数字特征与特征函数
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习题四
1.设随机变量X 的分布律为
求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111
()(1)012;8
2842
E X =-⨯+⨯
+⨯+⨯= (2) 22
22211115()(1)012;82844
E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=
(3) 1
(23)2()32342
E X E X +=+=⨯+=
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
故 ()0.5830
0.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.501,= 5
2
()[(
)]i
i
i D X x E X P ==
-∑
222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0
0.432.
=-⨯+-⨯++-⨯=
3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,
又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,
2222
12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=
……
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===
4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则
(){|}{}N
k P A P A X k P X k ===∑全概率公式
1{}{}
1().N
N
k k k P X k kP X k N N
n E X N N
=====
===∑∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他x x x x
求E （X ），D （X ）. 【解】12
20
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰
2
1
3
32011 1.33x x x ⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
12
22320
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰ 故 2
2
1()()[()].6
D X
E X E X =-=
6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .
【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=
(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立
1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），
D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.
E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
(2) 2
2
(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<.,
0,
0,10,其他x y x k
试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因
1
001
(,)d d d d 1,2
x
f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
===⎰⎰
⎰⎰故k =2
10
()(,)d d d 2d 0.25x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,
10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,
.
y y --⎧>⎨
⎩其他
求E （XY ）.
【解】方法一：先求X 与Y 的均值 1
2
()2d ,3
E X x x x
==⎰
5
(5)5
()e d
5
e d e d 51 6.
z y y z
z
E Y y y z z
z +∞
+∞+∞=-----=
+=+=⎰
⎰⎰
令 由X 与Y 的独立性，得
2
()()()6 4.3
E XY E X E Y ==⨯=
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为
(5)2e ,01,5,
(,)()()0,
,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他
于是
1
1
(5)
2
(5)5
5
2
()2e
d d 2d
e d 6 4.3
y y E XY xy x x y x x
y y +∞
+∞
----===⨯=⎰
⎰
⎰⎰
10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为
f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,
0,
0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨
⎧≤>-.
0,0,
0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200
()()d 2e
d [e
]
e d x
x x X X xf x x x x x x +∞
+∞
+∞
--+∞
-∞
=
=-⎰
⎰
⎰