山东省临沂市高考数学一轮专题：第5讲 函数的单调性与最值
高考数学一轮复习 第5讲 函数的单调性与最值课件 文
__区__间__D__叫作 f(x)的单调区间．
(4)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性
__相_同_____ ， 偶 函 数 在 其 关 于 原 点 对 称 区 间 上 的 单 调 性
__相_反_____．
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向
固 基
2．函数的最值
础
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
上的任意两个自变量x1，x2
定义
当x1<x2时，都有
__f_(_x_1_)<_f_(_x_2_) _，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有
__f_(_x_1_)>_f_(_x_2_) ________，
那么就说函数f(x)在区间D
上是减函数
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第5讲 函数的单调性与最值
双 向 固 基 础
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向 固
4．基本初等函数的值域
基
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为________．
础
(2)对于函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a>0 时，该函
数 的 值 域 为 ________ ； 当 a<0 时 ， 该 函 数 的 值 域 为
________． (3)y＝kx(k≠0)的值域是________． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是________．
[1，＋∞)不是该函数的单调递增区间．
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向 固
3．求抽象函数单调性的方法
基 础
(1)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在
函数的单调性与最值 课件-2025届高考数学一轮复习
求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
递增
递减
单调区间
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）有多个单调区间应分开写，不能用“∪ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有⑪__________; ,使得⑫___________
,都有⑬__________; ,使得⑭___________
√
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数， ，都有，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选B.不妨设，因为 ，所以，故是 上的增函数，所以原不等式等价于，解得 .故选B.
√
例1（1） 求函数 的单调区间；
【解】由题得
画出函数 的图象如图所示，可知单调递增区间为和，单调递减区间为和 .
√
考点三 函数单调性的应用
比较函数值的大小的方法利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小.
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值教师用书
第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
高考数学一轮复习课件：函数的单调性与最值
1，则实数 m 的值为( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．1
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋m－1 在[3，＋∞)上是增加的， 且 f(x)在[3，＋∞)上的最小值为 1，
∴f(3)＝1，即 22＋m－1＝1，m＝－2.选 B.
(理)(2012·济南模拟)f(x)＝4x2－mx＋5 在[－2，＋∞)为增 加的，f(1)的取值范围是( )
课堂典例讲练
求函数的值域
[例 1] 求下列函数的值域 (1)y＝2x2＋x；(2)y＝|x－1|＋|x＋4|； (3)y＝2xx－＋11；(4)y＝2x＋4 1－x； (5)y＝x－ 1－x2； (6)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]．
[分析] 上述各题在求解之前，先应观察其结构特点选择 最优的方法，然后再解．
(3)利用复合函数关系判断单调性． 法则是“ 同增异减 ”，即两个简单函数的单调性相同，则 这两个函数的复合函数为 增函数 ，若两个简单函数的单调性 相反，则这两个函数的复合函数为 减函数．
(4)图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 相同 的单 调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 相反 的单调
解法 2：(单调性法) 当 x≤－4 时，y＝－2x－3 为减函数， ∴y≥－2×(－4)－3＝5， 当－4<x<1 时，y＝5， 当 x≥1 时，y＝2x＋3 为增函数，∴y≥2×1＋3＝5. 综上可知，函数值域为{y|y≥5}．
(3)解法 1：(反函数法) ∵y＝2xx－＋31的反函数为 y＝3xx－＋21，其定义域为{x|x≠2}， ∴原函数的值域是{y|y∈R 且 y≠2}． 解法 2：(分离常数法)∵y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3， 其中x－7 3≠0， ∴y＝2xx－＋31的值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)．
高考理科数学一轮复习课件函数的单调性与最值
学生自主命题尝试及评价学生来自主命题单调递减对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称函数$f(x)$在该区间内单调递减。
单调区间及判定方法
单调区间
函数在其定义域内，如果存在一个区 间使得函数在该区间内单调递增或单 调递减，则称该区间为函数的单调区 间。
03
导数在函数单调性和最值中应用
导数与函数单调性关系
导数正负与函数单调性
当函数在某区间内可导时，若导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增；若导数 小于0，则函数在此区间内单调递减。
VS
导数与函数图像
导数的正负可以反映函数图像的上升或下 降趋势，从而判断函数的单调性。
利用导数判断函数单调性
求导
首先求出函数的导数表达式。
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备考建议及答题技巧分享
备考建议
在复习函数的单调性与最值时，要注重对基 本概念和性质的理解和掌握，同时多做历年 高考真题和模拟试卷中的相关题目，加强对 知识点的运用和解题技巧的训练。
答题技巧分享
在解答函数单调性与最值问题时，首先要明 确函数的定义域和单调性条件，然后利用导 数工具判断函数的单调性和最值情况。在求 解参数取值范围时，要注意参数的约束条件 和函数的性质相结合进行推导。
2020版高考数学(理)一轮复习：第5讲~函数的单调性与最值ppt课件(含答案)
定义
自变量的值 x1,x2
当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就
就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
课前双基巩固
图像
描述
自左向右看图像是 上升的
自左向右看图像是 下降的
课前双基巩固
单调递减区间是
.
