多元函数的极值(复习)
10.8多元函数的极值及其求法 (2)
多元函数的极值
观察二元函数 z
xy e x2 y2
的图形
一、二元函数的极值及最大值最小值
1、二元函数极值的定义
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0 , y0 ) 的 某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 (x, y)：
例2 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体。
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
例1 求函数 解：第一步 求驻点。
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值；
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
不是极值；
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值。
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。
例 1 函数 z 3x2 4 y2
分析：
此问题是在 x2 y2 z2 1 的条件下， 求解 f(x, y, z) xy z 的最大值，
多元函数的极值与最值例题极其解析
多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。
步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。
在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。
解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
大学数学多元函数的极值问题
大学数学多元函数的极值问题在大学数学课程中，多元函数是一个重要且常见的概念。
多元函数的极值问题则是其中的一个关键内容，它在数学以及其他领域都有广泛的应用。
本文将就大学数学中多元函数的极值问题展开论述，讨论其相关概念、求解方法以及实际应用。
一、多元函数的极值定义1. 极值的概念在单变量函数中，我们学习过函数的极值问题，极值点通常是函数的最高点和最低点。
而在多元函数中，极值点也具有相似的概念。
对于一个定义在多元空间中的函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某个点(x1',x2', ..., xn')附近，f(x1, x2, ..., xn)的值始终大于等于邻域内的其他点，那么(x1', x2', ..., xn')是该函数的一个极大值点；同理，如果f(x1, x2, ..., xn)的值始终小于等于邻域内的其他点，那么(x1', x2', ..., xn')是该函数的一个极小值点。
2. 极值的分类在多元函数的极值问题中，极值可以分为局部极值和全局极值两种。
局部极值是指某一点附近的最高点或最低点，而全局极值则是整个定义域中的最高点或最低点。
判断一个极值点是局部还是全局需要通过对整个定义域进行全面的分析。
二、多元函数的极值求解方法1. 极值的必要条件对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某个点(x1', x2', ..., xn')处取得了极值，那么该点必须满足函数的一阶和二阶偏导数条件。
一阶偏导数的条件是对每个变量求偏导数后都为0，即∂f/∂x1 = ∂f/∂x2 = ... = ∂f/∂xn = 0；二阶偏导数的条件是对每个变量求二阶偏导数后的海森矩阵为负定或者正定。
2. 极值的充分条件若一个多元函数满足必要条件，并且在某个点(x1', x2', ..., xn')的某个邻域内，函数的梯度向量∇f(x1', x2', ..., xn')存在或者为0，那么该点是一个极值点。
考研数学-专题14多元函数极值与最值
在 (0,3) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (3,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (1,1) 点
AC − B2 = 3 > 0, 有极值.
故应选(D).
【例 2】设函数 f (x) ， g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ′(0)
【解】
⎧ ⎨ ⎩
z z
x y
= =
y(3 x(3
− −
2x 2y
− −
y) x)
= =
0 0
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都满足上式.
zxx = −2 y, zyy = −2x, zxy = 3 − 2x − 2 y.
在 (0,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
【例 3】 已知函数 z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy, (a > 0) ，则函数
f (x, y)
(A)无极值点；
(B)点 (a, a) 为极小值点；
(C)点 (a, a) 为极大值点；
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy 知， ∂z = ay − x2, ∂z = ax − y2
专题 14：多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
定义 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任 意的点 P(x, y) 均有
f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) （或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) ）， 则称 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大值点（或极小值点）；称 f (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大
第八节多元函数的极值及其求法
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
又由上面的(2),我们知道: 这两种点不一定就是极值点. 因此, 这两种点到底是否为极值点,还需继续讨论.
