几何学与数学教育分解109页PPT
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一、转化的思想 [例1] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F. 求证：BD⊥平面AEF.
[ 分 析 ] 要 证 BD⊥ 平 面 AEF ， 已 知 BD⊥AE ， 可 证 BD⊥EF 或 AF ； 由 已 知 条 件 可 知 BC⊥ 平 面 ADC ， 从 而 BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即 可获证．
③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通 过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．
④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题 的降维转化策略．
(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法． ①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面 转移等． ②平行投影与中心投影，特别是正投影． ③等积变换与割补． ④展开、卷起、折叠、旋转． 数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在 数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问 题的方法过程中又丰富了数学思想． (4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立 体几何的一些结论，从而提供思维的方向．
[例4] 如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在 原正方体中的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直 C．不相交也不平行 D．相交成60°
()
[解析] 本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力， 如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.
[答案] D
[例5] 已知Rt△BAC中，AB＝AC＝a，AD为斜边BC 上的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角．(如图所示)
图形
符号语言
文字语言
公理4：平行于同
一直线的两直线平
行．(平行线的传递
性)
直 线 与 直 线 平
几何的认识_PPT幻灯片
Alexandria）的作品相似。 《反射光学》（Catoptrics）论述反
射光在数学上的理论，尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是 有人置疑这本书是否真正出自欧几里得之手，它的作者可能是提
奥（Theon of Alexandria）。 《现象》（Phenomena）是一本
对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰 富埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不 分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行 土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识。从而产生了几何学的初步知识。
后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希 腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。“几 何学”这个词，是来自希腊文，原来的意义是“测量土地技术”。“几何学”这个 词一直沿用到今天。公元前338年，希腊人欧几里德，把在他以前的埃及和希腊人 的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》。1607 年，中国的数学家徐光启和西方人利玛窦合作，把欧几里德的《几何原本》第一次 介绍到中国。欧几里德的《几何原本》是几何学史上有深远影响的一本书。学习的 几何学课本多是以《几何原本》为依据编写的。中国对几何学的研究也有悠久的历 史。在公元前一千年前，在中国的黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形 和圆内接正方形等许多几何图形。公元前五百年，在墨翟所著的《墨经》里有几何 图形的一些知识。在《九章算术》里，记载了土地面积和物体体积的计算方法。在 《周髀算经》里，记载了直角三角形的三边之间的关系。这就是著名的“勾三股四 弦五”的勾股定理，也称为“商高定理”。商高发现了直角三角形的勾股定理。祖 冲之的圆周率也是著称世界的。还有中国古代数学家刘徽、王孝通等对几何学都作 出了重大的贡献。 随着工农业生产和科学技术的不断发展，几何学的知识也越来 越丰富，研究的方面也越来越广阔。
几何图形课件
几何图形是3D建模的基础，通过使用三维模型描述几何形状，可以创建复杂的虚拟物体 ，如建筑物、人物、场景等。
动画制作
在计算机图形学中，几何图形也常用于动画制作。例如，利用几何图形可以轻松实现物体 的运动轨迹动画。
游戏开发
游戏中的场景、人物和道具等常常需要用到几何图形进行设计。游戏开发者需要利用几何 图形来构建游戏世界，并确保游戏的流畅性和性能。
平移是将一个图形沿 着某个方向移动一定 距离得到另一个图形 。
旋转是将一个图形围 绕某个定点旋转一定 角度得到另一个图形 。
对称是将一个图形沿 着某个轴或中心翻转 180度得到另一个图 形。
缩放是将一个图形按 照一定的比例进行放 大或缩小得到另一个 图形。
03
几何图形的应用
在计算机图形学中的应用
装配设计
在机械装配中，几何图形被用来描述零件之间的关系和位置。通过使用几何图形，设计师 可以更好地了解零件之间的配合和连接方式，以确保机器的稳定性和性能。
04
几何图形的制作方法
使用AutoCAD制作几何图形
软件介绍
功能特点
AutoCAD是一款由Autodesk公司开 发的计算机辅助设计软件，被广泛应 用于建筑、机械等领域。
非欧几里得几何是指不满足欧几里得几何公设 的几何体系。
非欧几里得几何在平面和空间中图形的性质和 测量方面有着不同的结论和表现。
非欧几里得几何在解释现实世界的现象时比欧 几里得几何更为精确，被应用于物理学、天文 学等领域。
几何图形的变换