[思路点拨] (1)先令 t=-x2+2x+3>0 求得函数的定义域,再根据复合函 数的单调性的性质判定函数的单 调递增区间;(2)作出函数 g(x)的图 像,由图像可得单调递减区间.
课堂考点探究
例 2 (1)[2018·石嘴山一模] 函数 y=ln(-x2+2x+3)
的单调递增区间是 ( )
(������ 1 +2)(������ 2 +2)
=(������������2 -������������1 )+(������15+(���2���2)(-������������21+) 2)>0, 故函数 f(x)在(-2,+∞)上单调递增.
课堂考点探究
[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;②作差 f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断 f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即
(0,+∞)上单调递减,故 A 错; 对于选项 B,函数 y=|x-1|在(0,+∞)上先减
(2)[2018·茂名二联] 设函数 f(x)在 R 上为增函数, 后增,故 B 错;
2024年高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值含解析
专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础学问融会贯穿1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意条件(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【学问拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出详细解析式的函数的单调性 【典型例题】下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C ．【再练一题】已知函数f （x ）＝ln ，则（ ）A ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减C ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：依据题意，函数f （x ）＝ln，其定义域为R ，有f（﹣x）＝ln ln f（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，] D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满意0＜a＜1，依据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（）A．[1，e﹣1] B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得微小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再视察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较困难的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：依据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x）＝|ln（x）|＝|ln|＝|﹣ln（x）|＝|ln（x）|＝f （x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时，t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln（x）＝ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）＝0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）＝|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log94），b＝f（log52）＝f（log254），又由log254＜log94＜1＜1.80.2，则有b＜a＜c；故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．命题点2 解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2+x﹣2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．【再练一题】设定义在R上的奇函数f（x）满意f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满意f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．命题点3 求参数范围【典型例题】若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（0，2）C．（0，1] D．[1，2）【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；∴；解得0＜a≤1；∴a的取值范围为：（0，1]．故选：C．【再练一题】若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1＝1，即a2﹣1≤1，解之得a∵x≥0时，y＝ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a②函数的单调性是减函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1＝1，即a2﹣1≥1，解之得a或a．∵x≥0时，y＝ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a综上所述，得a∈故选：C．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值．基础学问训练1．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.2．已知函数且满意，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C3．已知函数，则函数有（）A．最小值，无最大值 B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值【答案】D【解析】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）t2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.4．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A．16 B．17 C．32 D．33【答案】B【解析】函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y= x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．5．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．∴当时，；当时，；∴函数的值域是．故选A．6．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，明显的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设递增，，可得，故选：B．7．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x），①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满意条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故选：A．8．奇函数单调递减，若，则满意的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满意的取值范围是，故选D.9．