rt △ONG 中，∠GON =∠OGF =θ，OG =OC =43√3， ∴GN =43√3sinθ，ON =43√3cosθ，∴GH=2GN=83√3sinθ，GF=MN=ON−OM=43√3cosθ−√33，∴S=GF⋅GH=(43√3cosθ−√33)⋅83√3sinθ=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).∴S关于θ的函数关系式为：S=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).(2)根据(1)，知：S′=83(4cos2θ−4sin2θ−cosθ)=83(8cos2θ−cosθ−4)，∵θ∈(0,π3)，∴cosθ∈(12,1)．故令S′=0，解得cosθ=1+√12916∈(12,1)．设θ0∈(0,π3)且cosθ=1+√12916，∴S′>0，得0<θ<θ0，即S在(0,θ0)单调递增，S′<0，得θ0<θ<π3，即S在(θ0,π3)单调递减，∴当θ=θ0时，S取得最大值，∴当cosθ0=1+√12916时，矩形EFGH的面积S最大．【解析】本题第(1)题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；第(2)题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出S′=0时的cosθ的值，三角计算即可得出结果．本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力．本题属中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x+2x√x，∴f′(1)=1．f(1)=0，∴切点(1,0)．∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为：y=x−1．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x−x(x>0)．F′(x)=2√x2x√x1，∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减，又F′(1)=0．x∈(0,1)时，F′(x)>0，函数F(x)在(0,1)上单调递增；x∈(1,+∞)时，F′(x)<0，函数F(x)在(0,1)上单调递减．∴x=1时，函数F(x)取得极大值，F(1)=−1．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x)，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x −a2(x x x)=√x)2√x−a2x x．①a≤0时，g′(x)>0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递增．又g(1)=0，∴∃x0∈(0,1]时，g(x0)<0，与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立矛盾，舍去．②a≥1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2≤0，∴u(x)≤0，∴g′(x)≤0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递减．又g(1)=0，∴g(x)≥g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，∴a≥1成立．③0<a<1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2>0，由u(x)=0，解得：√x1=1−√1−a2a =2∈(0,1)；√x2=1+√1−a2a>1．∴0<x1<1<x2．∴x∈(x1,1)时，u(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在x∈(x1,1)单调递增．又g(1)=0，∴g(x1)<g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，舍去．综上可得：a≥1成立．【解析】(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x2x√x，可得f′(1)=1.切点(1,0).利用点斜式即可得出切线方程．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x −x(x>0).F′(x)=2√x+2x√x1，F′(x)在(0,+∞)上单调递减，而F′(1)=0.即可得出单调性与极值．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x )，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x−a2(√x+x√x)=√x)2√x−a2x√x.a分类讨论，令u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：(1)数列{a n}满足(n−1)a n+1=na n−a1,n∈N∗.①当n≥2时，(n−2)a n=(n−1)a n−1−a1,n∈N∗②①−②得(n−1)a n+1−2(n−1)a n+(n−1)a n−1=0，所以a n+1−2a n+a n−1=0，所以数列{a n}为等差数列．(2)由(1)得a2−a1=1，所以数列的公差为1，由于对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，所以13<1S 1<43，则34<S 1<3，即34<a 1<3．所以1S 1+1S 2=1+13=43，这与题意相矛盾，所以a 1≠1．当a 1=2时，a n =n +1， 所以S n =n(n+3)2>0，1S 1=12>13，1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n>13恒成立．由于1S n=23(1n −1n+3)，所以1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n=23(1−14+12−15+13−16+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n −1n+3)，=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)<119<43．综上所述a 1=2．(3)由于a 2−a 1=15，所以数列{a n }的公差d 为15， 所以a n =a 1+15(n −1)， 则b n =a 1+15n +110，由题意知设存在正实数s 和t ，使得a s +b t =l ， 则a 1+s5+a 1+t5+110=l ，则20a 1=2(5l −s −t)+1由于5l −s −t ∈Z ，所以2(5l −s −t)为偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120． 当a 1=120时，b 4=1920， 所以存在a 1+b 4=l ∈Z ， 综上所述，|a 1|=120．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明． (2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：(1)依题意，得[a 13b]⋅[−13]=[1−3]，即{−a +3=1−3+3b =−3，解得{a =2b =0， ∴M =[2130]．(2)设曲线C 上一点P(x,y)在矩阵M 的作用下得到曲线y 2=x 上一点P′(x′,y′)，则 [x′y′]=[2130]⋅[xy ]，即{x′=2x +y y′=3x ．∵y′2=x′， ∴9x 2=2x +y ，∴曲线C 的方程为y =9x 2−2x ．【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得a 、b 的值，即可得到矩阵M ；第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程．本题属中档题．22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4．转换为直角坐标方程为y =k(x −1)(k =tanβ)， 由于曲线C 被直线l 截得的弦长为√13， 所以圆心到直线的距离d =√4−134=√32=√3−k|2，解得k =±√3， 由于0<β<π2， 所以k =tanβ=√3， 解得β=π3．【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由于a +b +c =1，则a b+c +b c+a +c a+b =1−(b+c)b+c+1−(c+a)c+a+1−(a+b)a+b=1b+c+1c+a +1a+b −3，对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式 [(b +c)+(c +a)+(a +b)](1b+c+1c+a+1a+b)≥(√b +c √b+c√c +a ⋅√c+a√a +b ⋅√a+b )2=9， 所以1b+c +1c+a +1a+b ≥92，从而ab+c +bc+a +ca+b ≥92−3=32，当且仅当a =b =c =13时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式． 本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构．24.【答案】解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且有{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，即{(1−34)[1−P(C)]=112P(B)P(C)=14， 解得P(B)=38，P(C)=23．∴乙击中目标的概率为38，丙击中目标的概率为23． (2)由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =2)=14，P(X =0)=P(B −)P(C −)=58×13=524， P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=1324，∴X 的分布列为：E(X)=0×524+1×1324+2×14=2524．【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴AA 1⊥平面ABC ，∵AB ，AC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∵∠BAC =90°，∴建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，设a =1，则AB =AC =1，AA 1=3，∴A(0,0，0)，E(1,0，1)，A 1(0,0，3)，F(0,1，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=−12，∴向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120°． ∴异面直线AE 与A 1F 所成角为60°．(2)∵E(a,0，b3)，F(0,a ，2b3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，b3)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，2b3)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +b3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay +2b3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(−λ3,−2λ3,1)， 同理得平面A 1EF 的一个法向量p ⃗ =(2λ3,λ3,1)，∵平面AEF ⊥平面A 1EF ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−2λ29−2λ29+1=0，解得λ=23．∴当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，λ的值为23．【解析】(1)推导出AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与A 1F 所成角． (2)推导出平面AEF 的法向量和平面A 1EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面A 1EF ，能求出λ的值．本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 Word版含解析