几何图形的变换是指 将一个图形通过某种 方式变成另一个图形 ，通常包括平移、旋 转、对称和缩放等。
如何使用三角函数？
三角函数的定义
三角函数是直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切值的统称。
“中学数学必备解析几何课件讲义”
学会直线的一般式方程，了解其意义及在求解直线问题上的应用。
圆的标准式
学会圆的标准式方程，了解其几何性质及在求解圆的问题上的应用。
圆的一般式
学会圆的一般式方程，了解其意义及在求解圆的问题上的应用。
直线与圆的位置关系
1 判定方法
学会判定直线与圆的位置关系的方法，了解其相对位置的几何意义。
2 求解方法
3
空间图形位置关系
掌握解决空间图形位置关系的方法的定义及公式，理解 其几何特征。
平移与伸缩
学会求双曲线方程，理解平移和 伸缩对双曲线特征的影响。
应用
掌握双曲线的相关几何应用，学 会解决相关几何问题。
空间直角坐标系及其应用
1
定义
学会空间直角坐标系的定义及其应用，理解空间几何的特征。
2
向量
掌握空间向量及其运算法则，学会用向量表示线段和平面的几何特征。
解析几何课件讲义
掌握解析几何的重要性在于可以将平面几何与向量分析相互结合，拓宽数学 思路，提高抽象思维能力。本课件将详细解析各种解析几何知识点。
二维直角坐标系及其应用
点与向量
了解点和向量在平面直角坐标系中的定义及相 互关系。
旋转
掌握平面上图形的旋转操作方法，理解旋转对 点、向量的影响。
平移
学会平面上图形的平移操作方法，理解平移对 点、向量的影响。
比例
了解平面上图形的等比例变化，了解比例的概 念及运算法则。
向量的概念及其运算法则
向量加法
掌握向量相加的方法，理解向量 加法的几何意义。
数量积
学会计算向量的数量积，了解其 几何意义及应用。
向量积
学会求向量积，了解其几何意义 及应用。
大一解析几何课件ppt
两点式方程
表示两点之间的直线方程，形式 为$frac{x-x_1}{x_2-
x_1}=frac{y-y_1}{y_2y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1}$。
空间中平面与球面方程
平面方程
表示平面上所有点的坐标满足的 方程，形式为 $Ax+By+Cz+D=0$。
球面方程
表示球面上所有点的坐标满足的 方程，形式为$(x-a)^2+(yb)^2+(z-c)^2=R^2$。
上的向量即为这两个向量的和。
向量的模
向量的模表示向量的大小，记作|a|，计算 公式为$sqrt{a_1^2 + a_2^2 + cdots +
a_n^2}$。
数乘
数乘是指用一个实数乘以一个向量，结果 仍为同一向量类型的向量。数乘满足结合 律和分配律。
向量的积
向量的积分为点乘和叉乘两种，点乘结果 为标量，叉乘结果为向量。点乘满足交换 律和分配律，叉乘满足结合律。
矩阵及其运算
矩阵的加法
矩阵的加法是指对应元素相 加，得到的结果仍为一个矩 阵。
数乘矩阵
数乘矩阵是指用一个实数乘 以一个矩阵，结果仍为一个 矩阵。数乘矩阵满足结合律 和分配律。
矩阵的乘法
矩阵的乘法需要满足一定的 条件，即左矩阵的列数等于 右矩阵的行数。矩阵的乘法 不满足交换律和结合律。
转置矩阵
转置矩阵是指将矩阵的行列 互换得到的新矩阵。转置矩 阵满足$A^T = (A^T)^T$ 和$A^T B = B^T A$。
05
解析几何的应用
解析几何在物理学中的应用
解析几何在物理学的应用非常广泛，特别是在经典力学和电 磁学中。通过解析几何的方法，我们可以更好地理解和描述 物理现象，例如在研究物体的运动轨迹、速度和加速度时， 解析几何提供了重要的数学工具。
初中数学几何知识点归纳课件分解
中考几何知识点归纳角与（平行）线1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补三角形的边与角15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角平分线27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上*29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形与等边三角形30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形与勾股定理（含垂直平分线、轴对称图形）37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形四边形的角48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定定理52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称等腰梯形的性质与判定定理74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形*78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰（不能用作证明题）80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（不能用作证明题）中位线定理81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半*82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h*比例的性质*83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d*84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d*85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b*86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例*87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例相似三角形的性质与判定定理90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方*与锐角三角函数有关的定理*99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值*100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值*与圆、轨迹有关的定理*101圆是定点的距离等于定长的点的集合*102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合*103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