初中数学竞赛—— 巧添辅助线
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
初中几何添辅助线方法
初中几何添辅助线方法
1.画角分线：对于一个角，画出它的角分线可以将角分成两个相
等的角，简化计算。
2.画中线：对于三角形，画出它的三条中线能够形成一个重心，
重心位于三角形平衡点的位置，可以帮助我们计算三角形的面积或者
各个部分的长度。
3.画高线：对于三角形，画出它的一条高线可以将三角形分成两
个直角三角形，这样就可以应用勾股定理计算出三角形边长或者面积。
4.画角平分线：对于一个三角形，画出它的三个角平分线可以将
三角形分成六个角相等的三角形，简化计算。
5.画对角线：对于一个四边形，画出它的两条对角线，这样可以
将四边形分成两个相等的三角形，帮助我们计算相邻边的长度或者面积。
初中几何添辅助线方法
初中几何添辅助线方法初中几何学中，添辅助线是解题的常用方法之一。
通过巧妙地引入辅助线，可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
本文将介绍几种常见的初中几何添辅助线方法。
一、三角形的辅助线方法1. 垂心和垂足当我们遇到一个三角形，需要证明某条线段平行于另一条线段时，可以考虑引入垂心和垂足。
通过引入垂心和垂足，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中位线中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
在解决三角形问题时，可以考虑引入中位线。
中位线将三角形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
3. 角平分线角平分线将一个角分成两个相等的角。
在解决三角形问题时，可以考虑引入角平分线。
通过引入角平分线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
二、四边形的辅助线方法1. 对角线对角线是四边形两个非相邻顶点之间的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入对角线。
通过引入对角线，我们可以将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
2. 中线中线是连接四边形两个相邻顶点中点的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
三、圆的辅助线方法1. 半径和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入半径和切线。
通过引入半径和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 弦和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入弦和切线。
通过引入弦和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
四、其他几何图形的辅助线方法1. 高和底边在解决梯形或三角形问题时，可以考虑引入高和底边。
通过引入高和底边，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中线在解决平行四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将平行四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
初中几何学中的添辅助线方法是解题的重要手段之一。
通过巧妙地引入辅助线，我们可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
初中数学：几何巧画辅助线技巧
几何巧画辅助线的技巧基本图形的辅助线的画法1、三角形类问题添加辅助线方法（1）有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
（2）含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
（3）结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
（4）结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3、梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰；（2）梯形外平移一腰；（3）梯形内平移两腰；（4）延长两腰；（5）过梯形上底的两端点向下底作高；（6）平移对角线；（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；（9）作中位线。
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
中考数学如何巧妙的添加辅助线
中考数学如何巧妙的添加辅助线在中考中，数学考试中的添加辅助线问题是一个非常常见的考点。
合理添加辅助线可以帮助我们更好地理解题目，简化问题，而不妨碍最终的解题思路和结果。
下面将介绍一些巧妙的添加辅助线的方法。
一、三角形问题：1.中点辅助线法：当我们面对一个三角形问题时，如果涉及到三角形的边的中点或高度等，可以尝试添加中点辅助线。
这样可以将原有的三角形拆分为更简单的几何图形，从而更好地解题。
例如：已知一个平行四边形，且四个交角都是90°，两边分别是5cm和4cm，求平行四边形的周长。
解题思路：我们可以先绘制平行四边形，然后添加一个对角线，将平行四边形划分为两个等腰三角形。
然后可以通过计算三角形的周长，再将结果相加，得到最后的答案。
2.相似三角形法：当我们面对一个问题涉及到相似三角形的情况时，可以通过添加相似三角形的辅助线来简化问题。
例如：已知一个直角三角形ABC，AB=9cm，AC=12cm，通过辅助线BD和BC=C切割出两个小直角三角形。
求BD的长度。
解题思路：我们可以通过已知条件绘制直角三角形ABC，然后添加一条辅助线BD，连接B和C。