假如对定义在R上的奇函数，对随意两个不相邻的实数，全部，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，对于全部的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．10．已知定义在上的函数，对随意，有，且时，有，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对随意，所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数，因为，所以，即，所以，故选A.11．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．12．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】令上的增函数.当，即时，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故.所以选A.13．假如奇函数在区间上是减函数，值域为，那么______.【答案】12【解析】由f（x）在区间上是递减函数，且最大值为5，最小值为-2，得f（3）＝5，f（7）＝-2，∵f（x）是奇函数，∴．故答案为：12．14．已知函数，若上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=上单调递减，故只需满意，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．设函数f（x）=|x-1|在x∈[t，t+4]（t∈R）上的最大值为M（t），则M（t）的最小值为______．【答案】2【解析】作出函数f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t＜1＜t+4，即-3＜t＜1时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f（x）的最小值为0；当t=-1时，f（t）=f（t+4）=2；当-1＜t＜1时，f（t）＜f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t+4）=t+3，且M（t）∈（2，4）；当-3＜t＜-1时，f（t）＞f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t）=1-t，且M（t）∈（2，4）；综上可得M（t）的最小值为2．故答案为：2．16．已知函数，若当时，都有，则a的取值范围为______．【答案】【解析】①当时，即②当时，若，即时，若，即时，③当时，综上所述，17．对于区间，若函数同时满意：上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．求函数的全部“保值”区间．函数是否存在“保值”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得，又，所以，所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值”区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减，可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有，因为，可得；若，此时函数在区间上单调递增，可得，消去m得，整理得．因为，所以，可得，可得．由，即有．综合得，函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．18．已知函数常数．证明上是减函数，在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对随意，总存在，使得成立，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：：设，且，，，，当时，即，当时，即，时，，即，此时函数为减函数，当时，，即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数；时，，，设，则，，由可知上是减函数，在上是增函数；，即，即上是减函数，在上是增函数；由于为减函数，故又由（2）得由题意，的值域为的值域的子集，从而有，解得．19．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．20．已知函数．判定并证明函数的单调性；是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】函数上R上的单调递增函数．证明如下：设，，，且，，函数上R上的单调递增函数．函数，，是R上的奇函数，不等式对一切都成立，，对一切都成立，是R上的增函数，，对一切都成立，．存在实数，使得不等式对一切都成立．实力提升训练1．已知是自然对数的底数），，则的大小关系是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】记,可得x=e可知：上单调递增，又∴，即故选：A2．若函数，设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，则有，则；故选：D．3．已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A． B． C．3 D．或3【答案】C【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．4．若函数上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ).A．2 B．－2 C．2或－2 D．0【答案】C【解析】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C．5．已知直线分别与函数的图象交于两点，则两点间的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设t+1=u,t=u-1>0,原式等于依据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.故答案为：D.6．已知函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选C.7．已知函数的定义域为(1)试推断的单调性；(2)若，求的值域；(3)是否存在实数，使得有解，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增（2）（3）存在，且取值范围为【解析】解：（1）设单调递增.（2）令的值域为（3）由而当时，令，所以的取值范围为8．已知函数（1）设的两根，且，试求的取值范围（2）当时，的最大值为2，试求【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得故（2）当时，的最大值为2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为①若，则当时取得最大值，即，解得②若，则当时取得最大值，即，解得故9．已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】，则，得，即，则．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．10．已知函数.（Ⅰ）推断并证明的单调性；（Ⅱ）设，解关于的不等式.【答案】（Ⅰ）上单调递增；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（Ⅰ）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增.（Ⅱ），由是奇函数；又由（Ⅰ）知上单调递增，上单调递增，等价于，可得：，解得：不等式的解集是.。
2021届新高考数学一轮课件：第二章+第5讲+函数的单调性与最值
答案：D
难点突破 ⊙函数的最值与值域 例题：求下列函数的值域：
(1)y＝3xx－＋22； (3)y＝x2＋x－x＋1 2(x>1)；
(2)y＝x2x－2－x＋x 1； (4)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解：(1)方法一，y＝3xx－＋22＝3x－x－62＋8＝3＋x－8 2， ∵x－8 2≠0，∴y≠3. ∴函数 y＝3xx－＋22的值域是{y|y∈R，且 y≠3}. 方法二，由 y＝3xx－＋22，得 x＝2yy－＋31.∴y≠3.