等*105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线*107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线*108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆与圆的几何证明题有关的定理110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形*120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角*127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等*130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等*131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项*132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项*133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦*与圆有关的其他定理*137定理把圆分成n(n≥3)份⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形*138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆*多边形相关定理139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形*141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长*142正三角形面积√3a／4 a表示边长*143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4扇形与弧长的相关计算公式144弧长计算公式：L=nπR／180145扇形面积公式：S扇形=nπR²／360=LR／2。
几何原本与中国数学教育PPT参考课件
评价
从辛亥革命到中华人民共和国成立，是中国现代数学教育的奠 基时期，不少老一辈数学家如姜立夫、熊庆来、陈建功等克服重重 困难，艰苦创业，培养了一批数学人才；数量虽然不多，但对于使 现代数学在中国土壤上生根，作出了宝贵贡献
近代初等数学教育
近现代的初等数学教育，可以说是在晚清(1903)颁布癸卯学制,废除科举,兴 办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、 几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913)公布壬子癸丑学制，中学由五年改 为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制，将 小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年,高小二年,初高中皆三年。初 中数学讲授算术、代数、平面几何，高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代 数、平面解析几何（高中曾分文理两科，部分理科加授立体解析几何和微积分初 步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行 了改革，学制大都改为小学六年,初高中各三年,初中逐步取消算术课。50年代高 中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及概率论和电子计 算机的初步知识。
2021/3/10
授课：XXX
4
中国的数学教育是开放的归纳体系——缺乏系统的逻辑体 系和符号体系。
《九章算术》以归纳为主的叙述方式，与古希腊数学代表著作欧几 里得的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显不同。以后的中国 古代数学著作，大都采用这种以归纳为主的叙述方式。这也是中国古 代数学的一大特色，并反映出古代中国人的思维方式。正如吴文俊先 生指出的：“《九章算术》和《几何原本》东西辉映，是现代数学思 想的两大源泉（吴文俊.《九章算术注释》序，载：白尚恕著.九章算 术注释[M],北京：科学出版社，1988年：第1页）。吴先生在几何定理 的机器证明领域所取得的成就，正是以《九章算术》为代表的中国传 统数学特色在现代条件下的发扬光大。 值得一提的是，值得提出的， 中国古代也强调逻辑。但是，这里的“逻辑”与古希腊以“三段论” 为代表的演绎逻辑有所不同，而是一种自然的逻辑，其体系并不是相 对完整的。总之，中国传统数学最本质的方法是归纳，认识过程是由 特殊到一般，在数学教育的方法上强调启发式，强调对一些典型问题 反复思考，举一反三，从中体会一般法则。中国传统数学的特点和数 学教育的目的，决定了数学教育的内容是为传授应用技能而设计的， 在思202想1/3/和10 方法上采取了注重应用授、课以：X问XX 题为中心、以算法为基础、主5 要依靠归纳思建立数学模型、强调基本法则及其推广的一整套模式。
大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件
它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3
解析几何的主要思想.ppt
1. 必做题：练习册11.1 A组1，2，3，4 ； B组1，2
2. 思考题：自己提出一个求直线点方向式方程的 问题，并加以解决。
3. 选做题：ABC的三个顶点为A(1,1)、B(5,4)、 C(3,8)，过点A作直线l，它把ABC的面积分成1:3 两部分，求直线l的方程。
选准一个方向，一直沿这个方向走，就能 走出一条直的线路。
人最初站的位置是一个点，再加上一个方 向，就确定了一条直线。
方向可以用非零向量来表示，因此，一个 点和一个非零向量确定一条直线。
1. 直线与方程的对应：
在直角坐标平面上，已知非零向量 d (u,v)，
点P(x0,y0)。经过点P与 d平行的直线为l。
1． 已知点l的直线方程为5x12y+13=0，判断点 A(17,6)、B(2,2)是否在此直线上。
解：将点A和点B的坐标分别代入方程， 5(17)12(6)+13=0，而 5212(2)+130， 点A在直线l上，而点B不在直线l上。
。
2. 直线l经过点M(1,2)，一个方向向量为 v1,3，
P(x0,y0) •
•Q(x,y)
d (u,v)
0
x
(1)当u0且v0时，方程①可化为 x x0 y y0 ②.