定理2 （充分条件）
如果 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某邻域内有二阶 连续偏导数，又 fx (x0, y0) 0 ，f y (x0, y0) 0 . 令
fxx (x0, y0) A , fxy (x0, y0) B, f yy (x0, y0) C 记 AC B2 , 那么
2( y
2 x2
)
=0
Ay
2( x
2 y2
)
=0
(1) (2)
由(1)(2)得 x2 y xy2 即 x y
代入(1),得 y 3 2
x32
x 3 2
y
3
2
即：A 在开区域D {( x, y) | x 0, y 0}
内只有一个驻点 (3 2,3 2) ，又由实际问题知：
A 在 D 内一定有最小值
求得全部驻点;
第二步 求出二阶偏导数，在每个驻点(x0, y0)处，
分别计算 A, B,C 的值：
A fxx (x0, y0), B fxy (x0, y0), C f yy (x0, y0)
再计算 AC B2 的值
第三步 根据极值的充分条件， 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数的极值
（4）求出函数z=f(x, y)对应极值点(x0, y0)的函数值f (x0, y0)，即为极值。
例1 求 f (x ，y) x3 y3 3xy 的极值。
解 fx(x ，y) 3x2 3y，f y(x ，y) 3y2 3x
例2 要用铁板做一个体积为2 m3的，有盖长方体水箱，问 当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
解 设水箱的长为x m，宽为y m，则其高应为 2 m xy
此水箱所用材料的面积为
A
2
xy
y
2 xy
x
2 xy
(x 0 ，y 0)
即
A
2
要用铁板做一个体积为2 m3的，有盖长方体水箱，问 当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。
驻点
(x ，y)
A
B
C
B2 AC f (x ，y)
(0 ，0)
0
-3
0
不是极
90
值
(1，1)
6
-3
是极小
6
27 0
值
由上表可知，(1, 1)点是极小点，f(1, 1)=-1是函数的极小 值．
二、二元函数的最大值和最小值
与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的 最大值和最小值．如果函数z=f(x, y)在有界闭区域D上连续， 则函数z=f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值，且函数 最大值点或最小值点必在函数的极值点或在D的边界上。 因此，只需求出f(x, y)在各驻点和不可导点的函数值及在边 界上的最大值和最小值，将这些值加以比较即可。
(整理)多元函数的极值及其求法.
第六节 多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16*数学建模举例★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步 求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲：二元函数极值的概念例1（讲义例1） 函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2（讲义例2）函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）. 例3（讲义例3）函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）例4（讲义例4）求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6（讲义例5）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.例7 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x , x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.例8 求函数22233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.例9 求122+++=y x yx z 的最大值和最小值.例10（讲义例6）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.例11（讲义例7）设1q 为商品A 的需求量, 2q 为商品B 的需求量, 其需求函数分别为,10420,4216212211p p q p p q -+=+-=总成本函数为2123q q C +=，其中21,p p 为商品A 和B 的价格, 试问价格21,p p 取何值时可使利润最大?例12 求函数xyz u =在附加条件)0,0,0,0(/1/1/1/1>>>>=++a z y x a z y x (1) 下的极值.条件极值 拉格朗日乘数法例13（讲义例8）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.例14（讲义例9）在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数模型,),(1a a y cx y x f -=式中x 代表劳动力的数量, y 为资本数量(确切地说是y 个单位资本), c 与)10(<<a a 是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是=),(y x f ,1004143y x 每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高.例15（讲义例10）设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元)之间的关系为 yy x x R +++=101005200 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c , 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格为p 之间有下面的关系:ap Me x -= )0,0(>>a M (1) 其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= (1,0>>x k ), (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?数学建模举例1．最小二乘法数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式. 通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 这是一种广泛采用的数据处理方法. 经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测. 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法.例17（讲义例11）为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(76543210毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.2．线性规划问题求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题. 下面我们通过实例来说明.