工程力学 第三章
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工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学剪切
故联轴器能传递旳最大扭矩为212N.m
(4)求联轴器能传递旳最大扭矩：
1）按键、和联轴器选择： 将P=10.6kN代入（1）
m 10.6 40 212Nm 2
2）按螺栓选择：
m Pd ⑴ 2
将Q=7.917kN代入（2）
m 2QD0 ⑵
m 2QD0 2 7.917 120 1900Nm
反向力旳分界面为 剪切面，受分布在面 内旳剪应力作用
剪切面内旳剪应 力合力剪力，由平
衡方程求得
∑X=0 Fs=F
2.板接头处旳受力分析
(1)板和铆钉间在接触面上有挤压力作用 (2)板在钉孔处受到孔旳减弱应力增大， 还出现应力集中现象
F
σ
四、实用计算概念
1.建立实用计算旳必要性 （1）受力体尺寸太小，各点受力大小与外力作用方 式关系极大，而外力作用旳细节无法确知，理论分 析无法实现。
解:
P [ ] (1) dh
P
d2
[ ]
(2)
4
(1) 得： d 4 [ ] 2.4 (2) h [ ]
[例3-2]拉杆头部尺寸如图所示，已知
[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=200MPa。
校核拉杆头部旳强度。
解：
P 40103 dh 2010
63.7MPa [ ]
bs
(D2
P d2)/
4
40 103 (402 202 )
/
4
42.4MPa
[
]
CL4TU5
[例3-3]拉杆及头部均为圆截
面，材料旳许用剪应力[τ] ＝100 MPa，许用挤压应力 [σbs]＝240MPa。试由拉杆头 旳强度拟定允许拉力[P]。
解：由剪应力强度条件：
(4)求联轴器能传递旳最大扭矩：
1）按键、和联轴器选择： 将P=10.6kN代入（1）
m 10.6 40 212Nm 2
2）按螺栓选择：
m Pd ⑴ 2
将Q=7.917kN代入（2）
m 2QD0 ⑵
m 2QD0 2 7.917 120 1900Nm
反向力旳分界面为 剪切面，受分布在面 内旳剪应力作用
剪切面内旳剪应 力合力剪力，由平
衡方程求得
∑X=0 Fs=F
2.板接头处旳受力分析
(1)板和铆钉间在接触面上有挤压力作用 (2)板在钉孔处受到孔旳减弱应力增大， 还出现应力集中现象
F
σ
四、实用计算概念
1.建立实用计算旳必要性 （1）受力体尺寸太小，各点受力大小与外力作用方 式关系极大，而外力作用旳细节无法确知，理论分 析无法实现。
解:
P [ ] (1) dh
P
d2
[ ]
(2)
4
(1) 得： d 4 [ ] 2.4 (2) h [ ]
[例3-2]拉杆头部尺寸如图所示，已知
[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=200MPa。
校核拉杆头部旳强度。
解：
P 40103 dh 2010
63.7MPa [ ]
bs
(D2
P d2)/
4
40 103 (402 202 )
/
4
42.4MPa
[
]
CL4TU5
[例3-3]拉杆及头部均为圆截
面，材料旳许用剪应力[τ] ＝100 MPa，许用挤压应力 [σbs]＝240MPa。试由拉杆头 旳强度拟定允许拉力[P]。
解：由剪应力强度条件：
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学(静力学部分第三章)
方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
cos(F
, i
)
F x
R
FR
cos(F , R
j) (Fix Fiy Fiy Fix ) (3 2)
Fy 0 FAy P F cos 60 0
解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188kN m
例3-2 已知: F=20kN, q=10kN/m,M 20kNm, L=1m; 求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
节点法与截面法
1、节点法 2、截面法
例3-1 已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
其中
1
F1
F x
q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN
解得 F1 10kN (压)
Fix 0 F2 F1 cos 300 0
解得 F2 8.66kN(拉)
取节点C,画受力图.