江苏省苏州市2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题2019．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1． 4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ． 答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2)考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +>22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)． 10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x+'=+=， 当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值； （2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH 的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23sin ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 含解析答案
江苏省苏州市2020届第一学期高三期中调研试卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1．4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ．答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2) 考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +> 22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)．10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x +'=+=，当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值；（2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=-． （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷 新课标 人教版
江苏省苏州市2020学年度高三数学期中考试卷一、选择题： 2020。
11。
14。
1、若sin cos 0θθ⋅<，则θ在A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第二、三象限D 、第二、四象限 2、设全集{2,4,6,8,10}U =，集合{2,4,6}A =，{4,8}B =，则()U A C B =IA 、{2,6}B 、{4,6}C 、{4}D 、{6} 3、函数32()31f x x x =-+的极小值为A 、2B 、1C 、3-D 、4- 4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图象与y 轴交于点(0,4)（如图所示），则方程()0f x =在[2,6]上的根是A 、6B 、4C 、2D 、2- 5、已知函数3()2cos()12f x x ππ=-+，则下列 正确的是A 、()f x 是周期为1的奇函数B 、()f x 是周期为2的奇函数C 、()f x 是周期为2的偶函数D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数 6、设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若6312S S =，则93S S = A 、13 B 、12 C 、23 D 、347、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数命题B ：不等式2(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为∅ 若A 与B 中有且仅有一个是真命题，则实数a 的取值范围是 A 、(5,1][3,)-+∞U B 、[5,1](3,)-+∞U C 、(5,1)[3,)-+∞U D 、(5,1)(3,)-+∞U 8、已知数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2006a =A 、0B 、1C 、43D 、29、已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||cos ||cos AB ACBC AB AC AB B AC C+⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则ABC ∆为 A 、三边均不等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形10、某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1，2，3，……，m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，定义记号ij a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1ij a =，否则0ij a =，则等式41424343n a a a a ++++=L L 的实际意义是 A 、第4名工人操作了3台织布机 B 、第4名工人操作了n 台织布机C 、第3名工人操作了4台织布机D 、第3名工人操作了n 台织布机 二、填空题：11、若向量(1,3)a =-r ，(,2)b x =r，且//a b r r ，则x =__________12、函数y =____________13、直线2my x =与圆2240x y mx ny +++-=交于,M N 两点，且,M N 关于直线0x y +=对称，则弦MN 的长为________________14、在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，11tan ,tan 23A B ==，且ABC ∆最短边的长为1，则ABC ∆的面积为_____________15、在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n a a nS +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点121122(,),(,),,(,),12n n n S S S P a P a P a nL L L L （n 是正整数）都在直线11122y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111222(,),(,),,(,),n n n P a S P a S P a S L L L L （n 是正整数）在直线_______________上16、设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为c给出下列四个函数：（1）3y x =；（2）4sin y x =；（3）lg y x =；（4）2xy =，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是___________ 三、解答题：17、已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1:1l x y +=相切，圆心在直线20x y +=上 （1）求圆C 的方程。
江苏省苏州市2020-2021学年第一学期高三期初调研试卷数学附解析
C．两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为
4
3 D．三棱柱 AA1D1—BB1C1 外接球半径为 2
答案：C 解析：连接 CB1，交 BC1 于点 O，在正方体中易得 CB1⊥平面 ABC1D1，则∠CBC1 即为直线
BC 与平面 ABC1D1 所成的角，等于 ，故 A 正确；
4
2 CO 即为点 C 到面 ABC1D1 的距离，等于 2 ，故 B 正确；
如图，已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的长轴两个端点分别为 A，B，P( x0 ， y0 )( y0 ＞0)
是椭圆上的动点，以 AB 为一边在 x 轴下方作矩形 ABCD，使 AD＝kb(k＞0)，PD 交 AB 于 E， PC 交 AB 于 F．
5
（1）若 k＝1，△PCD 的最大面积为 12，离心率为 ，求椭圆方程；
为
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S．现在以下三个 条件：①(2c＋b)cosA＋acosB＝0；②sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0；③a2﹣b2﹣c2＝
整数）②现随机抽取了该省 800 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分
相互独立，记 为被抽到的原始分不低于 71 分的学生人数，求 P( ＝k)取得最大值时 k 的
值．
附：若 ~N(0，1)，则 P( ≤0.8)≈0.788，P( ≤1.04)≈0.85．
4
21．（本小题满分 12 分）
2020届江苏省苏州中学高三上学期阶段性考试(一)数学试题(解析版)
2020届江苏省苏州中学高三上学期阶段性考试（一）数学试题一、填空题1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝_____【答案】{﹣1，0}【解析】根据集合的交集运算，求解即可.【详解】由集合的交集运算，容易知：A ∩B={}1,0-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题.2．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是________．【答案】1x ∃>，23x <【解析】全称命题的否定是特称命题，∴该命题的否定为“1x ∃>，23x <”。
点睛：命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定，掌握其方法：全称的否定是特称，特称的否定是全称，命题否定是条件不变，结论变。