例18（讲义例12） 一份简化的食物由粮和肉两种食品做成, 每份粮价值30分, 其中含有4单位醣, 5单位维生素和2单位蛋白质; 每一份肉价值50分, 其中含有1单位醣, 4单位维生素和4单位蛋白质. 对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣, 20单位维生素和10单位蛋白质组成, 问应当选择什么样的食物, 才能使价钱最便宜.下面的例子是用几何方法来解决的.例19（讲义例13） 一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?课堂练习1.求函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极值.2.求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f z +-+==在由x 轴, y 轴及直线π2=+y x 所围成三角形中的最大值.3.某工厂生产两种产品A 与B, 出售单价分别为10元与9元, 生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用是:)()33(01.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时, 两种产品的产量各多少?。
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。
一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。
偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。
考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。
函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。
二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。
通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。
此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。
假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。
使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
大学数学易考知识点多元函数的极值和最值
大学数学易考知识点多元函数的极值和最值大学数学易考知识点：多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值是大学数学中的一个重要概念，在数学分析和最优化理论中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和最值的相关概念、计算方法及其应用。
一、极值和最值的定义在介绍多元函数的极值和最值之前，首先需要了解极值和最值的定义。
1. 极值：在某个定义域内，如果一个函数在某一点的某个邻域内的函数值始终大于（或小于）该点的函数值，那么这个函数在该点就有一个极大值（或极小值）。
极大值和极小值统称为极值。
2. 最大值和最小值：在某个定义域内，如果一个函数在该定义域内的所有函数值中存在一个最大值（或最小值），那么这个函数在该定义域就有一个最大值（或最小值）。
二、求解多元函数的极值和最值为了求解多元函数的极值和最值，需要掌握以下几种常用的计算方法。
1. 偏导数法偏导数法是求解多元函数极值和最值的一种常用方法。
步骤如下：（1）求出多元函数的所有偏导数。
（2）令所有偏导数等于零，解得所有的稳定点。
（3）计算这些稳定点的函数值，并找到其中的最大值和最小值。
2. 条件极值法条件极值法是在满足一定条件下求解多元函数的极值和最值的方法。
步骤如下：（1）建立多元函数的约束条件。
（2）应用拉格朗日乘数法或者将约束条件代入目标函数，将多元函数的求解问题转化为含有一个变量的函数的求极值问题。
（3）对这个含有一个变量的函数应用一元函数的求导法则，求得极值点。
（4）将求得的极值点代入原多元函数，求得极值和最值。
3. 边界法边界法是求解多元函数的最值的一种方法。
步骤如下：（1）找到多元函数的定义域的边界。
（2）计算定义域的边界上的函数值，并找出其中的最大值和最小值。
三、多元函数极值和最值的应用多元函数的极值和最值在众多学科中都有着广泛的应用，这里介绍其中的两个应用领域。
1. 经济学中的优化问题在经济学中，很多问题可以抽象为多元函数的极值和最值问题。
例如，生产者如何选择生产要素的投入比例以最大化利润，消费者如何选择商品的购买数量以最大化效用等。
§6.6 多元函数的极值(复习)
§6.6 多元函数的极值求具有二阶连续偏导数的二元函数的极值的步骤如下: ① 求出函数),(y x f 的所有驻点由⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x f y x f yx 解得),(y x f 的驻点),(00y x ；② 根据极值的充分条件判定驻点是否为极值点对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数在该点的值000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ''''''===1°当20B AC -<时，),(y x f z =在点),(00y x 取得极值),(00y x f ，0A <时为极大值，0A >时为极小值；2°当20AC B -<时，),(y x f z =在点),(00y x 不取极值； 3°当20B AC -=时，不能确定，需另作讨论。
习题六（A ）22．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值： （1）()z xy a x y =--，(0)a ≠； 解：① 求驻点22(,)[()]()2(,)[()]()2x x y y f x y xy a x y y a x y xy ay xy y f x y xy a x y x a x y xy ax xy x''=--=---=--''=--=---=--由22(,)20(,)20x y f x y ay xy y f x y ax xy x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 解得 003003a x x x x a y y a y a y ⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=⎩，，或所以(0,0), (0,)a , (,0)a , (,)33a a 为()z xy a x y =--的驻点；②求二阶偏导数222(,)(2)2(,)(2)22(,)(2)2xx x xy y yy y f x y ay xy y y f x y ay xy y a x y f x y ax xy x x''''''=--=-=--=--'''=--=-，（2）221z x y x y xy =-++++ 解：① 求驻点2222(,)(1)12(,)(1)12x y y f x y x y x y xy x y f x y x y x y xyy x''=-++++=++''=-++++=-++由(,)120(,)120xy f x y x y f x y y x ⎧'=++=⎪⎨'=-++=⎪⎩ 解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,1)-为221z x y x y xy =-++++的驻点； ②求二阶偏导数(,)(12)2(,)(12)1(,)(12)2xx x xy y yy y f x y x y f x y x y f x y y x ''''''=++==++='''=-++=，24．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x 、y ，其成本函数为22(,)23c x y x xy y =++。