Fix 0 F4 cos 300 F1' cos 300 0
解得 F4 10kN (压)
Fiy 0 F3 F1' F4 sin 300 0
解得 F3 10kN(拉)
工程力学第三章
图3-13
（二）组合法 有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可
先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查表求得，再应 用形心坐标公式计算出组合图形的形心，这种方法称组合法。
【例3-7】 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图314(a)所示，求该截面形心的位置。
图3-14
衡方程。如图3-7(a)所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力
系的汇交点为坐标系Oxyz的原点，则不论此力系是否平衡，各力对三轴之矩恒
为零，即∑Mx(F)≡0，∑My(F)≡0，ΣMz(F)≡0。因此，空间汇交力系的平衡方程为
∑Fx＝0，∑Fy＝0，∑Fz＝0
(3-6)
如图3-7(b)所示，设物体受一空间平行力系的作用。令z轴与这些力平
图3-2
用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与3个轴的夹角，设已知力F与z轴夹角为γ， 可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图3-2(b)所 示。设力F在Oxy平面上的投影为Fxy与x轴间的夹角为φ，则用这种方法计算力
在轴上的投影称为二次投影法。 具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。
若物体是均质细杆(或曲线)，其重心(或形心)坐标公式为
二、物体重心与形心的计算
(一)对称法 由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心 必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的平面图形， 其形心在对称轴上；具有两根或两根以上对称轴的平面图形，其形心在对称 轴的交点上；有对称中心的物体，其形心在对称中心上。如图3-13所示。
图3-4
我们将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy(即为力F在平面A 上的投影)。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，即力Fz对z轴的矩为零； 只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。现用符号Mz(F)表示力F对z轴的矩，点O为平面A 与z轴的交点，d为O点到力Fxy作用线的距离。因此，力F对z轴的矩与其分力Fxy对 点O的矩等效，即
（二）组合法 有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可
先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查表求得，再应 用形心坐标公式计算出组合图形的形心，这种方法称组合法。
【例3-7】 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图314(a)所示，求该截面形心的位置。
图3-14
衡方程。如图3-7(a)所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力
系的汇交点为坐标系Oxyz的原点，则不论此力系是否平衡，各力对三轴之矩恒
为零，即∑Mx(F)≡0，∑My(F)≡0，ΣMz(F)≡0。因此，空间汇交力系的平衡方程为
∑Fx＝0，∑Fy＝0，∑Fz＝0
(3-6)
如图3-7(b)所示，设物体受一空间平行力系的作用。令z轴与这些力平
图3-2
用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与3个轴的夹角，设已知力F与z轴夹角为γ， 可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图3-2(b)所 示。设力F在Oxy平面上的投影为Fxy与x轴间的夹角为φ，则用这种方法计算力
在轴上的投影称为二次投影法。 具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。
若物体是均质细杆(或曲线)，其重心(或形心)坐标公式为
二、物体重心与形心的计算
(一)对称法 由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心 必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的平面图形， 其形心在对称轴上；具有两根或两根以上对称轴的平面图形，其形心在对称 轴的交点上；有对称中心的物体，其形心在对称中心上。如图3-13所示。
图3-4
我们将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy(即为力F在平面A 上的投影)。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，即力Fz对z轴的矩为零； 只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。现用符号Mz(F)表示力F对z轴的矩，点O为平面A 与z轴的交点，d为O点到力Fxy作用线的距离。因此，力F对z轴的矩与其分力Fxy对 点O的矩等效，即
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
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第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
工程力学第三章
2.多个力偶的合成 =
=
如同右图
FR Fi
i 1
n 有 M R M1 M 2 M n M i
M R 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
合力偶矩矢的解析表达式：
M R M Rx i M Ry j M Rz k
例１： 已知：F , l , a,
求： x M
F ,My F ,Mz F
解：把力
F 分解如图
Mx
F F l a cos
My
F Fl cos
M z F F l sin
xC r sin 300 , yC r cos 300 , zC h
三、力偶的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零，力偶没有合 力，力偶不能用一个力来平衡，力偶只能由力偶来 平衡.力和力偶是静力学的两个基本要素。 2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改 变而改变。
力偶矩矢 M rBA F
3.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂 的长短，对刚体的作用效果不变.