由于BC=AB，所以三角形BCA和BAC是相似的。
因此，我们可以利用相似三角形之间的比例关系，设BD=x，则有x/9=12/9，解得x=16，所以BD的长度为16cm。
二、平行四边形问题：1.中心对角线辅助线法：当我们面对一个平行四边形问题时，可以通过添加中心对角线辅助线来简化问题。
例如：已知平行四边形ABCD的对角线AC与边AD垂直相交，且AC=4cm，AD=3cm，求平行四边形的面积。
解题思路：我们可以先绘制平行四边形ABCD，然后通过已知条件绘制对角线AC，并与边AD垂直相交，连接交点E。
由于AC与AD垂直相交，所以AE是AD的中线。
我们可以利用平行四边形的性质，使AE和AC之间的线段通过重合，就可以拆分出一个矩形和两个直角三角形。
然后可以通过计算矩形和直角三角形的面积，再将结果相加，得到最后的答案。
初中数学三角形辅助线技巧
初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。
以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。
2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。
3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。
4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。
5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。
6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。
7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。
8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。
以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。
在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
中考数学复习指导：巧添辅助线妙解题
巧添辅助线妙解题在解决问题过程中，由于有些问题不能直接找到已知与未知的联系，这时需要添加辅助线，使隐蔽的条件显现出来．通过集中使用图中的元素，将图形转化为我们熟悉的基本图形，就会想起曾经学过的定义、定理，从而实现未知向已知的转化．不少学生由于没有掌握规律而盲目尝试，结果不能合理地添加辅助线．其实留心一下，添加辅助线是有规律可循的．现举例如下．一、连结两点例1 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．P是线段CD上一个动点，过点P作PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，则BP＋PH＋HQ的最小值为．分析连结CH，就可以集中使用图中的元素，则四边形PHCB是平行四边形，则BP ＝CH，PH＝2，那么BP＋PH＋HQ＝CH＋HQ＋2．转化成CH＋HQ何时取最小值，学生自然会想起学过的定理两点间线段最短．还可以由PH⊥OA，PH＝2始终不变，则要使BP ＋PH＋HQ有最小值，则BP∥QH，求得点P的坐标，点Q的坐标，就会得到所求．二、过一点作已知直线的平行线或垂线例2 “三等分任意角”是数学史上一个著名问题，已知一个角∠MAN，设∠α＝∠MAN．(1)当L MAN＝69°时，∠α的大小为_______（度）；(2)如图2，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm，的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB＝2.5 cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法（不要求证明）．分析(1)略；(2)利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，就可以集中使用图中的元素，再根据想起的定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，∠BAD＝2∠BDC，再根据想起的两直线平行，内错角相等可得∠BDC＝∠MAD，从而得到∠MAD＝∠MAN．解(1)根据题意，计算即可得解：×69°＝23°；(2)如图2，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C.D的位置，使CD＝5 cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α．三、延长线段例3 如图3，OA＝4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos ∠OQB的值等于( )分析本题综合考查了三角形中位线定理，余弦的定义和圆的性质．解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，就可以集中使用图中的元素．先构造直角三角形QBC，再根据想起的三角形中位线定理分别求出QB.QC的长，再根据想起的余弦定义即可求出结果．解当点P运动到点Q恰好落在⊙O上时，连结BC，OP，再延长QO交⊙O于点C，连BC，则∠CBQ＝90°，故选C．在初中平面几何教学中，可发现学生普遍对添加辅助线有畏惧心理，在平时的教学与学习中，多注意此类问题的分析与总结，可以提高我们分析问题，解决问题的效率和数学思维能力．。
巧添辅助线 妙用中位线定理(初中数学)