高等数学88多元函数的极值及其求法
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy x y
23
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
Q Q(x, y) 10xy 20.2x 30.3y 10x2 5y2
已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位， 产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该 公司的最大利润。 解 利润函数为
L L(x, y) 100Q (20x 30y 1000)
无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
21
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
8
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
解 令 F (x, y, z, ) x3 y2z (x y z 12) ,
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
大学多元函数的极值问题
大学多元函数的极值问题多元函数的极值问题是微积分中的重要内容之一。
在大学数学课程中，研究多元函数的极值问题，不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质，还可以应用于实际问题的解答和优化。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指依赖于两个或更多个变量的函数。
例如，f(x, y)是一个关于变量x和y的函数。
多元函数的定义域是所有定义函数的变量取值所组成的集合。
我们可以用类似于一元函数的方法，来求解多元函数的导数、连续性等性质。
二、多元函数的极值条件多元函数的极值通常需要通过偏导数来确定。
对于二元函数f(x, y)，偏导数的定义为函数 f 对某一个变量的导数。
当偏导数等于零时，可能存在极值点。
然而，仅仅满足偏导数等于零的条件，不足以确定极值点，还需要进行二阶偏导数的判定。
三、多元函数的极值求解方法1. 使用偏导数法：通过求解偏导数方程组来找到多元函数的极值点。
先求得一阶偏导数，然后令其等于零，求解方程组即可得到极值点。
2. 使用拉格朗日乘子法：在某些特殊情况下，多元函数的极值问题需要满足一定的条件。
拉格朗日乘子法可以有效地解决这类问题，通过引入拉格朗日乘子，将带有条件的极值问题转化为无条件的极值问题。
3. 使用二阶偏导数判定：通过求解二阶偏导数，并进行判定，确定极值点的类型。
当二阶偏导数为正时，存在极小值点；当二阶偏导数为负时，存在极大值点；当二阶偏导数既正又负时，不存在极值点。
四、多元函数的极值应用实例多元函数的极值问题广泛应用于各个领域。
在经济学中，通过求解函数的极值，可以找到最大化或最小化利润的方案；在物理学中，通过求解函数的极值，可以确定物体的最稳定状态；在工程学中，通过求解函数的极值，可以找到最优的设计方案。
总结：多元函数的极值问题是数学中的重要课题，通过求解偏导数、拉格朗日乘子法和二阶偏导数，我们可以找到多元函数的极值点，并应用于各个领域的实际问题中。
在学习过程中，我们需要进行大量的计算和推导，以提高对多元函数的理解和运用能力。
8.4 多元函数的极值
f ( x, y ) > f ( x0 , y0 )
则称函数 f ( x, y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 有极小值 f ( x0 , y0 ) ,点 P0 称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.
2.n元函数极值的概念: 2. 元函数极值的概念:设n元函数u=f(p)的定义域为 D 元函数极值的概念
f x ( x0 , y0 ) = 0 的点( x0 , y0 ) 称为函数的驻点. f y ( x0 , y0 ) = 0
极值的必要条件可重述为:可偏导函数的极值点必为驻点 可偏导函数的极值点必为驻点. 可偏导函数的极值点必为驻点 注: (1)但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点(0, 0), 但在该点不取极值.
z
y
思考: 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?x 提示: 利用对称性可知,x = y = z = 3 V0 提示:
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
例2. 求函数 解: 求驻点. 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
得驻点: (1, 0),(1, 2),(–3, 0),(–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 判别.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
4.二元函数极值的充分条件 4.二元函数极值的充分条件
多元函数的极值
L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y),
(2) 解方程组
Lx ( x, y, ) Ly ( x, y, )
fx( x, y) x ( x, y) 0, f y( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y, ) ( x, y) 0.
求 L( x, y, ) 的驻点坐标 ( x0 , y0 , z0 );
1 000xy 2 000x 3 000 y 1 000x2 500 y2 1 000 ( x 0, y 0)
解方程组
Lx 1 000 y 2 000 2 000x 0
Ly
1
000 x
3
000
1
000 y
0
求得唯一驻点(5, 8).
由于 A Lxx (5,8) 2000, B Lxy(5,8) 1000, C Lyy (5,8) 1 000, B2 AC 1 000 000 0, A 2000 0,
例4 求函数 f ( x, y) sin x sin y sin( x y) 在有 界闭区域 D 上的最大值和最小值, 其中 D 是由直线 x y 2π, x 轴和 y 轴所围成的有界闭区域.
解 先求 f ( x, y) 在 D 内部的极值.
解方程组
fx( x, y) cos x cos( x y) 0
一、多元函数的极值
定义7.7 设 f ( x, y) 在点 P0( x0 , y0 ) 的某一邻域 O (P0 ) 内有定义, 若 ( x, y) O (P0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y) f ( x0 , y0 )), (7 20)
则称 f ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值( 极大值), 这时称 ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值点( 极大值点). 极小值和极大值统称为极值.