力偶系
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
§3-2 力偶
§3-3 力偶系的合成与平衡条件
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
一、平面中力对点之矩（力矩）
１.基本概念 矩心：O 力臂：ｈ 力矩作用面 ２.两个要素： （１）大小：力与力臂的乘积 （２）方向：转动方向
３.表示形式
M O F Fh M O F 2OAB
工程力学教学课件第3章剪切
F
2d
50103 2 0.017 0.01
147106 147MPa [ bs ]
结论：强度足够。
挤压的实用计算
4.其它连接件的实用计算方法
焊缝剪切计算
l
有效剪切面
h
45接件的实用计算方法
胶粘缝的计算
F
F
F
不同的粘接方式
F
[ ]
F [ ]
F
[ ] [ ]
为充分利用材
料，切应力和挤压
应力应满足
F dh
2
4F
d 2
d 8h
挤压的实用计算
d
第
3 章
b
a
剪 切
解：1.板的剪切强度
例题
图示接头，受轴向力F 作 用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm， [τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，
铆钉和板的材料相同，试校核 其剪切强度和挤压强度。
Fbs
bs
Fbs Abs
bs
Fbs
bs 常由实验方法确定
t
d
挤压的实用计算
切应力强度条件： Fs
A
第 3 章
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
剪 切
塑性材料： 0.5 0.7
bs 1.5 2.5
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
挤压的实用计算
bs
Fbs Abs
F 1.5dt
15 103
1.5 0.02 0.008
62.5106 62.5MPa [bs ]
挤压的实用计算
第 3 章
剪 切
《工程力学第三章》PPT课件
F A y － F Q － F W ＋ F T B sin＝ 0
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
12
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
12
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
工程力学-第三章
D
MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0
C FCx
FCy
E
ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
FCx= 2FP , FCy= FP , FA= -2FP
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
简单的刚体系统平衡问题
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简单的刚体系统平衡问题
平面力系的平衡条件与平衡方程
ql
解： 3．建立平衡方程，求解未知约束力
通过对A点的力矩平衡方程，可以求得固定端的约束力
偶MA；利用两个力的平衡方程求出固定端的约束力FAx
和FAy。 Fx＝0
FAx＝0
Fy＝0
M A F ＝0
FAy ql FP＝0
FAy＝2ql
M
A
ql
l 2
FP
l
M＝0
M
M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。
平面力系的平衡条件与平衡方程
ql
解： 1．研究对象、隔离体与受力图 本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解
除A端的固定端约束，代之以约束力FAx、FAy和约束力
偶MA。于是，可以画出梁AB的受力图。 图中、M、q为已知的外加载荷，是主动力。
2．将均布载荷简化为集中力 作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与 作用长度的乘积，即ql；合力的方向与均布载荷的方 向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。
FCx´= FBx´= -FP
平面力系的平衡条件与平衡方程
最后的受力图
l
l
FP
A
l
C
B
D FP A
B
D
M=FP l
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学 第三章
（1）如果力系的主矢不等于零，而力系对于简化中心的主矩等于零，即 FR 0，MO 0 则力系等效于经过简化中心 O 的一个力 FR ，故原力系简化的结果是一个合力。
（2）如果力系的主矢、主矩都不等于零，即 FR 0，MO 0 则力系简化的结果为一个力和一个力偶，根据力的平行定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成为一个合力。
解：该力系向 O 点简化后的主矢为： FRx F1 cos 45 F2 F4 150 N FRy F1 sin 45 F3 0
该力系对简化中心 O 的主矩为： MO F1 sin 45 20 F2 30 F3 50 F1 cos 45 20 F4 30 M
（1） FR 0，MO 0 ； （3） FR 0，MO 0 ；
（2） FR 0，MO 0 ； （4） FR 0，MO 0 。
3.2.1 平面任意力系简化为一个力偶的情形
如果力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零，则原力系向简化中心等效 平移后的汇交力系已自行平衡，只剩下附加力偶系。
证。
3.1.2 力系向任一点简化的主矢和主矩
如图所示，由 n 个力 F1，F2，…，Fn 组成的平面任意力系作用在刚体上。在平面上任取一点 O，称 为简化中心；应用力的平移定理，把各力都平移到点 O。这样，得到作用于点 O 的力 F′1，F′2，…，F′n， 以 及 相 应 的 附 加 力 偶 ， 其 矩 分 别 为 M1 ， M2 ， … ， Mn ， 如 图 所 示 。 这 些 附 加 力 偶 的 矩 分 别 为 Mi MO (Fi ) (i 1，2， ，n)
