工程力学 第3章
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学第三章力矩与平面力偶系
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
A B
d
F'
x
O
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x F d
4.力偶的表示方法
用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示 力偶的转向，M表示力偶的大小。
第三章力矩与平面力偶系
湖南工业大学土木工程学院
y
Fx
x
则
r cos x, r sin y
mo ( F ) xFy yFx
湖南工业大学土木工程学院
( )
a
第三章力矩与平面力偶系
§3-1力矩的概念和计算
mo (F ) xFy yFx
若作用在
( )
a
y
Fy
F
F2 、 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 Fn ）， o
r
d
，
x
A
y
Fx
m (F ) x F
o
y
y Fx
(b)
x
由式（ a ），该汇交力系的合力 R 它对矩心的矩
F
m0 (R) xRy yRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
mo (R) M o (F )
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
l
A
o
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
d
F
力矩计算
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分别计 算F对A、B两点之矩。
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
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第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
《工程力学第三章》PPT课件
F A y － F Q － F W ＋ F T B sin＝ 0
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
12
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
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平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
工程力学3章摩擦自锁
第3章
摩擦自锁
概述：
两物体接触表面不可能绝对光滑. 工程实际中，经常不能忽略摩擦力. 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面.
摩擦现象的分类: 按接触部分有无相对运动划分：静摩擦、动摩擦. 按相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦. 按接触表面间有无润滑划分：干摩擦、湿摩擦.
3.1 滑动摩擦
3.1.1 动摩擦的概念
2) 不等式法：（一种严密却又有点繁的方法）
—— 求某量的最值时，据条件列不等式为 辅助方程（如 0 F fm N ）解出某最值。
3.2.2 求解有摩擦时的平衡问题
受力分析时考虑摩擦力，建立物体的平衡 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。
例3.1 如图. 长为4m，重量 200N 的梯子靠在 光滑的墙上，梯子与地面成60°角, 梯子与地面间的 静摩擦系数 fm 0.4 ，有一重600 N的人登梯而上。 试问：此人登到何处，梯子就要滑倒？
即：压力 P 位于 m 内, 物体就不可能滑动。
注意：只要保证
m
无论压力有多大， 总是推不动物体！
m
m
ɑ
P
F
N
R
例题. 均匀等直杆AB静止靠在光滑墙面上，与地面
夹角 60，地面不光滑,杆重 G 60N 。
1）先画出A、B端所受约束力RA, RB与静摩擦力F.
2）再计算约束力及全约束力R的大小.
解：
作梯子 受力图
NA A
Ca
此乃平面 任意力系
列梯平衡时的 方程组如下：
G
S
W
60°
B NB
A
C
S
60°
F
B
Fx NA F 0 ①
NA
Байду номын сангаас
摩擦自锁
概述：
两物体接触表面不可能绝对光滑. 工程实际中，经常不能忽略摩擦力. 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面.
摩擦现象的分类: 按接触部分有无相对运动划分：静摩擦、动摩擦. 按相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦. 按接触表面间有无润滑划分：干摩擦、湿摩擦.
3.1 滑动摩擦
3.1.1 动摩擦的概念
2) 不等式法：（一种严密却又有点繁的方法）
—— 求某量的最值时，据条件列不等式为 辅助方程（如 0 F fm N ）解出某最值。
3.2.2 求解有摩擦时的平衡问题
受力分析时考虑摩擦力，建立物体的平衡 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。
例3.1 如图. 长为4m，重量 200N 的梯子靠在 光滑的墙上，梯子与地面成60°角, 梯子与地面间的 静摩擦系数 fm 0.4 ，有一重600 N的人登梯而上。 试问：此人登到何处，梯子就要滑倒？
即：压力 P 位于 m 内, 物体就不可能滑动。
注意：只要保证
m
无论压力有多大， 总是推不动物体！
m
m
ɑ
P
F
N
R
例题. 均匀等直杆AB静止靠在光滑墙面上，与地面
夹角 60，地面不光滑,杆重 G 60N 。
1）先画出A、B端所受约束力RA, RB与静摩擦力F.
2）再计算约束力及全约束力R的大小.
解：
作梯子 受力图
NA A
Ca
此乃平面 任意力系
列梯平衡时的 方程组如下：
G
S
W
60°
B NB
A
C
S
60°
F
B
Fx NA F 0 ①
NA
Байду номын сангаас
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
工程力学第三章力矩力偶系
M ( F ) r F sin O
定理：如果力系存在合力,则合力对某一点的矩等于力 系中各分力对同一点的矩的矢量和。
即：若作用在刚体上 { F , F , , F } { F } 1 2 n R
则：
M ( F ) M ( F O R O i)
i 1
n
例 水平梁 AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的最 大值为 q ，梁长为 l 。试求合力作用线的位置。
0
将 Q 和 q(x) 的数值代入可得
xC
2 l 3
§3-2 力偶理论
一.力偶和力偶矩
1、力偶 · 力偶的作用 效果 ·力偶的第一性质
力偶的定义：由大小相等，方 向相反且不共线的两个平行力 所组成的力系，称为力偶。记 之为： ( F, F ' )
F
hபைடு நூலகம்
F
'
h——力偶臂
力与力偶的作用效果比较：
FA
第三章 力矩 力偶系理论
§3-1 力对点之矩（力矩） 力对刚体的移动效应用力矢量来度量 力对刚体的转动效应用力矩来度量 一、力对点之矩
B F O
定义：
r
h
A
M r F oF
矢量积形式
M r F oF
二、 合力矩定理
大小： r F F h 2 OAB 方向： 由右手定则判定
25 N 0.4 m
M=10 Nm
25 N
§3-3 力偶系的合成与平衡
力偶系合成的结果为一合力偶
{ M , M , , M } { M } 1 2 n R
n
即：
M R Mi
i 1
力偶平衡的充分必要条件:
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
工程力学_陈天富 冯贤桂编著_重庆大学出版社_第三章
8
例题3-1 如图所示，已知手柄的A点作用力F＝500N。求力F在三个坐标轴上
的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：mm）
解：
作辅助坐标系Ax'y'z'，先将 F 沿z'
轴和Ax'y'面分解，再将Fxy沿 x'、y'轴 分解。根据分力和投影的关系可得力F 在三个坐标轴上的投影：
Fz ＝Fsin 60 ＝433.01N
3.1.1 直接投影法
z
已知力与 x、y、z 轴夹角、、。
若把力沿直角坐标轴分解，
90
Fz
x
i
k
分力与投影之间的关系： F β
j
Fy
y
Fx Fxi
Fy Fy j
Fz Fz k
Fx
O
力的解析表达式为：
F F x i F y j Fz k
试求匀速提升重为10kN的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力。
解：
研究对象： 皮带轮、鼓轮、轴以及重物
F
x
0
FA x FB x FT 1 co s 3 0 FT 2 co s 3 0 0 F A z F B z FT 1 sin 3 0 FT 2 sin 3 0 P 0
P
Q
2Q a 3r
300N
在载荷Q作用下，圆桌要翻倒时，C腿将离开地面，使FC＝0。 因此，若要圆桌不翻到，必须FC≥0。 解得：
a
FC
1 3
P Q
2Q a 3r
0
P
Qr 2Q
600 1500 500
2 1500
例题3-1 如图所示，已知手柄的A点作用力F＝500N。求力F在三个坐标轴上
的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：mm）
解：
作辅助坐标系Ax'y'z'，先将 F 沿z'
轴和Ax'y'面分解，再将Fxy沿 x'、y'轴 分解。根据分力和投影的关系可得力F 在三个坐标轴上的投影：
Fz ＝Fsin 60 ＝433.01N
3.1.1 直接投影法
z
已知力与 x、y、z 轴夹角、、。
若把力沿直角坐标轴分解，
90
Fz
x
i
k
分力与投影之间的关系： F β
j
Fy
y
Fx Fxi
Fy Fy j
Fz Fz k
Fx
O
力的解析表达式为：
F F x i F y j Fz k
试求匀速提升重为10kN的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力。
解：
研究对象： 皮带轮、鼓轮、轴以及重物
F
x
0
FA x FB x FT 1 co s 3 0 FT 2 co s 3 0 0 F A z F B z FT 1 sin 3 0 FT 2 sin 3 0 P 0
P
Q
2Q a 3r
300N
在载荷Q作用下，圆桌要翻倒时，C腿将离开地面，使FC＝0。 因此，若要圆桌不翻到，必须FC≥0。 解得：
a
FC
1 3
P Q
2Q a 3r
0
P
Qr 2Q
600 1500 500
2 1500
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第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力
F使扳手和螺母一起绕转动中位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒
米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质
根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。
性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) M O (F) Fx F ( x d ) F d
即
M O (F ) M O (F ) M (F , F )
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M M i M1 M 2 M 3 13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系
(2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴 心O的力矩。
图 3-2
第3章 力矩和平面力偶系 解 （1） 应用力矩的计算公式。 力臂：
D h cos 2
由式（3-1）得力Fn对O点之矩:
D M O (Fn ) Fn h Fn cos 73.7N m 2
负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 （2） 应用合力矩定理。 将力Fn分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr，如图 3-2 （b）所示，
则
Ft Fn cos
Fr Fn sin
根据合力矩定理
M O(Fn ) M O (Ft ) M O (Fr )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是
手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得
F1 F cos
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 F sin
M A ( F ) M A ( F1 ) M A ( F2 ) F1l1 F2 l 2 F (l1 cos 150 l 2 sin150 ) 3970N cm 39.7 N m
平面汇交力系可叙述如下：
合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
（3-3）
第3章 力矩和平面力偶系
例3-1
一齿轮受到啮合力 Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力
偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。
力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，
力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静
力学中的两种基本元素。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
所以 FB FA 20N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， M 3 17N m 。 M 1 M 2 13.5N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、B两处用螺栓固定， A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。
经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手
的转动效应可用乘积F· d冠以适当的正负号来度量。这个量称为
力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
M O (F ) F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
Mi 0
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA 220N l
所以 FB FA 220N ，方向如图3-10所示。
第3章 力矩和平面力偶系
3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在 A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M M B (F ) Fd （3-7）