巧添辅助线妙用中位线定理在解与几何图形有关的问题中，若图中涉及多个中点，要注意联想三角形的中位线定理，来实现线段或角的转化．常见的构造中位线的方法有：已知三角形两边的中点，连接这两个中点；已知三角形一边的中点，在另一边上取中点，再连接两个中点；已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线．例1如图1，在△ABC中，D是BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：EG，HF互相平分．图1证明：如图1，连接EH，GH，GF．因为E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，所以AB△HE△GF，HG△BC．所以HG△EF．所以四边形EFHG是平行四边形．所以EG，HF互相平分．例2如图2，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3．若E，F分别是AD，BC的中点，则EF长的取值范围是（）A．0＜EF＜1B．2＜EF＜3C．0.5＜EF＜2.5D．1＜EF＜5图2解析：如图2，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH．CD＝1.5．因为E，H分别是AD，AC的中点，所以EH＝12AB＝1．同理，得FH＝12在△EHF中，EH﹣FH＜EF＜EH+FH，即0.5＜EF＜2.5．故选C．例3如图3，在△ABC中，△A＝40°，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．若BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求△APQ的度数．图3解析：如图3，取BC的中点H，连接MH，NH．CE．因为M，H分别是BE，BC的中点，所以HM△CE，HM＝12BD．同理，得HN△BD，HN＝12因为BD＝CE，所以HM＝HN．所以△HMN＝△HNM．因为HM△CE，所以△HMN＝△AQP．同理，得△HNM＝△APQ．×（180°﹣△A）＝70°．所以△APQ＝△AQP＝12例4如图4，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D，E分别在边AB，AC上．若BD ＝4，CE＝3，取DE，BC的中点M，N，则线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5图4解析：如图4，过点C作CH△AB，连接DN并延长交CH于点H，连接EH．因为BD△CH，所以△B＝△NCH，△ECH+△A＝180°．因为△A＝90°，所以△ECH＝90°．易证得△BDN△△CHN，所以CH＝BD＝4，DN＝NH．在Rt△ECH中，由勾股定理，得EH5．EH＝2.5．故选A．因为M，N分别是DE，DH的中点，所以MN＝12。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
巧添切线辅助线
Ｆ Ｄ ，又 由 Ｃ 于 ｏ ０ 相 切 于 点 Ｄ ， 到 Ａ Ｄ 得 Ｃ Ｅ＝ Ｆ Ｄ Ｄ Ａ ，故可 得 出结论 ．
Ｃ
共 ，是 ｃ ∽ ｃ ， ： 得Ｃ ： 角于 △Ｂ △ Ｅ 筹， Ｅ Ｅ ＡＣ Ｂ
（ ・ＣＢ．
－ －
－ ●
图 ｌ
例 ２ 如 图 ２ ｏｏ 和 ④Ｏ 相交 于 Ａ 、 两点 ， ， Ｂ 过 ｏｏ 上 的一 点Ｐ引 直线 Ｐ 交 ｏｏ 点 Ｃ， Ａ， 于 引直 线 Ｐ Ｂ交 ｏＯ 于点 Ｄ， Ｐ 引 Ｏ交 Ｃ 于点Ｅ， 证 ： Ｄ 求 ＰＥ
略证 过 点 Ａ 作 两 圆 的 外 公 切 线 Ａ 则 有 Ｆ， Ｆ Ｂ ＝ ＡＥ 又 因为 ＤＥ与 ｏ ０， 切 于点 Ｂ， Ａ Ｃ， 相
ＯＡ， 因为 ＯＡ上 ＯＢ， 又 于是 得到 ＡＦ∥ Ｏ Ｃ Ｂ， ＥＤ
＝
故 有 Ｆ Ｂ ＝ Ａ Ｄ Ａ， 由 对 顶 角 ＤＢ ＝ Ｂ Ａ Ｃ Ｅ，得到 Ｃ Ｅ ＝ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ，又 因为 Ｃ是 公 Ｅ
ｌ ９
把握 问题 的实 质 ， 整 为零 ， 该题 正确 求 解 ． 化 将
Ｂ
Ｂ
④
图 ９
⑤
Ｃ
Ｄ
Ｄ
综上 所述 ， 在初 三复 习教 学 时训 练 ， 加深 拓宽 等方 式 ， 可从 各 个
不 同侧 面去强 化学 生 对 基 础 知识 的掌 握 ， 通 知 识 沟
略证 经 过 点 Ｐ 作 ｏ ０ 的 切 线 Ｐ丁， 连 结 并
，
４３． Ｐ 上 Ｐ Ｔ Ｂ ＝ １ 则 丁 Ｅ， Ｐ Ｐ Ｂ， Ｐ Ｂ ＝ Ａ 又 Ａ
Ｄ，于 是得 到 Ｐ ／ Ｄ， 么 Ｐ Ｉ Ｄ． 丁 ／Ｃ 那 Ｅ Ｃ ２ 两 圆 相 切 添 公 切 线 。 题 省 时 又 简 单 证 当两 圆的位 置 关 系不 管 是 内切 还 是 外 切 时 ， 一
1.7巧添辅助线——倍长中线
巧添辅助线——倍长中线【夯实基础】例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中， AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边例2：阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。
已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE 。
求证：AB=CD（1）延长DE 到F 使得EF=DE ；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F ；（3）过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F。
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。
因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
现给出如下三种添加辅助线的方法，请对原题进行证明。
