山西省祁县中学2017_2018学年高二数学4月月考试题理

山西省祁县中学学年高二数学月月考试题 理
一、选择题（本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
.复数的共轭复数是（ ）
. . . . .下列函数中，＝是其极值点的函数是( ) ．()＝－ ．()＝－ ．()＝－ ．()＝ .下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ） .直线,若,则.
类比推出:向量,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c . .同一平面内,直线,若⊥⊥,则. 类比推出:空间中,直线,若⊥⊥,则.
.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222
x y r +=.
类比推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球面的方程为2222
x y z r ++=. .实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则2
4a b ≥.
类比推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则2
4a b ≥. .已知函数＝＋＋，其中、、∈{}，则不同的二次函数的个数共有( ) ．个 ．个 ．个 ．个
.下面是一段演绎推理：
大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线∥平面α，直线⊂平面α； 结论：所以直线∥直线. 在这个推理中( )
．大前提正确，结论错误 ．大前提错误，结论错误 ．大、小前提正确，只有结论错误 ．小前提与结论都是错误的
.如果曲线()y f x =在点00(,())x f x
处的切线方程为ln 30x y +=,那么（ ） . 0()0f x '< . 0()0f x '> .0()0f x '= . ()f x '在0x x =处不存在 .已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，
那么函数()f x 的图象最有可能的是( )
.由直线1
2
x =
，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ）
．174 ．154 ．1ln 22
．2ln 2 .用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) . 自然数,,a b c 都是奇数
. 自然数,,a b c 都是偶数
. 自然数,,a b c 至少有两个偶数或都是奇数
. 自然数,,a b c 至少有两个偶数 . 若关于的方程－＋＝在[]上有根，则实数的取值范围是( ) ．[－] ．[] ．[－] ．(－∞，－)∪(，＋∞)
.若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于（ ） ．74-或25-64 ．1-或25-64 ．74-或7 ．1-或214
. 以圆＋－－－＝内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( ) ． ． ． ．
二、填空题（本大题共小题，每小题分）
.若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =. .要在如图所示的花圃中的个区域中种入种颜色不同的花， 要求相邻区域不同色，有种不同的种法(用数字作答)．
.0cos()cos
66lim
x x x
ππ
∆→+∆-∆的值为 . .已知函数＝（）是定义在上的奇函数，且当∈（－∞，）时 不等式（）＋′（）<成立，若＝·（），＝(π）)3(log π⋅f ， ＝(91)·(9
1
).则，，的大小关系是.
三、解答题（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） .（本小题满分分） 已知321
1
()(4),x
f x t dt t =-
⎰
求)()1(i f i f ⋅-的值（其中i 为虚数单位）
.（本小题满分分）
已知二次函数2
()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线
20x y +=平行．
（）求()f x 的解析式； （）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间．
.（本小题满分分）
从到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（）在（）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（）在（）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （）在（）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）
.（本小题满分分） 已
知
:
当
*
n N ∈时，有
111
11111
1
1,234
212123
2n n S T n n n n n n
=-+-+
+
-=+++
-+++； （）求1212,,,;S S T T
（）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明.
数学（理）试题共页 第页
.（本小题满分分） （）（用综合法证明）
已知△的内角、、所对的边分别为，，，且、、成等差数列，，，成等比数列，证明：△为等边三角形。

（）（用分析法证明）
设，，为一个三角形的三边，＝(＋＋)，且＝，试证：<.
.（本小题满分分）
设函数()1,.x
f x ae x a R =--∈
（）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；
（）求证：当(0,)x ∈+∞时，1ln 2
x e x
x ->.
答案
一、选择题 二、填空题 — 2
1
- << 三、解答题
.解：44111
()()|2x
f x t x t
x =+=+
-………………………………………分 4111(1)(1)2122
i
f i i i -=-+-=-+-…………………………………分
41
()21f i i i i
=+-=--…………………………………………………分
(1)()65f i f i i -=+……………………………………………………分
.解：（Ⅰ）由2
()3f x ax bx =+-，可得'
()2f x ax b =+．
由题设有'
'(1)0,
(0) 2.
f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 即20,2.a b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1a =，2b =-．
所以2
()23f x x x =--．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄分 （Ⅱ）由题意得3
2
()()42g x xf x x x x x =+=-+，
所以2
()341(31)(1)g x x x x x '=-+=--．令()0g x '=，得11
x =
，21x =．
所以函数()g x 的单调递增区间为(,)3
-∞，(1,)+∞.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄分
. 解:（Ⅰ）347
457100800C C A =个．
(Ⅱ)3453
455314400C C A A =个．
(Ⅲ)34342
453425760C C A A A =个．
(Ⅳ)433
54528800A C A =个．
（每小题分，结果正确即可，没有中间分） .解: （Ⅰ）121111171,1,2223412S S =-
==-+-= 1211117,;112212212
T T ===+=++⨯……………………………分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想n n S T =,…………………………………………分
下面用数学归纳法进行证明:
①1n =时, 由（Ⅰ）知等式显然成立；…………………………………………分 ②假设当(*)n k k N =∈时等式成立,即k k S T =,…………………………………………分
111111
2(1)12(1)212(1)
111111111111
1232212(1)2322112(1)
11111232212(1)
.k k k k S S T k k k k k k k k k k k k k k k k T k k k k k ++=+
-=+-
+-+++=+++++-=+++
++-
++++++++++=+∴++++=++++ 这就是说,当1n k =+时等式成立. …………………………………………分
综合①②可知,猜想n n S T =成立. …………………………………………分 . 证明 （）因为、、成等差数列，所以C A B +=2 由π=++C B A ，所以3
π
=
B （分）
因为，，成等比数列，所以ac b =2
由余弦定理得ac c a B ac c a b -+=-+=2
2222cos 2
所以ac c a ac -+=2
2即0)(2=-c a 所以c a = （分）
所以C A =，又3
π
=
B ，所以3
π
=
==C B A
所以△为等边三角形。

（分）
（）要证<，由于＝，所以只需证<，即证<. （分）
因为＝(＋＋)，所以只需证<＋＋，即证<＋. （分）
由于，，为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． （分） . （Ⅰ）解:由题设知在上恒成立，设…………分
则当时，即在上为减函数
∴当时，，……………………分
∴……………………分
（Ⅱ）证明：由题设知，设
由（Ⅰ）知:当时，即恒成立，
∴当 (，＋)时，
即在上为增函数，此时有，即
∴当 (，＋)时，……………………分。