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1.2 合力矩定理
在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系 , 对于
D D M O (Fn ) M O (Ft ) F Fn cos 73.7N m 2 2
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-2 手动剪断机的结构及尺寸如图 3-3 所示。设 l1=80cm，
l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的 作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解 本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于
带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，
箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图 3-7 表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-7
第3章 力矩和平面力偶系
图3-8
第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面力偶系的合成与平衡 1. 平面力偶系的合成
第3章 力矩和平面力偶系
图3-12
第3章 力矩和平面力偶系
图3-13
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于Δ ABO面积的两 倍，即
M O (F ) F d 2 SΔABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡
的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
Mi 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
第3章 力矩和平面力偶系
例 3-3
图 3-9(a) 所示简支梁 AB 上，受作用线相距为 d=20
cm的两反向力 F 与 F′ 组成的力偶和力偶矩为 M 的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N· m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力
F使扳手和螺母一起绕转动中位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒
米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质
根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。
性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) M O (F) Fx F ( x d ) F d
即
M O (F ) M O (F ) M (F , F )
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M M i M1 M 2 M 3 13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系
(2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴 心O的力矩。
图 3-2
第3章 力矩和平面力偶系 解 （1） 应用力矩的计算公式。 力臂：
D h cos 2
由式（3-1）得力Fn对O点之矩:
D M O (Fn ) Fn h Fn cos 73.7N m 2
负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 （2） 应用合力矩定理。 将力Fn分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr，如图 3-2 （b）所示，
则
Ft Fn cos
Fr Fn sin
根据合力矩定理
M O(Fn ) M O (Ft ) M O (Fr )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是
手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得
F1 F cos
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 F sin
M A ( F ) M A ( F1 ) M A ( F2 ) F1l1 F2 l 2 F (l1 cos 150 l 2 sin150 ) 3970N cm 39.7 N m
平面汇交力系可叙述如下：
合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
（3-3）
第3章 力矩和平面力偶系
例3-1
一齿轮受到啮合力 Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力
偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。
力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，
力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静
力学中的两种基本元素。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
所以 FB FA 20N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， M 3 17N m 。 M 1 M 2 13.5N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、B两处用螺栓固定， A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。
经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手
的转动效应可用乘积F· d冠以适当的正负号来度量。这个量称为
力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
M O (F ) F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
Mi 0
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA 220N l
所以 FB FA 220N ，方向如图3-10所示。
第3章 力矩和平面力偶系
3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在 A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M M B (F ) Fd （3-7）
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1.2 合力矩定理
在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系 , 对于
D D M O (Fn ) M O (Ft ) F Fn cos 73.7N m 2 2
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-2 手动剪断机的结构及尺寸如图 3-3 所示。设 l1=80cm，
l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的 作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解 本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于
带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，
箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图 3-7 表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-7
第3章 力矩和平面力偶系
图3-8
第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面力偶系的合成与平衡 1. 平面力偶系的合成
第3章 力矩和平面力偶系
图3-12
第3章 力矩和平面力偶系
图3-13
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于Δ ABO面积的两 倍，即
M O (F ) F d 2 SΔABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡
的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
Mi 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
第3章 力矩和平面力偶系
例 3-3
图 3-9(a) 所示简支梁 AB 上，受作用线相距为 d=20
cm的两反向力 F 与 F′ 组成的力偶和力偶矩为 M 的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N· m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。