cap6_3~4_惯性定理 正定二次型与正定矩阵

第六章 二次型
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f 推论1 对于任何二次型 x1 , x2 , , xn X T AX，都存 在可逆线性变换 CY，使得 X
2 f y1 y 2 y 2 1 y 2 q p p p
(6.15)
式中，p, q分别为f的正、负惯性指数。
(6.15)右端称为二次型的规范型，显然，它是唯 一的。(6.16)式中的对角阵称为A的合同规范形。
(反证, 若X 0, 则CY 0, 从而C T CY Y 0, 矛盾)
第六章 二次型
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又因为f为正定二次型，从而 g y1 , y2 , , yn Y T BY X T AX f x1 , x2 , , xn 0
即g y1 , y2 ,, yn 是正定二次型
第六章 二次型
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定理1(惯性定理) 对于秩为r的n元实二次型f X T AX , 不论用何种 可逆线性变换化为标准 形，其中正平方项的个 p与 数 负平方项的个数 都是唯一确定的，且 q r。即 q p
若设f x1 , x2 , , xn
i , j 1
a
n
ij
xi x j，f经过两个不同
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霍尔维茨定理
直接从二次型的矩阵A本身判定它是否正定的方法。
定理3 (1)n元实二次型f=XTAX正定(对称矩阵A正定)的充分必要 条件是：A的各阶顺序主子式都大于零(为正)。
即
A1 a11 0, A2 a11 a1k
a11 a 21
a12 a 22
0, ,
a11 a1n 0 a n1 a nn
第六章 二次型
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作 业
P141 8、 10、(1)
第六章 二次型
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例如
f x 2 4 y 2 16z 2
2 2 f x1 3x2
为正定二次型 为负定二次型
第六章 二次型
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如果对任何非零向量 x1 , x2 , , xn 都有 X
T
f x1 , x 2 , , x n 0
则称二次型f为半正定二次型。
Ak
0, , An
a k 1 a kk
第六章 二次型
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*(2) n元实二次型f=XTAX负定(对称矩阵A为负定)的 充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
Ak 1
a11 ak 1
a1k 0, akk
k
k 1,2,, n
2 1 2 2 2 3
是否正定。
解
2 5 2 f的矩阵为 A 2 6 0 2 0 4
a11 A1 a11 5 0, A2 a21
A3 A 80 0,
a12 5 2 26 0 a22 2 6
根据定理知 为负定 f
(1)设A为正定实对称矩阵则AT , A1 , A均为正定矩阵 , ;
第六章 二次型
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正(负)定二次型的判别
定理 标准形式的实二次型
2 2 2 f x1 , x 2 , , x n k1 x1 k 2 x 2 k n x n
( i 1,2, , n) 正定的充分必要条件是 ki 0 (i 1,2, , n)
T
则称二次型f为正定二次型并称其对应的对称矩 , 阵A是正定的，为正定矩阵 ，记为A 0； 如果对任何非零向量 x1 , x 2 , , x n 都有 X
T
f x1 , x 2 , , x n 0
则称二次型f为负定二次型并称其对应的对称矩 , 阵A是负定的，为负定矩阵 ，记为A 0；
d p 1 d p q
di>0 (i=1,2,...,p+q) p+qn成立，则p和q 是由A唯一确定的.
