同角三角函数关系、诱导公式题型归纳

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

❖ 基础知识

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α

cos α

.

平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π

2(k ∈Z)．

2．诱导公式

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π

2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是

偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π

2＋α(k ∈Z )”的终边所

在的象限.

❖ 常用结论

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π

2＋k π，k ∈Z .

考点一 三角函数的诱导公式

[典例]

(1)已知f (α)＝

cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭

⎫3π

2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π

3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛⎭⎫α－2π

3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝

cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭

⎫3π

2－αcos (－π－α)tan (π－α)

＝

－sin α(－cos α)

(－cos α)⎝⎛⎭

⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝1

2

. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23

[题组训练]

1.已知tan α＝1

2，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝

⎛⎭⎫π，3π

2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧

tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，

解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5

5

.

法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1

2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55

. 答案：－

55

2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.

解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1

4＋1＝2.

答案：2

3.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3

3，则tan ⎝⎛⎭

⎫5π6＋α＝________.

解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－

33

考点二 同角三角函数的基本关系及应用

[典例]

(1)若tan α＝2，则sin α＋cos α

sin α－cos α

＋cos 2α＝( )

A.16

5 B ．－16

5

C.85

D ．－8

5

(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π

2

，则cos α－sin α的值为( )

A.1

2 B ．±1

2

C ．－14

D ．－1

2

[解析] (1)sin α＋cos α

sin α－cos α

＋cos 2α

＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝

tan α＋1tan α－1＋1

tan 2α＋1

，

将tan α＝2代入上式，则原式＝16

5

.

(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×3

8＝

14，因为π4<α<π

2

，所以cos α

2.

[答案] (1)A (2)D [题组训练]

1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝4

3

，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )