2020高中数学-第一章充分条件与必要条件-1.2.2-充要条件学案-新人教A版选修1-1

充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

充要条件

学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)

[自主预习·探新知]

1．充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题

：

“若p，则q”是假命题

推出关系p⇒q p q

条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

/

q不是p的必要条件

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p 的必要条件是q.这五种表述形式等价吗

[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．

|

(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里

[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

~

1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()

(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．()

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．()

[答案](1)√(2)√(3)×

2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

?

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]

3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .

【导学号：】

}

(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充

分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；

—

(4)p ：a ＜b ，q ：a

b ＜1.

[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件． [解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件．

(2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．

(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q

的必要不充分条件．

(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a

b ＞1；

当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a

b ＜1； 当a ＞0，b ＞0，a

b ＜1时，可以推出a ＜b ；

@

当a ＜0，b ＜0，a

b ＜1时，可以推出a ＞b .

因此p是q的既不充分也不必要条件．

[规律方法]充分条件与必要条件的判断方法

(1)定义法

(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

》

若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇔q，则p与q互为充要条件；

若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()

【导学号：】A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

;

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]

(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．

/

A．①④B．①②③

C．①②③④ D．①②④

D[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．

②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．

③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