∵log34>log33＝1,1＝20>2－23>2－32，∴log34>2
2 3
>2
3 2
，
又 f(x)在(0，＋∞)单调递减，
2
3
∴f(log34)<f(2 3 )<f(2 2 )，
∴f(2
3 2
2
)>f(2 3
)>flog314，故选
C.
答案：C
考向 2 解不等式
例 4：(1)(2017 年新课标Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调
解析：x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0，即 f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又 f(x)为偶函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∴f(3)<f(4)<f(5)， ∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选 A. 答案：A
(2)(2019 年新课标Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在
3.函数 y＝ 16－4x的值域是___[_0_,4_)__.
解析：∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴ 16－4x∈[0,4). 4.函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为___2___.
2021届新高考数学一轮：第二章 第5讲 函数的单调性与最值
D.y＝1x
解析：函数 y＝2－x，y＝log 1 x，y＝1x在区间(0，＋∞) 上单
2
1
调递减，函数 y＝x 2 在区间(0，＋∞)上单调递增，故选 A.
2.(2018 年北京)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成 立，则 f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是_y_＝__si_n_x__ __(_答__案__不__唯__一__)__.
(0，＋∞)单调递减，则( )
1 A.flog34>f(2
3 2
)>f(2
2 3
)
1 B.flog34>f(2
2 3
)>f(2
3 2
)
C.f(2
3 2
)>f(2
2 3
1 )>flog34
D.f(2
2 3
)>f(2
3 2
1 )>flog34
解析：∵f(x)是定义域为 R 的偶函数，∴flog314＝f(log34).
fxx11－－fx2x2＞0； (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]＞0
I 上 f′(x)>0， 那么 f(x)为区 间 I 上的增函
数
数，I 称为 y＝f(x)的单调增区间
(续表)
函数
定义
等价形式
导数
如果对于区间 I 内的任意两个
如果在某区间
单调 值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 fxx11－ －fx2x2＜0； I 上 f′(x)<0，
解和研究函数的性质 出现，若与导数交汇，则多为解答题
1.函数的单调性
函数
定义
等价形式
巅峰冲刺山东省2020高考数学一轮考点扫描专题05 函数单调性与最值 含解析
巅峰冲刺 山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题05 函数的单调性与最值一、【知识精讲】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数，即Δx 与Δy 同号增，异号减．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(4)f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的单调性，如图可知，(0，a ]减，[a ，＋∞)增，[－a ，0)减，(－∞，－a ]增．二、【典例精练】例1.(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】(1)D【解析】由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D ．(2) 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】 法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．【方法小结】 1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性(1)定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.例2. (1) (2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．【答案】(1)B (2)1， 52(3)4【解析】(1) 法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B ．法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，故函数f (x )在区间[0,1]的最大值M 和最小值m 变化，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B ． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.【解法小结】 求函数最值的5种常用方法21212x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c【答案】D【解析】 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .（2）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]．（3）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(2,3]【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．【方法小结】 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 三、【名校新题】1．(2019·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)【答案】C【解析】由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.2．(2019·石家庄调研)若函数f (x )＝(m －1)x ＋b 在R 上是增函数，则f (m )与f (1)的大小关系是( ) A. f (m )>f (1) B. f (m )<f (1) C. f (m )≥f (1)D. f (m )≤f (1)【答案】A【解析】因为f (x )＝(m －1)x ＋b 在R 上是增函数，则m －1>0，所以m >1，所以f (m )>f (1).3．(2019·东北三省四校质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为( )A.(－∞，－4)∪[2，＋∞)B.(－4，4]C.[－4，4)D.[－4，4]【答案】D【解析】令t ＝x 2－ax ＋3a ，则y ＝log 12t (t >0)，易知t ＝x 2－ax ＋3a 在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增.∵y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，∴t ＝x 2－ax ＋3a 在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t >0， ∴2≥a2，且4－2a ＋3a ≥0，∴a ∈[－4，4].4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12【答案】C【解析】由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．(2019·郑州调研)函数f (x )＝x －1x 2在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )A.3116B.2C.94D.114【答案】A【解析】易知f (x )＝x －1x 2在[1，4]上是增函数，∴M ＝f (x )max ＝f (4)＝2－116＝3116，m ＝f (1)＝0.