u
v
注意：方程②不能表示过P(x0,y0)且与坐标轴垂 直的直线。
(2)当u=0,v0时，直线与y轴平行，方程①可化为 xx0=0③；
(3)当v=0，u0时，直线与x轴平行，方程①可化为
直线l上的点的集合与方程v(xx0)=u(yy0)
的解的集合就建立了一一对应关系。
2. 直线点方向式方程的推导
解析几何课件
直线、圆、椭圆等。
解析几何模型的动画演示
动画制作基础
了解如何使用Python或MATLAB制作动画 。
解析几何模型动画演示
学习如何将解析几何模型制作成动画演示， 例如直线的旋转、圆的滚动等。
动画演示应用
了解动画演示在解析几何中的应用，例如轨 迹的形成、运动的模拟等。
THANKS
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解析几何在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用 ，例如在物理学中，解析几何被用来解决力学、电磁学和光 学等问题。
解析几何的发展历程
解析几何的起源
解析几何起源于17世纪，主要代 表人物有法国数学家费马和荷兰 数学家斯蒂文。
解析几何的发展
18世纪和19世纪是解析几何发展 的黄金时期，许多重要的数学家 如欧拉、高斯等都对解析几何做 出了杰出的贡献。
标。
空间平面与方程
平面的定义
平面是一组无穷多个点组成的集合，这些点都在同一平面上。
平面方程
平面的方程通常用三元一次方程表示，即Ax+By+Cz+D=0，其中 (x,y,z)是平面上任意一点的位置坐标，A、B、C和D是方程的系数 。
平面方程的应用
通过给定平面的方程和任意一点的位置坐标，可以判断该点是否在 平面上。
解析几何在经济学中的应用
01
金融数据分析
02
股票价格预测
03
04
05
经济模型构建与优化
市场分析与管理决策
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
企业选址与布局优化
05
解析几何的进阶概念
直线的极坐标方程
极坐标系
01
极坐标系是一种用极径和极角表示平面上的点的坐标的方法。
直线极坐标方程的一般形式
数学讲座课件
金融数学与风险管理
金融衍生品定价
利用数学模型对金融衍生品进行 定价，如期权、期货等。
投资组合优化
通过数学方法对投资组合进行优 化，以实现风险和收益的平衡。
信用风险评估
利用数学模型对借款人的信用状 况进行评估，以降低信用风险。
计算机科学中的数学应用
算法设计与分析
01
算法是计算机科学的核心，数学为算法的设计和分析提供了理
两条不在同一平面内的直线确定一个平面。
平面几何与立体几何
01
空间平面的基本性质：平面的方 程、平面的法向量等。
02
空间几何体的基本性质：体积、 表面积等。
解析几何与向量几何
解析几何
通过代数方法研究几何对 象之间的关系。
坐标系的基本概念
直角坐标系、极坐标系等 。
点的坐标表示
在直角坐标系中，点用坐 标表示；在极坐标系中， 点用极径和极角表示。
函数
定义、表示方法、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等 ）
图像
函数的图像绘制方法、图像的变换（平移、伸缩、对称等）
指数与对数
指数
定义、性质（正指数、负指数、零指数）、指数运算规则
对数
定义、性质（正对数、负对数）、对数运算规则（换底公式、对数恒等式等）
CHAPTER 03
几何学
平面几何与立体几何
01线、面 等基本元素及其性质和关 系。
直线的基本性质
两点确定一条直线，两条 直线的交点等。
角的基本性质
角的度量、角的补角、余 角等。
平面几何与立体几何
三角形的基本性质
三角形的边长关系、高、中线等。
立体几何
研究空间中的点、线、面等基本元素及其性质和关系。
数学教学PPT课件
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教学过程
Part.03
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教学设计
Part.02
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解析几何全册课件
易错点和难点的 避免：认真审题、 仔细计算、规范 答题，避免粗心 大意和盲目做题
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汇报人：XX
解析几何全册课件大纲
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
小学数学教学论 图形与几何的教学 教学PPT课件
• 参见第十章“度量衡”
9
（二）小学“图形与几何”教学内容
• “2022年版课标”确定小学图形与几何的教学内容：在
小学阶段包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与
运动”两个主题。学段之间的内容相互关联，螺旋上升，
逐段递进。
• 图形的认识重点是图形特征的探索与描述，图形的测量