900 N mm 因此，该力系向 O 点简化的结果为一个力 FRx 和一个力偶 MO，力 FRx 的大小等于该力系的主矢，力 偶 MO 的力偶矩的大小和转向与该力系对 O 点的主矩相同，如图所示。
（2）如果力系的主矢、主矩都不等于零，即 FR 0，MO 0 则力系简化的结果为一个力和一个力偶，根据力的平行定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成为一个合力。
解：该力系向 O 点简化后的主矢为： FRx F1 cos 45 F2 F4 150 N FRy F1 sin 45 F3 0
该力系对简化中心 O 的主矩为： MO F1 sin 45 20 F2 30 F3 50 F1 cos 45 20 F4 30 M
（1） FR 0，MO 0 ； （3） FR 0，MO 0 ；
（2） FR 0，MO 0 ； （4） FR 0，MO 0 。
3.2.1 平面任意力系简化为一个力偶的情形
如果力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零，则原力系向简化中心等效 平移后的汇交力系已自行平衡，只剩下附加力偶系。
证。
3.1.2 力系向任一点简化的主矢和主矩
如图所示，由 n 个力 F1，F2，…，Fn 组成的平面任意力系作用在刚体上。在平面上任取一点 O，称 为简化中心；应用力的平移定理，把各力都平移到点 O。这样，得到作用于点 O 的力 F′1，F′2，…，F′n， 以 及 相 应 的 附 加 力 偶 ， 其 矩 分 别 为 M1 ， M2 ， … ， Mn ， 如 图 所 示 。 这 些 附 加 力 偶 的 矩 分 别 为 Mi MO (Fi ) (i 1，2， ，n)
900 N mm 因此，该力系向 O 点简化的结果为一个力 FRx 和一个力偶 MO，力 FRx 的大小等于该力系的主矢，力 偶 MO 的力偶矩的大小和转向与该力系对 O 点的主矩相同，如图所示。
16816_工程力学(第3章)
第3章 空间力系
3.1
力在空间直角坐标轴上的投影
3.2
力对轴之矩
3.3
空间力系的平衡方程式及应用
图3.1
空间力系
本章主要讨论力在空间坐标轴上的投 影、力对轴之矩的概念与运算以及空间力 系平衡问题的求解方法。
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
力在空间坐标轴上投影的概念与力在 平面坐标轴上投影的概念基本相同，由于 力所对应的参考系不同，计算方法也有所不同。力在空间坐标轴上的投影有两种运 算方法，即直接投影法和二次投影法。
方法二：首先将图3.9（a）所示的空 间力系分别投影到三个坐标平面内，如图 3.9（b）、（c）、（d）所示。然后分别 写出各投影面上的力系相应的平衡方程式， 再联立解出未知量。
（1）在Axz平面内，如图3.9（b）所 示。
由 解得
Ft2 = 7.16kN
（2）在Ayz平面内，如图3.9（c）所 示。
根据合力矩定理，求得力F对x、y、z 三轴之矩如下： M x ( F ) = M x ( F x) + M x ( F y) + M x ( F z) = 0 − Fy h + Fz rcos45° = −35.4N × 1m + 86.6N × 1m × cos45° = 25.8N ∙ m
M y ( F ) = M y ( F x) + M y ( F y) + M y ( F z) = − Fx h − 0 − Fz rsin45°
图3.4
六面体上的空间力
解：力F1与y轴平行，故直接投影即可 得到F1x = 0，F1y = 100N，F1z = 0 力F2与坐标平面Oyz平行，故直接投影 即可得到
力F3为空间力，所在平面ABCD与坐标 平面Oyz相垂直，故用二次投影法求解。首 先将力F3向x轴和平面Oyz上投影，其中
3.1
力在空间直角坐标轴上的投影
3.2
力对轴之矩
3.3
空间力系的平衡方程式及应用
图3.1
空间力系
本章主要讨论力在空间坐标轴上的投 影、力对轴之矩的概念与运算以及空间力 系平衡问题的求解方法。
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
力在空间坐标轴上投影的概念与力在 平面坐标轴上投影的概念基本相同，由于 力所对应的参考系不同，计算方法也有所不同。力在空间坐标轴上的投影有两种运 算方法，即直接投影法和二次投影法。
方法二：首先将图3.9（a）所示的空 间力系分别投影到三个坐标平面内，如图 3.9（b）、（c）、（d）所示。然后分别 写出各投影面上的力系相应的平衡方程式， 再联立解出未知量。
（1）在Axz平面内，如图3.9（b）所 示。
由 解得
Ft2 = 7.16kN
（2）在Ayz平面内，如图3.9（c）所 示。
根据合力矩定理，求得力F对x、y、z 三轴之矩如下： M x ( F ) = M x ( F x) + M x ( F y) + M x ( F z) = 0 − Fy h + Fz rcos45° = −35.4N × 1m + 86.6N × 1m × cos45° = 25.8N ∙ m
M y ( F ) = M y ( F x) + M y ( F y) + M y ( F z) = − Fx h − 0 − Fz rsin45°
图3.4
六面体上的空间力
解：力F1与y轴平行，故直接投影即可 得到F1x = 0，F1y = 100N，F1z = 0 力F2与坐标平面Oyz平行，故直接投影 即可得到
力F3为空间力，所在平面ABCD与坐标 平面Oyz相垂直，故用二次投影法求解。首 先将力F3向x轴和平面Oyz上投影，其中
工程力学第三章剪切
剪切力是指作用在物体上的大小相等、方向相反且作用线相互平行的力偶，通常 由压力和摩擦力引起。
剪切力的大小取决于作用在物体上的力的大小、物体的材料性质和接触面的条件 等因素。
02 剪切力的性质
剪切力的作用点
剪切力作用在两个相互接触的物体之间，且作用点位于两物 体接触面上的切线方向。
在分析剪切力时，需要明确剪切力的作用点和方向，以便正 确计算剪切力的大小。
剪切模量的定义公式
G=τ/γ，其中τ为剪切应力，γ为剪切应变。
3
剪切模量的物理意义
表示物体在单位剪切应变下所能承受的剪切应力。
剪切模量的应用实例