4．“x ＞1”是“x 2＞x”的 条件．【答案】充分不必要【解析】试题分析：由题意把x 2＞x ，解出来得x ＞1或x ＜0，然后根据命题x ＞1与命题x ＞1或x ＜0，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解：∵x 2＞x ，∴x ＞1或x ＜0，∴x ＞1⇒x 2＞x ，∴x ＞1是x 2＞x 充分不必要，故答案为充分不必要．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．若2(2)31f x x =+，则函数()f x = 【答案】2314x + 【解析】设2t x =，则2t x =，求得()2314t f t =+，从而可得结果. 【详解】设2t x =，则2t x =， 因为()2231f x x =+，所以()22331124t t f t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭， 所以()2314x f x =+，故答案为2314x +. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6．函数y =的定义域是_____【答案】[﹣7，1]【解析】由被开方数是非负数，求解一元二次不等式即可得结果.【详解】要使得函数有意义，则2760x x --≥，分解因式可得()()710x x +-≤解得[]7,1x ∈-.故答案为：[﹣7，1].【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负数.7．函数ln x y x=的单调增区间是__________． 【答案】(0)e ，【解析】函数的定义域为0x >，且：221ln 11ln 'x x x x y x x ⨯-⨯-==， 求解不等式'0y >可得：0x e <<， 则函数ln x y x=的单调增区间是()0e ，. 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为_____【答案】12【解析】对该函数进行求导，判断单调性，根据单调性求解函数在区间上的最值.【详解】因为y ＝3x 3﹣9x +5，故()()299911y x x x =-=+-'， 令0y '>，又[]2,2x ∈-，解得[)2,1x ∈--和(]1,2， 故函数在[)2,1--和(]1,2上单调递增；令0y '<，又[]2,2x ∈-，解得()1,1x ∈-,故函数在()1,1-单调递减. 则函数在[]22-,上的最大值 ()()(){}{}max 2,1max 11,1111max f x f f =-==；则函数在[]22-,上的最小值 ()()(){}{}min min 2,1max 1,11f x f f =-=--=-；故该函数的最大值与最小值的差为()11112.--=故答案为：12.【点睛】本题考查由导数求函数的最值，属导数应用基础题.9．水波的半径以0.5m /s 的速度向外扩张，当半径为25m 时，圆面积的膨胀率是_____．【答案】25π【解析】写出水波面积与时间的函数，由导数计算圆面积的膨胀率，代值进行求解.【详解】因为水波的半径扩张速度为0.5m /s ，故水波面积为()22214S r vt t πππ===， 故水波面积的膨胀率为12S t π'=. 当水波的半径为25时，由25vt =，解得50t =， 即可得150252S ππ=⨯='. 故答案为：25π.【点睛】本题考查导数的定义，难点是构造函数，理解膨胀率的意义是面积关于时间的导数. 10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是_____【答案】（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解析】由函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为121x x +<-，求解即可.【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为（﹣∞，0]上的减函数，则该函数在()0,+∞为增函数，故f （x +1）＜f （2x ﹣1） 等价于121x x +<-.两边平方整理得()20x x ->解得()(),02,x ∈-∞⋃+∞.故答案为：()(),02,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用函数单调性以及奇偶性求解抽象函数不等式，属函数性质综合基础题.11．已知()22201900x x f x ax x ⎧≥=⎨⎩，，＜是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是_____【答案】[2035，+∞）【解析】由()f x 是奇函数，可解得参数a ，再分类讨论求解不等式..【详解】因为函数()f x 是奇函数，故可解的2019a =-；（1）当320190,?82t t +<-<0时， 即673t <-,且4t >此时无解，t ∈∅；（2）当320190,?82t t +>->0 即()673,4t ∈-，此时()()320190,820f t f t +>->显然f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0不可能，故舍去；（3）当320190,?820t t +>-< 即4t >时，此时f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0等价于()()2035720030t t -+≥解得t 2035≥或20037t ≤-, 故此时不等式解集为[)2035,+∞ （4）当320190,?820t t +- 即673t <-时，不等式等价于()()222320191640t t +--≤ 解得200320357t -≤≤ 故此时不等式无解.（5）当320190t +=或当820t -=时，不等式显然不成立.综上所述：[)2035,t ∈+∞故答案为：[)2035,+∞.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数，以及解不等式.12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝_____【答案】2017或2019【解析】对该函数进行分类讨论，在不同的情况下，寻找函数的最值，进而求解.【详解】 当2018a >时，()202120182020,201920182020,2018202120182020,2018x a x a f x x a x a x a x -->⎧⎪=--+≤≤⎨⎪-++<⎩此时可知()()20181min f x f a a ==-=，解得2019a =；当2018a =时，()20212018f x x =-，函数最小值为0，不符合题意；当2018a <时，()202120182020,2018201920182020,2018202120182020,x a x f x x a a x x a x a -->⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-++<⎩此时()()20181min f x f a a ==-=，解得2017a =；综上所述，2017a =或2019a =.故答案为：2017或2019.【点睛】本题考查双绝对值函数，涉及分类讨论及分段函数的最值.13．若方程23220222b bcosx sin x x ππ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，有两个不同的实数解，则b 的取值范围是_____【答案】1b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】利用同角三角函数关系，将方程化为含有cosx 的二次型，将方程根的个数问题，转化为一元二次方程根的分布问题，进而求解参数范围.【详解】232202b bcosx sin x ---=等价于22cos 2102b x bcosx -+-=， 令[],0,1cosx t t =∈， 则222102b t bt -+-=. 其()()421b b =+-n ，（1）当0<n 时，方程无根，显然不满足题意；（2）当0=n 时，解得1b =或2b =-，当1b =时，方程等价于212202t t -+=，解得12t = 此时12cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根，满足题意； 当2b =-时，方程等价于22420t t ++=，解得1t =-此时1cosx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦没有实数根，故舍去. （3）当0>n 时，解得1b >或2b <-，要满足题意， 只需方程222102b t bt -+-=的一个根在[)0,1， 另一个根不等于1，且不在区间[)0,1.令()22212b f x t bt =-+- 若要保证方程222102b t bt -+-=的一个根在()0,1 此时()()010f f ⋅<，即513022b b ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 解得6 ,25b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意 而当方程的一个根为0时，解得2b =，方程的两根分别为t=0和t=2，此时0cosx =和2cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数根， 故满足题意.综上所述：1,b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为1b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查方程根的分布问题，对方程根的讨论是其中的难点.14．在直角三角形ABC 中，682A AB AC π∠===，，，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE BF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_____．【答案】[﹣20，4]【解析】建立直角坐标系，求出圆心及半径，写出圆方程，根据直线方程及圆方程，通过韦达定理，将AE BF ⋅u u u r u u u r转化为函数，求函数的范围即可.【详解】根据题意，建立如图直角坐标系：容易知()()()0,0,0,6,8,0A B C设内切圆半径为r ，根据等面积法可求得：()1122AB BC AC r AB AC ++⋅=⋅ 求得2r =，解得圆心坐标为()2,2，故内切圆方程为()()22224x y -+-=；若过圆心的直线没有斜率，解得()()2,0,2,4E F ，或()()2,4,2,0E F 容易知4AE BF ⋅=u u u r u u u r ，或20AE BF ⋅=-u u u r u u u r若过圆心的直线存在斜率，不妨设直线方程为：()22y k x -=-联立圆方程可得()()222214140k x k x k +-++=设()()1122,,,E x y F x y则：21212244,1k x x x x k +==+， ()()()2221212122222y y k x x k k x x k =+-++-则121216AE BF x x y y y ⋅=+-u u u r u u u r将上述结果代入即可得：146AE BF y ⋅=-u u u r u u u r ，又()10,4y ∈故()20,4AE BF ⋅∈-u u u r u u u r .综上所述：[]20,4AE BF ⋅∈-u u u r u u u r故答案为：[﹣20，4].【点睛】本题考查直线与圆的问题，涉及圆方程的求解，以及韦达定理，函数的最值，属圆与直线综合基础题.二、解答题15．已知函数f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝4x +1，的定义域都是集合A ，函数f （x ）和g （x ）的值域分别为S 和T ，（1）若A ＝[1，2]，求S ∩T（2）若A ＝[0，m ]且S ＝T ，求实数m 的值（3）若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f （x ）＝g （x ），求集合A ．【答案】（1）S ∩T ＝{5}．（2）m ＝4（3）{0]，或{4}或{0，4}．【解析】（1）根据定义域，求得两个函数的值域，再求交集即可；（2）根据函数单调性，得()()f m g m =，解方程即可；（3）由题意，解方程f （x ）＝g （x ）即可.