08第八章_位移法

第八章位移法

本章的问题：

A.什么是位移法的基本未知量？

B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？

C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？

D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程

中起什么作用？

E.直接平衡法和典型方程法有何异同？

F.力法和位移法的优缺点？

G.在位移法中如何运用结构的对称性？

§8-1位移法概述

对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。

由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。由“广义荷载”产生的杆端

内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。杆端内力的符号及正、负规定见第3章。

两端固定一固一铰一固一定向

图8-1 位移法基本单跨梁示意图

*

P。

P 。

P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。例如A 端杆端弯矩为

F

432212

2646AB

AB M l EI l

EI l EI l EI M ++-+

=

∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为

图8-2单跨梁杆段位

移和荷载作用

A

B

3

∆4

∆2∆1

∆

F

Q 42

33

22

13

Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++

-

+

=

∆∆∆∆ （b ）

式（a ）和式（b ）中F

AB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。同理，也可叠加得到

B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。 显然，根据形、载常数和叠加原理，也可建立一固一铰、一固一定向单跨梁的转角位移方程。

§8-2位移法方程的建立

力法思路强调的是“转换”，当然位移法本质上仍然是将未知问题化为已知问题来解决，也存在转换的思想。但位移法的转换与力法不同，是“先化整为零，再集零为整”，或称为“离散和归整”。位移法有两种解题方法：平衡方程法和典型方程方法。 1、平衡方程法

为便于理解，仍然用一实例来说明位移法思路。图8-3a 所示为二次超静定结构。在不考虑轴向变形的情况下，只有B 结点能产生转角位移，作为广义位移记作1Z 。

从表8-1结果（或转角位移方程）可以想到，如果以结点位移1Z 作基本未知量，先求出位移1Z ，由于结点位移协调，也即得到了杆件

AB 和CB （以后称为单元element ）的杆端位移，然后根据形常数和载

常数，用叠加原理就可以得到结构的内力。

对一般结构，为实现这个想法，首先需要将待解的结构拆成图8-1所示三种单跨梁的集合。这一“离散”工作，可采用8-3b 加约束使结构不产生结点独立位移来实现。图8-3 所示结构可如图8-3b 在B 结点加一个限制转动约束，使AB 杆成为两端固定单元，CB 成为一端铰支一端固定单元。这个增加约束，除静定部分外，其每一根杆都可

看成是表8-1中单跨梁的结构，称为位移法基本结构。独立的结点位移，则作为位移法的基本未知量，因是广义位移故记作i Z 。

完成了“离散”（也称为“拆”）的过程，在保证结点产生协调的位移i Z 和单元荷载作用下，根据形常数和载常数可以得到各单元的受力、求得杆端内力。对图8-3b 所示结构AB 单元B 端杆端弯矩为BA M ，BC 单元B 端杆端弯矩为BC M 。它们分别可表示为

F BA BA BA M M M +=∆； F

BC BC BC M M M +=∆

式中∆

M 、F M 分别代表由结点位移、荷载所引起杆端弯矩。

现在以结点或结构部分为对象，对图8-3所示结构也即取B 结点，可以建立和各结点独

P

F P

F A

B

C

C

B

A

只限止转动不限制位移的刚臂约束

图8-3 位移法思路

立位移相应的广义力平衡条件。对图8-3所示结构也即令

0F

F =+++=+BC BA BC BA BC BA M M M M M M ∆∆

由形常数可得 1)34(

Z l

EI

l EI M M BC BA +=+∆

∆，

从上式就可以求得位移1Z 。同样，对一般结构，有多少独立结点位移，就可以建立多少广义力平衡条件，这些方程称为位移法方程，由此就可以解决位移的计算，然后就可以用转角位移方程求得各杆端内力，进而作出内力图。这就是位移法中平衡方程法解题的思路。 2、典型方程法

平衡方程法力学概念非常清楚，但不能象力法那样以统一的形式给出位移法方程。为此讨论第二种位移法思路──典型方程法。

象力法一样，首先确定待分析问题位移法的结点独立位移未知量个数，对图8-3所示结构基本未知量只一个，即结点B 的转角位移。然后加限制结点位移的相应约束，线位移加链杆，角位移加限制转动的刚臂，建立位移法基本结构。图8-3a 的基本结构如图8-3b 。和平衡方程法一样，基本结构是一个可以拆成图8-1所示三类单跨梁的超静定结构。和力法一样受基本未知量和外因共同作用的基本结构，称为基本体系。

仍然象力法那样，令基本结构分别产生单一的单位基本位移1=i Z ，根据形常数可做出基本结构单位内力图（对刚架为单位弯矩图i M ）。根据载常数可作出基本结构“荷载”内力图（对刚架为“荷载”弯矩图P M ）。对于图8-3a 所示结构其两个弯矩图如图8-4所示。图中AB i 和BC i 分别为

AB

AB

l EI 和BC

BC

l EI ，称为AB 和BC 杆的线刚度（line stiffness ）。习惯上单位长度的抗弯刚度记作l EI i =。根据单位和“荷载”内力图，从单位内力图取结点或部分隔离体可计算1=j Z 所引起的i Z 位移对应的附加约束上的反力系数ij k ，从“荷载”内力图取结点或部分隔离体可计算i Z 位移对应的附加约束上的反力P i R 。对于图8-3a 所示

结构BC AB i i k 3411+=，F

P 1BA M R -=。

基本结构和原结构有两点区别：原结构在外因下是有结点位移的，而基本结构是无结点位移的；基本结构有附加的约束，而原结构是无附加约束的。基本体系是令基本结构发生原结构待求的位移i Z （n i ,,2,1 =）同时受有外因作用，从结点位移方面看基本体系和原结构没有了差别，但是由于待求位移i Z （n i ,,2,1 =）和外因作用，第i 个附加约束上将产生∑+=j

i j ij i R Z k R P 的约束总反力，显然这是和原结构仍然不同的。为了消除这一差别（原结

构没有附加约束），第i 个附加约束上的总反力应该等于零，也即0=i R 或

1

1=∆AB

i 4BC

i 3AB

i 2F BA

M F AB

M 图8-4 单位和荷载弯矩图