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值问题类似，多元函数的极值问题也是求函数在定义域内取得最大值或最小值的问题。
然而，由于多元函数的自变量不止一个，因此其极值点的判定和求解方法相对复杂一些。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、多元函数的定义与极值概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
在多元函数中，我们关心的是函数在定义域内取得的极值，即最大值和最小值。
极值点包括极大值点和极小值点，极大值点是函数在该点取得最大值的点，极小值点是函数在该点取得最小值的点。
二、多元函数的极值判定方法对于多元函数的极值问题，我们通常使用以下方法进行判定：1. 求偏导数：首先计算多元函数的偏导数，求出所有偏导数为零的点，这些点可能是极值点。
2. 求二阶偏导数：对于偏导数为零的点，计算二阶偏导数，通过二阶偏导数的符号来判定该点是极大值点、极小值点还是鞍点。
3. 应用极值定理：根据多元函数的定义域和边界条件，应用极值定理来确定函数的极值点。
通过以上方法，我们可以比较准确地找到多元函数的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。
三、多元函数的极值定理在多元函数的极值问题中，有一些重要的极值定理可以帮助我们更好地理解和解决问题，其中最为重要的是费马定理和拉格朗日乘数法。
1. 费马定理：对于多元函数$f(x,y)$，如果在点$(x_0,y_0)$处取得极值，且该点为内点（即不在定义域的边界上），那么该点处的偏导数必须为零，即$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$。
2. 拉格朗日乘数法：对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以使用拉格朗日乘数法来求解。
9-8多元函数的极值及其求法
例2 求函数 f ( x, y ) x 2 y (4 x y ) 在由直线 x y 6， 0， 0 所围闭区域 D 上的最值． x y ( 1995) y 解 先求函数在D 内的驻点， x y6 f x 2 x y(4 x y ) x 2 y 0 ，D 解方程组 2 2 f y x (4 x y ) x y 0 o x à ÷ ò D Ú ¨º ×ã ( 2,1) ¬ Ç f ( 2,1) 4 £ µ Ç Ó Ä Î Ò ¤µ £Ò ¬
则有二元函数极值的定义
设函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，
且对该邻域内任一异于P0 ( x0 , y0 ) 的点 P ( x, y )， 均有 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，( 或 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) )，
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0， f y ( x, y ) 0 .
求出实数解，得驻点.
Ú ú ¼ µ ¶ °
Ú ù ¼ µ È °
Ú ¿ º ö ¤ã Ô Ã Ò · ×µ ( x0 , y0 ) ´ £ ¦ ¬
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
¶ Ó » Ð
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ¬ £
Ì ±µ µ y y0 £ x x0 Ê £ Ó Ø ð Ø ± ¬ ±¬ Ð
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) £ ¬
´ ¶ Ò Ô ¹ Ê f ( x , y0 ) Ô x x0 ´ Ó » ´ Ö £ Ó ÷ º ª ¯ ù Ú ¦ Ð « ó µ ¬ Ë Ò f x ( x0 , y0 ) 0 º 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0 . ù Ô £
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值大学数学易考知识点：多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值是大学数学中一个重要且常考的知识点。
本文将介绍多元函数的极值与最值的概念、求解方法和相关的应用。
一、多元函数的极值与最值的概念多元函数是包含多个自变量的函数，例如f(x, y)。
在二元函数中，常用的自变量为x和y。
而多元函数的极值与最值则是对于这些自变量的取值范围内，函数所能达到的最大值或最小值。
极值分为两种：极大值和极小值。
对于函数f(x, y)，如果在某个点(x0, y0)处，当邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极大值；如果邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极小值。
最值指的是整个定义域范围内的最大值和最小值。
对于函数f(x, y)，如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x', y')，则f(x', y')为函数的最大值；如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x', y')，则f(x', y')为函数的最小值。
二、多元函数的极值与最值的求解方法1. 极值的判定方法为了找到多元函数的极值点，可以利用偏导数进行判定。
对于二元函数f(x, y)，可以分别对x和y求偏导数，得到fx和fy。
然后解方程组fx=0和fy=0，求得所有满足条件的(x, y)，即为极值点。
2. 极值的判定条件为了判断所得到的极值点是极大值还是极小值，可以利用二阶偏导数。
对于二元函数f(x, y)，求fx对x的二阶偏导、fy对y的二阶偏导和fx对y的二阶偏导。
计算得到的二阶偏导数称为Hessian矩阵。
（1）若Hessian矩阵为正定矩阵，则该点为极小值点。
（2）若Hessian矩阵为负定矩阵，则该点为极大值点。