【详解】（1）若A ＝[1，2]，则函数f （x ）＝x 2+1的值域是S ＝[2，5]，g （x ）＝4x +1的值域T ＝[5，9]，∴S ∩T ＝{5}．（2）若A ＝[0，m ]，则S ＝[1，m 2+1]，T ＝[1，4m +1]，由S ＝T 得m 2+1＝4m +1，解得m ＝4或m ＝0（舍去）．故4m =.（3）若对于A 中的每一个x 值，都有f （x ）＝g （x ），即x 2+1＝4x +1，∴x 2＝4x ，解得x ＝4或x ＝0，∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．【点睛】本题考查函数的定义域、值域、以及集合的运算，属综合基础题.16．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－10． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．【答案】（1）－35 （2）－4π 【解析】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35． (2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45． 由cosβ＝－10，β∈(0，π)， 得sinβ＝10，β∈(2π，π)． 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×(－10)－(－35)×10＝－2． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足60,160()1150,611002t t f t t t +≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩()t N ∈，价格为()200g t t =-(1100,)t t N ≤≤∈. （1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）求t 为何值时，日销售额最大.【答案】(1)2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩； (2)t 为60时，日销售额最大.【解析】试题分析：（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数； （2）求出分段函数的最值即可．试题解析：(1)由题意知，当160t ≤≤，t N ∈时，2()()()(60)(200)14012000h t f t g t t t t t =⋅=+⋅-=-++， 当61100t ≤≤，t N ∈时，211()()()(150)(200)2503000022h t f t g t t t t t =⋅=-⋅-=-+，所以，所求函数关系为2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ (2) 当160t ≤≤，t N ∈时，22()14012000(70)16900h t t t t ==-++=--+， 所以，函数()h t 在[1,60]上单调递增，故max ()(60)16800h t h ==（百元）， 当61100t ≤≤，t N ∈时，2211()25030000(250)125022h t t t t =-+=--， 所以，函数()h t 在[61,100]上单调递减，故max ()(61)16610.5h t h ==（百元）， 因为16610.516800<所以，当t 为60时，日销售额最大.试题点睛：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．18．已知函数()11f x x=-，（x ＞0）． （1）当0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）时，求证：ab ＞1；（2）是否存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求m 的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2）不存在适合条件的实数a ，b ，证明见详解；（3）104m ＜＜．【解析】（1）根据函数单调性，初步判断,a b 与1的大小关系，根据f （a ）＝f （b ）得到,a b 等量关系，用均值不等式进行处理；（2）对,a b 与1的大小关系进行分类讨论，寻找满足题意的,a b ； （3）对,a b 的取值进行分类讨论，利用函数的单调性，进行求解. 【详解】（1）证明：∵x ＞0，∴()111110 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数． 由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）， 可得 0＜a ＜1＜b 和1111a b-=-， 即112a b+=． ∴2ab ＝a +b ＞1，即ab ＞1．（2）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y ()11f x x==-的定义域、值域都是[a ，b ]，则a ＞0，()111110 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ①当a ，b ∈（0，1）时，()11f x x=-在（0，1）上为减函数． 故()().f a bf b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a ＝b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ②当a ，b ∈[1，+∞）时，()11f x x=-在（1，+∞）上是增函数．故()().f a a fb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.a ab b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时， 由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ． （3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故1111.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在． ②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ 2）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]所以a ，b 不存在． 故只有a ，b ∈[1，+∞）． ∵()11f x x=-在[1，+∞）上是增函数， ∴()().f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根． 设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 21m =，x 1•x 21m=． ∴()()()()12120110110.x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪--⎩V ＞＞＞，即140120.m m -⎧⎪⎨-⎪⎩＞＞解得104m ＜＜． 故m 的取值范围是104m ＜＜． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，定义域和值域，所使用的方法是分类讨论，对学生的思辨能力要求较高，属函数综合较难题目. 19．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值；（2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值． 【答案】（1）a ＝5．b ＝﹣15．（2）1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，（1，+∞）．（3）124． 【解析】（1）根据导数的几何意义，即切线的斜率，待定系数即可求解； （2）求导，对参数进行分类讨论，利用导数判断单调性即可；（3）利用导数对函数单调性进行讨论，求极小值关于a 的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】（1）f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）， 由f ′（2）＝9，得a ＝5． ∴()3251333f x x x x =-+- ∴f （2）＝3，∴（2，3）在直线9x ﹣y +b ＝0上， ∴b ＝﹣15．（2）①若a ＝0，()221111(1)2326f x x x x =-+-=--+， ∴f （x ）的单调减区间为（1，+∞）．②若a ＜0，则()()()21'111f x ax a x a x x x R a ⎛⎫=-++=--∈ ⎪⎝⎭，， 令f ′（x ）＜0，得()110x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＞．∴1x a＜，或x ＞1．∴f （x ）的单调减区间为1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，（1，+∞）．（3）()()1'1f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0＜a ＜1， 列表：由图可知： f （x ）的极小值为()321111111323a f a a a a a ⎛⎫=⋅-++-⎪⎝⎭ 22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+．当23a =时，函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124．故函数f （x ）的极小值f （1a ）取得最大值为124. 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及含参函数单调性的讨论，以及函数极值的求解，属导数综合基础题.20．数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称数列{a n }为S 数列．（1）S 数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S 数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． ②是否存在正项递增等比数列为S 数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；证明见详解（2）①存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②不存在，证明见详解.【解析】（1）根据对新数列的定义，利用1n n n a S S -=-进行计算证明； （2）①假设存在等差数列，根据数列的公差进行分类讨论即可；②用反证法证明，假设存在满足题意的数列，结合数列{}1n S +的单调性，推出矛盾.