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑到不同材料的剪切模量， 以便合理设计桥梁的横截面和承载能力。
建筑结构
在建筑结构设计中，需要考虑结构的剪切模量， 以确保结构在地震等外力作用下的稳定性。
在桥梁和建筑结构中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要对结构进行 抗剪承载能力分析和设计。
在材料试验中，通过测量材料的剪切力和变形量，可以评估材料的力学性 能和可靠性。
06 结论
剪切力在工程中的重要性
01
剪切力对工程结构的稳定性至关重要
在许多工程结构中，剪切力是影响结构稳定性的关键因素。例如，桥梁、
未来研究方向
随着科技的不断进步，对剪切力的研究将更加深入和广泛。未来可以进一步探索剪切力与其他物理场之 间的相互作用，以及剪切力在极端条件下的行为等，为工程实践提供更加全面和深入的理论支持。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
正剪是指两个相互接触的物体在切向 方向上相互分离，负剪则是两个物体 在切向方向上相互靠近，横剪则是垂 直于切向方向的剪切力。
03 剪切应力的计算
剪切力的大小取决于作用在物体上的力的大小、物体的材料性质和接触面的条件 等因素。
02 剪切力的性质
剪切力的作用点
剪切力作用在两个相互接触的物体之间，且作用点位于两物 体接触面上的切线方向。
在分析剪切力时，需要明确剪切力的作用点和方向，以便正 确计算剪切力的大小。
剪切模量的定义公式
G=τ/γ，其中τ为剪切应力，γ为剪切应变。
3
剪切模量的物理意义
表示物体在单位剪切应变下所能承受的剪切应力。
剪切模量的应用实例
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑到不同材料的剪切模量， 以便合理设计桥梁的横截面和承载能力。
建筑结构
在建筑结构设计中，需要考虑结构的剪切模量， 以确保结构在地震等外力作用下的稳定性。
在桥梁和建筑结构中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要对结构进行 抗剪承载能力分析和设计。
在材料试验中，通过测量材料的剪切力和变形量，可以评估材料的力学性 能和可靠性。
06 结论
剪切力在工程中的重要性
01
剪切力对工程结构的稳定性至关重要
在许多工程结构中，剪切力是影响结构稳定性的关键因素。例如，桥梁、
未来研究方向
随着科技的不断进步，对剪切力的研究将更加深入和广泛。未来可以进一步探索剪切力与其他物理场之 间的相互作用，以及剪切力在极端条件下的行为等，为工程实践提供更加全面和深入的理论支持。
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正剪是指两个相互接触的物体在切向 方向上相互分离，负剪则是两个物体 在切向方向上相互靠近，横剪则是垂 直于切向方向的剪切力。
03 剪切应力的计算
工程力学第三章平面一般力系
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Wednesday, May 26, 2021May 21Wednesday, May 26, 20215/26/2021
α=4°4°30ˊ
知识拓展
二、槽面摩擦
滑块与导槽的槽面接触
平带传动与V带传动
槽面接触
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.6.2521.6.2 509:01:4809:01 :48Jun e 25, 2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年6月 25日星 期五上 午9时1 分48秒 09:01:4 821.6.2 5
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。上 午9时1 分48秒 上午9时 1分09:01:4821 .6.25
June 2021
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist)
各力在任意两个相互垂直的坐标轴上的分量的代数和均为零且力系中各力对平面内任意点的力矩的代数和也等于形式基本形式二力矩式三力矩式方程说明两个方程投影式方程一个力矩式方程一个投影式方程两个力矩式方程使用条件
第三章 平面一般力系
§3－1 平面一般力系的简化 §3－2 平面一般力系的平衡和应用 *知识拓展
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
工程力学第三章课件
(F
)
0
附加条件：x（或 y）轴不能垂直于 AB 连线。
三矩式：
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
附加条件：A，B，C 不在同一直线上。
上式是物体取得平衡的必要条件，但不是充分条件，必 须加上附加条件后，才能成为物体平衡的充分必要条件。
3.3.1 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（1） FR 0，MO 0 ； （3） FR 0，MO 0 ；
（2） FR 0，MO 0 ； （4） FR 0，MO 0 。
3.2.1 平面任意力系简化为一个力偶的情形
如果力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零，则原力系向简化中心等效 平移后的汇交力系已自行平衡，只剩下附加力偶系。
MO (F ) 0
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件为：所 有各力在两任选坐标轴上的投影的代数 和分别等于零，各力对于任意一点的矩 的件和平衡方程
平面任意力系的平衡方程还有另外两种形式：
二矩式：
Fx M
0 A (F
)
0
M
B
3.2.3 平面任意力系平衡的情形
如果力系的主矢、主矩都等于零，即 FR 0，MO 0 ，则原力系平衡。
03
平面任意力系的平衡方程
3.3.1 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都为零，即
F R MO
0 0
Fx 0 上述平衡条件也可用解析式表达如下： Fy 0
3.1.1 力的平移定理
力的平移定理：