因此M －m ＝3116.6．(2019·兰州一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]【答案】C【解析】令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).7．(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( ) A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】设t ＝f (x )－2x ，则f (t )＝6，且f (x )＝2x ＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t ＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，且f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6. 8. (2019·成都诊断)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______. 【答案】1【解析】法一 在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )图象，依题意，h (x )的图象如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.9．(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 【答案】[3，＋∞)．【解析】函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞) 10．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，3)【解析】f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.11.(2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [－1，＋∞) 【解析】设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． 11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 【解析】(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 【解析】(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )> －1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 【解析】(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。
高考数学一轮复习函数的单调性与最值
单调递增，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数y＝ 2 + 2−24的单调
递减区间是（－∞，－6].
答案：（－∞，－6]
5.若函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是
.
1
解析：因为函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－ .
答案 （－ 5，－2）∪（2， 5）
目录
｜解题技法｜
目录
考向3 由函数单调性求参数的值（范围）
【例5】
已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上
是增函数，则实数a的取值范围是
.
解析 令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，
＋∞）上单调递增.又y＝et为增函数，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上单调递
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
递增，在区间（－∞，－2）上单调递减，∴函数f（x）的单调递增区间为（4，
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ −1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变
为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
1 2 3
1 3
+
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，故
2
4
4 4
高考数学(山东新高考版)一轮复习课件：2.2函数的单调性与最值
-
1 2
2
1 2
2
1
+ , ≥ 0,
4
1
- , < 0.
4
画出函数的图象如图所示.
1
由图易知原函数在 0, 2 上单调递增.故选 B.
核心素养专项提升
-20-
第八单元
考点一
考点1
考点2
考点二
核心素养专项提升
-21-
考点3
-10-
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考点3
思考判断函数单调性的基本方法有哪些?
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.
5.(202X江西新余一中质检一,13)已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的
1
1 2
- ,
2 3
2
2
3
增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是
解析:由已知可得-2<m-1<1-2m<2,解得- <m< .
.
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第八单元
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考点1
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考点二
核心素养专项提升
考点3
证明或判断函数的单调性
那么就说函数 f(x)在区间 D 那么就说函数 f(x)在区间 D 上
上是增函数
是减函数
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是降落的
-2-
第八单元
考点一
知识梳理
2020高三数学(人教版)一轮复习函数的单调性与最值
判已断知函函数数f(fx()x＝)＝x2－x＋2aax(－a>3在0)在区间(0[，1，＋2]∞上)具上有的单单调调性性，． 则实数a的取值范围为_x_______．
函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
(1)函数 f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为( )
A．f(－π )<f(－2)<f(3) B．f(－π )>f(－2)>f(3) C．f(－π )<f(3)<f(－2) D．f(－π )>f(3)>f(－2)
(2)已知函数 f(x)＝ x2＋4x，x≥0， 若 f(2－a2) >f(a)，则实数 a 的取 4x－x2，x<0，
值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
2．函数的最值
(1)最大值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
①对于任意的 x∈I，都有
；
②存在 x0∈I，使得
．
那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
(2)最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：
函数的单调性与最值
认识单调性 从左向右图像下降，y随x的增大而减小； 从左向右图像上升，y随x的增大而增大.
增函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对 于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间 上是增函数.