【详解】（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∴n ≥2时，()1n p S a p N⋅-=∈，∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ， 而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2，故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ， （i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不 可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1； （ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意； （iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，()()11112n n na d a m d -+=+-，故()()()()111112112n n n a dn n a m n Zd d --+--==-+∈， ∵()12n n Z -∈，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，110a d +≥， ∴111a aZ d d≥-∈，， 此时()()()()()11112110222n n n n n n a n n d -----+≥-++=≥符合题意，综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0， ∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，∵()()()11111111111111n nn n n nnn a q q q q S q qS q q a q q+++--+---===----()2111111n q q q q q q q q q q q --=++=+-=+--＜， ∴21n nS q q S +＜＜，即21m n m a q S a q +＜＜， 即a m +1＜S n +1＜a m +2， ∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ， 这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S 数列． 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及等差数列和等比数列，数列的单调性，属数列综合困难题.。
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟.2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2.已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果．【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x'+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立． 故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大． 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合已知得答案．【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==，所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值．【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x =，所以cos 0x =或sin 0x x =，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=； （2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ； （2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，3BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）1129cos θ+=【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=， 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=， 在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，433OG OC ==所以433GN θ=，433ON θ=， 所以8233GH GN θ==，43333GF MN ON OM θ==-=-， 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ+=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=-， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>，(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120 【解析】【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈，则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈， 所以2(5)l s t --是偶数，所以1201a ≥，所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈，综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．【选做题】本题包括21.22.23三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．．．．．．．．．．.．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==， = k ∴=因为02πβ<<， 所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==，11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 Word版含解析
江苏省苏州市2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题2019．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1． 4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ． 答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2)考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +> 22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)． 10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值 解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x m f x x x x+'=+=， 当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +== ∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-． 14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2．（1）求a ，b 的值； （2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x 3x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝33米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH 的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=-． （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有1113S <2311143n S S S +++⋅⋅⋅+<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s ta b +是整数，求1a 的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 13求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
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江苏省苏州市2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题2019．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >，则A I B ＝ ． 答案：{1，2}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{}0x x >， ∴A I B ＝{1，2}． 2．已知复数z 满足i 2iz=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 答案：﹣1 考点：复数 解析：∵i 2iz=+ ∴2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，则复数z 的实部为﹣1．3．已知向量a r ＝(x ，2)，b r ＝(2，﹣1)，且a r ⊥b r，则实数x 的值是 ．答案：1考点：平面向量数量积坐标运算解析：∵a r ＝(x ，2)，b r＝(2，﹣1)， ∴a r ·b r＝2x ﹣2 ∵a r ⊥b r∴a r ·b r＝2x ﹣2＝0，解得x ＝1． 4．函数y =的定义域为 ． 答案：(1，2)考点：函数的定义域 解析：由题意得：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1＜x ＜2，即原函数定义域为(1，2)．5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S = ． 答案：31考点：等比数列前n 项和 解析：由题意，341881a q a ===，解得q ＝2， ∴55213121S -==-． 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为 ．答案：25考点：同角三角函数关系式解析：sin sin tan 22cos cos 2sin cos 2sin 12tan 1225cos αααααααααα====++++⨯． 7．“2x >”是“1x >”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．） 答案：充分不必要考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断解析：因为“2x >”一定能推出“1x >”，但“1x >”不能推出“2x >”， 故“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位长度得到函数y ＝πsin(2)6x +的图象，则ϕ的值为 ．答案：12π 考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ(π02ϕ<<)个单位 则得sin 2()y x ϕ=+，即sin 2()y x ϕ=+＝πsin(2)6x +求得12πϕ=．9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2(2)()f x f x +>的解集为 ．答案：(﹣1，2)考点：函数的单调性解析：根据题意可得函数()f x 是R 上的单调递增函数，又2(2)()f x f x +>22x x +>，220x x --<，解得﹣1＜x ＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)． 10．