工程力学 第3章

平面汇交力系可叙述如下：
合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
（3-3）
第3章 力矩和平面力偶系
例3-1
一齿轮受到啮合力 Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移
偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。
力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，
力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静
力学中的两种基本元素。
第3章 力矩和平面力偶系
Hale Waihona Puke Baidu
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴 心O的力矩。
图 3-2
第3章 力矩和平面力偶系 解 （1） 应用力矩的计算公式。 力臂：
D h cos 2
由式（3-1）得力Fn对O点之矩:
D M O (Fn ) Fn h Fn cos 73.7N m 2
经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手
的转动效应可用乘积F· d冠以适当的正负号来度量。这个量称为
力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
M O (F ) F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
图 3-9
第3章 力矩和平面力偶系 解 取梁AB为研究对象，因为只受主动力偶作用，而力偶
只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一对力偶。现已知 FB 的方向，则FA与FB平行且反向，如图3-9(b)所示。由平面力偶系 的平衡条件， 有
Mi 0
FA l F d M 0
解得
M F d FA 20N l
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力
F使扳手和螺母一起绕转动中心O点转动，即产生转动效应。 由
D D M O (Fn ) M O (Ft ) F Fn cos 73.7N m 2 2
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-2 手动剪断机的结构及尺寸如图 3-3 所示。设 l1=80cm，
l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的 作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解 本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于Δ ABO面积的两 倍，即
M O (F ) F d 2 SΔABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡
的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
Mi 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
第3章 力矩和平面力偶系
例 3-3
图 3-9(a) 所示简支梁 AB 上，受作用线相距为 d=20
cm的两反向力 F 与 F′ 组成的力偶和力偶矩为 M 的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N· m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。
带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，
箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图 3-7 表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-7
第3章 力矩和平面力偶系
图3-8
第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面力偶系的合成与平衡 1. 平面力偶系的合成
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在 A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M M B (F ) Fd （3-7）
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M M i M1 M 2 M 3 13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系
(2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-3
第3章 力矩和平面力偶系
3.2 平 面 力 偶 系
3.2.1 力偶及其基本性质 1. 力偶的概念 在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、 方向相反但不在同一作用线上的平行力作用，而使物体产生转 动效应的情况， 如人用手拧水龙头开关（图 3-4(a) ）、司机 用双手转动方向盘（图 3-4(b) ）、 钳工用丝锥攻螺纹（图 34(c)）等。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-12
第3章 力矩和平面力偶系
图3-13
第3章 力矩和平面力偶系
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) M O (F) Fx F ( x d ) F d
即
M O (F ) M O (F ) M (F , F )
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
作用在物体上同一平面内的许多力偶组成平面力偶系。力
偶系的合成，就是求力偶系的合力偶矩。设 M , M ,, M 1 2 n 为平面力偶系中的各分力偶矩，Ｍ为合力偶的力偶矩，则
M M1 M 2 M n M i
（3-5）
第3章 力矩和平面力偶系 2. 平面力偶系的平衡条件 由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零； 反
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1.2 合力矩定理
在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系 , 对于
动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的
乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，即
M (F , F ) M F d
（3-4）
第3章 力矩和平面力偶系 式中的正负号表示力偶的转向，通常规定，逆时针转动取正 号，顺时针转动取负号。力偶矩与力矩一样都是代数量，力偶
以在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对刚体的作
用效应。
力偶的这一性质说明力偶对物体的作用与力偶在作用面内 的位置无关。须指出，这一性质只适用于刚体而不适用于变形 体。
第3章 力矩和平面力偶系 性质四 只要保持力偶的转向和力偶臂的大小不变， 可
以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短， 而不会改变力 偶对刚体的作用效应。 力偶的这一性质说明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征 量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段
手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得
F1 F cos
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 F sin
M A ( F ) M A ( F1 ) M A ( F2 ) F1l1 F2 l 2 F (l1 cos 150 l 2 sin150 ) 3970N cm 39.7 N m
所以 FB FA 20N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， M 3 17N m 。 M 1 M 2 13.5N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、B两处用螺栓固定， A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。
Mi 0
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA 220N l
所以 FB FA 220N ，方向如图3-10所示。
第3章 力矩和平面力偶系
3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力
矩的单位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒
米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质
根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。
性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力
负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 （2） 应用合力矩定理。 将力Fn分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr，如图 3-2 （b）所示，
则
Ft Fn cos
Fr Fn sin
根据合力矩定理
M O(Fn ) M O (Ft ) M O (Fr )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是