高考数学一轮复习函数系列之函数的单调性与最大(小)值学案(2021年整理)
山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之函数的单调性与最大（小）值学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之函数的单调性与最大（小）值学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的单调性与最大（小）值知识梳理1写出函数单调性的定义？2. 定义法证明函数单调性的步骤____________________________________________________________________________ 3函数单调性的判断方法：(1）定义法，(2）导数法(3）图像和性质重点难点聚焦：1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，因此先求函数的定义域.单调区间是定义域的子集。
2、函数的单调性是对区间而言的,如果函数f （x ）在区间(a,b ）与（c,d)上都是单调递增(或递减)，但不能说函数f （x)在区间（a,b ） ∪(c,d ）上一定是单调递增（或递减）. 再现型题组1讨论函数y=kx 的单调性。
2.下列函数中，在区间)2,0(上递增的是( ） A x y 1= B x y -= C y=x D 241y x x =-+3. 函数 y=223x x +- (x>0）的单调增区间是 （ ）A. （0,+∞) B 。
（—1,+∞) C 。
(—∞，—1） D(—∞,-3］4．函数32()31f x x x =-+是减函数的区间是 ( )A.（2，+∞) B (—∞,2） C.（- ∞,0) D .(0，2）5、。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解5---函数的单调性与最值
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件(1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f (x )的定义域为R ，且f (－3)<f (2)，则f (x )为R 上的增函数．(×) (2)函数f (x )在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(×) (3)因为y ＝x 与y ＝e x 都是增函数，所以y ＝x e x 在定义域内为增函数．(×)(4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) 教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是() A ．y ＝|x ＋1|B ．y ＝2－x C ．y ＝1x D ．y ＝x 2－x ＋1 答案A2．函数y ＝xx －1在区间[2,3]上的最大值是________．答案2解析函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2,3]上单调递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.3．函数y ＝ax －1在(－∞，1)上为增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案(－∞，0)题型一 确定函数的单调性 命题点1求具体函数的单调区间例1下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是________．(填序号) ①y ＝e x －e －x ；②y ＝|x 2－2x |；③y ＝x ＋cos x ；④y ＝x 2＋x －2. 答案①③解析∵y ＝e x 与y ＝－e －x 为R 上的增函数，∴y ＝e x －e －x 为R 上的增函数，故①正确； 由y ＝|x 2－2x |的图象知，故②不正确； 对于③，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故③正确；y ＝x 2＋x －2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故④不正确．命题点2判断或证明函数的单调性 例2试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解方法一设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．方法二f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 教师备选1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________． 答案[0,1)解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．2．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax (x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．证明方法一(定义法)设x 1>x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 当x 1，x 2∈(0，a ]时，0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0，a ]上单调递减， 当x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，x 1x 2>a ， ∴x 1x 2－a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 方法二(导数法)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2(x >0)，令f ′(x )>0⇒x 2－a >0⇒x >a ， 令f ′(x )<0⇒x 2－a <0⇒0<x <a ，∴f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案D解析f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的定义域为4＋3x －x 2>0， 解得x ∈(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2，对称轴为x ＝32，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4，因为y ＝ln t 为增函数，所以f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案[1,2]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]． 题型二 函数单调性的应用 命题点1比较函数值的大小例3(2022·成都模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (133)，c ＝f (13e )，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c <b <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b 答案B解析∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)， 均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝13x在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴1<13e<133，又0<ln2<1，∴ln2<13e<133，∴13(3)f>13(e)f>f(ln2)，即a<c<b.命题点2求函数的最值例4(2022·深圳模拟)函数y＝x2＋5x2＋4的最小值为________．答案5 2解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝t2＋1t＝t＋1t，函数y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增，∴当t ＝2时，y min ＝52. 命题点3解不等式例5已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x －1)<2，则实数x 的取值范围是________． 答案(1,2)解析f (x )在定义域(0，＋∞)上是增函数， 且f (1)＝2，∴原不等式可化为f (x －1)<f (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，x －1>0，解得1<x <2. 