指数函数的图像与性质

指数函数的图像 与性质
a
1
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
a
2
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16 个
总数 21
22
23
24
2x
a
3
问题 引入
故 f 3 ，
1
即 a3
于是有
，解x 得a
f x 3
3
想一
想
思考：确定一个指数函数
所以：
需要什么条件？
f 0π0 1,
1
f 1 π3 3 π ,
f 3 π1 1.
π
a
11
例题：已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求 f(－3)的值．
解析： 设指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)， 由题意得 a2＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝2x， ∴f(－3)＝2－3＝18.
a
33
解答本题根据指数函数的底数与图象间的关 系容易判断.
a
34
[解题过程] 方法一：在①② 中底数小于1且大于零，在y 轴右边，底数越小，图象向 下越靠近x轴，故有b<a，在 ③④中底数大于1，在y轴右 边，底数越大图象向上越靠 近y轴，故有d<c.故选B.
方法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象 分别交于点A，B，C，D，则其坐标依次为(1， a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得 c>d>1>a>b.故选B. 答案： B
(1)均为幂的形式 ;
(2)底数是一个正的常数 ;
(3)自变量x在指数位置 .
定义 :
一般地，函y 数ax(a 0,a 1)叫做指数
函数，其x中 是自变量，函数的域定是义
R。
a
6
一般地，函y 数ax(a 0,a 1)叫做指数 函数，其x中 是自变量，函数的域定是义 R。
思考 (1)为什么定义域为R？
A.y 2x1
B.y x3
C.y 2x
D.y32x
2.已知 a 0 .8 0 .7 ,b 0 .8 0 .9 ,c 1 .2 0 .8 ,
则 a, b, c 的大小关系是___b_<_a<_c______________.
a
38
课堂小结
1、指数函数概念；
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
应用
2、比较下列各题中两个值的大小：
7 3 ; 21 01.87220..55.1,,10.7.833;0.22; 0.8 00..11 , 0.8 00..22 ;
31.6 43 1.87110...663,, 20..39113..66.1; 4 1.7 00..33 , 0.9 33..11;
2
④ y (4)x
⑦ y xx
⑧ y 10x
a
9
[题后感悟] 判断一个函数是否为指数函数只 需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这 一结构形式，其具备的特点为：
a
10
例题 已知指数函数 fxaxa0,a1
的图像经过点 3 , , 求 f0、 f1、 f3
的值.
分析：指数函数的图象经过点 3 , ，
1
应用
（3）1.70.3 0.93.1
解：根据指数函数的性质，得：
1.70.31.701,而0.93.10.901
从而有 1.70.30.93.1
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
fx =
1.7
x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
a
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
1.5
2
2 1.5
1 0.5
-2
-1
-0.5
a
1
2
3
4
5
6
29
应用
（2）0.80.1＜ 0.80.2
解：∵函数 y 在0R.8上x是减函数，
而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.10.80.2
a
-1.5
1.8 1.6
fx = 0.8 x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-1
-0.5
30
0.5
Y=1
问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗？O
X
答：当底数＿a ＿1 时图象上升；当底数＿0＿a＿＿1时图象下降．
底数a由小变大时函数图像在第一象限内按＿＿逆＿＿
时针方向旋转.
问题三： 图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1)＿．
a
23
指数函数的图象 函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)恒过定点 ________．
a
25
2.函数 y＝a2x＋b＋1(a>0，且 a≠1， b∈R)的图象恒过定点(1,2)，求 b 的值．
解析： ∵函数 y＝a2x＋b＋1 的图象恒过定点(1,2)， ∴2a×0＋11＋＝b2＝0 ，即 b＝－2.
a
26
应用
求下列函数的定义域:
①、 y 2 x2 1
③、 f (x) 1ax
a
12
设问2：得到函数的图象一般步骤：
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出 y 2 x
，y
1 2
x
的图象，
并思考：两个函数的图象有什么关系？
a
13
x
… -3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y 2 x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
3
2
1
-6
-4
-2
a 2
16
4
6
认识
a
17
分组画出下列四个函数的图象： (1)y=2x (2)y=(1／2)x (3)y=3x (4)y=(1／3)x
a
18
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
a
x
19
பைடு நூலகம்
y
y
y 1 x
y2 ax
(a 1)
y 1 x 3
利用指数函数y＝axa>0且a≠1恒过定点0， 1的性质求解.
a
24
[解题过程] 原函数可变形为y－3＝ax－3(a>0， 且a≠1)， 将y－3看做x－3的指数函数， ∵x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4. ∴y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点(3,4)． 答案： (3,4)
[题后感悟] 求指数型函数图象所过的定 点，只要令指数为0，求出对应的x与y的 值，即为函数图象所过的定点．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小
比较，可以利用指数函数图象的变化规律来
判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂
的大小比较，则应通过中间值来比较．
a
32
如图是指数函数①y＝ax(a>0，且 a≠1)， ②y＝bx(b>0，且 b≠1)，③y＝cx(c>0，且 c≠1)， ④y＝dx(d>0，且 d≠1)的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( ) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
一般地，经过x年，剩留量 y 0.84x
根据这个函数关系可以列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
画出指数函数 y 0.84x 的图象。从图上看出 y 0.5
答：约经过4年，剩留量是原来的a 一半。
0.35
x4
37
练习
1.下列函数中一定是指数函数的是（ C ）
a
36
例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 一年剩留的这种物质变为原来的84%。画出这种物质 的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多 少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字）？ 解：设这种物质最初的质量是1，
经过x年后，剩留量是y。
经过1年，剩留量 y184%0.841
经过2年，…剩…留…量 … y84% 84% 0.842
y
y 3x y 2x
y ax
(0a1)
1
1
1
0
x
0
1
0x
x
F:\指数函数a比赛课件.rar指数函数性质图象.rar
20
指数函数 y a x 的图像及性质
a>1
0<a<1
图
y=1
y
y=ax
(a>1)
(0,1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 当 x > 0 时，y > 01.
当 x < 0 时，. 0< y < 1
是 一 个 常 量 ,没 有 研 究 的 必 要 !
在规定以后，对于任何x R，a x 都有意义，