第六章 二次型
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为此特给出下列定义：
定义1 在二次型f x1 , x 2 , , x n X T AX的标准形中， 正平方项的个数 称为二次型的正惯性指 p 数， 负平方项的个数 称为二次型的负惯性指 q 数， 它们的差p q称为f的符号差。 即二次型XTAX(所化成)的标准形中：
B C T AC 则称矩阵A与B合同。
第六章 二次型
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作 业
P123习题六 6、
第六章 二次型
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第四节 正定二次型与正定矩阵
第六章 二次型
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定义 有实二次型f x1 , x 2 , , x n X T AX，
f x1 , x 2 , , x n 0
如果对任何非零向量 x1 , x 2 , , x n 都有 X
证毕！
第六章 二次型
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由上述两个结论可见，一个二次型XTAX(或实 对称矩阵A)，通过可逆(非退化)线性变换X=CY， 将其化成标准型(或规范形)
Y T (C T AC )Y ki yi2
i 1
n
或将A合同于对角阵，即CTAC=Λ，就容易 判别其正定性。
第六章 二次型
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根据上面的定理，可以得到判别二次型是否正 (负)定的几个等价的条件： 定理
第六章 二次型
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化学数学
重庆师范大学化学学院 物理化学工教研室 谌虹
第六章 二次型
2
第一部分 线性代数
第六章 二次型
3
第六章 二次型
第一节 第二节 第三节 第四节 二次型 化二次型为标准型 惯性定理 正定二次型与正定矩阵
第六章 二次型
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第三节 惯性定理
• 限定所用的变换为实变换来研究二次型的标准形 所具有的性质。 • 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形， 也可以通过拉格朗日配方法、初等变换法化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。 • 但比较各个不同的标准形会发现，其中所含有的 系数不为零的平方项的个数是确定的，项数等于 二次型的秩，且正平方项、负平方项的个数也相 同。即有下列定理：
x1 , x2 ,, xn T X
0，必有
f为正定二次型
(2)必要性
因为f为正定二次型，所以对 于非零向量
0, ,0,1,0, ,0T i 有 f 0, ,0,1,0, ,0 k i 0, (i 1,2, , n)
注：取xi=1, xj=0(ji), 代入二次型, 得f(0,...,0,1,0,...,0)=ki>0
第六章 二次型
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例4
判别二次型
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
是否正定。
解
用特征值判别法. 二次型的矩阵为
2 0 2 A 0 4 0 2 0 5
1 1, 2 4, 3 6
令 E A 0
即知A是正定矩阵
故此二次型为正定二次型.
第六章 二次型
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例5
P121 例2
讲
第六章 二次型
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小 结
1、正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵 的区别与联系。 2、正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
(1)定义法 (2)顺次主子式判别法 (3)特征值判别法
3、根据正定二次型的判别方法，可以得到负定 二次型（负定矩阵）相应的判别方法(请自己 推导)。
这个定理称为霍尔维茨定理。 证明 略
第六章 二次型
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例1
判别二次型
2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
是否正定。
解
2 4 5 f x1 , x 2 , x 3 的矩阵为A 2 1 2 4 2 5
综合(1)，(2)命题成立！
证毕！
第六章 二次型
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推论 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的特 征值全为正。
第六章 二次型
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定理 实二次型
f x1 , x2 , , xn X T AX 经可逆(非退化)线性变换后其正定性不 变。
证明 设f为正定二次型，在可逆 线性变换X CY后变为
证明 略（P117）
第六章 二次型
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说明： 因为标准形的矩阵B是对角阵，对角阵B的秩 等于对角线上非零元素的个数p+q，所以 二次型f的秩=矩阵A的秩=矩阵B的秩= p+q =r
即，对一n阶实对称阵A，不论取怎样的可逆阵 C，只要使
d1 d 0 0
它的顺序主子式
5
2
4
5 2 1 2 1 0 1 0, A3 2 A1 5 0, A2 2 1 4 2 5
故上述二次型是正定的.
第六章 二次型
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例2
P121 例1
自学
第六章 二次型
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例3
判别二次型
f 5 x 6 x 4 x 4 x1 x2 4 x1 x3
即标准形式的实二次型 n个系数全为正。 的 正惯性指数p n
第六章 二次型
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证明 (1)充分性
因为 k i 0, k1，k 2， ，k n 0 所以对于任意
2 2 2 f x1 , x 2 , , x n k1 x1 k 2 x2 k n x n 0
第六章 二次型
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• 如果两个n阶实对称矩阵A,B合同，我们也称它 们对应的二次型XTAX和YTAY合同。 • 根据上面的结果不难证明: 两个对称矩阵A,B合同的充要条件是：A,B 有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数。