命题点4求参数的取值范围 例6函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，则实数a 的取值范围是() A ．[4,8) B ．(4,8) C ．(1,8] D ．(1,8) 答案A解析函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数f (x )＝⎩⎨⎧ a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4,8)．教师备选 1．(2022·嘉峪关模拟)函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)在(1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)答案A 解析函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)为复合函数，令u (x )＝x 2－ax －3，y ＝ln u 为增函数，故只要u (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要⎩⎨⎧ a 2≤1，u (1)≥0，解得a ≤－2.2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______．答案1解析方法一在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象为如图所示的实线部分．易知点A (2,1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.方法二依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 单调递增，当x >2时，h (x )＝3－x 单调递减，因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.思维升华 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝e |x |，记a ＝f (log 23)，b ＝f (－2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案A解析函数f (x )＝e |x |，其定义域为R ，且f (－x )＝e |－x |＝e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝e x 为增函数，又b ＝f (－2)＝f (2)，且e>2>log 23，∴f (e)>f (2)>f (log 23)，即a <b <c .(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案D解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的图象，如图，由图可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)， ∵函数在(a ，a ＋1)上单调递增，∴a ＋1≤2或a ≥4，∴a ≤1或a ≥4.(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋1)的解集为________．答案(0,2)解析依题意f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以 f (2x －1)>f (x ＋1)⇔(2x －1)2<(x ＋1)2，即4x 2－4x ＋1<x 2＋2x ＋1，即x 2－2x ＝x (x －2)<0⇒x ∈(0,2)．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x答案A解析当x∈(0，＋∞)时，y＝1x与y＝－x单调递减，∴y＝1x－x在(0，＋∞)上单调递减．2．函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数答案C解析函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．3．(2022·安徽六安一中月考)若函数f(x)＝2x2＋31＋x2，则f(x)的值域为()A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案C解析f(x)＝2x2＋31＋x2＝2＋1x2＋1，∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1， ∴f (x )∈(2,3]．4．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－2，则满足－2≤f (x －2)≤2的x 的取值范围是()A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[1,3]D ．[0,4]答案C解析因为f (x )为奇函数，若f (1)＝－2，则f (－1)＝2，所以不等式－2≤f (x －2)≤2可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3.5．(2022·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －e －x ，x >0，－x 2，x ≤0，若a ＝50.01，b ＝log 32，c ＝log 20.9，则有()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (a )>f (c )>f (b )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案A解析y ＝e x 是增函数，y ＝e －x 是减函数，因此在(0，＋∞)上y ＝e x －e －x 单调递增，且此时f (x )>0.f (x )＝－x 2在x ≤0时单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．c ＝log 20.9<0，b ＝log 32，所以0<b <1，a ＝50.01>1，即a >b >c ，所以f (a )>f (b )>f (c )．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋2x ，x >0，21－x，x ≤0，则下列结论正确的个数是()①f (x )在R 上为增函数；②f (e)>f (2)；③若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≤－1或a ≥0；④当x ∈[－1,1]时，f (x )的值域为[1,2]．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析易知f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，①错误，②正确；若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≥0或a ＋1≤0，即a ≤－1或a ≥0，故③正确；当x ∈[－1,0]时，f (x )∈[1,2]，当x ∈(0,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故④不正确．7．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________． 答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山东师大附中质检)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案(－∞，1]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ， 当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减， 又f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a ≤1.9．已知函数f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，且f (x )在(0,1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值． 解f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a ＋1a， ∴g (a )＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a 即a ＝1时取等号，∴g (a )的最小值为2.10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围． 解(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)f (x )在R 上单调递增．