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yfxyayxyyyfxyayxyyaxyfxyaxxyxx，
,(
0yx A B C 2BAC ),(00yxf
0)
0A Ba 0C 2
a
不取极值
)a
2Aa Ba 0C 2
a
不取极值
,0)aபைடு நூலகம்
0A Ba 2Ca 2
a
不取极值
,)
3aa 23aA 3aB 23aC 20
a 3(,)3327aaaf是极值，
a
a
2）221zxyxyxy
① 求驻点
2
2(,)(1)12
,)(1)12x
yfxyxyxyxyxyfxyxyxyxyyx
(,)120
,)120x
fxyxyfxyyx 解得11xy，
(1,1)为221zxyxyxy的驻点；
,)(12)2(,)(12)1
1500件A产品、8125件B产品时利润最大。最
(15008125)615004812541500L，（元）。
设该厂每日生产x件A产品、y件B产品。设L表示该工厂的利润，则
,)64(0,00)LLxyxyxyxy且。
21000020000
xxy，即21000006000xxy下，求
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且的最大值。
．某厂家生产某种产品的成本是每件2元，另外每月再花广告费A元，则每月的销售量
0.00130(1)(22)AxeP，其中P为产品销售价格。求最合理的P和A值，使得工厂的纯利
设L表示该工厂的利润，则L= x(P -2)- A0.00130(1)(22)(2)AePPA
0.0012(,)30(1)(2444)(00)ALLPAePPAAP，。
yfxyxyaxyyaxyxyayxyyfxyxyaxyxaxyxyaxxyx
2
(,)20
,)20x
fxyayxyyfxyaxxyx 解得 00300
axxxxayyayay，，或
(0,0), (0,)a, (,0)a, (,)
3aa为()zxyaxy的驻点；
2
(,)(2)2(,)(2)22
21000020000
xxy，即21000006000xxy下，求
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且的最大值。作拉格朗日函数
,,)64(10000)
xLxyxyxy，
L的驻点，即解方程组
(,,)6(1)03000(,,)40
,,)100000
xyxLxyLxyxLxyxy 150048125xy，得唯一驻点（1500,8125）
,)(12)2xxxxyy
yfxyxyfxyxyfxyyx，
,(
0yx A B C 2BAC ),(00yxf
1)
20A 1B 2C 30 (1,1)0f为极小值
．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x、y，其成本函数为22(,)23cxyxxyy。由
甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：
2363,405PxPy。 试
6.6 多元函数的极值
:
求出函数),(yxf的所有驻点
0),(,0),(yxfyxf
x解得),(yxf的驻点),(00yx；
根据极值的充分条件判定驻点是否为极值点
),(
0yx，求出二阶偏导数在该点的值
00000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC
°当20BAC时，),(yxfz在点),(
设L表示该工厂的利润，则
2()(,)LPxPycxy
2222(,)(363)(405)(23)3644082LLxyxxyyxxyyxxyyxy。
(,)36820
,)401620x
LxyxyLxyyx，得唯一驻点（4,2）。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在（4,2）处取得。于是该工
22max(4,2)3644440282242112LL(元)。
),(yxfz在条件0),(yx的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
构造拉格朗日函数),(),(),,(yxyxfyxL，其中为某一常数；
由方程组
),(,0),(),(,0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx解出,,yx，其中驻点(,)xy就是所求条件
：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为
0yx取得极值),(00yxf，
A
0A时为极小值；
°当20ACB时，),(yxfz在点),(
0yx不取极值；
°当20BAC时，不能确定，需另作讨论。
A）22．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：
1）()zxyaxy，(0)a；
① 求驻点
(,)[()]()2
,)[()]()2xx
A）26．某工厂生产A、B两种产品，A产品每件纯利6元，B产品每件纯利4元，制
x件产品与y件产品的成本函数为2(,)10000
xcxyxy，而该厂每日的制造预算
20 000元。 问应如何分配A、B两种产品的生产，使利润最大？
设该厂每日生产x件A产品、y件B产品。设L表示该工厂的利润，则
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且。
215004000041500
L（元）
(15008125)615004812541500L，（元）。
210000
xyx代入(,)64Lxyxy得
,)64(10000)
xLLxyxx，即2()2400001500xLLxx
2()20
xxLLx，得唯一驻点1500x。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在1500x处取得，此时
00015008125
y。
1500件A产品、8125件B产品时利润最大，最大利润为
0.001
2(,)30(1)(224)0
,)0.03(2444)10APA
LPAePLPAePP，得1201000ln3PAA，或（舍去），
12,1000 ln3 ）。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在（12,1000 ln3 ）处取得。
P=12, A=1000 ln3 时工厂的纯利润最大。