证明：如图所示，刚体上作用有力 F。在刚体上任取一点 B，并在点 B 加上一对平衡力系 F′和 F′′， 令 F F F 。由静力学公理 3 可知，这三个力与原来的力 F 等效，同时这三个力又可以看成是作
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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土木工程力学基础 （少学时）
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第三章 直杆轴向拉伸 和压缩
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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杆件的四种基本变形 直杆轴向拉、压横截面上的内力
直杆轴向拉、压痕截面上的内力
第四节 直杆轴向拉、 压的变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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1.弹性变形和塑性变形 变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形: 一种是当外力消除时，变形也会随着消失，这种变 形被称为弹性变形，如：弹簧被撤掉拉力后会恢复 原长，撑竿跳高的运动员过杆后被扔掉的杆子能恢 复直线形状等;另一种是当外力超过一定限度，即使 外力撤除后，变形仍不能全部消失而留有残余的变 形，这种残余变形被称为塑性变形，如：被手捏过 的橡皮泥、冷拉或冷拔钢筋等。
第五节 直杆轴向拉、 压的强度计算
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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2.强度计算 为保证轴向拉、压杆件在外力作用下具有足够的强 度，应使杆件的最大工作应力不超过材料的许用应 力，由此，建立强度条件:
第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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2.内力的研究方法——截面法 为了研究构件内力的方向及大小，通常采用截面法。 它可以归纳为以下三个步骤。 （1）分离:在需要求内力的截面处，假想用一垂直 于轴线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一 部分作为研究对象，我们将其称之为分离体; （2）显示内力:将（舍弃的）另一部分对该分离体 的内力（作为外力）显示出来; （3）列方程求内力:对分离体建立平衡方程，由已 知外力求出截面上内力的大小和方向。 必须注意：截面上的内力是分布在整个截面上的， 利用截面法求出的内力是这些分布内力的合力。
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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1.内力的概念 构件所承受的荷载及约束反力统称为外力。构件在 外力作用下将产生变形，其各部分之间的相对位置 将发生变化，从而产生构件内部各部分之间的相互 作用力。这种由外力引起的构件内部的相互作用 力，称为内力，例如：当我们张拉钢筋时，会感到 钢筋有一种反张拉的力。内力分析是解决构件承载 能力问题的基础。
*3.应力集中现象 一等截面的直杆在轴向外力的作用下,其横截面上的 正应力是均匀分布的。如果该杆件的截面尺寸发生 突变,则在截面突变处的应力并不均匀。例如,一开 有圆孔的直杆在轴向拉力作用下,位于圆孔附近的局 部区域内的应力急剧增大,而在离开这一区域处,应 力则迅速下降并趋于均匀,如图364所示。我们 把这种受力构件由于几何形状、外形尺寸发生突变 而引起局部范围内应力显著增大的现象称为应力集 中。 由于应力集中对脆性材料影响尤其大,会导致脆性材 料构件承载能力的降低,使其发生局部断裂,很快整 个构件遭到破坏,因此,在实际工程中一定要足够的 重视。
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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2.桁架 桁架是指由若干直杆在其两端以适当的方式连接而 成的结构,在实际工程中,常用于大跨度的工程结构, 如:厂房、塔吊、体育馆和桥梁等。另外,由于桁架 大多用于建筑的屋盖结构,通常也被称作为屋架。图 3-6-3所示为桁架结构的计算简图,在节点荷载作用 下,上弦杆收轴向压力,下弦杆受轴向拉力。
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
华东师范大学出版社中等职方向各横截面变化的图形称 为轴力图。以平行于杆件轴线的x轴横坐标表示杆件 横截面的位置，以垂直于x轴的轴力FN表示轴力的大 小，将各横截面的轴力按一定比例画在坐标图上， 并用直线相连，就可以得到轴力图。轴力图形象地 表示出轴力沿着杆长的变化情况，并能很方便找到 最大轴力的位置和数值。
第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
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第三节 直杆轴向拉、 压横截面上的正应力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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2.轴向拉、压杆横截面上的正应力公式 取一橡胶制成的等直杆件，在其表面均匀地画上若 干与轴线平行的纵线、与轴线垂直的横线，使杆件 表面形成若干个正方形小格子，然后对其两端施加 一对轴向拉力FP，可以观察到：所有的小方格都变 成了长方格；所有纵线都伸长了，但仍相互平行； 所有横线仍保持为直线，且仍垂直于杆轴，只是相 对距离增大了。
直杆轴向拉、压的变形
直杆轴向拉、压的强度计算
直杆轴向拉、压在工程中的应用