已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(-∞，1e-) 考点：利用导数研究函数极值解析：∵函数()ln m f x x x=-， ∴221()m x mf x x x x+'=+=， 当m ≥0时，()f x '＞0，()f x 在(0，+∞)单调递增；当m ＜0时，当x ＝﹣m 时，()f x 有极小值()ln()10f m m -=-+>， 解得：1m e<-． 11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为 ． 答案：9考点：等差数列的性质，基本不等式解析：∵各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =， ∴37526a a a +==∴23737()92a a a a +≤=，当且仅当37a a =＝3时取“＝”． 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE 2ED =u u u r u u u r ，若AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，则cosC ＝ ． 答案：13考点：平面向量数量积解析：∵AE EB 6⋅=-u u u r u u u r，∴(AD DE)(CB CE)6+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r12(CB CD)(CB CD)633--⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2221CB CD CB CD 693-++⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，∵菱形ABCD 的棱长为3，求得CB CD ⋅u u u r u u u r ＝3，∴CB CD 31cos C 93CB CD ⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r ．13．若方程π3cos(2)65x -=在(0，π)的解为1x ，2x ，则12cos()x x -= ． 答案：35-考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数()cos(2)6f x x π=-，当3()5f x =时，在(0，π)上有两个零点1x ，2x ，一方面13cos(2)65x π-=，另一方面可得两个零点1x ，2x 关于直线12x π=对称，则2176x x π=-，则1211177cos()cos[()]cos(2)66x x x x x ππ-=--=- 113cos(2)cos(2)665x x πππ=--=--=-．14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[1，2ln34e --) 考点：函数与不等式解析：根据23111()3f x x x =-，1x ∈(0，3)，求得1()f x 的值域为(0，4]， 1()ln x g x ea x -=--，11()x g x ex-'=-，可以判断()g x '在(0，3)上单调递增 又(1)0g '=，故当0＜x ＜1时，()g x '＜0，()g x 在(0，1)单调递减 当1＜x ＜3时，()g x '＞0，()g x 在(0，1)单调递增 计算得(1)1g a =-，2(3)ln 3g e a =--，要使任意1x ∈(0，3)，总是存在两个不同的2x ，3x ∈(0，3)，使得123()()()f x g x g x ==，则210ln 34a e a -≤⎧⎨-->⎩，求得1≤a ＜2ln34e --．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a ﹣b ＝2． （1）求a ，b 的值； （2）求sin(A ＋C)的值．16．（本题满分14分）已知向量a r ＝(cos x ，3cos x )，b r＝(cos x ，sin x )．（1）若a r ∥b r ，x ∈[0，2π]，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅r r ，x ∈[0，2π]，求()f x 的最大值及相应x 的值．17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分16分）如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝3米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH 的面积为S．（1）求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；（2）求cosθ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19．（本题满分16分）已知函数()f x x x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足11(1)n n n a na a +-=-，n *∈N ．（1）证明：数列{}n a为等差数列；（2）设数列{}n a的前n项和为n S，若211a a-=，且对任意的正整数n，都有1113S<2311143nS S S+++⋅⋅⋅+<，求整数1a的值；（3）设数列{}n b满足310n nb a=+，若2115a a-=，且存在正整数s，t，使得s ta b+是整数，求1a的最小值．附加题（共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2cos 23sin ραα=+（α为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02β<<），若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C ．（本题满分10分）设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++．22．（本题满分10分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=． （1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．。
江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析
2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.【答案】{}1,3,9 【解析】 【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =， 由并集的运算可得{}1,3,9A B =，故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题. 2.如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值. 【详解】复数2()3bib R i-∈+， 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b bi i i i ----+==-++-， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______. 次数 1 2 3 4 5 得分 3330272931【答案】4 【解析】 【分析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差. 【详解】由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=，由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=， 故这五次测试成绩的方差为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________. 【答案】56【解析】 【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种）， 取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）． 所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56． 故答案为56．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.根据如图所示的伪代码，当输入的,a b分别为2，3时，最后输出的b的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.【详解】由程序框图可知，当输入的,a b分别为2，3时，235a a b=+=+=，532b a b=-=-=，所以输出的2b=，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线的方程为2y x=±，则该双曲线的离心率为_______．5【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而225c a b a=+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线方程是y＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a =+=，∴5ce a==． 故答案为5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4 【解析】 【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MBAA BSS ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V SAC --==⨯⨯=⨯⨯=4． 故答案为：4．【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 【答案】-5【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===，则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩，所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-， 故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 【答案】12【解析】 【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】()y f x =是定义在R 上的偶函数， 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩， 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数， 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题. 10.已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅. 【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=， 所以220OA OB -=，即OA OB =， 所以O 在AB 的垂直平分线上， 由题意可知1AC =，3BC =. 设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅ CM AB MO AB =⋅+⋅ ()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题. 11.