初中数学竞赛—— 巧添辅助线

初一数学联赛班七年级

第16讲巧添辅助线

知识总结归纳

一.截长补短法

证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。

二.角平分线相关的辅助线

因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。

三.等腰三角形“三线合一”的运用

等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。

四.倍长中线法

倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。

典型例题

一.截长补短法

【例1】如图，ABC

△中，2

C B

∠=∠，AD平分BAC

∠，求证：AB AC CD

-=．

【例2】如图，在Rt ABC

△中，90

C︒

∠=，AC BC

=,AD平分CAB

∠，求证：AB AC CD

=+．

A

C

B

D

B

C

A

初一数学联赛班 七年级

【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．

【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．

二. 等腰三角形经典模型的运用

【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，

求AMN △的周长．

M C

B

A

N

O

E

D

C

B A

D

B

A

C

E

初一数学联赛班七年级【例6】如图，已知在ABC

△中，AD平分BAC

∠，BD AD

⊥，DE AC

∥，求证：BE AE

=．

三.等腰三角形“三线合一”的运用

【例7】如图，在等腰ABC

△中，AB AC

=，D是BC的中点，过A作AE DE

⊥，AF DF

⊥，且AE AF

=．求证：EDB FDC

∠=∠．

【例8】如图，在等腰ABC

△中，AB AC

=，D是BC的中点，过A的直线//

MN BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E、F，且AE AF

=．求证：DE DF

=．

E

C

D

B

A

C

B

F

E

A

D

N

C

B

A

M

F

E

D

初一数学联赛班 七年级

【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．

【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

四. 倍长中线法

【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．

D

C

B

A

D

C

B

A

E

C

B

A

初一数学联赛班七年级【例12】如图，AD为ABC

△的中线，AE EF

=．求证：BF AC

=．

【例13】如图，在ABC

△中，AD为中线，并且90

BAD

∠=，45

DAC

∠=．求证：2

AB AD

=．

【例14】如图，在ABC

△中（AB AC

≠），D、E在BC上，且DE EC

=，过D作DF BA

∥交AE于点F，DF AC

=．求证：AE平分BAC

∠．

F

E

C

B

A

D

D

C

B

A

E C

D

B

A

F

初一数学联赛班 七年级

【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且PM QM

⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．

思维飞跃

【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．

【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试

判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．

A

B

E

C

D

O

B

E

C

A

初一数学联赛班七年级【例18】如图，已知锐角ABC

△中，BE CF

、是高，在BE或者CF的延长线上，分别截取BQ CA

=，CP BA

=，且BM BC

⊥，QN BC

⊥．求证：PM QN BC

+=．

【例19】如图，AM是ABC

△的中线，ABF

△和AEC

△均为等腰直角三角形，且

90

FAB EAC

∠=∠=．求证：2

EF AM

=．

作业

1.已知：AD平分BAC

∠，AC AB BD

=+，求证：2

B C

∠=∠；

A

B D C

E

F

P

N

M C

B

Q

A