第一节 杆件的四种 基本变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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土木工程结构是由若干个构件组成的，这些构件都 要承担各种荷载的作用。为确保构件的正常工作， 必须满足以下三个要求: （1）足够的强度。 （2）足够的刚度。 （3）足够的稳定性。
第三节 直杆轴向拉、 压横截面上的正应力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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1.应力的概念 由于杆件材料是连续的，所以内力连续分布在整个 横截面上。由截面法求得的是整个截面上分布内力 的合力，但仅仅知道内力的大小，还不足以判断杆 件的强度。例如：两根材料相同、横截面积不同的 杆件，受同样大小的轴向拉力作用，两根杆件横截 面上的内力虽然相同，但截面面积小的杆件必然先 断，因为内力在较小截面上分布的密集程度（简称 集度）大。
第四节 直杆轴向拉、 压的变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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2.胡克定律 设一等截面直杆原长为l0，横截面面积为A。在轴向 拉力F的作用下，长度由l0变为l1（图3-6-1）。杆 件沿轴线方向的伸长量为Δ l=l1-l0，规定拉伸时 Δ l为正，压缩时Δ l为负。
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
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1.拉杆 图3-6-1所示斜拉桥（又称斜张桥）利用若干斜拉索 承受桥梁荷载,图3-6-2所示拱桥则是利用吊杆承受 住桥梁荷载。它们的共同特点是:依靠拉杆（拉索） 承受桥板和桥板上的荷载,并将其传递给其他构件。
第五节 直杆轴向拉、 压的强度计算
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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1.许用应力和安全系数 工程上将使材料丧失正常工作能力的应力称为极限 应力，用σ 0表示。 构件在荷载作用下产生的应力称为工作应力。等直 杆最大轴力处的横截面称为危险截面，而危险截面 上的应力称为最大工作应力。
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第一节 杆件的四种 基本变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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1.四种基本变形 （1） 轴向拉伸（压缩）变形。 （2） 剪切变形。 （3） 扭转变形。 （4） 弯曲变形。
第一节 杆件的四种 基本变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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2.变形固体的基本假设 在荷载作用下产生变形的各种固体材料被称为变形 固体。为便于分析和简化计算，对变形固体作以下 基本假设。 （1）连续性假设：即认为物体整个体积内毫无间隙 地充满着物质。 （2）均匀性假设：即认为物体各个部分的力学性能 完全相同。 （3）各向同性假设：即认为物体在各个方向上的力 学性能完全相同。 （4）小变形假设：即认为构件受力后的变形大小与 构件原始尺寸相比是极其微小的，在考虑物体的平 衡时这种变形可以忽略不计。
第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
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土木工程力学基础 （少学时）
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第三章 直杆轴向拉伸 和压缩
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杆件的四种基本变形 直杆轴向拉、压横截面上的内力
直杆轴向拉、压痕截面上的内力
第四节 直杆轴向拉、 压的变形
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1.弹性变形和塑性变形 变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形: 一种是当外力消除时，变形也会随着消失，这种变 形被称为弹性变形，如：弹簧被撤掉拉力后会恢复 原长，撑竿跳高的运动员过杆后被扔掉的杆子能恢 复直线形状等;另一种是当外力超过一定限度，即使 外力撤除后，变形仍不能全部消失而留有残余的变 形，这种残余变形被称为塑性变形，如：被手捏过 的橡皮泥、冷拉或冷拔钢筋等。
第五节 直杆轴向拉、 压的强度计算
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2.强度计算 为保证轴向拉、压杆件在外力作用下具有足够的强 度，应使杆件的最大工作应力不超过材料的许用应 力，由此，建立强度条件:
第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
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2.内力的研究方法——截面法 为了研究构件内力的方向及大小，通常采用截面法。 它可以归纳为以下三个步骤。 （1）分离:在需要求内力的截面处，假想用一垂直 于轴线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一 部分作为研究对象，我们将其称之为分离体; （2）显示内力:将（舍弃的）另一部分对该分离体 的内力（作为外力）显示出来; （3）列方程求内力:对分离体建立平衡方程，由已 知外力求出截面上内力的大小和方向。 必须注意：截面上的内力是分布在整个截面上的， 利用截面法求出的内力是这些分布内力的合力。
