复变函数习题五

第五章 留数理论及其应用

一、 判断题

1．若0z 是函数)(z f 的奇点，则可将函数)(z f 在0z 处展开来计算)(z f 在0z 处的留数（ ）

2．)(z f 在∞=z 处的留数与

)

(1

z f 在0=z 处的留数相等。（ ） 3．若

0)(=⎰c

dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点。

（ ） 4．若∞是函数)(z f 的可去奇点，则)(z f 在∞处的留数为0。（ ）

5．假设0z 是函数)(z f 的m 级极点，则)]()[(d d )!1(1]),([Re 011

00z f z z z

im l n z z f s n n n z z --=--→，

m n ≥。（ ）

二、 选择题 1．0=z 是函数

z

tgz

的( ) （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点

2．设函数)(z f 与)(z g 分别以0z z =为n 级极点与m 级极点（m n >），则0z z =为)

()

(z f z g 的（ ）

（A ）可去奇点 （B ）m n -级极点 （C ）m n -级零点 （D ）本性奇点

3．设0=z 为函数)(z f 的本性奇点，则0=z 为函数)

(z f e 的（ ）

（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）本性奇点 （D ）非孤立奇点

4．设∑∞

==

)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)

([

Re k z

z f s ( )

（A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 5.如果0z 为)(z f 的n 级极点，则0z 为)(z f '的（ ）级极点 (A)n （B ）n - （C ） 1-n （D ）1+n

6．∞=z 是函数z

i

z z ++232的（ ）

（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 7． =∞],2cos

[Re 3

z

i

z s （ ） （A ）3

2-

（B ）32 （C ）i 32

（D ）i 32-

8．=±±=-),2,1,0](,sin 1

[

Re n n z

z s π（ ） （A ）)1()1(+-πn n （B ）)1()1(--πn n （C ）1-πn （D ）1+πn

三、 填空题 1．设0=z 为函数

z z

z 3

)3sin(2

-的 奇点． 20=z 为函数z

ctg

1

的 奇点． 3．∞=z 是函数2

3)(23+-+=z z i

z z f 的 级极点．

4．设0z 为函数)(z f 的m 级零点，那么='],)

()

([Re 0z z f z f s ．

5．设0z 为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)

()

([

Re 0z z f z f s ． 6．设3

3)

(2)(i z z

z z f -+=，则=]),([Re i z f s ． 7．设z

z z f )

1ln()(+=

，则=]0),([Re z f s ． 8．设,)

4()1(1

)(3

-+=

z z z z f ，则=∞]),([Re z f s ． 9．积分

=⎰=1

1sin z dz z ． 四、计算下列函数在各孤立奇点处的留数。

1．2

21)(z e z f z -= 2。11sin )(2

-=z z z f 3。z z z f sin 1)(2= 4．1

)(2+=z e z f z 五、计算下列围线积分。

1．⎰=---2||d )3)(1(21z z z z z z 2。z z z ze z z

d )(cos 5||323⎰=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+ππ 3.⎰=--2||5d )3)(1(1z z z z 4．

⎰

-C

z z z z

d )

1(sin 2，其中C 为不经过0和1的简单闭曲线.

5．

).(,cos 11||为正整数m dz z z

z m ⎰=-

答案：一、1。⨯ 2。⨯ 3。⨯ 4。⨯ 5。√

二、(1)A (2) B (3) C (4) C (5) D (6) C (7) A (8)B

三、1。可去 2。本性 3。1 4。m 5.m - 6. i 3 7. 0 8. 0 9.i π2

四、(1) 0=z 为221)(z e z f z

-=的一级极点，.21lim ]0),([Re 220-=-⋅==→z e z z z f s z z ∞=z 为2

21)(z e z f z

-=

的本性奇点，.2]),([Re =∞=z z f s

(2) 1=z 为11sin

)(2

-=z z z f 的本性奇点， ∞=z 为1

1sin )(2

-=z z z f 的本性奇点 又⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+---+-=- 5

322)1(!51

)1(!3111)11(11sin z z z z z z 所以，

.65]1),([Re =

=z z f s .6

5

]),([Re -=∞=z z f s (3) 0=z 为z z z f sin 1)(2=

的3级极点，πk z =为z

z z f sin 1

)(2

=的1级极点，所以 .61

)sin 1(lim !21]0),([Re 230=''⋅=

=→z

z z z z f s z .)

()1(cos sin 21

]),([Re 2

2πππ

k z

z z z k z z f s k k z -=+=

== （4）i z ±=均为1)(2+=z e z f z 的一级极点，∞=z 为1)(2+=z e z f z

的极点。

.2lim ]),([Re i

z i z ie i z e i z z f s -=+==→

.2

lim ]),([Re i

z i z ie i z e i z z f s --→=-=-=

由n

n n n z z n z z

z e z f ∑∑∞=∞

=-⋅=+=0

202

2)1(!1

1)(知.1sin ]),([Re -=∞z f s 五、1．被积函数)

3)(1(21)(---=z z z z

z f 在积分区域内有1,0==z z 两个奇点，均为单极点。

又因为

.3

1

)3)(1(21lim

)(lim ]0),([Re 00

=---===→→z z z z zf z z f s z z