提或原因，使其认识和了解数学的概念、公式、例题以
及应用产生的背景和发展的过程。
14
1.创设问题情景，展现知识的发现过程
• 创设问题情景，就是要为学
生提供恰当的实际问题和知
识背景，提出符合学生认知
水平的思考问题，经过学生
观察、实验、比较，作出猜
想，为“图形与几何”知识
的形成奠定感性基础。
15
• 2.增加实验操作，再现结论的探究过程
关系和度量关系。
• ①对图形形状的识别——直线型（三角形、四边形及多边形等）；
曲线型（圆及扇形等）。
• ②对图形位置关系的识别——直线型（平行、相交、垂直等）。
• ③对图形度量的识别——长度、角度、面积、大小关系的辨认等。
• 2. 作图技能
• 运算、作图、推理是三种基本的数学活动，因此“能算、
会作图和会推理”是三种基本的数学技能。
和“μετρεĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地
术。后来拉丁语化为“geometria”。
英语「geometry」几何
「geo」代表的是土地，
「metrein」指的是測量。
中文中的“几何”一词，最早是在明代
利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，
由徐光启所创。
7
• 收到
半坡遗址房屋地基
解析几何全册课件
e
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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
第4章几何形体的投影分解PPT课件
1
学习目标和要求
了解轴测投影图的形成原理； 熟悉组合体投影图的尺寸标注； 掌握基本几何体投影特性和作图方法； 掌握组合体投影图的读图方法，正等轴测图的画法。
2
第一节 基本立体的投影
立体——表面由若干面围成的几何体。
最常见的回转体：圆柱、圆锥、球、环等。
11
1.圆柱
O 底面
由圆柱面和上、下底面 围成的立体，就是圆柱体， 简称圆柱。
圆柱面
圆柱面的形成
圆柱面是由直母线绕 与母线平行的轴线旋转一 周而成。当顶圆、底圆平 面与轴线垂直时，称为正 圆柱面。
素线
O
母线
轴线
母线是形成曲面立体的那条
最初的线，然后该线按一定
轨迹就能生成各种曲面和立
k
(n)
(n)
●
k
★辅助圆法
n●
s
过N点作一平行于底面的
水平辅助圆，该圆的正面投影 k
为过n 且平行底面的直线段。 圆的半径？
19
例: ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W 投影
s'
a' d' (e')
b'(c') c
b
e sa d
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
ABD不通过锥 顶，故为曲线
前、后两棱面是正平 面，正面投影反映前、后 两棱面实形，水平投影和 侧面投影积聚成直线段。
其余四个侧棱面是铅
垂面，它们的水平投影都
积聚成直线，并与正六边 形的边线重合，在正面投
几何图形下的规律探究分解课件
几何图形的黄金分割
要点一
总结词
黄金分割是一种特殊的比例关系，它描述了图形中某些部 分之间的比例关系。
详细描述
对称性是几何图形中一个重要的属性，它描述了图形在某个轴或点对称分布的特征。对称的图形给人以平衡、和 谐的感觉，是自然界和艺术中常见的现象。在几何学中，我们可以研究各种图形的对称性，如轴对称、中心对称 、点对称等。
几何图形的相似性
总结词
相似性是指两个或多个图形在形状和大小上具有相似特征。
详细描述
分析分解结果
对分解后的简单部分进行分析 ，探究其性质和特点，寻找隐
藏在其中的规律。
分解方法的实际应用
在几何证明中的应用
在发现新规律中的应用
通过分解几何图形，可以将复杂的证 明问题转化为多个简单部分的证明， 降低证明难度。
通过对几何图形的分解，可以发现一 些隐藏在图形中的规律和性质，推动 几何学的发展。
05
几何图形的发展趋势与展望
几何图形在数学领域的发展
几何学基础理论的发展
随着数学学科的深入发展，几何学的基础理论不断得到完善和丰富，为解决数学 问题提供了更多有效的方法和工具。
几何与其他数学领域的交叉融合
几何学与代数、分析等领域相互渗透，形成了一些新的研究方向和应用领域，如 代数几何、微分几何等。
建筑设计中的几何图形
建筑设计中的几何图形
建筑设计是几何图形应用的重要领域之一。建筑师通过运用不同的几何图形，创造出独特 的建筑风格和空间感。例如，矩形、圆形、三角形等几何图形在建筑设计中被广泛应用， 以实现功能和美学的完美结合。
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1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
几何学与数学教育分解
6
、Leabharlann 露凝无游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散