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《循环小数》课件
如何将有限小数转换为循环小数
有限小数可以转换为循环小数的方法之一是将有限小数的分子乘以一个适当的数，使得乘积为整数。
循环小数与贝尔特朗悖论
贝尔特朗悖论是指存在一种情况，使得循环小数中的某些数字无法被无限重 复。
循环小数与无理数的关系
循环小数是一种有理数，而无理数不是循环小数。
循环小数的性质及其应用
圆周率和自然对数的循环小数开具有特殊的规律性。
无理数的绝对收敛和条件收敛 的比较
无理数的绝对收敛和条件收敛是分析学中的重要概念，与循环小数的收敛性 相关。
循环小数的无限不循环部分
循环小数的无限不循环部分是指循环部分之后的数字序列，它们不会重复。
循环小数具有周期性和重复性，这使得它们在数学和工程领域有广泛的应用。
循环小数在解决实际问题中的 应用
循环小数在金融、物流和科学研究等领域中可以用于解决实际问题，如计算 利息、预测货物到达时间等。
循环小数的计算方法与技巧
计算循环小数的方法包括割线法、长除法和观察循环节规律等技巧。
割线法求解无理数的循环小数
模n意义下的最小循环节
在模n意义下，循环小数的最小循环节是指能够与原循环节等价的最小整数。
循环小数的分类和基本性质
根据循环小数的规律和性质，可以对其进行分类，并研究其基本性质和特点。
循环小数与尾数重复的关系
循环小数的尾数重复性指循环小数末尾的数字会按照一定的规律不断重复出 现。
规律循环小数和混沌循环小数
《循环小数》PPT课件
欢迎来到我们的《循环小数》PPT课件！今天我们将深入探讨循环小数的定 义、性质和应用，帮助您更好地理解这一数学概念。
什么是循环小数?
循环小数是指无穷不循环小数，其中有一段数字会不断地循环出现。
5.循环小数(课件)-五年级上册数学人教版(共12张PPT)
反思卡
四、竖式计算。
5.7÷9=
13.32÷1.5=
2.34÷3.3=
）。
反思卡
二、用简便情势写出下面的循环小数。 0.333… 写作：（ ） 1.0666… 写作：（ ） 3.2525… 写作：（ ） 17.065065… 写作：（ ）
反思卡
三、判断。
（1）循环小数都是无限小数。 （ ）
（2）9.2929是循环小数。（）（3）3.1515保留两位小数约是15.16 （ ）
五年级上册
第三单元：小数除法
第五节：循环小数
学习目标
1.通过求商认识并了解循环小数、有限小数、无限小数 的意义，能正确区分有限小数和无限小数。 2.掌握循环小数的简便记法，能用循环小数表示除法算 式的商。
复习旧知
预习卡
计算下面各题
405÷90=
7.5÷15=
自主学习
预习卡
自学课本第33页例7。 自己动手尝试例题7、8。
问题卡
讨论：试除下面各题。
15÷16=
5.7 ÷9=
两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会
有哪些情况？
小结：小数部分的位数有限的小数是有限小数。
小数部分的位数无限的小数是无限小数
反思卡
1、小结：用自己的语言说一说这节课学习的内 容？
反思卡
2、检测（独立完成）
一、填空。 （1）2.235235…的循环节是（ ）。 （2）在0.36 、 0.36 、0.3 、0.6 最大的数是（ （3）3.2727…是一个（ ）小数。
问题卡
说出你自己遇到的问题。
问题卡
总结：
1、一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不 断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个 循环小数的循环节。 3、写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和 末位数字上面各记一个圆点。
人教版五年级上册数学3.4循环小数课件(共52张PPT)
打循环点
1.666… ＝ 1.6· 5.6262… ＝ 5.6· 2·
9.21313… ＝
8.47555… ＝
7.302302… ＝
打循环点
1.666… ＝ 1.6·
循环点只
5.6262… ＝ 5.6· 2·
能打两个，打 在首位和末位。
9.21313… ＝ 9.2· 1· 3· ×
8.47555… ＝ 8.475·
自主探究、合作交流
竖式计算：
78.6÷11
7. 145 11 78.600
77
16 11
50 44
60 55
5
自主探究、合作交流
竖式计算：
78.6÷11
11
因为余数的重复出现
7. 145 78.600 77
16 11
50 44
60 55
5
导致相同数字的商依 次不断重复出现
还有没有必要继续往下写？
还有没有必要继续往下写？
“不需要继续算。”
“它后面的得数都是一样， 还是50，这样除下去的话又是 44，和这里的余数一模一样， 实际上跟这上面的过程是一模 一样的。”
7. 145 11 78.600
77
16 11
50 44
60 55
5
自主探究、合作交流
竖式计算：
1. 555
28÷18
18 28.000 18
循环小数的循环节，有的循环节是一位，有的是多位。
循环小数的读法
1.666…
1.666…，6循环
5.6262…
5.6262…，62循环
9.21313… 9.21313…，13循环
8.47555… 7.302302…
循环小数ppt课件
物理计算
在物理学中，很多物理量都是以小数形式表示的，如光速、重力 加速度等，其中有些就是循环小数。
工程计算
在工程计算中，经常需要用到各种数学公式和模型，而这些公式和 模型中的参数往往都是循环小数。
统计学
在统计学中，循环小数用于表示一些无法精确表示为有限小数的概 率或频率，例如某些事件的概率。
在日常生活中的应用
0.909009009009009009...
