工程力学 第3章
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学第三章力矩与平面力偶系
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
A B
d
F'
x
O
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x F d
4.力偶的表示方法
用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示 力偶的转向，M表示力偶的大小。
第三章力矩与平面力偶系
湖南工业大学土木工程学院
y
Fx
x
则
r cos x, r sin y
mo ( F ) xFy yFx
湖南工业大学土木工程学院
( )
a
第三章力矩与平面力偶系
§3-1力矩的概念和计算
mo (F ) xFy yFx
若作用在
( )
a
y
Fy
F
F2 、 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 Fn ）， o
r
d
，
x
A
y
Fx
m (F ) x F
o
y
y Fx
(b)
x
由式（ a ），该汇交力系的合力 R 它对矩心的矩
F
m0 (R) xRy yRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
mo (R) M o (F )
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
l
A
o
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
d
F
力矩计算
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分别计 算F对A、B两点之矩。
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
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第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
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第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力
F使扳手和螺母一起绕转动中位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒
米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质
根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。
性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) M O (F) Fx F ( x d ) F d
即
M O (F ) M O (F ) M (F , F )
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M M i M1 M 2 M 3 13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系
(2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴 心O的力矩。
图 3-2
第3章 力矩和平面力偶系 解 （1） 应用力矩的计算公式。 力臂：
D h cos 2
由式（3-1）得力Fn对O点之矩:
D M O (Fn ) Fn h Fn cos 73.7N m 2
负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 （2） 应用合力矩定理。 将力Fn分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr，如图 3-2 （b）所示，
则
Ft Fn cos
Fr Fn sin
根据合力矩定理
M O(Fn ) M O (Ft ) M O (Fr )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是
手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得
F1 F cos
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 F sin
M A ( F ) M A ( F1 ) M A ( F2 ) F1l1 F2 l 2 F (l1 cos 150 l 2 sin150 ) 3970N cm 39.7 N m
平面汇交力系可叙述如下：
合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
（3-3）
第3章 力矩和平面力偶系
例3-1
一齿轮受到啮合力 Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力
偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。
力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，
力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静
力学中的两种基本元素。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
所以 FB FA 20N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， M 3 17N m 。 M 1 M 2 13.5N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、B两处用螺栓固定， A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。
经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手
的转动效应可用乘积F· d冠以适当的正负号来度量。这个量称为
力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
M O (F ) F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
Mi 0
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA 220N l
所以 FB FA 220N ，方向如图3-10所示。
第3章 力矩和平面力偶系
3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在 A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M M B (F ) Fd （3-7）
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1.2 合力矩定理
在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系 , 对于
D D M O (Fn ) M O (Ft ) F Fn cos 73.7N m 2 2
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-2 手动剪断机的结构及尺寸如图 3-3 所示。设 l1=80cm，
l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的 作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解 本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于
带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，
箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图 3-7 表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-7
第3章 力矩和平面力偶系
图3-8
第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面力偶系的合成与平衡 1. 平面力偶系的合成
第3章 力矩和平面力偶系
图3-12
第3章 力矩和平面力偶系
图3-13
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于Δ ABO面积的两 倍，即
M O (F ) F d 2 SΔABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡
的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
Mi 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
第3章 力矩和平面力偶系
例 3-3
图 3-9(a) 所示简支梁 AB 上，受作用线相距为 d=20
cm的两反向力 F 与 F′ 组成的力偶和力偶矩为 M 的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N· m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力
F使扳手和螺母一起绕转动中位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒
米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质
根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。
性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) M O (F) Fx F ( x d ) F d
即
M O (F ) M O (F ) M (F , F )
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M M i M1 M 2 M 3 13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系
(2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴 心O的力矩。
图 3-2
第3章 力矩和平面力偶系 解 （1） 应用力矩的计算公式。 力臂：
D h cos 2
由式（3-1）得力Fn对O点之矩:
D M O (Fn ) Fn h Fn cos 73.7N m 2
负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 （2） 应用合力矩定理。 将力Fn分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr，如图 3-2 （b）所示，
则
Ft Fn cos
Fr Fn sin
根据合力矩定理
M O(Fn ) M O (Ft ) M O (Fr )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是
手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得
F1 F cos
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 F sin
M A ( F ) M A ( F1 ) M A ( F2 ) F1l1 F2 l 2 F (l1 cos 150 l 2 sin150 ) 3970N cm 39.7 N m
平面汇交力系可叙述如下：
合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
（3-3）
第3章 力矩和平面力偶系
例3-1
一齿轮受到啮合力 Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力
偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。
力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，
力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静
力学中的两种基本元素。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
所以 FB FA 20N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， M 3 17N m 。 M 1 M 2 13.5N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、B两处用螺栓固定， A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。
经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手
的转动效应可用乘积F· d冠以适当的正负号来度量。这个量称为
力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
M O (F ) F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
Mi 0
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA 220N l
所以 FB FA 220N ，方向如图3-10所示。
第3章 力矩和平面力偶系
3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在 A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M M B (F ) Fd （3-7）
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
第3章 力矩和平面力偶系
3.1.2 合力矩定理
在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系 , 对于
D D M O (Fn ) M O (Ft ) F Fn cos 73.7N m 2 2
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-2 手动剪断机的结构及尺寸如图 3-3 所示。设 l1=80cm，
l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的 作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 解 本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于
带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，
箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图 3-7 表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-7
第3章 力矩和平面力偶系
图3-8
第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面力偶系的合成与平衡 1. 平面力偶系的合成
第3章 力矩和平面力偶系
图3-12
第3章 力矩和平面力偶系
图3-13
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于Δ ABO面积的两 倍，即
M O (F ) F d 2 SΔABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡
的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
Mi 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
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例 3-3
图 3-9(a) 所示简支梁 AB 上，受作用线相距为 d=20
cm的两反向力 F 与 F′ 组成的力偶和力偶矩为 M 的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N· m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。