已知sin222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________． 【答案】1或85【解析】由sin222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=，当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++， 故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++；（2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12.已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足23AB =.点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.【答案】[]4,8 【解析】 【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解. 【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知()()222,435CP CO ==-+-=，则()222431OD OA AD =-=-=，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=， 当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=， 所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8， 故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13.设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____. 【答案】[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围.【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，当2a =时，显然成立； 当12a ≤<时，2a y x -=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x∈时恒成立，因而12a≤<成立；当2a>时，2ayx-=在第一象限；若函数y x a=-的图像在[1,3]x∈时恒在2ayx-=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233aaa>⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解不等式可得72a≥，综上所述，满足条件的实数a的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.14.在ABC∆中，若tan tan3tan tanA AB C+=，则sin A的最大值为_____.【答案】215【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C +=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=， 由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥， 即221sin 25A ≤，所以21sin A ≤ 则sin A 21. 21. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1PBC ；（2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ；（2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线，所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ，所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩，所以PB ⊥平面11AAC C ，而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题.16.已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的3【解析】分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 33sin cos 2424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 153sin 2x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=;由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为[0,]x π∈，则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当1522x ππ+=时，函数()y f x =的最大值为3， 解得此时12x π=.【点睛】本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB △为等边三角形,求k 的值. 【答案】（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b±±，因此易得,a b；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB△是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB⊥且3PO AO=，我们采用PO AB⊥且3PO AO=，由线段AB的中垂线与直线l相交求得点P的坐标，计算PO，直线y kx=与椭圆相交求得A点坐标，计算AO，利用3PO AO=求得k值，由于涉及到AB的垂线．因此对k按0k=和0k≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1a b==,椭圆C的方程为2213xy+=(2)设()11,A x y,则()11,B x y--（i）当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线的交点为(0,3)P,又3,3AO PO==23AB PA PB⇒===，所以PAB△是等边三角形,所以0k=满足条件；(ii)当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx=所以221{3xyy kx+==，化简得解得12331xk=+所以222233313131kAO kk k+=+=++又AB的中垂线为1y xk=-，它l的交点记为00(,)P x y由30{1x yy xk+-==-解得31{31kxkyk=--=-则2299(1)kPOk+=-因为PAB△为等边三角形，所以应有3PO AO=代入得到222299333(1)31k kk k++=-+，解得0k=（舍），1k=-综上可知，0k=或1k=-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B两点，30BAC︒∠=，小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）（1）若4v=，2AB km=，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t<<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值.【答案】（1）2；（243【解析】【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值.【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯， 化简可得222483116434x t t t ⎛=-+=-+ ⎝， 因为01t <≤，所以11t ≥，则当13t =33t =时，2x 取得最小值，此时2x =， 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2.（2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时， 由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦， 整理化简可得()221284340m m v v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 设(),0,1m k k t =∈， 则上式可化为()221284340k v k v +-+-=在()0,1内有解，则()()2284341240v v ∆=--⨯⨯-≥， 解得430v <≤， 当33v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v 43. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题.19.已知函数()(),ln xf x eg x x ==． （1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间； （2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【答案】（1）()h x 的单调增区间为（0，22]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一． （3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令222221()20x x h x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎝⎭'=-=≥， 解得202x ≤＜．∴函数h （x ）的单调增区间为（02]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x '=，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-． 假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ．则k=1x e ，∴110010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1．下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减，0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解．∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切． （3）证明：()111x f x e x x x----=，令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0．∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增，∴v （x ）＞v （0）＝0． ∴()1110x f x e x x x----=＞， ∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）．H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0，解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<．∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式.