这是一个复杂循环小数，小数点后的数字90不断重复。
无限不循环小数例子
π（Pi）
这是一个无限不循环小数，它的小数 部分是无限且不重复的。
e（自然对数的底数）
这也是一个无限不循环小数，它的小 数部分也是无限且不重复的。
THANK YOU
循环小数也可以用分数来表示，例如：0.3333...可以表示为 1/3。
02
循环小数的性质
循环小数的位数
循环小数的位数是无限的，但有一个或多个数字是重复出 现的。
循环小数的位数越多，其近似值越精确，但表示的数值是 无限的。
循环小数的近似值
循环小数可以表示为近似值，通常采用四舍五入的方式取一定位数。 循环小数的近似值可以用来比较大小和进行的应用
循环小数的出现
在数学中，循环小数常常出现在 分数的约简、无理数的近似表示 以及一些复杂的数学运算中。
数学定理的证明
循环小数在数学定理的证明中也 有广泛应用，例如费马小定理、 欧拉定理等。
数学分析
在数学分析中，循环小数用于研 究函数的极限、连续性和可微性 等概念。
在科学计算中的应用
简单循环小数例子
0.3333...
这是一个简单循环小数，小数点后的数字3 不断重复。
人教版五年级上册数学《循环小数》课件(共35张PPT)
人教版五年级上册数学《循环小数》课件(共35张PPT)(共35张PPT)循环小数人教版数学五年级上册第三单元小数除法情境导入你们欣赏过武功山的春夏秋冬吗？今天这节课跟着老师一起去领略武功山的美吧夏秋春冬春、夏、秋、冬、春、夏、秋、冬......循环往复开始咯春夏秋冬四季更替，这是大自然中的循环，那在我们数学王国中有没有循环的现象呢？例7 王鹏跑400m用时75秒，他平均每秒跑多少米？从题目中你获得了哪些数学信息？怎样解决这个问题？路程÷时间＝速度400÷75二、新知探究400÷75=754 0 053 7 52 5 02 2 5.32 5 032 2 52 5 02 2 532 55.333…继续除下去，可能永远也除不完。
观察这个竖式，你发现了什么？余数怎么总是“25”？商的小数部分总是重复出现“3”。
试着列竖式计算一下，再说一说这些商的特点。
28÷18=________78.6÷11=________1.555…7.14545…28÷18=1.555…78.6÷11=7.14545…400÷75=5.333…循环小数一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
辨析：判断下列各数哪些是循环小数，哪些不是。
3.4666…（）2.354354（）1.4555（）0.24382438…（）0.44222…（）√√√×自学提示阅读教材第34页上面的内容，并回答以下两个问题：（1）什么是循环节（2）怎样用简便方法表示循环小数二、新知探究一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
如：5. 333…的循环节是3；7 14545…的循环节是45。
写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
6.9258258… 写作：6.92585.333… 写作：5.31、用简便形式写出下面的循环小数并读出来。
《循环小数》课件
在科学实验中，测量数据也常常 出现循环小数，例如测量物体的
长度、重量等。
在科学研究中的应用
在物理学中，很多物理量都是 用循环小数来表示的，例如温 度、压力、密度等。
在化学中，化学反应的速率和 化学平衡常数等也常常用循环 小数来表示。
在生物学中，生物种群的数量 和增长率等也常常用循环小数 来表示。
感谢观看
循环小数的表示方法
在小数点后加上省略号来表示重复的部分。 例如：0.3333...可以表示为0.3(3)。
循环小数与无限不循环小数的区别
无限不循环小数是指小数点后的小数 部分没有重复的数字出现，且无法表 示为分数形式的小数。
循环小数则可以表示为分数形式，小 数部分有重复的数字出现。
02
循环小数的性质
Hale Waihona Puke 04循环小数的实例
生活中的循环小数例子
音乐节拍