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF Array提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）例3：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=EC ，M 为BC 的中点，N 为AE 的中点，求证：MN//AD倍长EM 使EM=MG ，连接BG 、AG ，等腰，中位线 倍长AM=MH ，CEH 等腰，MN 中位线第 1 题图 A B F D E C1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC4、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCF AE DCBBACDF21EADB C2、已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF//BC交BD于F。
初中数学竞赛——-巧添辅助线
第16讲 巧添辅助线知识总结归纳一. 截长补短法证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。
二. 角平分线相关的辅助线因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。
三. 等腰三角形“三线合一”的运用等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。
四. 倍长中线法倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题一. 截长补短法【例1】 如图，ABC △中，2C B ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：AB AC CD -=．【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AC BC =,AD 平分CAB ∠，求证：AB AC CD =+．ADC BDBCA【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．二. 等腰三角形经典模型的运用【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，求AMN △的周长．M CBANOEDCBADBACE【例6】 如图，已知在ABC △中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，DE AC ∥，求证：BE AE =．三. 等腰三角形“三线合一”的运用【例7】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【例8】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 的直线//MN BC ，在直线MN 上点A 的两侧分别取点E 、F ，且AE AF =．求证：DE DF =．ECDBACBFEADNCBAMF ED【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．四. 倍长中线法【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．DC BADCBAECBA【例12】 如图，AD 为ABC △的中线，AE EF =．求证：BF AC =．【例13】 如图，在ABC △中，AD 为中线，并且90BAD ∠=，45DAC ∠=．求证：2AB AD =．【例14】 如图，在ABC △中（AB AC ≠），D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF BA ∥交AE 于点F ，DF AC =．求证：AE 平分BAC ∠．F ECBA DDCBA ECDBA F【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且P M Q M⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．思维飞跃【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．ABECDOBECA【例18】 如图，已知锐角ABC △中，BE CF 、是高，在BE 或者CF 的延长线上，分别截取BQ CA =，CP BA =，且BM BC ⊥，QN BC ⊥．求证：PM QN BC +=．【例19】 如图，AM 是ABC △的中线，ABF △和AEC △均为等腰直角三角形，且90FAB EAC ∠=∠=．求证：2EF AM =．作业1. 已知：AD 平分BAC ∠，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠；ABDCE FPNM CBQ A2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1()2AE AB AD =+，求证：180ABC ADC ∠+∠=．3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =．CA BDFEBECAABDCE5. 如图，已知OA OB =，AC BD =，且O A A C⊥，OB BD ⊥，M 为CD 的中点．证明：OM 平分AOB ∠．6. 如图，ABC △中，2AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD BD =，求证：CD AC ⊥．7. 如图，已知ABC △中，AH BC ⊥于点H ，35C ∠=，且AB BH HC +=，求B ∠的度数．DCOBABCDA⋅AD HCB8. 如图，ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP AQ =，D 是BC 的中点．（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．9.10. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线于点E 、F ．求证：BE CF =．11. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．GEF CBAD QP CBAAB QC。