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
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1.内力的概念 构件所承受的荷载及约束反力统称为外力。构件在 外力作用下将产生变形，其各部分之间的相对位置 将发生变化，从而产生构件内部各部分之间的相互 作用力。这种由外力引起的构件内部的相互作用 力，称为内力，例如：当我们张拉钢筋时，会感到 钢筋有一种反张拉的力。内力分析是解决构件承载 能力问题的基础。
*3.应力集中现象 一等截面的直杆在轴向外力的作用下,其横截面上的 正应力是均匀分布的。如果该杆件的截面尺寸发生 突变,则在截面突变处的应力并不均匀。例如,一开 有圆孔的直杆在轴向拉力作用下,位于圆孔附近的局 部区域内的应力急剧增大,而在离开这一区域处,应 力则迅速下降并趋于均匀,如图364所示。我们 把这种受力构件由于几何形状、外形尺寸发生突变 而引起局部范围内应力显著增大的现象称为应力集 中。 由于应力集中对脆性材料影响尤其大,会导致脆性材 料构件承载能力的降低,使其发生局部断裂,很快整 个构件遭到破坏,因此,在实际工程中一定要足够的 重视。
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
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2.桁架 桁架是指由若干直杆在其两端以适当的方式连接而 成的结构,在实际工程中,常用于大跨度的工程结构, 如:厂房、塔吊、体育馆和桥梁等。另外,由于桁架 大多用于建筑的屋盖结构,通常也被称作为屋架。图 3-6-3所示为桁架结构的计算简图,在节点荷载作用 下,上弦杆收轴向压力,下弦杆受轴向拉力。
第二节 直杆轴向拉、 压横截面上的内力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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第六节 直杆轴向拉、 压在工程中的应用
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第三节 直杆轴向拉、 压横截面上的正应力
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2.轴向拉、压杆横截面上的正应力公式 取一橡胶制成的等直杆件，在其表面均匀地画上若 干与轴线平行的纵线、与轴线垂直的横线，使杆件 表面形成若干个正方形小格子，然后对其两端施加 一对轴向拉力FP，可以观察到：所有的小方格都变 成了长方格；所有纵线都伸长了，但仍相互平行； 所有横线仍保持为直线，且仍垂直于杆轴，只是相 对距离增大了。
直杆轴向拉、压的变形
直杆轴向拉、压的强度计算
直杆轴向拉、压在工程中的应用
第一节 杆件的四种 基本变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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土木工程结构是由若干个构件组成的，这些构件都 要承担各种荷载的作用。为确保构件的正常工作， 必须满足以下三个要求: （1）足够的强度。 （2）足够的刚度。 （3）足够的稳定性。
第三节 直杆轴向拉、 压横截面上的正应力
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 目 录
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1.应力的概念 由于杆件材料是连续的，所以内力连续分布在整个 横截面上。由截面法求得的是整个截面上分布内力 的合力，但仅仅知道内力的大小，还不足以判断杆 件的强度。例如：两根材料相同、横截面积不同的 杆件，受同样大小的轴向拉力作用，两根杆件横截 面上的内力虽然相同，但截面面积小的杆件必然先 断，因为内力在较小截面上分布的密集程度（简称 集度）大。
第四节 直杆轴向拉、 压的变形
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2.胡克定律 设一等截面直杆原长为l0，横截面面积为A。在轴向 拉力F的作用下，长度由l0变为l1（图3-6-1）。杆 件沿轴线方向的伸长量为Δ l=l1-l0，规定拉伸时 Δ l为正，压缩时Δ l为负。
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1.拉杆 图3-6-1所示斜拉桥（又称斜张桥）利用若干斜拉索 承受桥梁荷载,图3-6-2所示拱桥则是利用吊杆承受 住桥梁荷载。它们的共同特点是:依靠拉杆（拉索） 承受桥板和桥板上的荷载,并将其传递给其他构件。
第五节 直杆轴向拉、 压的强度计算
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1.许用应力和安全系数 工程上将使材料丧失正常工作能力的应力称为极限 应力，用σ 0表示。 构件在荷载作用下产生的应力称为工作应力。等直 杆最大轴力处的横截面称为危险截面，而危险截面 上的应力称为最大工作应力。
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第一节 杆件的四种 基本变形
第 三 章 直 杆 轴 向 拉 伸 和 压 缩
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1.四种基本变形 （1） 轴向拉伸（压缩）变形。 （2） 剪切变形。 （3） 扭转变形。 （4） 弯曲变形。
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2.变形固体的基本假设 在荷载作用下产生变形的各种固体材料被称为变形 固体。为便于分析和简化计算，对变形固体作以下 基本假设。 （1）连续性假设：即认为物体整个体积内毫无间隙 地充满着物质。 （2）均匀性假设：即认为物体各个部分的力学性能 完全相同。 （3）各向同性假设：即认为物体在各个方向上的力 学性能完全相同。 （4）小变形假设：即认为构件受力后的变形大小与 构件原始尺寸相比是极其微小的，在考虑物体的平 衡时这种变形可以忽略不计。