证明如下： ∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －1221x +－a ＋2221x + ＝12122(22)(12)(12)x x x x ⋅-++， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2， ∴0<12x <22x ，∴12x －22x <0,12x ＋1>0,22x ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2)．11．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则M 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C解析画出函数M ＝max{2x ,2x －3,6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，－x 3，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)答案B解析易知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，－x 3，x >0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m－x>x＋m，即2x<m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)<m，解得m<－2.13．如果几个函数的定义域相同，值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”，则函数y＝x＋x＋1的值域为________，与y是“同域函数”的一个解析式为________．答案[－1，＋∞)y＝x，x∈[－1，＋∞)(答案不唯一)解析y＝x＋x＋1的定义域为[－1，＋∞)，且在[－1，＋∞)上单调递增，∴当x＝－1时，y min＝－1，∴值域为[－1，＋∞)，∴与y是“同域函数”的解析式可为y＝x，x∈[－1，＋∞)．14．设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1x＋2a＝a－2a2－1x＋2a，定义域为{x|x≠－2a}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，所以a ≥1.15．(2022·沧州模拟)设函数f (x )＝x 3－sin x ＋x ，则满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析f (x )＝x 3－sin x ＋x ，∵f (－x )＝(－x )3－sin(－x )＋(－x )＝－(x 3－sin x ＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－cos x ＋1≥0，∴f (x )为R 上的增函数，∴f (x )＋f (1－2x )<0可化为f (x )<－f (1－2x )＝f (2x －1)，∴x <2x －1，即x >1，∴满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是(1，＋∞)．16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，且当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 解(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
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山东省临沂市高考数学一轮专题：第5讲函数的单调性与最值
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共13题；共26分)
1. （2分） (2017高二下·定州开学考) 已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣f（|x|），若g （lgx）＞g（1），则x的取值范围是（）
A . （0，10）
B . （10，+∞）
C .
D .
2. （2分）使函数f（x）=|x|与g（x）=﹣x2+2x都是增函数的区间可以是（）
A . [0，1]
B . （﹣∞，1]
C . （﹣∞，0]
D . [0，2]
3. （2分）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）
的大小关系为（）
A . f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）
B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）
C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）
D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）
5. （2分）(2019·晋城模拟) 已知函数，若对，，
且，使得，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）已知函数f（x）= ，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）
A . （2，3）
B . [2，3）
C . （1，3）
D . [1，3]
7. （2分）设函数D(x)＝，则下列结论错误的是（）
A . D(x)的值域为{0，1}
B . D(x)是偶函数
C . D(x)不是周期函数
D . D(x)不是单调函数
8. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（）
A . p∨q
B . p∧q
C . （┐p）∧（┐q）
D . （┐p）∨q
9. （2分） f(x)为定义在R上的偶函数,对任意的,f(x)为增函数，则下列各式成立的是（）
A . f(-2)>f(0)>f(1)
B . f(-2)>f(1)>f(0)
C . f(1)>f(0)>f(-2)
D . f(1)>f(-2)>f(0)
10. （2分）已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则（）
A . [1,2)
B . [1,2]
C . (1,2)
D . (1,2]
11. （2分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA 的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）
A . 26
B . 32
C . 36
D . 48
12. （2分） (2017高二下·芮城期末) 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2019高三上·长春月考) 若函数在上为增函数，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
14. （1分） (2017高三上·南通开学考) 已知f（x）= 的最大值和最小值分别是M和m，则
M+m=________．
15. （1分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是________．
16. （1分）函数y=log0.5（sin2x+cos2x）单调减区间为________．
17. （1分） (2016高一上·东海期中) 下列函数中，在区间（0，+∞）上不是增函数的是________．
①y=2x②y=lgx③y=x3④y= ．
18. （1分） (2019高一上·纳雍期中) 函数的单调增区间为________．
19. （1分） (2017高一上·武清期末) 的增区间为________．
三、解答题 (共4题；共40分)
20. （10分） (2017高一上·桂林月考) 已知函数 .
（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；
（2）写出该函数的值域、单调区间(不用说明理由)．
21. （10分） (2019高一上·延安月考) 已知函数
（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求实数的取值范围.
22. （10分） (2019高二上·山西月考) 已知函数， . （1）求解不等式；
（2）若，求的最小值.
23. （10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为6，求a的值．
参考答案一、单选题 (共13题；共26分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
三、解答题 (共4题；共40分)
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
23-1、。