音乐中的节拍常常用循环小数来 表示，如4/4拍的速度是120bpm ，即每分钟120拍，每拍的时间 就是1/120分钟，是一个循环小 数。
天气预报
在气象学中，风速、降雨量等数 据有时会用循环小数来表示，如 风速为3.13m/s。
数学中的循环小数例子
化学元素周期表
在化学中，一些元素的原子质量、电子排布等数据有时会用循环小数来表示。如铁元素 的原子质量约为55.845克，是一个循环小数。
05
循环小数的应用
在数学中的应用
循环小数是数学中分数和有理数的一个重要组成部分，对于理解数学概念和进行数 学运算具有重要意义。
在数学中，循环小数可以用于解决一些复杂的数学问题，例如求解一些高次方程的 根等。
循环小数在数学分析中也有广泛应用，例如在研究函数的极限和连续性时，需要用 到循环小数的概念。
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详细描述
有效数字近似方法是根据需要保留的有效 数字位数，对后面的位数进行取舍。这种 方法适用于需要保留一定精度的数值，例 如在科学计算和工程领域中。例如，将 31415.9近似到三位有效数字得到3.14e4 。
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05
课堂练习与思考
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03
循环小数的应用
在日常生活中的应用
日常计时
循环小数在日常生活中经常用于表示时间，如分钟和秒数。例如，1小时等于60 分钟，而1分钟等于60秒，每小时的循环小数表示为1.002（表示1小时0分钟2秒 ）。
音乐节奏
音乐中的节拍经常使用循环小数来表示，如4/4拍可以表示为1.0（表示1拍）， 而3/4拍可以表示为1.333（表示1拍半）。
02
答
循环小数是一种小数，在小数部分的某一位开始，有一段数字不断重复
出现。例如，0.374747…中的“47”就是重复出现的数字。
03
简答题2
循环小数有哪些特性？
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循环小数与无限不循环小数的区别
无限不循环小数是指小数部分无限延长且不重复的小数，如π 和根号2等。
循环小数的小数部分是有规律的重复，而无限不循环小数则 没有规律。
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02
循环小数的性质
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练 （1）0.8888是循环小数。（ ） × 是循环小数。（ ） 是循环小数 习
课 堂 练 习
1.29090…≈ 0.4444
…≈
3、求一求下面循环小数的 、求一求下面循环小数的 近似数（保留三位小数位数）。 近似数（保留三位小数位数）。
· · 1.291 0.0183≈
0.444
0.018 7.276
继 续 探 索
依次不断重复出现的数字是？ 依次不断重复出现的数字是？ 3.4666 … 6
（
） 一个循环小数的
0.2382438 … （ 2438 ）小数部分，依次重复 小数部分， 8.4747 … （ 47 ） 出现的数字，叫做 出现的数字， 0.44222 … （ 2 ） 循环小数的循环节。 循环小数的循环节 循环节。
判断正误
1 2 3 4
0.7777是循环小数 × 是循环小数( ) 是循环小数 1.3＞1.333 (√ ) ＞ 2.07=2.07 ( × )
13.243243… … 可写作 可写作13.24 ( ) ×
. . .. .
知 识 应 用
根据特点分类 第一类： 第一类：0.24382438 …… 第二类： 第二类：3.4666 …… 8.4747 …… 0.44222 ……
. . ..
.
11.181818…写作11.18 0.414141…写作 写作0.41 11.181818…写作11.18 0.414141…写作0.41 写作 …写作 写作4.2 4.222 …写作4.2
.
…写作 写作3.1023 3.1023023023 …写作3.1023
.
.