初中数学辅助线技巧最强总结
初中数学辅助线技巧最强总结
1. 嘿，同学们！遇到几何难题别发愁啊！比如像这个三角形，你看这角度和边长乱七八糟的，咋办？那就要巧妙地添加辅助线啦！像是碰到等腰三角形，咱就可以作底边上的高呀，一下子很多条件就清楚啦，解题不是手到擒来吗？这辅助线技巧可真是神了！
2. 哇塞，你们晓得不，初中数学的辅助线技巧那叫一个绝！就好比走迷宫，辅助线就是找到出路的关键！比如说遇到圆，作条切线，哇哦，难题瞬间变得好简单呢！大家赶紧试试呀！
3. 哎呀呀，初中数学里辅助线技巧太重要啦！举个例子哈，给你个四边形，乱糟糟的，这时候作条对角线试试，是不是感觉一下子豁然开朗了呀？这可真是解题的法宝啊，大家千万别小瞧！
4. 嘿！辅助线技巧你们要是掌握好了，那可就牛啦！像碰到平行线的问题，作条垂线瞧瞧，很多隐藏的关系就出来啦，这不是超厉害的吗？还不赶紧用起来！
5. 同学们呀，辅助线的魔法可不能小瞧哦！例如在梯形里，作个中位线，那简直就像打开了智慧的大门呀！这技巧难道不值得我们好好钻研吗？
6. 哇哦，初中数学辅助线技巧真的是最强总结呀！如果遇到那种复杂的图形无从下手，那咱们就大胆地作辅助线呀！比如作个角平分线，你就会发现好多信息都涌出来了，这不是很神奇吗？
我的观点结论就是：辅助线技巧是初中数学的得力助手，掌握好了能让我们在解题时如虎添翼，大大提高解题效率和成功率！大家一定要认真对待，多加练习哦！。
巧添辅助线证三角形全等(上)
初中数学巧添辅助线证三角形全等（上）编稿刘群丽一校杨雪二校安宁审核杨国勇1. 截长补短证线段的和差问题，常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线上的两条（或多条）线段转化到同一直线上。
可以通过翻转构造全等三角形。
在无法直接证明的情况下，利用“截长补短”作辅助线的方法，常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。
截长：在较长线段上截取与其他两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
补短：（1）延长较短的线段使其等于较长线段，证明延长出的线段等于另一条线段；（2）延长较短的线段使其等于两条较短线段和，证明线段和等于较长线段。
截长补短的基本模型：例：在等腰直角△ACB中，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D。
求证：AB=AC+CD。
方法一：在AB边上取AE=AC，连接DE，证CD=BE。
方法二：延长AC到E，使AE=AB，连接ED，证CD=CE。
注意：适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目。
通常作出辅助线后都能求证全等三角形。
2. 倍长中线把过中点的线段延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点，构造8字形，从而得出全等三角形。
倍长中线的基本模型:△ABC中AD是中线方法一：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可证△ADC≌△EDB。
方法二：M为AB边任意一点，延长MD到N，使DN=MD，连接CN，可证△BMD≌△CND。
方法三：CF⊥AD与点F，延长FD至E，使FD=DE，连接BE，可证△BED≌△CFD。
口诀：遇中点，想倍长；找关系，证全等。
倍长中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等。
例题 以直角△ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠BAD =∠CAE =90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，则AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 。
初中数学_巧添辅助线__解证几何题
巧添辅助线解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中.经常需要添加必要的辅助线.它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线.使图形的性质由隐蔽得以显现.从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线.使分散的条件得以集中.从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。
倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中.常作∠α的平分线.得∠1=12∠α.然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折.得∠2=2∠β.然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中.这样的三角形常称为倍角三角形。
倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1.在△ABC中.AB=AC,BD⊥AC于D。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C.可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。
证法一：∵在△ABC中.AB=AC.∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)=12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中.由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC”中含有角的倍、半关系.因此.可以做∠A的平分线.利用等腰三角形三线合一的性质.把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
