空间向量运算的坐标表示 ppt课件

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第二章 空间向量与立体几何
想一想 把向量A→B＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变 化？ 提示：向量A→B的坐标不变．
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第二章 空间向量与立体几何
2.已知空间中两点 A(1，1，1)，B(－1，0，4)，
则向量A→B的坐标为( )
A．(2，0，－3)
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第二章 空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究
空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(2，－1，－2)， b＝(0，－1，4)，求 (1)a＋b；(2)a－b；(3)a· b；(4)2a· (－b)； (5)(a＋b)· (a－b)．
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第二章 空间向量与立体几何
___(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)____；
②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)．
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第二章 空间向量与立体几何
用文字叙述为： ①空间两个向量和(差)的坐标等于它们 _____对__应__坐__标__的__和__(_差__)______； ②实数与空间向量数乘的坐标等于_实__数__与____ ____向__量__对__应__坐__标______的乘积．
＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.
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第二章 空间向量与立体几何
5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)， 则〈a，b〉＝________．
解析：a·b＝1＋2＝3，|a|＝ 2，|b|＝3， ∴cos〈a，b〉＝ 3 ＝ 2，
2×3 2 〈a，b〉＝π.
4 π 答案： 4
∴y＝2，z＝4.
答案：2 4
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第二章 空间向量与立体几何
(3)空间 向量的坐标表示 设 O 是空间直角坐标系的原点，A(x1，y1，z1)， B(x2， y2， z2)， 根据向量的坐标表 示，可知O→A＝(x1，y1，z1)， O→B＝ (x2， y2， z2 )，
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【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，
4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2，0，－6)．
(3)a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1，4)＝－7. (4)2a· (－b)＝2(2，－1，－2)· [－(0，－1，
4)] ＝(4，－2，－4)· (0，1，－4) ＝14.
B．(－2，－1，3)
C．(0，1，5)
D．(－2，－1，5)
解析：选 B.
A→B＝(－1，0，4)－(1，1，1)＝(－2，－1，3)．
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第二章 空间向量与立体几何
(2)空间向量平行的坐标表示
若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，
(1)数量积的坐标表示
设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ (x2 ， y2 ， z2) x1x，2＋y1则y2＋za1·z2b ＝
___________________． 空间两个和向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积之_____．
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第二章 空间向量与立体几何
(2)空间 向量的长度与夹角的坐标表示 ①|a|＝ a·a＝ x21＋y21＋z21； ② cos〈 a， b〉 ＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 (a≠0，b≠0)；
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第二章 空间向量与立体几何
【解】 (1)∵c∥B→C，
∴ c＝mB→C ＝m (－ 2，－ 1， 2) ＝ (－ 2m，－m， 2m)(m∈ R)， ∴|c|＝ （－2m）2＋（－m）2＋（2m）2 ＝ 3|m |＝ 3， ∴m＝± 1， ∴c＝(－2，－1，2)或 c＝(2，1，－2)．
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第二章 空间向量与立体几何
所以A→B ＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－ (x1，y1，z1) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标 的___差___．
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第二章 空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示
x21＋y12＋z12 x22＋y22＋z22 ③ a⊥ b⇔ x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0.
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a
与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：选A.
a· b＝(1，－5，6)· (0，6，5)
右手系 z
空间直角坐标系共有八个卦限
O
y
x
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第二章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_，__z_1_＋__z2_)__，a－b＝
y1＝λ y2， z1＝λ z2(λ∈ R)．
②若
x2，y2，z2 都不为
0，则
a∥ b⇔x1＝y1＝z1. x2 y2 z2
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
3.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)， 若a∥b，则y＝________，z＝________．
解析： 1 ＝ y ＝－2， －2 －4 z
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第二章 空间向量与立体几何
(5)(a＋b)· (a－b)＝(2，－2，2)· (2，0，－
6) ＝－8. 【点评】 牢记运算法则是正确计算的关 键．
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第二章 空间向量与立体几何
向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点 A(－1，1，3)，B(0，2， 3)，C(－2，1，5)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
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第二章 空间向量与立体几何
重点难点 重点：空间向量的运算的坐标表示． 难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．
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第二章 空间向量与立体几何
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴. 记作：空间直角坐标系O-xyz.