课 堂 练 习
7.307 = 7.30707 ··· 3.1435 = 3.14351435 ··· 3.1435 = 3.143535 ··· 2.05 = 2.0505 ···
1、写一写:你能根据下列循环小数的简便写法 、写一写 你能根据下列循环小数的简便写法, 你能根据下列循环小数的简便写法 写出它们的一般写法吗? 写出它们的一般写法吗
课 堂
2、判断：
是循环小数。（ （2）0.1555 … ） 是循环小数。（ ） √ 是循环小数。（ （3）1.2是循环小数。（ ） ） 是循环小数 × … 是循环小数。（ （4）3.1415926是循环小数。（ ） ） 是循环小数 ×
知
简便写法
识 应 用
写循环小数的时候，为了简便， 写循环小数的时候，为了简便，小 数的循环部分只写出第一个循环节 循环节， 数的循环部分只写出第一个循环节，并 在这个循环节的首位和末位数字上面各 在这个循环节的首位和末位数字上面各 首位和末位 记一个圆点。 记一个圆点。 圆点 · 读作: 写作 3.3 读作 五点三 三的循环 … 写作 · · 读作 五点三二七 二七的循环 5.32727 写作5.327 读作: · · … 读作: 6.258 写作6.258 读作 六点二五八 二五八的循环 写作 3.33 …
循环节从小数部分第一位开始的， 循环节从小数部分第一位开始的， 叫做纯循环小数 纯循环小数。 叫做纯循环小数。 循环节不是从小数部分第一位开 始的，叫做混循环小数 混循环小数。 始的，叫做混循环小数。Biblioteka 谈一谈：今天你有什么收获？
课
有限小数
堂 小
小数
结
不循环小数 无限小数 循环小数
• 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字 或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫 做循环小数。 小数部分依次不断重复的一个或几个数字， 小数部分依次不断重复的一个或几个数字， 叫做这个循环小数的循环节 循环节。 叫做这个循环小数的循环节。
巩固拓展:
请你归类。 请你归类。 2.08333… 4.2319 3.1666 2.746746… 33.131313… 5.0272 0.12121
； 有限小数：（ 有限小数：（4.2319 ； 3.1666； 0.12121； 5.0272 ）； 无限小数: 无限小数:（ 2.08333…；2.746746…；)33.131313… ； ；
分 析 比 较
2.58080 8.4747 … 不是 （ ） 0.44222 … （是 ） （是 ） 判断下列各数哪些是循环小数？哪些不是？ 判断下列各数哪些是循环小数？哪些不是？ 循环小数 不是 3.4666 … （ 是 ） 2.35435 （ ） 1.4555 不是 （ ） 0.24382438 … （ 是 ）
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 例如，1.4555是一个有限小数。 是一个有限小数 例如，1.4555是一个有限小数。 小数部分的位数是无限的小数，叫做有限小数。 小数部分的位数是无限的小数，叫做有限小数。 循环小数是无限小数。例如，3.4666 …； 循环小数是无限小数。例如， 0.24382438 … 就是一个无限小数。 就是一个无限小数 无限小数。
神灵寺小学
毛倩
例 8
根据以上信息， 根据以上信息，你 能列出什么算式呢？ 能列出什么算式呢？
400÷75 =
… 400÷75 = 5.3333
5. 3 3 33 7 5 ）4 0 0 375 250 225 250 225 250 225 250 225 25
1、观察这个竖式，你发现了什么? 观察这个竖式，你发现了什么 观察这个竖式
· ·≈ 7.275
拓 展 练 习
比较小数的大小
. 0.33 ＜ 0.3 .. . 1.45 ＞ 1.45 .. 1.23 ＜ 1.233 .. 5.32727… ＝ 5.327
把下面三个数按从大到小的顺序排列 .. . 1.21 1.21 1.211 .. . ( 1.21 )＞( 1.21 )＞( 1.211 ) ＞ ＞
概 括 规 律
1.555… 7.14545… 5.33…
商的小数部分 从第一位起 一个小数的 一个数字依次不断的重复出现
小数部分， 小数部分，从某 一位起 一位起，一个数 商的小数部分 从第一位起 字或者几个数字 一个数字依次不断的重复出现 依次不断重复出 现，这样的小数 商的小数部分 从第二位起 循环小数。 叫循环小数。 二个数字依次不断的重复出现
①余数重复出现25。 余数重复出现 。 ②商的小数部分重复出现“3”。 商的小数部分重复出现“ 。 ③永远也除不完，商是无限的。 永远也除不完，商是无限的。
继 续 探 索
计算下面两题 （ ） ÷ （1）28÷18= 1.555… 2）78 . 6÷11= 7.14545… ） ÷ 1. 5 55 1 8 ）2 8 18 100 90 100 90 100 90 10 7. 1 4 5 4 5 1 1）7 8. 6 77 16 11 50 44 60 55 50 44 60 55 5
巩固拓展:
哪些是循环小数？ 哪些是循环小数？把循环小数用简便方法表示 出来。 出来。 0.777… 1.125125 5.4666 … 11.181818… 0.414141… 4.222 … 3.1023023023… 7.62323
…写作 0.777 …写作 0.7
.
…写作 写作5.46 5.4666 …写作5.46