【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-； 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-，化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立， 所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+， 则()21412211n n b n n a +=+=+-=， 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由（1）可知41n b n =+， 则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n nB n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++， 综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.选做题:本题包括三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21.设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程. 【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-.【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P 21，求实数a 的值.【答案】1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值.【详解】直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为222d -==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 21， 212a =，0a >，解得1a =.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋ 【答案】证明见解析 【解析】【详解】∵x，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 必做题:第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ． 【答案】（1）6（2）()E X =10.7X1234P23 14 114 184【解析】【详解】（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229nC C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.62(1)93P X ===；361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为： X1234P2314114184所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.7 25.设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S .（1）求22S 和42S 值；(2)当m n <时，求证：11322nnm n m S ++<+-.【答案】（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。
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绝密★启用前2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题1．已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则R A B =I ð______． 答案：{}1利用补集的定义求出集合B R ð，然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 解：{}0B x x =≤Q ，{}0R B x x ∴=>ð，因此，{}1R A B =I ð.故答案为：{}1. 点评：本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.答案：4根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 解：1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4. 点评：本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3．已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数，则实数a =___________. 答案：12根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-，求出a ，再加以验证()f x 是否为奇函数.解：函数1()1xf x a e =+-为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-， 11+111a a e e=----，解得，12a =，此时111()212(1)x x xe f x e e +=+=--， 11()()2(1)2(1)x xx x e e f x f x e e --++-===---，所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 点评：本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用减少计算量，但要验证，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程是___________________. 答案：1y =- 将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =，利用抛物线的性质求解即可． 解：由214y x =得：24x y =，所以24p =，即：12p= 所以抛物线214y x =的准线方程为：12py =-=-．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．5．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，分离参数法表达出a 的表达式，对函数配方，根据x 的范围，从而确定a 的范围． 解：∵满足1＜x ＜4的一切x 值，都有f （x ）=ax 2﹣2x+2＞0恒成立，可知a ≠0 ∴a ＞()221x x -=2[14﹣（1x ﹣12）2]，满足1＜x ＜4的一切x 值恒成立，∵14＜1x ＜1， ∴2[14﹣（1x ﹣12）2]∈（0，12]，实数a 的取值范围为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 故答案为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 点评：本题考查了不等式恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，涉及了变量分离求最值得方法，属于中档题．6．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．答案：12根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值. 解：因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 点评：已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7．若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.答案：2-求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++， 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 点评：本题考查导数的几何意义，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 答案：2.分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-，由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果.详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---，解得1q =-，()222144462112a q a a q a a q q+++∴===，故答案为2.点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9．若双曲线22219x y b -=满足9b ≥，则该双曲线离心率的取值范围是_______________.答案：)+∞根据双曲线离心率公式，得3e =b 的范围，即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =，9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 点评：本题考查双曲线的性质，属于基础题.10．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 答案：1124-不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 解：解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 点评：本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．已知函数2()6f x x =-，若0a b >>，且()()f a f b =，则2a b 的最大值是______________. 答案：16根据已知求出22,a b 关系，以及b 的范围，将2a b 转化求关于b 的关系式，即可求解.22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ，22260,066b b a b -<<<-=-+，222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+，设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-，当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增，当()0,()x f x f x '∈<单调递减，2x ∴=时，()f x 取得极大值16，也是最大值，2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 点评：本题以二次函数为背景，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.12． 若直线y ＝x ＋m 与曲线x m 的取值范围是______.答案：{m |－1＜m ≤1或m }由x 2+y 2=1，注意到x ≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 解：由x 2+y 2=1，注意到x ≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆， 且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是： ①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于（0，﹣1）和另一个点， ③与曲线交于点（0，1）．。