证法二：如图2.作AE⊥BC于E.则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC。
巧添辅助线解决二倍角问题
因为 Ｄ ／Ａ ， 以 Ｌ５＝ Ｌ ， Ｅ ＝ １， Ｅ／ Ｃ 所 ４
所 以 Ｌ５ ＝ Ｅ， 以 Ａ ＝，Ｅ 所 Ｄ Ａ ．
题， 感觉难度很大， 无从下手 ．其实 ， 这类问题添加辅助线 是有一定技巧和规律的， 可归纳总结为以下四种方法 ：
１做 大 角 的平 分线 ； ． ２ 以小 角 的 顶 点 、 角 的 一 边 为 一 边 ， 小 角 的 外 ． 小 在 部 做 一个 与 小角 相 等 的角 ； ３ 反 向延 长 三 角 形 大 角 的 一 个 边 ， 另 外 一 边 相 ． 与
求证 ：Ｂ Ａ ＋Ｂ ・ Ｂ ：Ａ Ｃ Ａ Ｃ．
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
图３ห้องสมุดไป่ตู้
证明 延长 Ｃ Ｂ到 Ｅ， Ｂ ＝Ｂ 连结 Ａ ， 使 Ｅ Ａ， Ｅ 则 Ｅ
１
＝ Ｌ３＝÷ Ａ ｃ ： Ｃ， Ａ ＝Ａ ． 日 所以 Ｅ Ｃ
图 １
又 ＬＡ ＤＥ ＝ Ｃ＋ Ｌ２， Ａ ＝ Ｌ３＋ １ 所 以 ＬＤ Ｅ ， ＬＡ Ｅ ＝ ＬＤ Ｅ， 以Ａ ＝ＤＥ， 以 Ｂ ：ＤＥ—Ｂ ＝ Ｄ Ａ 所 Ｅ 所 Ｄ Ｅ
巧 添辅 助 线 解 决 二 倍 角 问题
山 东省 即墨 市鳌 山卫 中学
平面 几何 中常 出现 “ 三角 形 的一 个 内角 为另一 个 内 角 的二倍 ”即 “ 二倍 角 ” 件 的 问题 ， 生 遇 到这 样 的 问 条 学
２ ６ ３ ６ ２７
周 义展
又 Ｌ２ ＝ Ｂ Ｄ， 以 ＢＤ ＝Ａ ＝Ａ Ａ 所 Ｄ
ＡＣ Ｄ ＝ ＡＤＣ ．
因 为 １ ：Ｌ２： ３＝１： ２：
４， 以 ＬＡＣ ＝ １ ＋ Ｌ２ ＝ 所 Ｄ
３／ １ ．
巧添辅助线
巧添辅助线【巧添辅助线】：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目前为止，添加辅助线有以下几类： 1）“连接法”——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 2）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”，依据是全等变换中的“对折”． 3）遇到三角形的中线，倍长中线，构造全等三角形，利用全等变换中的“旋转”． 4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个“惊 喜”——直角和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．※ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答． 1）连接法【例1】如图，已知∠A=∠C=Rt ∠，且AB=CD ，试证明AD=BC.【练习】已知，如图AB=AC ，且∠ABD=∠ACD.试证明BD=CD.2）等腰三角形中，可作底边上的高.【例2】如图，已知D 、E 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明BD=CE 的理由.3）倍长中线【例3】已知△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 【练习】如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.4）角平分线上的点向角两边引垂线段【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ， 求证：∠BAD+∠C=180°A C DO A B C D A CE D E D CB A【练习】如图4，在△ABC 中，BD=CD ，∠ABD=∠ACD,求证AD 平分∠BAC.5）截长补短【例5】如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC【练习】如图，已知△ABC 为等边三角形，其边长为k ，△DBC 为等腰三角形，BD=CD 且∠BDC=120°过点D 作∠PDQ=60°，DP 、DQ 分别交AB 、AC 于点M 、N ，记AMNC为x ，ABCC为y .（1）如图1，特别地，当BM=CN 时，易证BM+CN=MN.此时：()()()2AMNx CAM AN MN AM AN BM BN AM BM AN CN AB AC k ==++=+++=+++=+=3ABCy CAB AC BC k ==++=,于是2233x k y k ==. （2）如图2，当∠PDQ 绕点D 旋转，使得DP 、DQ 交线段AB 、AC 于点M 、N 时，（1）中的结论还成立吗？请说明.（3）如图3，当∠PDQ 绕点D 旋转，使得DP 、DQ 交BA 、AC 的延长线于点M 、N 时，（1）中的结论还成立吗？请说明.CD BAA B CDC图1D图2 图3※旋转【例6】已知：△ABC 中，BC=AC ，且∠C=90°.点D 为AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F ，当∠MDN 绕点D 转动时.（1）写出点D 到△ABC 三个顶点的距离之间的数量关系;（2）试判断△DEF 的形状.【作业】1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初一数学联赛班七年级
第16讲巧添辅助线
知识总结归纳
一.截长补短法
证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。
二.角平分线相关的辅助线
因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。
三.等腰三角形“三线合一”的运用
等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。
四.倍长中线法
倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题
一.截长补短法
【例1】如图，ABC
△中，2
C B
∠=∠，AD平分BAC
∠，求证：AB AC CD
-=．
【例2】如图，在Rt ABC
△中，90
C︒
∠=，AC BC
=,AD平分CAB
∠，求证：AB AC CD
=+．
A
C
B
D
B
C
A
初一数学联赛班 七年级
【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．
【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．
二. 等腰三角形经典模型的运用
【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，
求AMN △的周长．
M C
B
A
N
O
E
D
C
B A
D
B
A
C
E
初一数学联赛班七年级【例6】如图，已知在ABC
△中，AD平分BAC
∠，BD AD
⊥，DE AC
∥，求证：BE AE
=．
三.等腰三角形“三线合一”的运用
【例7】如图，在等腰ABC
△中，AB AC
=，D是BC的中点，过A作AE DE
⊥，AF DF
⊥，且AE AF
=．求证：EDB FDC
∠=∠．
【例8】如图，在等腰ABC
△中，AB AC
=，D是BC的中点，过A的直线//
MN BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E、F，且AE AF
=．求证：DE DF
=．
E
C
D
B
A
C
B
F
E
A
D
N
C
B
A
M
F
E
D
初一数学联赛班 七年级
【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．
【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．
四. 倍长中线法
【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．
D
C
B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
初一数学联赛班七年级【例12】如图，AD为ABC
△的中线，AE EF
=．求证：BF AC
=．
【例13】如图，在ABC
△中，AD为中线，并且90
BAD
∠=，45
DAC
∠=．求证：2
AB AD
=．
【例14】如图，在ABC
△中（AB AC
≠），D、E在BC上，且DE EC
=，过D作DF BA
∥交AE于点F，DF AC
=．求证：AE平分BAC
∠．
F
E
C
B
A
D
D
C
B
A
E C
D
B
A
F
初一数学联赛班 七年级
【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且PM QM
⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．
思维飞跃
【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．
【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试
判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．
A
B
E
C
D
O
B
E
C
A
初一数学联赛班七年级【例18】如图，已知锐角ABC
△中，BE CF
、是高，在BE或者CF的延长线上，分别截取BQ CA
=，CP BA
=，且BM BC
⊥，QN BC
⊥．求证：PM QN BC
+=．
【例19】如图，AM是ABC
△的中线，ABF
△和AEC
△均为等腰直角三角形，且
90
FAB EAC
∠=∠=．求证：2
EF AM
=．
作业
1.已知：AD平分BAC
∠，AC AB BD
=+，求证：2
B C
∠=∠；
A
B D C
E
F
P
N
M C
B
Q
A
初一数学联赛班 七年级
2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1
()2
AE AB AD =+，求证：
180ABC ADC ∠+∠=．
3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．
4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =．
C
A B
D
F
E
B
E
C
A
A
B
D
C
E
初一数学联赛班七年级5.如图，已知OA OB
=，AC BD
=，且O A A C⊥，OB BD
⊥，M为CD的中点．证明：OM平分AOB
∠．6.如图，ABC
△中，2
AB AC
=，AD平分BAC
∠，且AD BD
=，求证：CD AC
⊥．
7.如图，已知ABC
△中，AH BC
⊥于点H，35
C
∠=，且AB BH HC
+=，求B
∠的度数．
8.如图，ABC
△是等腰直角三角形，90
BAC
∠=，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP AQ
=，
D
C
O
B
A
B C
D
A
⋅
A
D
H
C
B
初一数学联赛班 七年级
D 是BC 的中点．
（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；
（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．
9. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线
于点E 、F ．求证：BE CF =．
10. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是
BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．
A
B
Q
P
C
G
E
F C
B
A
D Q
P
D
C
B
A。